tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 理学 >>

概率论与数理统计第三章课后习题答案


习题三
1.将一硬币抛掷三次,以 X 表示在三次中出现正面的次数,以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律. 【解】X 和 Y 的联合分布律如表:
X Y

0 0
1 8

1
1 1 3 1 1 C3? ? ? ? 2 2 2 8

2
1 1 2 1 C3 ? ? ? ? 3 /8 2 2 2

3 0
1 2 1 2 1 2 1 8

1 3

0

0

?

?

?

2.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球,在其中任取 4 只球,以 X 表示取到黑球的只 数,以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律. 【解】X 和 Y 的联合分布律如表:
X Y

0 0

1 0

2
2 2

3
3 1

0

C 3 ?C 2 C7
4

?

3 35

C 3 ?C 2 C7 12 35
3 4

?

2 35

1

0

C 3 ?C 2 ?C 2 C7
4

1

1

2

?

6 35

C 3 ?C 2 ?C 2 C7
2 4

2

1

1

?

C 3 ?C 2 C7
4

1

?

2 35

2

P(0 黑,2 红,2 白)=
C 2 ?C 2 / C 7 ?
2 2 4

1 35

C 3 ?C 2 ?C 2 C7
4

1

2

1

?

6 35

C 3 ?C 2 C7
4

2

?

3 35

0

3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
? ? sin x sin y , F(x,y)= ? ? 0, ? 0 ? x ? π 2 ,0 ? y ? π 2 其他 .

求二维随机变量(X,Y)在长方形域 ? 0 ? x ?
?

?

π π π? , ? y ? ? 内的概率. 4 6 3?

【解】如图 P {0 ? X ?

π π π , ? Y ? }公 式 (3 .2 ) 4 6 3 F( π π π π π π , ) ? F ( , ) ? F (0 , ) ? F (0 , ) 4 3 4 6 3 6

1

? sin ? 2 4

π 4

?sin

π 3

? sin

π 4

?sin

π 6

? sin 0 ?sin

π 3

? sin 0 ?sin

π 6

( 3 ? 1).

题3图 说明:也可先求出密度函数,再求概率。 4.设随机变量(X,Y)的分布密度
? A e ? (3 x ? 4 y ) , f(x,y)= ? ?0, x ? 0, y ? 0, 其他 .

求: (1) 常数 A; (2) 随机变量(X,Y)的分布函数; (3) P{0≤X<1,0≤Y<2}. 【解】 (1) 由 ?
?? ??

?

?? ??

f ( x , y )d x d y ? ?

?? 0

?

??

Ae
0

-( 3 x ? 4 y )

dxdy ?

A 12

?1

得 A=12? (2) 由定义,有
F ( x, y) ?

? ?
??
y

y

x ??
y

f ( u , v )d u d v
12e
? (3u ? 4 v )

? ? ? ? ?0 ?0, ?

?

dudv

0

? (1 ? e ? ? ?

?3 x

)(1 ? e

?4 y

)

y ? 0, x ? 0, 其他

0,

(3) P {0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2}
? P {0 ? X ? 1, 0 ? Y ? 2} ?

? ?
0

1

2

12e
0

? (3 x ? 4 y )

d x d y ? (1 ? e

?3

)(1 ? e

?8

) ? 0 .9 4 9 9 .

5.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? (1) 确定常数 k; (2) 求 P{X<1,Y<3}; (3) 求 P{X<1.5}; (4) 求 P{X+Y≤4}. 【解】 (1) 由性质有
? k ( 6 ? x ? y ), ? 0, 0 ? x ? 2, 2 ? y ? 4, 其他 .

2

? ?
??

??

?? ??

f ( x , y )d x d y ?

? ?
0

2

4 2

k (6 ? x ? y )d y d x ? 8 k ? 1,



R ?

1 8

?

(2) P { X ? 1, Y ? 3} ?
?

? ?
??
1 3 2 0

1

3 ??

f ( x , y )d y d x
3 8

? ?

1 8

k (6 ? x ? y )d y d x ?

(3) P { X ? 1 .5} ?
?

??
x ? 1 .5

f ( x , y )d x d y 如 图 a ?? f ( x , y )d x d y
D1 1 .5

?

0

dx ?

4 2

1 8

(6 ? x ? y )d y ?

27 32

.

(4) P { X ? Y ? 4} ?
?

??
X ?Y ? 4

f ( x , y )d x d y 如 图 b ?? f ( x , y )d x d y
D2 4? x 2

?

2 0

dx ?

1 8

(6 ? x ? y )d y ?

2 3

.

题5图 6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,0.2)上服从均匀分布,Y 的密度函数为
?5e ?5 y , y ? 0 , fY(y)= ? 其他 . ? 0,

求: (1) X 与 Y 的联合分布密度; (2) P{Y≤X}.

题6图 【解】 (1) 因 X 在(0,0.2)上服从均匀分布,所以 X 的密度函数为
? 1 , ? f X ( x ) ? ? 0 .2 ?0, ? 0 ? x ? 0 .2 , 其他.



3

?5e fY ( y ) ? ? ?0,

?5 y

,

y ? 0, 其他.

所以
f ( x , y X Y, 独 立 f X x ( ? f) y ( ) Y )

? 1 ?5 y ?5 y ? 25e ? 5e , ? ? ? 0 .2 ? ? ?0, ?0, ?

0 ? x ? 0 .2 且 y ? 0 , 其他.
?5 y

(2) P ( Y ? X ) ?
?

??
y?x

f ( x , y )d x d y 如 图 ?? 2 5 e
D

d xd y

?

0 .2 0

dx ? 25e
0

x

-5 y

dy ? ?

0 .2 0

(?5e

?5 x

? 5)d x

=e

-1

? 0 .3 6 7 9 .

7.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
? (1 ? e ? 4 x )( 1 ? e ? 2 y ), F(x,y)= ? ? 0, x ? 0, y ? 0, 其他 .

求(X,Y)的联合分布密度. 【解】 f ( x , y ) ?
? F ( x, y )
2

?x?y

?8e ? ? ?0,

?(4 x?2 y)

,

x ? 0, y ? 0, 其他.

8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? 求边缘概率密度. 【解】 f X ( x ) ?
? 4 .8 y ( 2 ? x ), ? 0, 0 ? x ? 1, 0 ? y ? x , 其 他.

?

?? ??
x

f ( x , y )d y
0 ? x ? 1, 其 他.

? 4 .8 y ( 2 ? x )d y ? 2 .4 x 2 ( 2 ? x ), ? = ? ?0 ? ? ? 0, ?0, ?

fY ( y )?

?

?? ??

f ( x, y ) dx

2 ? 4 .8 y ( 2 ? x ) d x ? 2 .4 y (3 ? 4 y ? y ), ? ?y =? ? ? ?0, ? 0, ? 1

0 ? y ? 1, 其 他.

4

题8图 9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? 求边缘概率密度. 【解】 f X ( x ) ?
? ?0, e
?y

题9图
0 ? x ? y, 其他 .

,

?

?? ??

f ( x , y )d y
??

?y ?x ? ? ? e dy ?e , x =? ? ? ?0, ?0, ?

x ? 0, 其 他.

fY ( y ) ?

?

?? ??
y

f ( x , y )d x
y ? 0, 其他.

? e ? y dx ? ye ? x , ? = ? ?0 ? ? ?0, ?0, ?

题 10 图 10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? (1) 试确定常数 c; (2) 求边缘概率密度. 【解】 (1)
? cx 2 y , ? 0, x ? y ? 1,
2

其他 .

? ?
??

??

?? ??

f ( x , y )d x d y 如 图 ?? f ( x , y )d x d y
D

= ? dx ? 2 cx ydy ?
2 -1 x

1

1

4 21

c ? 1.

得? c ?

21 4

.

(2) f X ( x ) ?

?

?? ??

f ( x , y )d y

5

? 21 2 ? 1 21 2 4 x (1 ? x ), x ydy ? ?? 2 ? ? x 4 ? ? 8 ?0, ? ? ?0,

? 1 ? x ? 1, 其 他.

fY ( y ) ?

?

?? ??

f ( x , y )d x
y y

? ? ? ? ?? ?0, ?

21 4

x ydx

2

?7 ? y2, ? ?2 ? 0, ?
5

0 ? y ? 1, 其他.

11.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ?
?1 , ?0, y ? x , 0 ? x ? 1, 其他 .

求条件概率密度 fY|X(y|x) X|Y(x|y). ,f

题 11 图 【解】 f X ( x ) ?

?

?? ??
x

f ( x , y )d y
0 ? x ? 1, 其他.

? 1d y ? 2 x , ? ? ? ?? x ? 0, ?

fY ( y ) ?

?

?? ??

? 1d x ? 1 ? y , ? ?? y ? 1 ? f ( x , y )d x ? ? ? 1d x ? 1 ? y , y ? ? 0, ? ?
1

?1 ? y ? 0, 0 ? y ? 1, 其 他.

所以
f ( x, y) ? 1 , ? ? ?2x fX (x) ?0, ? | y |? x ? 1, 其 他.

fY |X ( y | x ) ?

6

f X |Y

? 1 , ?1 ? y ? f ( x, y ) ? 1 (x | y) ? ? ? , fY ( y ) ?1 ? y ? 0, ? ?

y ? x ? 1, ? y ? x ? 1, 其 他.

12.袋中有五个号码 1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为 X,最大 的号码为 Y. (1) 求 X 与 Y 的联合概率分布; (2) X 与 Y 是否相互独立? 【解】 (1) X 与 Y 的联合分布律如下表
Y X

3

4

5

P{ X ? xi }
3 3 10
2 10 1 10
6 10 3 10 1 10

1

1 C5
3

?

1 10

2 C5
1 C5
3

3

?

2 10
1 10

C5
2 C5 1 C5
2 3

3

?

2

0

?

?

3

0

0

?

P {Y ? y i }

1 10

3 10

6 10

(2) 因 P { X ? 1} ?P {Y ? 3} ?

6 10

?

1 10

?

6 100

?

1 10

? P { X ? 1, Y ? 3} ,

故 X 与 Y 不独立? 13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 0.15 0.05 5 0.30 0.12 8 0.35 0.03

(1)求关于 X 和关于 Y 的边缘分布; (2) X 与 Y 是否相互独立? 【解】 (1)X 和 Y 的边缘分布如下表?
Y 0.4 0.8 X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2

P{ X ? xi }

7

(2) 因 P { X ? 2}?P {Y ? 0 .4} ? 0 .2 ? 0 .8 ? 0 .1 6 ? 0 .1 5 ? P ( X ? 2, Y ? 0 .4 ), 故 X 与 Y 不独立.? 14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为
? 1 ?y/2 ? e , fY(y)= ? 2 ?0, ? y ? 0, 其他 .

(1)求 X 和 Y 的联合概率密度; (2) 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0,试求 a 有实根的概率.
?1, 【解】 (1) 因 f X ( x ) ? ? ? ?0, 0 ? x ? 1, 其他;
?1 ? ? e 2 , y ? 1, fY ( y ) ? ? ? 2 ?0, 其他. ?
y

? 1 ? y/2 ? e 故 f ( x, y ) X , Y 独 立 f X ( x )? fY ( y ) ? ? 2 ?0, ?

0 ? x ? 1, y ? 0 , 其 他.

题 14 图 (2) 方程 a ? 2 X a ? Y ? 0 有实根的条件是
2

? ? ( 2 X ) ? 4Y ? 0
2

故 从而方程有实根的概率为:
P{ X
2

X2≥Y,

? Y} ?

??
x ?y
2

f ( x , y )d x d y

?

?

1 0

dx ?

x 0

2

1 2

e

? y/2

dy

? 1?

2 ? [ ? (1) ? ? (0 )]

? 0 .1 4 4 5 .

15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计) ,并设 X 和 Y 相互独立,且服 从同一分布,其概率密度为
? 1000 ? , ? 0, ? x ? 1000 , 其他 .

f(x)= ? x 2

8

求 Z=X/Y 的概率密度. 【解】如图,Z 的分布函数 F Z ( z ) ? P { Z ? z } ? P { (1) 当 z≤0 时, F Z ( z ) ? 0 (2) 当 0<z<1 时, (这时当 x=1000 时,y=
FZ ( z ) ?
1000 z
X Y ? z}

)(如图 a)
yz
3

??
y? x z

10
2

6 2

dxdy ?

x y

?

?? 10 z
3

dy ?

10
2

6 2

dx

10

x y

?? ? 1 0 10 ? z = ?1 0 3 ? 2 ? dy ? 3 ? zy ? 2 z ? y 3 6

题 15 图 (3) 当 z≥1 时, (这时当 y=10 时,x=103z) (如图 b)
3

FZ ( z ) ?

??
y? x z

10
2

6 2

dxdy ?

x y

?

??
3

10

dy ?

zy
3

10
2

6 2

dx

10

x y

=?

??
3

10

? 10 10 ? 1 dy ? 1 ? ? 2 ? 3 ? zy ? 2z ? y
3 6



1 ? 1? , ? 2z ? ?z fZ (z) ? ? , ?2 ? 0, ? ?
? 1 , ? 2z2 ? ?1 fZ (z) ? ? , ?2 ?0, ? ?

z ? 1, 0 ? z ? 1, 其 他.

z ? 1, 0 ? z ? 1, 其 他.



16.设某种型号的电子管的寿命 (以小时计) 近似地服从 N (160, 2) 20 分布.随机地选取 4 求其中没有一只寿命小于 180 的概率.

只,

9

【解】设这四只寿命为 Xi(i=1,2,3,4),则 Xi~N(160,202) , 从而
P { m in ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) ? 1 8 0} X i 之 间 独 立 P { X 1 ? 1 8 0} ?P { X 2 ? 1 8 0}

P { X 3 ? 1 8 0} ?P { X 4 ? 1 8 0} ? [ 1 ? P {X1 ? 1 8 0 } ] ? P X { ? ? [1 2 1 8 0 ? P [X ? } ] 31
4

? {

?

1 ? P }4X [ 1 80 ] ?

{

180}]

? ? 180 ? 160 ?? ? [1 ? P { X 1 ? 1 8 0} ] ? ?1 ? ? ? ?? 20 ? ?? ?
4

? [1 ? ? (1)] ? ( 0 .1 5 8 ) ? 0 .0 0 0 6 3 .
4 4

17.设 X,Y 是相互独立的随机变量,其分布律分别为 P{X=k}=p(k) ,k=0,1,2,…, P{Y=r}=q(r) ,r=0,1,2,…. 证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为 P{Z=i}= ? p ( k ) q ( i ? k ) ,i=0,1,2,….
k ?0 i

【证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数, 所以
{ Z ? i} ? { X ? Y ? i}

? { X ? 0, Y ? i} ? { X ? 1, Y ? i ? 1} ? ? ? { X ? i , Y ? 0}

于是

P { Z ? i} ?

?
k ?0

i

P{ X ? k , Y ? i ? k } X , Y 相 互 独 立

?
k ?0

i

P { X ? k } ?P {Y ? i ? k }

?

?
k ?0

i

p ( k ) q (i ? k )

18.设 X,Y 是相互独立的随机变量,它们都服从参数为 n,p 的二项分布.证明 Z=X+Y 服从参 数为 2n,p 的二项分布. 【证明】方法一:X+Y 可能取值为 0,1,2,…,2n.
P{ X ? Y ? k } ?

?
i?0

k

P { X ? i , Y ? k ? i}

10

?

?
i?0 k

k

P ( X ? i ) ?P {Y ? k ? i } ? n ? i n?i ? p q ? ? ?n ? k ?i n?k ?i ? ? p q ?k ? i?

?

? ?i
i?0 k

?

? ?i
i?0

?n??n ? k 2n?k ?? ? p q ? ??k ? i?

? 2n ? k 2n?k ? ? ? p q ?k ?

方法二:设 μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为 p) ,则 X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′, 所以,X+Y 服从参数为(2n,p)的二项分布. 19.设随机变量(X,Y)的分布律为 X Y 0 1 2 3 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 0 1 2 3 4 5

(1) 求 P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0}; (2) 求 V=max(X,Y)的分布律; (3) 求 U=min(X,Y)的分布律; (4) 求 W=X+Y 的分布律. 【解】 (1) P { X ? 2 | Y ? 2} ?
P { X ? 2 , Y ? 2} P {Y ? 2}

?

P { X ? 2 , Y ? 2}

?
i?0

5

?

0 .0 5 0 .2 5

?

1 2

,

P { X ? i , Y ? 2}

P {Y ? 3 | X ? 0} ?

P {Y ? 3, X ? 0} P { X ? 0}

?

P { X ? 0 , Y ? 3}

?
j?0

3

?

0 .0 1 0 .0 3

?

1 3

;

P { X ? 0 , Y ? j}

(2) P {V ? i} ? P { m ax ( X , Y ) ? i} ? P { X ? i , Y ? i} ? P { X ? i , Y ? i }

?

?

i ?1

P{ X ? i, Y ? k } ?

?
k ?0

i

P { X ? k , Y ? i} ,

i ? 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5

k ?0

11

所以 V 的分布律为 V=max(X,Y) P 0 0 1 0.04 2 0.16 3 0.28 4 0.24 5 0.28

(3) P {U ? i} ? P { m in ( X , Y ) ? i}
? P { X ? i , Y ? i} ? P { X ? i , Y ? i} ?

?
k ?i

3

P{ X ? i, Y ? k } ?

?
k ? i ?1

5

P { X ? k , Y ? i}

i ? 0 , 1, 2 , 3,

于是 U=min(X,Y) P W=X+Y P 0 0 0 0.28 (4)类似上述过程,有 1 0.02 2 0.06 3 0.13 4 0.19 5 0.24 6 0.19 7 0.12 8 0.05 1 0.30 2 0.25 3 0.17

20.雷达的圆形屏幕半径为 R,设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布. (1) 求 P{Y>0|Y>X}; (2) 设 M=max{X,Y},求 P{M>0}.

题 20 图 【解】因(X,Y)的联合概率密度为
? 1 , ? f ( x, y ) ? ? πR 2 ?0, ? x ? y ? R ,
2 2 2

其他.

(1) P {Y ? 0 | Y ? X } ?

P {Y ? 0 , Y ? X } P {Y ? X }

??
?
y?0 y?x

f ( x , y )d ?

??
y?x

f ( x , y )d ?

?

? ?

π π/4 5 4 π/4 π

d? d?

? ?

R 0 R 0

1 πR 1 πR
2 2

rdr rdr

12

?

3/8 1/ 2

?

3 4

;

(2) P { M ? 0} ? P { m ax ( X , Y ) ? 0} ? 1 ? P { m ax ( X , Y ) ? 0}
? 1 ? P { X ? 0 , Y ? 0} ? 1 ?

??
x?0 y?0

f ( x, y )d ? ? 1 ?

1 4

?

3 4

.

21.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0,x=1,x=e2 所围成,二维随机变量(X,Y) 在区域 D 上服从均匀分布,求(X,Y)关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少?

题 21 图 【解】区域 D 的面积为 S 0 ?

?

e

2

1 x

d x ? ln x

e 1

2

? 2 . (X,Y)的联合密度函数为
1 x

1

?1 ? , f ( x, y ) ? ? 2 ?0, ?

1 ? x ? e ,0 ? y ?
2

,

其他.

(X,Y)关于 X 的边缘密度函数为
1 ? 1/ x 1 dy ? , ?? 0 fX (x) ? ? 2 2x ?0, ? 1? x ? e ,
2

其他.

所以 f X ( 2 ) ?

1 4

.

22.设随机变量 X 和 Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. X x1 x2 P{Y=yj}=pj Y y1 y2 1/8 1/8 1/6 1 y3 P{X=xi}=pi

【解】因 P {Y ? y j } ? P j ?

?
i ?1

2

P{ X ? xi , Y ? y j } ,

故 P {Y ? y 1 } ? P { X ? x1 , Y ? y 1 } ? P { X ? x 2 , Y ? y 1 } , 从而 P { X ? x1 , Y ? y 1 } ?
1 6 ? 1 8 ? 1 24 .

13

而 X 与 Y 独立,故 P { X ? x i } ?P {Y ? y j } ? P { X ? x i , Y ? y i } , 从而 P { X ? x1 } ? 即: P { X ? x1 } ?
1 6 ? P { X ? x1 , Y ? y 1 } ?
1 24 / 1 6 ? 1 4 .

1 24

.

又 P { X ? x1 } ? P { X ? x1 , Y ? y 1 } ? P { X ? x 1 , Y ? y 2 } ? P { X ? x 1 , Y ? y 3 } , 即
1 4 ? 1 24 ? 1 8 ? P { X ? x1,Y ? y 3 } , 1 12 P{ X ? x2 , Y ? y 2 } ?
1 6 1 2 1 3

从而 P { X ? x1 , Y ? y 3 } ? 同理 P {Y ? y 2 } ?
3

. 3 8

1 2

,

又 ? P {Y ? y j } ? 1 ,故 P {Y ? y 3 } ? 1 ?
j ?1

?

?

.

同理 P { X ? x 2 } ? 从而

3 4

.

P { X ? x 2 , Y ? y 3 } ? P {Y ? y 3 } ? P { X ? x 1 , Y ? y 3 } ?

1 3

?

1 12

?

1 4

.


Y X

y1
1 24 1 8 1 6

y2
1 8 3 8 1 2

y3
1 12 1 4 1 3

P { X ? x i } ? Pi
1 4 3 4

x1 x2
P {Y ? y j } ? p j

1

23.设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率 为 p(0<p<1) ,且中途下车与否相互独立,以 Y 表示在中途下车的人数,求: (1)在发 车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率; (2)二维随机变量(X,Y)的概 率分布. 【解】(1) P {Y ? m | X ? n } ? C n p (1 ? p )
m m n?m

, 0 ? m ? n , n ? 0,1, 2, ? .

(2) P { X ? n , Y ? m } ? P { X ? n }?P {Y ? m | X ? n }
e n ? ? , n ? m ? n , n ? 0 ,1, 2 , ? . n!
??

? C n p (1 ? p )
m m

n?m

14

24.设随机变量 X 和 Y 独立,其中 X 的概率分布为 X~ ? ?

? 1 ? 0 .3

2 ? ? ,而 Y 的概率密度为 f(y), ? 0 .7 ?

求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 【解】设 F(y)是 Y 的分布函数,则由全概率公式,知 U=X+Y 的分布函数为
G ( u ) ? P { X ? Y ? u } ? 0 .3 P { X ? Y ? u | X ? 1} ? 0 .7 P { X ? Y ? u | X ? 2} ? 0 .3 P {Y ? u ? 1 | X ? 1} ? 0 .7 P {Y ? u ? 2 | X ? 2}

由于 X 和 Y 独立,可见
G ( u ) ? 0 .3 P {Y ? u ? 1} ? 0 .7 P {Y ? u ? 2} ? 0 .3 F ( u ? 1) ? 0 .7 F ( u ? 2 ).

由此,得 U 的概率密度为
g ( u ) ? G ? ( u ) ? 0 .3 F ?( u ? 1) ? 0 .7 F ?( u ? 2 ) ? 0 .3 f ( u ? 1) ? 0 .7 f ( u ? 2 ).

25. 25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求 P{max{X,Y} ≤1}. 解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有
?1 ? , f (x) ? ? 3 ?0, ? 0 ? x ? 3, x ? 0 , x ? 3; ?1 ? , f ( y) ? ? 3 ? 0, ? 0 ? y ? 3, y ? 0, y ? 3.

因为 X,Y 相互独立,所以
? 1 , 0 ? x ? 3, 0 ? y ? 3, ? f ( x, y ) ? ? 9 ?0, x ? 0 , y ? 0 , x ? 3, y ? 3 . ?

推得

P { m a x { X , Y } ? 1} ?

1 9

.

26. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 X ??1 0 1 ??1 a 0.1 0 0 0 b 0.1 1 0.2 0.2 c

Y

其中 a,b,c 为常数,且 X 的数学期望 E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5,记 Z=X+Y.求: (1) a,b,c 的值; (2) Z 的概率分布; (3) P{X=Z}.
15



(1) 由概率分布的性质知, a+b+c+0.6=1



a+b+c = 0.4.

由 E ( X ) ? ? 0 .2 ,可得
? a ? c ? ? 0 .1 .

再由 得

P {Y ? 0 X ? 0} ?

P { X ? 0 , Y ? 0} P { X ? 0}

?

a ? b ? 0 .1 a ? b ? 0 .5

? 0 .5 ,

a ? b ? 0 .3 .

解以上关于 a,b,c 的三个方程得
a ? 0 .2, b ? 0 .1, c ? 0 .1 .

(2) Z 的可能取值为?2,?1,0,1,2,
P { Z ? ? 2} ? P { X ? ? 1, Y ? ? 1} ? 0 .2 ,

P { Z ? ? 1} ? P { X ? ? 1, Y ? 0} ? P { X ? 0, Y ? ? 1} ? 0 .1 , P { Z ? 0} ? P { X ? ? 1, Y ? 1} ? P { X ? 0, Y ? 0} ? P { X ? 1, Y ? ? 1} ? 0 .3 , P { Z ? 1} ? P { X ? 1, Y ? 0} ? P { X ? 0, Y ? 1} ? 0 .3 ,
P { Z ? 2} ? P { X ? 1, Y ? 1} ? 0 .1 ,

即 Z 的概率分布为 Z P (3) ?2 0.2 ??1 0.1 0 0.3 1 0.3 2 0.1

P { X ? Z } ? P {Y ? 0} ? 0 .1 ? b ? 0 .2 ? 0 .1 ? 0 .1 ? 0 .2 ? 0 .4 .

习题四
1.设随机变量 X 的分布律为 X P ??1 1/8
1 8 1 2 1 8 ?0 ?
2

0 1/2
1 8 1 2 1 2 ?1 ?
2

1 1/8
1 4 1 8
2

2 1/4

求 E(X) ,E(X2) ,E(2X+3). 【解】(1) E ( X ) ? ( ? 1) ?
2 2

? 0?

? 1?

? 2?

?

1 2

; 1 4 ? 5 4 ;

(2) E ( X ) ? ( ? 1) ?

?2 ?

(3) E ( 2 X ? 3) ? 2 E ( X ) ? 3 ? 2 ?

?3? 4

2.已知 100 个产品中有 10 个次品,求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X,则 X 的分布律为
16

X P

0
C 90 C 100
5 5

1
? 0 .5 8 3 C 10 C 90 C 100
5 1 4

2
? 0 .3 4 0 C 10 C 90 C 100
5 2 3

3
? 0 .0 7 0 C 10 C 90 C 100
5 3 2

4
? 0 .0 0 7 C 10 C 90 C 100
5 4 1

5
? 0 C 10 C 100
5 5

? 0



E ( X )? 0 . 5 ? 3 ? 0 8
? 0 .5 0 1,
5

0?3? 0 . 4

1 ? 0 ? 0 7 0 ?2 ? 0 ? 0 0 7 ? 3 . . ?

0

4

0

5

D(X ) ?

? [x
i?0

i

? E ( X )] Pi
2

? (0 ? 0 .5 0 1) ? 0 .5 8 3 ? (1 ? 0 .5 0 1) ? 0 .3 4 0 ? ? ? (5 ? 0 .5 0 1) ? 0
2 2 2

? 0 .4 3 2 .

3.设随机变量 X 的分布律为 X P
2

??1 p1

0 p2

1 p3

且已知 E(X)=0.1,E(X )=0.9,求 P1,P2,P3. 【解】因 P1 ? P2 ? P3 ? 1 ……①, 又 E ( X ) ? ( ? 1) P1 ? 0 ?P2 ? 1?P3 ? P3 ? P1 ? 0 .1 ……②,
E ( X ) ? ( ? 1) ?P1 ? 0 ?P2 ? 1 ?P3 ? P1 ? P3 ? 0 .9 ……③?
2 2 2 2

由①②③联立解得 P1 ? 0 .4, P2 ? 0 .1, P3 ? 0 .5 . 4.袋中有 N 只球,其中的白球数 X 为一随机变量,已知 E(X)=n,问从袋中任取 1 球为白 球的概率是多少? 【解】记 A={从袋中任取 1 球为白球},则

P ( A ) 全 概 率 公 式 ? P { A | X ? k } ?P { X ? k }
k ?0

N

? ?

?
k ?0

N

k N

P{ X ? k } ? n N

1 N

? k P{ X
k ?0

N

? k}

1 N

?E ( X ) ?

.

5.设随机变量 X 的概率密度为
? x , 0 ? x ? 1, ? f(x)= ? 2 ? x , 1 ? x ? 2 , ? 0 , 其他 . ?

17

求 E(X) ,D(X). 【解】 E ( X ) ?

?

?? ??

x f ( x )d x ? ? x d x ?
2 0
1 3 2

1

?

2

x ( 2 ? x )d x

1

? 2 x ? ?1 3? ? x ? ?x ? ? ? 1. ?3 ? 3 ?1 ? ?0 ?

E(X ) ?
2

?

?? ??

x f ( x )d x ? ? x d x ?
2 3 0 2

1

?

2

x ( 2 ? x )d x ?
2

7 6

1



D ( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )] ?
2

1 6

.

6.设随机变量 X,Y,Z 相互独立,且 E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量 的数学期望. (1) U=2X+3Y+1; (2) V=YZ??4X. 【解】(1) E [U ] ? E ( 2 X ? 3Y ? 1) ? 2 E ( X ) ? 3 E (Y ) ? 1
? 2 ? 5 ? 3 ? 11 ? 1 ? 44.

(2) E [V ] ? E [ YZ ? 4 X ] ? E [ YZ ] ? 4 E ( X )
因 Y , Z 独 立 E (Y ) ?E ( Z ) ? 4 E ( X )
? 11? 8 ? 4 ? 5 ? 68.

7.设随机变量 X, 相互独立,且 E(X) (Y) Y =E =3, D(X) =12,D(Y) =16, E 求 (3X??2Y) , D(2X??3Y). 【解】(1) E (3 X ? 2 Y ) ? 3 E ( X ) ? 2 E (Y ) ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 . (2) D ( 2 X ? 3Y ) ? 2 D ( X ) ? ( ? 3) D Y ? 4 ? 1 2 ? 9 ? 1 6 ? 1 9 2 .
2 2

8.设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? 试确定常数 k,并求 E(XY). 【解】因 ?
?? ??

?k , ? 0,

0 ? x ? 1, 0 ? y ? x , 其他 .

?

?? ??

f ( x , y )d x d y ?

?

1 0

dx ? kdy ?
0

x

1 2

k ? 1, 故 k=2?

E ( XY ) ?

? ?
??

??

?? ??

x y f ( x , y )d x d y ?

?

1 0

x d x ? 2 y d y ? 0 .2 5 .
0

x

9.设 X,Y 是相互独立的随机变量,其概率密度分别为 fX(x)= ?
? 2 x, ?0, 0 ? x ? 1, 其他 ;

fY(y)= ?

? e ? 0,

? ( y?5)

,

y ? 5, 其他.

求 E(XY). 【解】方法一:先求 X 与 Y 的均值?

18

E ( X )?

?

1 0

x 2 xd ? ? x

2 3

,

E (Y ) ?

?

?? 5

y e

?( y? 5 )

y d

令 z? y?5

?5

?? 0

?z

ez ? ? d

??

z
0

?z

e ?d ? z

? 5

1

6 .

由 X 与 Y 的独立性,得
E ( X Y ) ? E ( X ) ?E ( Y ) ? 2 3 ? 6 ? 4.

方法二:利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立,故联合密度为
? 2 xe f ( x , y ) ? f X ( x )? fY ( y ) ? ? ? 0,
? ( y?5)

,

0 ? x ? 1, y ? 5, 其他,

于是
E ( XY ) ?

? ?
5

??

1

x y ?2 x e
0

?( y?5)

dxdy ?

?

1 0

2 x d x ??
2

??

ye
5

? ( y?5)

dy ?

2 3

? 6 ? 4.

10.设随机变量 X,Y 的概率密度分别为
? 2 e ?2 x , fX(x)= ? ?0, x ? 0, x ? 0; ? 4 e ?4 y , fY(y)= ? ?0, y ? 0, y ? 0.

求(1) E(X+Y);(2) E(2X??3Y2). 【解】 ( X ) ?
? E ( Y )?
2

?
?

?? ??
??

xf X ( x )d x ?
e
?2 x

??

x ?2 e
0

?2 x

dx ? [? xe

?2 x

]0

??

?

??

e
0

-2 x

dx

dx ?

1 2

.
? ?

0 ? ? ??
?? ??

?

yY f ( y) d y ?
0
2

? y4 e

?4 y

1 ?d y 4
? y4

.
2 4
2

E (Y ) ?

?

y f Y ( y )d y ?

?

?? 0

y ?4 e 1 2

2

dy ? 1 4 ? 3 4

?

1 8

.

从而(1) E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E ( Y ) ?
2

?
2

. 1 2 ? 3? 1 8 ? 5 8

(2) E ( 2 X ? 3Y ) ? 2 E ( X ) ? 3 E ( Y ) ? 2 ? 11.设随机变量 X 的概率密度为
? cx e ? k ? f(x)= ? ? 0, ?
2

x

2

,

x ? 0, x ? 0.

求(1) 系数 c;(2) E(X);(3) D(X). 【解】(1) 由 ?
?? ??

f ( x )d x ?

?

??

cxe
0

?k x

2

2

dx ?

c 2k
2

? 1 得c ? 2k .
2

(2) E ( X ) ?

?

?? ??

x f ( x )d ( x ) ?
?? 0

?

?? 0

x ?2 k x e
π 2k

2

?k x

2

2

dx

? 2k

2

?

x e

2

?k x

2

2

dx ?

.

19

(3) E ( X ) ?
2

?

?? ??

x f ( x )d ( x ) ?
2

?
2

?? 0

x ?2 k x e

2

2

?k x

2

2

1 k
2

.

故? D ( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )] ?
2

1 k
2

? π ?? ? 2k ?

? 4?π . ? ? 2 ? 4k ?

2

12.袋中有 12 个零件,其中 9 个合格品,3 个废品.安装机器时,从袋中一个一个地取出(取 出后不放回) ,设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X,求 E(X)和 D(X). 【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数,则 X 的可能取值为 0,1,2, 3.为求其分布律,下面求取这些可能值的概率,易知
P{ X ? 0 } ? 9 12 ? 0 .7 5 0, P { X ? 1} ? 3 12 ? 9 11 ? 0 .2 0 4 ,

P{ X ? 2 } ?

3 1 2

?

? 1 1

2

9

? 0 .0 4 1, 1 0

P { X ? 3} ?

3 12

?

2 11

?

1 10

?

9 9

? 0 .0 0 5 .

于是,得到 X 的概率分布表如下: X P 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005

由此可得 E ( X ) ? 0 ? 0 .7 5 0 ? 1 ? 0 .2 0 4 ? 2 ? 0 .0 4 1 ? 3 ? 0 .0 0 5 ? 0 .3 0 1 .
E ( X ) ? 0 ? 7 5 0 ? 1 ? 0 .2 0 4 ? 2 ? 0 .0 4 1 ? 3 ? 0 .0 0 5 ? 0 .4 1 3
2 2 2 2 2

D ( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )] ? 0 .4 1 3 ? (0 .3 0 1) ? 0 .3 2 2 .
2 2 2

13.一工厂生产某种设备的寿命 X(以年计)服从指数分布,概率密度为
? 1 ?x 4 ? f(x)= ? 4 e , ?0, ? x ? 0, x ? 0.

为确保消费者的利益, 工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备, 工厂获利 100 元,而调换一台则损失 200 元,试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值:100 元和??200 元?
P { Y ? 1 0 0? P { ? } X ?1 ? }
??

1 4

?x/ 4

e

? d x

?

1 / 4

e

1

P{ Y ? ? 2 0 0 } P { ? ? X

1? }

? 1

?1 / 4

e
?1 / 4

. ) ? 300e
?1 / 4

故 E (Y ) ? 1 0 0 ? e

?1/ 4

? ( ? 2 0 0 ) ? (1 ? e

? 2 0 0 ? 3 3 .6 4 (元).

14.设 X1,X2,…,Xn 是相互独立的随机变量,且有 E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,i=1,2,…, n,记
X ? 1

? n

n

X i , S ,S =

2

2

i ?1

? (X n ?1
i ?1

1

n

i

? X) .
2

(1) 验证 E ( X ) =μ, D ( X ) =

?
n

2



20

(2) 验证 S2=

1 n ?1

(? X i ? n X ) ;
2 i ?1

n

2

(3) 验证 E(S2)=σ2. 【证】(1) E ( X ) ? E ?
? ?1

? n

n

i ?1

n 1 ? 1 X i ? ? E (? X i ) ? n i ?1 ? n

?
i ?1

n

E(X i) ?

1 n

?n u ? u .

?1 D(X ) ? D ? ?n

?
i ?1

n

n 1 1 n ? X i ? ? 2 D ( ? X i ) X i 之 间 相 互 独 立 2 ?? D X i n i ?1 i ?1 ? n

?

1 n
2

?n ?

2

?

?
n

2

.

(2) 因

? (X
i ?1

n

i

? X) ?
2

? (X
i ?1

n

2 i

? X

2

? 2X X i) ?

?
i ?1

n

Xi ? nX
2

2

? 2X

?
i ?1

n

Xi

?

?
i ?1

n

Xi ? nX
2

2

? 2 X ?n X ?

?
i ?1

n

Xi ? nX
2

2

故S ?
2

1 n ?1

(? X i ? n X ) .
2 i ?1

n

2

(3) 因 E ( X i ) ? u , D ( X i ) ? ? ,故 E ( X i ) ? D ( X i ) ? ( E X i ) ? ? ? u .
2 2 2 2 2

同理因 E ( X ) ? u , D ( X ) ? 从而

?
n

2

,故 E ( X ) ?

2

?
n

2

?u .
2

2 ? 2 1 ? 1 2 2 2 E (s ) ? E ? (? X i ? n X ) ? ? [ E ( ? X i ) ? n E ( X )] n ?1 i ?1 ? n ? 1 i ?1 ? n n

?

1 n ?1 1

[ ? E ( X i ) ? n E ( X )]
2 i ?1 2 ? ?? 2 2 ? 2 ?u )? n? ? u ?? ? ? . ? n ?? 2

n

2

?

? ?? n ?(? n ?1 ?

15.对随机变量 X 和 Y,已知 D(X)=2,D(Y)=3,Cov(X,Y)=??1, 计算:Cov(3X??2Y+1,X+4Y??3).? 【解】 C o v (3 X ? 2 Y ? 1, X ? 4 Y ? 3) ? 3 D ( X ) ? 1 0 C o v ( X , Y ) ? 8 D ( Y )
? 3 ? 2 ? 1 0 ? ( ? 1) ? 8 ? 3 ? ? 2 8

21

(因常数与任一随机变量独立,故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?1 ? , f(x,y)= ? π ? 0, ? x ? y ? 1,
2 2

其他.

试验证 X 和 Y 是不相关的,但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解】设 D ? { ( x , y ) | x ? y ? 1} .
2 2

E(X ) ?

? ?
??

??

?? ??

x f ( x , y )d x d y ?

1 π
2

??
x ? y ?1
2

xdxdy

=

1

? ? π
0



1 0

r c o s ? ?r d r d ? ? 0 .

同理 E(Y)=0. 而
C o vX ( Y, ? )?
?
? ? ? ?

?
??

? ? ? ?

x? E [

x? ) ]y [ E Y ( ( ?
1

f ] x ( y , x) dy d )

1 π
2

xydxdy ?

x ? y ?1

2

? ? π
0



1 0

r s in ? c o s ? r d r d ? ? 0 ,
2

由此得 ? X Y ? 0 ,故 X 与 Y 不相关. 下面讨论独立性,当|x|≤1 时, f X ( x ) ?
1? y
2

1? x

2

1
2

1? 1? x

π

dy ?

2 π

1? x .
2

当|y|≤1 时, f Y ( y ) ?

1
2

1? 1? y

π

dx ?

2 π

1? y .
2

显然 f X ( x ) ? f Y ( y ) ? f ( x , y ). 故 X 和 Y 不是相互独立的. 17.设随机变量(X,Y)的分布律为 X Y ??1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 ??1 0 1

验证 X 和 Y 是不相关的,但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解】联合分布表中含有零元素,X 与 Y 显然不独立,由联合分布律易求得 X,Y 及 XY 的 分布律,其分布律如下表

22

X P

??1
3 8

0
2 8

1
3 8

Y P

??1
3 8

0
2 8

1
3 8

XY P

??1
2 8

0
4 8

1
2 8

由期望定义易得 E(X)=E(Y)=E(XY)=0. 从而 E(XY)=E(X)· E(Y),再由相关系数性质知 ρXY=0, 即 X 与 Y 的相关系数为 0,从而 X 和 Y 是不相关的. 又 P { X ? ? 1} ?P {Y ? ? 1} ?
3 8 ? 3 8 ? 1 8 ? P { X ? ? 1, Y ? ? 1}

从而 X 与 Y 不是相互独立的. 18.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0)(0,1)(1,0)为顶点的三角形区域上服从均 , , 匀分布,求 Cov(X,Y) XY. ,ρ 【解】如图,SD=
1 2

,故(X,Y)的概率密度为

题 18 图
? 2, f ( x, y ) ? ? ?0, ( x, y ) ? D , 其他.
1 0 1? x 0

E(X ) ?

?? x f ( x , y )d x d y
D

?

?

dx ?

x ?2 d y ?

1 3

E(X ) ?
2

??
D

x f ( x , y )d x d y ?
2

?

1 0

dx ?

1? x 0

2 x dy ?
2

1 6

1 ?1? . 从而 D ( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )] ? ? ? ? ? 6 ?3? 18
2 2

1

2

同理 E ( Y ) ?

1 3

, D (Y ) ?

1 18

.

23

而 所以

E ( XY ) ?

?? x y f ( x , y )d x d y ? ?? 2 x y d x d y ? ?
D D

1 0

dx ?

1? x 0

2 xydy ?

1 12

.

C o v ( X , Y ) ? E ( X Y ) ? E ( X ) ?E ( Y ) ?

1 12

?

1 3

?

1 3

? ?

1 36

.

从而

? XY ?

C ov( X ,Y ) D ( X ) ? D (Y )

? ? 1 18

1 36 ? 1 18 ? ? 1 2

19.设(X,Y)的概率密度为
?1 ? s in ( x ? y ), f(x,y)= ? 2 ? 0, ? 0? x ? π 2 ,0? y ? π 2 其他. ,

求协方差 Cov(X,Y)和相关系数 ρXY. 【解】 E ( X ) ?

? ?
??

??

?? ??

x f ( x , y )d x d y ?
π

?

π/2 0

dx ?

π/2 0

1 π x ? sin ( x ? y )d y ? . 2 4

π

E(X ) ?
2

?

2 0

dx ?

2 0

1 π π x ? sin ( x ? y )d y ? ? ? 2. 2 8 2
2

2

从而
D ( X ) ? E ( X ) ? [ E ( X )] ?
2 2

π

2

?

π 2

? 2.

16 π 4 π

2

同理

E (Y ) ?

, D (Y ) ?
π/2 0 π/2 0

?

π 2

? 2.

16



E ( XY ) ?

?

dx ?

x y sin ( x ? y )d x d y ?

π 2

? 1,



C o vX (

Y, ? ) E

X Y? ) E ? ( ( X

?π ? )E ?? ) ? ? Y ( ? 2 ?
2

π π ?1 ? 4 4

?π ? 4 ??? 4 ?

2

? ? ?

.

? XY ?

C ov( X ,Y ) D ( X ) ? D (Y )

?

?π?4? ?? ? ? 4 ? π
2

?

π 2

? ?

(π ? 4)
2

2

?2

π ? 8π ? 32

? ?

π ? 8π ? 16
2

π ? 8π ? 32
2

.

16

20.已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为 ? 系数. 【解】由已知知:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.

?1 ?1

1? ? ,试求 Z1=X??2Y 和 Z2=2X??Y 的相关 4?

24

从而
D ( Z 1 ) ? D ( X ? 2 Y ) ? D ( X ) ? 4 D ( Y ) ? 4 C o v ( X , Y ) ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 1 ? 1 3, D ( Z 2 ) ? D ( 2 X ? Y ) ? 4 D ( X ) ? D (Y ) ? 4 C o v ( X , Y ) ? 4 ? 1 ? 4 ? 4 ? 1 ? 4 ,

C o v ( Z 1 , Z 2 ) ? C o v ( X ? 2Y , 2 X ? Y )
? 2 C o v ( X , X ) ? 4 C o v (Y , X ) ? C o v ( X , Y ) ? 2 C o v (Y , Y ) ? 2 D ( X ) ? 5 C o v ( X , Y ) ? 2 D (Y ) ? 2 ? 1 ? 5 ? 1 ? 2 ? 4 ? 5 .



?Z

1Z 2

?

C ov(Z1, Z 2 ) D (Z1) ? D (Z 2 )

?

5 13 ? 4

?

5 26

13.

21.对于两个随机变量 V,W,若 E(V2) ,E(W2)存在,证明: [E(VW) 2≤E(V2)E(W2). ] 这一不等式称为柯西许瓦兹(Couchy??Schwarz)不等式. 【证】令 g ( t ) ? E { [V ? tW ] } , t ? R .
2

显然
0 ? g ( t ) ? E [(V ? tW ) ] ? E [V
2 2 2

? 2 tV W ? t W ]
2 2 2 2

? E [V ] ? 2 t ?E [V W ] ? t ?E [W ], ? t ? R .

可见此关于 t 的二次式非负,故其判别式 Δ≤0, 即 0 ? ? ? [ 2 E (V W )] ? 4 E (W ) ?E (V )
2 2 2

? 4{ [ E (V W )] ? E (V ) ?E (W )} .
2 2 2

故 [ E (V W )] ? E (V ) ?E (W )} .
2 2 2

22.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数 λ=1/5 的指数分布.设备定时开机,出现 故障时自动关机,而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障 工作的时间 Y 的分布函数 F(y). 【解】设 Y 表示每次开机后无故障的工作时间,由题设知设备首次发生故障的等待时间 X~E(λ),E(X)=
1

?

=5.

依题意 Y=min(X,2). 对于 y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于 y≥2,F(y)=P(X≤y)=1. 对于 0≤y<2,当 x≥0 时,在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e??λx,所以 F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5.

25


推荐相关:

概率论与数理统计修订版第三章练习答案郝志峰,谢国瑞

概率论与数理统计修订版第三章练习答案郝志峰,谢国瑞_工学_高等教育_教育专区。...一台仪器有 3 个元件,各个元件发生故障与否相互独立,且发生故障的概率分别为 ...


《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

概率论与数理统计》第三版__课后习题答案.__理学_高等教育_教育专区。习题...0 ? y ?1 其它 - 16 - 第三章 随机向量 3.1 P{1<X ? 2,3<Y ? ...


《概率论与数理统计》(复旦大学出版社)第三章习题答案

概率论与数理统计》(复旦大学出版社)第三章习题答案_理学_高等教育_教育专区。[键入文字] 习题三 1.将一硬币抛掷三次,以 X 表示在三次中出现正面的次数,以...


概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版...

概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初_理学_高等教育_教育专区。第三章 1.解:考虑分 5 次取产品,每次取一个。设随机变量 X 表示取出的...


概率论与数理统计第三、四章答案

概率论与数理统计第三、四章答案_理学_高等教育_教育专区。概率论与数理统计(人大版 袁荫堂编)第一章课后习题参考第三章 习题参考答案 1.计算习题二第 2 题中...


概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章_理学_高等教育_教育专区。概率论与数理统计浙大四版教材习题解答第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有 ...


3概率统计第三章习题解答

3概率统计第三章习题解答 概率论与数理统计概率论与数理统计隐藏>> 习题解答 习题 3.1 1. 一个袋子中装有四个球, 它们上面分别标有数字 1,2,2,3, 今从袋...


《概率论与数理统计》第03章习题解答

概率论与数理统计》第03章习题解答 概率与数理统计习题解析 盛骤 谢式千 高等教育出版社概率与数理统计习题解析 盛骤 谢式千 高等教育出版社隐藏>> 第三章 1、解...


概率论与数理统计课后答案(罗李平)第三章

概率论与数理统计课后答案(罗李平)第三章_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 概率论与数理统计课后答案(罗李平)第三章_理学_高等教育...


概率论与数理统计(第四版)-沈恒范1~3章习题答案

概率论与数理统计(第四版)-沈恒范1~3章习题答案_理学_高等教育_教育专区。概率论与数理统计(第四版)-沈恒范 前三章课后习题答案第...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com