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直线的交点坐标与距离公式(提高)


让更多的孩子得到更好的教育

直线的交点坐标与距离公式 B
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!

学习目标:
1.掌握解方程组的方法,求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式,点到直线距离公式,会求两条平行直线间的距离.

学习策

略:
? 在用二元一次方程来表示直线的基础上,通过二元一次联立方程组有解或无解来讨论两条直线相交、平行或重合; 对于点到直线的距离,通过坐标法求解,要把坐标系建立在适当的位置.

二、学习与应用
“凡事预则立,不预则废” .科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 性.我们要在预习的基础上,认真听讲,做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记. 知识回顾——复习
学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗?

直线方程的几种形式: 1.点斜式: 2.斜截式: 3.两点式: 4.截距式: 5.一般式:

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要点梳理——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听 课学习.课堂笔记或者其它补充填在右栏.预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID:#36615#401655

要点一、直线的交点
求两直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0( A1 B1C1 ? 0) 与 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0( A2 B2 C2 ? 0) 的交点坐标, 只需求两直线方程联立所得方程组 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解即可.若有 A1 ? B1 ? C1 ,则方 ? A2 B2 C2 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 程组有___ _______解,此时两直线___ _______;若有 A1 ? B1 ? C1 ,则方程组___ _______

A2

B2

C2

解,此时两直线___ _______;若有 A1 ? B1 ,则方程组有___ _______解,此时两直线___

A2

B2

_______,此解即两直线交点的___ _______. 要点诠释: 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组,看方程组解的个数.

要点二、过两条直线交点的直线系方程
一般地,具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系,它的方程叫 做 ,直线系方程中除含有 x, y 以外,还有根据具体条件取不同值的变 不同,从而得到不同的直线系. 过 两 直 线 的 交 点 的 直 线 系 方 程 : 经 过 两 直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , 其中 ? 是 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 交点的直线方程为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 , 待定系数.在这个方程中,无论 ? 取什么实数,都得不到 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,因此它不能 表示直线 l 2 . 量,称为参变量,简称参数.由于

要点三、两点间的距离公式
两点 P ( x1,y1 ),P2 ( x2,y2 ) 间的距离公式为 P P2 ? 1 1 要点诠释: 此公式可以用来求解平面上 两点之间的距离,它是所有求距离问题的基础,点 到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆 的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用,需熟练掌 握. .

要点四、点到直线的距离公式
点 P( x0,y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d 要点诠释: (1) P( x0,y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为直线上所有的点到已知点 P 的距离中 点 2

?

.

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距离. (2)使用点到直线的距离公式的前提条件是:把直线方程先化为 ;

(3) 此公式常用于求三角形的高、 两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.

要点五、两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法:①转化为 到 的距离问题,在任一条直线

上任取一点,此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离;②距离公式:直线

Ax ? By ? C ? 0 与直线 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离为 d 1
. 要点诠释:

?

(1)两条平行线间的距离,可以看作在其中一条直线上任取一点,这个点到另一条直线 的距离,此点一般可以取直线上的特殊点,也可以看作是两条直线上各取一点,这两点间的 最短距离; (2)利用两条平行直线间的距离公式 d 化为 形式,且两条直线中 x,y 的

?

时,一定先将两直线方程 分别是相同的以后,才能使用此公式.

典型例题——自主学习
认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型题目的规律和技巧,然后完 成举一反三. 课堂笔记或者其它补充填在右栏. 更多精彩内容请学习网校资源 ID: #36621#401655

类型一、判断两直线的位置关系
例 1. 是否存在实数 a, 使三条直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 ,l2 : x ? ay ? 1 ? 0 ,l3 : x ? y ? a ? 0 能围成一个三角形?请说明理由. 【解析】

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【总结升华】

举一反三: 【变式 1】直线 5x+4y―2m―1=0 与直线 2x+3y―m=0 的交点在第四象限,求 m 的取值范 围. 【答案】 【解析】

类型二、过两条直线交点的直线系方程
例 2. 求经过两直线 2x―3y―3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y―1=0 平行的直线方 程. 【答案】 【解析】

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【总结升华】

举一反三: 【变式 1】求证:无论 m 取什么实数,直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0 都经过一个定 点,并求出这个定点的坐标. 证法一:

证法二:

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类型三、对称问题
例 3. 已知直线 l 1:2x+y―4=0,求 l 1 关于直线 l :3x+4y―1=0 对称的直线 l 2 的方程. 【答案】 【解析】 解法一:

解法二:

【总结升华】

举一反三: 【变式 1】 (1)求点 P(x0,y0)关于直线 x―y+C=0 的对称点坐标; (2)求直线 l 1:Ax+By+C=0 关于直线 l 2:x+y―3=0 的对称直线 l 3 的方程. 【答案】 6

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例 4.在直线 l :3x―y―1=0 上求一点 P,使得: (1)P 到 A(4,1)和 B(0,4)的距离之差最大; (2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小. 【答案】 【解析】

【总结升华】

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举一反三: 【变式 1】已知点 M(3,5) ,在直线 l :x―2y+2=0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q,使△MPQ 周长最小. 【答案】 【解析】

类型四、两点间的距离 例 5.已知直线 l 过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l 1:x+y+1=0, l 2:x+y+6=0 截得的 线段长为 5,求直线 l 的方程.
【答案】 【解析】

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【总结升华】

举一反三: 【变式 1】如图,直线 l 上有两点 A、B,A 点和 B 点的横坐标分别为 x1,x2,直线 l 方 程为 y=kx+b,求 A、B 两点的距离. 【答案】

例 6.已知函数 f ( x) ? 值时 x 的值. 【答案】 【解析】

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 ,求 f ( x) 的最小值,并求取得最小

【总结升华】

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举一反三: 【变式 1】试求 f ( x) ? 【答案】 【解析】

( x ? 1) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 4 的最小值.

类型五、点到直线的距离
例 7.已知在△ABC 中,A(1,1) Bm, m ) , ( 时,△ABC 的面积 S 最大? 【答案】 【解析】 ,C(4,2) (1<m<4) ,求 m 为何值

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【总结升华】

举一反三: 【变式 1】 l 过点 M(-2,1),且与点 A(-1,2),B(3,0)的距离相等,求直线 l 的方程. 【答案】 【解析】法一:

法二:

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【变式 2】若点 P(a,b)在直线 x+y+1=0 上,求 a ? b ? 2a ? 2b ? 2 的最小值.
2 2

【答案】

类型六、两平行直线间的距离
例 8.两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(―3,―1) ,并且各自绕着 A、B 旋转,如果两条平行直线间的距离为 d. (1)求 d 的变化范围; (2)当 d 取最大值时,求两条直线的方程. 【答案】 【解析】

【总结升华】

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举一反三: 【变式 1】 已知直线 l 1: 2x―y+a=0 (a>0) 直线 l 2: , ―4x+2y+1=0 和直线 l 3: x+y―1=0, 且 l 1 与 l 2 的距离是

7 5 . 10

(1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件:①P 是第一象限的点;②P 点 到 l 1 的距离是 P 点到 l 2 的距离的

1 ; 点到 l 1 的距离与 P 点到 l 2 的距离之比是 2∶ 5 . ③P 若 2

能,求 P 点坐标;若不能,请说明理由. 【答案】 【解析】

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三、测评与总结
要想学习成绩好,总结测评少不了!课后复习是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们 巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力.

成果测评
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自我反馈
学完本节知识,你有哪些新收获?总结本节的有关习题,将其中的好题及错题分类整 理.如有问题,请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流.

我的收获

习题整理
题目或题目出处 所属类型或知识点 分析及注意问题

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错题

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知识导学:直线的交点坐标与距离公式(提高) (#401655)

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对本知识的学案导学的使用率:
□ 好(基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等,使用率达到 80%以上) □ 中(使用本学案导学提供的资源、例题和笔记,使用率在 50%-80%左右) □ 弱(仅作一般参考,使用率在 50%以下)

学生:_______________

家长:______________

指导教师:_________________

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