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第7课 合情推理与演绎推理


第7课 合情推理与演绎推理

归纳推理 合情推理 类比推理 推理 演绎推理

1. 合情推理 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类 比,然后提出猜想的推理,称为合情推理.合情推理得到的结论不一 定正确.

(1) 归纳推理 由某类事物的部分对象具有的某些特征,推出该类事物的全部对象 都具有这些

特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理, 称为归纳推理.简而言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一 般的推理.

(2) 类比推理 由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理.简而言之, 类比推理是由特殊到特殊的推理.

2. 演绎推理 (1) 定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种 推理称为演绎推理.简而言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2) “三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般性原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

(3) 演绎推理是由一般性命题推出特殊性命题的一种推理模式,是 一种必然性推理,即只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么 推出的结论必定是真实的.

归纳推理

1 x 3 例1 设f(x)= ? 3 ,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)
的值,然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.

练习 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、 (3)、(4)为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方 形构成,小正方形数越多,刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方 形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.

(1) 求出f(5)的值; (2) 利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)之间 的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;

1 1 1 1 (3) 求 f(1) + f(2)-1 + f(3)-1 +…+ f(n)-1 的值.

例2

请用类比推理完成下表: 平面 空间

三角形两边之和大于第 三边

三棱锥任意三个面的面积之和大于 第四个面的面积

三角形的面积等于任意 一边的长度与这边上高 的乘积的一半

三棱锥的体积等于任意一个面的面 积与该面上的高的乘积的三分之一

三角形的面积等于其内 切圆的半径与三角形周 长的乘积的一半

练习 在平面几何里,有“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内

1 切圆的半径为r,则三角形面积为S△ABC= 2 (a+b+c)r”.拓展到空间,类
比上述结论,“若四面体 ABCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4, 内切球的半径为r,则四面体的体积为 ”.

演绎推理

n(a1 ? a n ) 2 例3 若数列{an}的前n项和为Sn= ,求证:数列{an}
为等差数列.

n?2 练习 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1 = n Sn(n
∈N*).

? Sn ? ? ? (1) 求证:数列 ? n ? 是等比数列;
(2) 求证:Sn+1=4an.

第8课 直接证明与间接证明

综合法 直接证明 分析法 证明 间接证明 反证法

1. 直接证明 (1) 综合法 ①定义:从已知条件出发,以 为依据,逐步下推,直到

推出所要证明的结论为止,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示:P ?Q1→Q1 ?Q2→Q2 ?Q3→…→Qn ? Q(其中P 表示已知条件,Q表示要证的结论).

(2) 分析法 ①定义:从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直 到最后 为止,这种证明方法叫做分析法.

②框图表示:Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显成立的条 件.

2. 间接证明 反证法:假设原命题 ,经过正确的推理,最后得出 ,

因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做 反证法.

综合法

a 2 b 2 c2 例1 设a,b,c>0,求证: b + c + a ≥a+b+c.

练习 (2013· 广东卷)如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交 于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A BCF,其中

2 BC= 2 .

(1) 求证:DE∥平面BCF; (2) 求证:CF⊥平面ABF;

2 (3) 当AD= 3 时,求三棱锥F DEG的体积 VFDEG .

分析法 例2 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对

1 1 3 边分别为a,b,c.求证: a ? b + b ? c = a ? b ? c .

练习 若a,b,c是不全相等的正数,求证:

a?b b?c c?a lg 2 +lg 2 +lg 2 >lga+lgb+lgc.

反证法

x-2 例3 已知函数f(x)=ax+ x ? 1 (a>1).
(1) 求证:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2) 用反证法证明f(x)=0没有负根.

练习 设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足 k1k2+2=0. (1) 求证:l1与l2相交; (2) 求证:l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.

第9课 数学归纳法

1、归纳法 归纳法有不完全归纳法和完全归纳法: (1)如果我们考察了某类对象中的一部分,由这一部分具有某种 特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论为不完全归 纳法, 由不完全归纳法得出的结论不一定正确, 其正确性还有待进 一步证明;

(2)如果我们考察了某类对象中的每一个对象,而得出该类对象 的某种特征的结论为完全归纳,由完全归得出的结论一定是正确 的,数学归纳法是一种重要的完全归纳法.

第一数学归纳法 一般地, 证明一个与正整数 n 有关的命题, 可按下列步骤进行: (1)证明当 n 取第一个值 n0 ( n0 ? N )时命题成立; (2)假设 n ? k ( k ? n0 , k ? N )时命题成立,证明当 n ? k ? 1
?

?

时命题也成立. 只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整 数 n 都成立,这种证明方法叫做第一数学归纳法.

第二数学归纳法 一般地, 证明一个与正整数 n 有关的命题, 可按下列步骤进行:
? n n ? N (1)证明当 n 取第一个值 0 ( 0 )时命题成立;
? k ? n k ? N 0 (2)假设 n ? k ( , )时命题成立,证明当 n ? k ? 1

时命题也成立. 只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整 数 n 都成立,这种证明方法叫做第二数学归纳法.

考点1 数学归纳法证明等式 【例1】已知n∈N*,证明:

【练习】用数学归纳法证明: 对任意的n∈N*,

考点2

数学归纳法证明不等式

【例2】用数学归纳法证明:

【练习】 用数学归纳法证明:对一切大于 1 的自然数,不等式 均成立.

考点3 归纳、猜想、证明 【 例 3 】 在 各 项 为 正 的 数 列 {an} 中 , 数 列 的 前 n 项 和 Sn 满 足 . (1)求a1,a2,a3;(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式,并且用数 学归纳法证明你的猜想.

【练习】数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*) (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.


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