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2013届高三江苏专版数学一轮复习45分钟滚动基础训练卷(4))


45 分钟滚动基础训练卷(四) [考查范围:第 13 讲~第 16 讲 分值:100 分]

一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,把答案填在答题卡相应位置) 1.函数 f(x)=excosx,则 f′(1)=________. 2.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)的极大值为________. 3.[2011· 广东卷] 函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________处取得极小值. 4.面积为 S 的一个矩形,其周长最小时的边长是________. π 5.若 0<x< ,则 2x 与 3sinx 的大小关系为________.(填序号) 2 (1)2x>3sinx;(2)2x<3sinx;(3)2x=3sinx;(4)与 x 的取值有关. 6.[2012· 南通模拟] 已知函数 f(x)的自变量取值区间为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间.若 g(x)=x+m-lnx 的保值区间是[2,+∞),则 m 的值为________. 7.已知函数 f(x)=ax3+bx+c,其导函数 f′(x)的图象如图 G4-1 所示,则函数 f(x)的 极小值是________.

图 G4-1 8.[2011· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图象上的动 点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是________. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 15 分,共 60 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) x 9. 设 a>0, f(x)= , g(x)=exf(x)(其中 e 是自然对数的底数), 若曲线 y=f(x)与 y=g(x) x-a 在 x=0 处有相同的切线,求公切线方程.

10.[2011· 安徽卷] 设 f(x)=

ex ,其中 a 为正实数. 1+ax2

4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

x 2 11.[2011· 北京东城区一模] 已知函数 f(x)=xlnx,g(x)= x- . e e (1)求函数 f(x)在区间[1,3]上的最小值; (2)证明:对任意 m,n∈(0,+∞),都有 f(m)≥g(n)成立.

12.[2011· 淮安四模] 某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生 一些次品.根据经验知道,该厂生产这种仪器次品率 P 与日产量 x(件)之间大体满足关系: 1 ?1≤x≤c?, 96-x P= (x∈N,1≤c<96). 2 ?x>c? 3

? ? ?

次品数 注:次品率 P= ,如 P=0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品,其余为合 生产量 格品 A 已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损 元,故厂方希望 2 定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器每天的盈利额 T(元)表示为日产量 x(件)的函数; (2)当日产量 x 为多少时,可获得最大利润?

45 分钟滚动基础训练卷(四) 1.e(cos1-sin1) [解析] ∵f′(x)=ex(cosx-sinx), ∴f′(1)=e(cos1-sin1). 2.5 [解析] 令 y′=3x2-6x-9=0,得 x=-1 或 x=3.当-2<x<-1 时,y′>0;当 -1<x<2 时,y′<0.故当 x=-1 时,y 极大值=5. 3. 2 [解析] f′(x)=3x2-6x, 令 f′(x)=0, 得 x1=0, x2=2.当 x∈(-∞, 0)时, f′(x)>0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0;当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,显然当 x=2 时 f(x)取极小值. S 4. S, S [解析] 设矩形一边长为 x,则另一边长为 , x 2S 2S ∴周长 l(x)=2x+ ,∴l′(x)=2- 2 .由 l′(x)=0,得 x= S.∵当 x∈(0, S)时, x x l′(x)<0;当 x∈( S,+∞)时,l′(x)>0,∴函数 l(x)在(0, S)上递减,在( S,+∞)上递 S 增.∴l(x)min=4 S,此时 x= S,另一边长为 = S. S 2 5.(4) [解析] 令 f(x)=2x-3sinx, 则 f′(x)=2-3cosx,当 cosx< 时,f′(x)>0; 当 cosx 3 2 2 π = 时,f′(x)=0;当 cosx> 时,f′(x)<0,即当 0<x< 时,f(x)先递减再递增,而 f(0)=0, 3 3 2 π ? f? ?2?=π-3>0,故 f(x)的值与 x 取值有关,即 2x 与 3sinx 的大小关系与 x 的取值有关. 1 x-1 6.ln2 [解析] g′(x)=1- = ,当 x≥2 时,函数 g(x)为增函数,因此 g(x)的值域 x x 为[2+m-ln2,+∞),因此 2+m-ln2=2,故 m=ln2. 7.c [解析] 由 f′(x)的图象知: x=0 时 f(x)的极小值点,所以 f(x)的极小值为 f(0)=c. 1 1 e+ ? [解析] 设 P(x0,y0),则直线 l:y-ex0=ex0(x-x0). 8. ? 2? e? 1 令 x=0,则 y=-x0ex0+ex0,与 l 垂直的直线 l′的方程为 y-ex0=- (x-x0), ex0 x0 -x0ex0+2ex0+ ex0 x0 令 x=0,得 y= +ex0,所以 t= . ex0 2 ?x-1? x -xex+2ex+ x ex?x-1?+ x e e 令 y= ,则 y′=- ,令 y′=0 得 x=1, 2 2 1 1 e+ ?, 当 x∈(0,1)时, y′>0; 当 x∈(1, +∞)时, y′<0.故当 x=1 时该函数的最大值为 ? 2? e? 即为 t 的最大值. -a ?x2-ax-a?ex x 9.[解答] f′(x)= . 2,g′(x)=e [f(x)+f′(x)]= ?x-a? ?x-a?2 1 1 f′(0)=- ,g′(0)=- . a a 又 f(0)=0,g(0)=f(0)=0. x 所以,曲线 y=f(x)与 y=g(x)在 x=0 处有相同的切线 y=- . a 1+ax2-2ax 10.[解答] 对 f(x)求导得 f′(x)=ex .① ?1+ax2?2 4 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= . 2 2 结合①可知

1 3 ?1,3? ?3,+∞? 2 2 ?2 2? ?2 ? 0 0 f′(x) + - + f(x) 极大值 极小值 3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax2-2ax +1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1. 11.[解答] (1)由 f(x)=xlnx,可得 f′(x)=lnx+1. 1? 当 x∈? ?0,e?时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 1 ? 当 x∈? ? e,+∞?时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以函数 f(x)在区间[1,3]上单调递增, 又 f(1)=0,所以函数 f(x)在区间[1,3]上的最小值为 0. 1 (2)证明:由(1)可知 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))在 x= 时取得最小值, e 1? 1 1 又 f? ? e?=-e,可知 f(m)≥-e. 1-x x 2 由 g(x)= x- ,可得 g′(x)= x . e e e 所以当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当 x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递 减. 1 1 所以函数 g(x)(x>0)在 x=1 时取得最大值,又 g(1)=- ,可知 g(n)≤- , e e 所以对任意 m,n∈(0,+∞),都有 f(m)≥g(n)成立. 2 1 2 A 12.[解答] (1)当 x>c 时,P= ,所以每天的盈利额 T= xA- x· =0. 3 3 3 2 1 1 1 当 1≤x≤c 时,P= ,所以每天生产的合格仪器有?1-96-x?x 件,次品有?96-x? ? ? ? ? 96-x x 件, 1 1 3x A 故每天的盈利额 T=?1-96-x?xA-?96-x?x· =?x-2?96-x??A, ? ? ? ? 2 ? ? 综上,日盈利额 T(元)与日产量 x(件)的函数关系为: 3x ? ? ?? ?x-2(96-x)?A?1≤x≤c?, ? T=?? (n∈N,1≤c<96). x

?-∞,1? 2? ?

? ?0?x>c?

(2)由(1)知,当 x>c 时,每天的盈利额为 0; 3x 当 1≤x≤c 时,T=?x-2?96-x??A, ? ? ? 3?96-x?+3x?A=?1- 144 2?A, T′=?1- 2?96-x?2 ? ? ? ? ?96-x? ? 令 T′>0,得 1≤x<84 或 x>108,因为 c<96,故 x∈[1,84)时,T(x)为增函数. 令 T′<0,得 84<x<96,故 x∈(84,96)时,T(x)为减函数. 147 所以,当 84≤c<96 时,Tmax= A(此时 x=84); 2 2 ?189c-2c ?A(此时 x=c). 当 1≤c<84 时,Tmax=? ? ? 192-2c ? 综上,若 84≤c<96,则当日产量为 84 件时,可获得最大利润;若 1≤c<84,则当日产 量为 c 时,可获得最大利润.


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