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直线方程的几种形式


直线方程的几种形式

复习
1.倾斜角 ? 的定义及其取值范围;

2. 已知直线上两点 ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),如果x2 ? x1 , P 那么直线PQ的斜率.

y
P( x1 , y1 )

Q( x2 , y2 )

?

?
O
B

x

直线的倾斜角的取值范围是:[00, 1800)
y2 ? y1 ?y k? ? x2 ? x1 ?x

问题引入
在平面直角坐标系内,如果给定一条直线 l 经 过的一个点 P ?x0 , y0 ? 和斜率 k ,能否将直线上所有 0

的点的坐标 ? x, y ?满足的关系表示出来呢? y
l

P0 O
x

问题引入
直线经过点 P ?x0 , y0 ? ,且斜率为 k ,设点 P?x, y ? 0 是直线上不同于点 P 的任意一点,因为直线 l 的斜率
0

为 k,由斜率公式得:

y

y ? y0 k? , x ? x0
即: O

l P
P0

x

y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

概念理解
(1)过点 P ?x0 , y0 ?,斜率是 k 的直线 l 上的点, 0 其坐标都满足方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ?吗?

在过点 P ?x0 , y0 ? ,斜率为 k 的直线l 上吗? 0

(2)坐标满足方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 的点都

经过探究,上述两条都成立,所以这个方程就是
过点 P ?x , y ?,斜率为 k 的直线 l 的方程. 0 0 0

直线的点斜式方程
方程 y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 由直线上一点及

其斜率确定,把这个方程叫做直线的点斜式方
程,简称点斜式(point slope form).
y l P0 O

直线l的斜率为 k
x

特殊直线方程
(1) x 轴所在直线的方程是什么?

k ?0 直线 l与 x轴平行或重合,l 的方程就是

当直线 l 的倾斜角为 0? 时,即

.这时

y ? y0 ? 0 ,或 y ? y0

故 x 轴所在直线的方程是: y ? 0 y

P0 l
O x

特殊直线方程
(2) y 轴所在直线的方程是什么? 当直线 l的倾斜角为 90?时,直线没有斜率,这

时直线 l 与 y 轴平行或重合,它的方程不能用点斜式
表示.这时,直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0,所

以它的方程就是

x ? x0 ? 0 ,或 x ? x0


y

l

P0
O x

y 轴所在直线的方程是:
x?0

典型例题
例1 直线 l 经过点 P ?? 2,3?,且倾斜角 ? ? 45? , 0 求直线 l 的点斜式方程,并画出直线 l . 解:直线 l 经过点 P0 ?? 2,3? ,斜率 代入点斜式方程得:y ? 3 ? x ? 2. 画图时,只需再找出直线 上的另一点 P ?x , y ? ,例 l 1 1 1 如,取 x1 ? ?1, y1 ? 4 ,得 P1 的坐标为 ?? 1,4?,过 P,P 0 1 的直线即为所求,如图示.

k ?1
P 1
y
4 3

P 0
l
-2 -1 O

2 1

x

直线的斜截式方程
代入直线的点斜式方程,得: y ? b ? k ?x ? 0? 也就是: y ? kx ? b 如果直线 l的斜率为 k,且与 y 轴的交点为 ?0, b ?,

y

l
b

P0

我们把直线与 y轴交点的纵坐标b O x 叫做直线在y轴上的截距 (intercept). 该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定, 所以该方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式 (slope intercept form).

直线的斜截式方程

观察方程 y ? kx ? b ,它的形式具有什么特点?

我们发现,左端 y 的系数恒为1,右端 x的系数

k 和常数项 b 均有明显的几何意义: k是直线的斜率, b 是直线在 y 轴上的截距.
斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。 直线在x轴、y轴上的截距的求法: 截距不是距离

直线的斜截式方程
方程 y ? kx ? b与我们学过的一次函数的表达式 类似.我们知道,一次函数的图象是一条直线.你如 何从直线方程的角度认识一次函数 y ? kx ? b ?一次 函数中 k 和 b的几何意义是什么? 你能说出一次函数 y ? 2 x ? 1, y ? 3x 及 y ? ? x ? 3 图象的特点吗?

展示:

设直线l经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其中 x1≠x2,y1≠y2,求l的方程.
y ?y 结论: (1)斜率 K ? x ?x
2 2 1 1

(2)方程

y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1

写成比例式可化为_____________.

展示:

设直线l经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其中 x1≠x2,y1≠y2,求l的方程. y2 ? y1 结论: 方程 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1
化成比例式为 :

y ? y1 x ? x1 ? (x1≠x2且y1≠y2) y2 ? y1 x2 ? x1
此方程叫做直线的两点式方程。

合作学习1: 已知三角形的三个顶点 A(-4,0),B(2,-4),C(0,2), 求AC边所在直线的方程,以及BC边上中线 所在直线的方程。
y

C
A o M x

B

五、小结:
直线方程名称 直线方程形式 点斜式 适应范围

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两 个坐标轴

斜截式
两点式

y=kx+b
y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

截距式

x y 不垂直两个坐标 ? ? 1 轴且不经过原点 a b



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