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西交大苏州附中2013-2014学年度第一学期期中复习卷(2)


西交大苏州附中 2013-2014 学年度第一学期期中复习卷 ( 2)
高 二 数 学
姓名
一、填空题: 1、直线 x ? y ? 3 = 0 的倾斜角是 2、直线过原点且倾角的正弦值是 4 ,则直线方程为 5 3、直线 a//b,a//平面α ,则 b 与平面α 的位置关系是 4、将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆,则圆锥的体积是 5、已

知直线 l1 : x ? ay ? 1 ? 0, l 2 : (a ? 2) x ? ay ? 1 ? 0 ,若 l1 // l 2 ,则实数 a = 6、已知 a , b 是直线,α ,β ,γ 是平面,给出下列命题:其中正确 的命题序号是 .. ① a ? ? , b ? ? , a ? b ,则α ⊥β ; ② ? ? ? , ? ? ? , 则α //β ; ③ b ? ? , ? ? ? ,则 b // ? ;
2 2

④ ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ,则 a // b , .

7、已知直线 l 经过点 ? ?2,3? ,且原点到直线 l 的距离是 2,则直线 l 的方程是 8、过点 M (1 , 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 9 分成两段弧,当其中的劣弧最短时, 直线 l 的方程为 .

9、已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的长、宽、高依次为 5、4、3,则从顶点 A 沿长方体表面到对 角顶点 C1 的最短距离是 10、已知两圆相交于两点 (1,3)和(m,1) ,且两圆的圆心都在直线 x ? y ? 的值是 11、已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 25 上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 12、若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与连结 A(2,3), B(?3,2) 两点的线段 AB 相交,则实数 a 的取值 范围是 . 13 、 有 两 个 相 同 的 直 三 棱 柱 , 高 为

c ? 0 上,则 m ? c 2

3a,4a,5a(a ? 0) .用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中, 全面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是
14、如果圆 ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 上总存在两点到原点的距离为1 ,那么实数 a 的取值范围是 理科:1、已知椭圆

2 ,底面三角形的三边长分别为 a

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0)的焦距2,以O为圆心,a为半径作圆C , a 2 b2

a2 过点( , 0)作圆C的两切线互相垂直,则离心率e ? c
2、椭圆焦点在 x 轴上,一个焦点 F 与短轴两端点的连线互相垂直,且过 F 与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于 A、B 两点, AB= 2 ,则椭圆的方程

x2 y 2 3、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) 若椭圆上存在 a b a c ? 点P 使 ,则该椭圆的离心率的取值范围为 sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1
-1-

二、解答题:

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. 15、如图所示,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ;
A1 E D1 B1 C1

D F A B

C

16、①求垂直于直线 x+3y-5=0, 且与点 P(-1,0) 的距离是

3 10 的直线的方程. 5

②求过点 A(0,4),B(4,6),且圆心在直线 x-2y-2=0 上的圆的标准方程。

-2-

17、如图,在四棱锥 P ? ABCD中,四边形 ABCD为菱形, ?BCD ? 600 , ?PAB 为正三角形,点 E , F 分别是 CD、CP 的中点,连结 BE、BF、EF。 (1)求证: AB ? PD ; (2)求证:平面 BEF? 平面 ABCD; (3)问:在 BE 上是否存在点 G,使得 FG//平面 PAB,并说明理由。
P

A

F

D E

B

C

?x ? 0 ? 18、已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 及其内 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程; (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程.

19、已知圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 2a 2 ? 2a ? 0(0 ? a ? 4) 的圆心为 C,直线 l : y ? kx ? 4. (1) 若k ?1, 求直线 l 被圆 C 所截得的弦长的最大值; (2) 若直线 l 与圆 C 相切, 切点为 T , 点 P(0,4) ,求线段 PT 的取值范围

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点 P (1, ) ,其左右焦点分别为 F1 , F2 ,离 2 2 a b 2 ? ? 1 a 上两个动点, 心率为 , M , N 是直线x ? 且 F1M ? F2 N ? 0 . 2 c (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 MN 的最小值; (3)求证:以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点,并求出定点的坐标.
19、 (理科)已知椭圆 :
-3-

20、已知⊙ O : x ? y ? 1 和点 M (4, 2) .
2 2

(Ⅰ)过点 M 向⊙ O 引切线 l ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)求以点 M 为圆心,且被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 4 的⊙ M 的方程; (Ⅲ)设 P 为(Ⅱ)中⊙ M 上任一点,过点 P 向⊙ O 引切线,切点为 Q. 试探究:平面内 是否存在一定点 R ,使得 若不存在,请说明理由.

PQ 为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值; PR
y M·

o

x

-4-

答案 1、 45
?

2、 y ? ?

4 x 3

3、 b ?或b ? ?

4、

3 ? 3

班 级_____________

5、0 或 3

6、①④ 9、 74

7、 x ? ?2或5x ? 12y ? 26 ? 0 10、3 11、5

8、 x ? 2 y ? 3 ? 0

12、 a≤? 2或a≥1 理科

13、 0 ? a ? 15
3

14、 (

2 3 2 3 2 2 , ) ? (? ,? ) 2 2 2 2

2 1、 2
二、解答题: 15、 (略)

x2 ? y2 ? 1 2、 2

3、 ( 2 ?1,1)

3x ? y ? 3 ? 0 16、(1) 3x ? y ? 9 ? 0或
(2) ( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 25
2 2

17、(1)证明:? 四边形 ABCD为菱形,? ?BAD ? ?BCD ? 600 , AB ? AD, ??ABD为正三角形. 取 AB 的中点 M ,连结 PM、DM ,则 DM ? AB…………2 分 ??PAB为正三角形,?PM ? AB. 又? PM ? DM ? M , PM , DM ? 平面 PMD, ? AB ? 平面 PMD,………………4 分 ? PD ? 平面 PMD? AB ? PD …………5 分 (2)? E , F 是 CD , CP 的中点,? EF // PD 由(1)知 AB ? PD,? AB ? EF ……………..6 分 ??BCD 为正三角形,?BE ? CD ,? AB // CD, ? AB ? BE ……………..7 分 ? EF ? BE ? E , EF , BE ? 平面 BEF , ? AB ? 平面 BEF , ………………………8 分 又 ? AB ? 平面 ABCD,? 平面 BEF ? 平面 ABCD………………………9 分 (3)存在点 G ,使得 FG // 平面 PAB ……………………..10 分 (方法一)证明:设 BE ? CM ? G ,? BM ?
1 1 AB ? CD ? CE, 且 BM // CE , 2 2

?BCEM 为平行四边形,?G 是 CM 的中点………………………….12 分 ? F 是 CP 的中点,? FG // PM , ……………………13 分

又 ? FG ? 平面 PAB , PM ? 平面 PAB ,? FG // 平面 PAB (方法二)证明:取 BE , BC 的中点分别为 G , H ,连结 FG , GH ,则 GH // CD . ? CD // AB,? GH // AB, ? AB ? 平面 PAB , GH ? 平面 PAB , ? GH // 平面 PAB ……….12 分 ? F , H 别是 PC , BC 的中点,同理可证: FH // 平面 PAB ? GH ? FH ? H ,? 平面 FGH // 平面 PAB ,………………13 分 又 ? FG ? 平面 FGH ,? FG // 平面 PAB ………………………….14 分

-5-

18、 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0), P(4,0), Q(0, 2) 构成的三角形及其内部, 且△ OPQ 是直角三角形,…………3 分, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 5 ,…………5 分 所以圆 C 的方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 .…………8 分 (2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b …………9 分 因为 CA ? CB ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即

??? ?

??? ?

10 …………11 分 2

| 2 ?1 ? b | 12 ? 12

?

10 ……12 分解得: b ? ?1 ? 5 .……14 分 2

所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ? 5 .………16 分注:用第二问结论参照得分。

19. (1) ( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 2a(0 ? a ? 4). ………….1 圆心 C (?a, a) ,半径 r ? 2a , l : y ? x ? 4, …………….3 分 圆心 C 到直线 l 的距离 d ?
| ?2a ? 4 | 2 , …………….5 分

? l 被圆 C 截得的弦长 ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2a ? 2(a ? 2) 2 ? 2 2 ? a 2 ? 5a ? 4 ………….7 分

5 9 5 ? 2 2 ? (a ? ) 2 ? , ? 当 a ? 时 l 被圆 C 截得弦长的最大值为 3 2. ………….10 分 2 4 2

(2)? 点 P 在直线 l 上,? PT 为的圆 C 切线长……….11 分
PT ? PC2 ? r 2 ? a 2 ? (a ? 4) 2 ? 2a ? 2(a 2 ? 5a ? 8) ……….13 分
5 7 14 ? 2( a ? ) 2 ? ? 0 ? a ? 4,? ? PT ? 4. ……. ……16 分 2 2 2

19、 (理科)求椭圆 C 的方程:

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)求 MN 的最小值 2 15 ;

(3)定点的坐标 (4 ? 15,0) .

-6-

20、解: (Ⅰ)设切线 l 方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) ,易得 分

| 4k ? 2 | k 2 ?1

? 1 ,解得 k ?

8 ? 19 …3 15

8 ? 19 ( x ? 4) ……………………………………5 分 15 (Ⅱ)圆心到直线 y ? 2 x ? 1 的距离为 5 ……………7 分
∴ 切线 l 方程为 y ? 2 ? 设圆的半径为 r ,则 r 2 ? 2 2 ? ( 5) 2 ? 9 ∴⊙ M 的方程为 ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9
2 2

…………………………9 分 …………………………… 10 分

(Ⅲ )假设存在这样的点 R (a, b) ,点 P 的坐标为 ( x, y ) ,相应的定值为 ? , 根据题意可得 PQ ?

x ? y ? 1 ,∴
2 2

x2 ? y2 ?1 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2
2 2

? ? ………12 分

即 x 2 ? y 2 ? 1 ? ?2 ( x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? a 2 ? b 2 )
2 2

(*) ,

又点 P 在圆上∴( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 ,即 x ? y ? 8x ? 4 y ? 11,代入(*)式得:

8x ? 4 y ? 12 ? ?2 (8 ? 2a) x ? (4 ? 2b) y ? (a 2 ? b 2 ? 11)
2

?

?

………………14 分

?? (8 ? 2a) ? 8 ? 若系数对应相等,则等式恒成立,∴??2 (4 ? 2b) ? 4 , ??2 (a 2 ? b 2 ? 11) ? ?12 ?
2 1 10 , ,b ? ,? ? 5 5 3 PQ ∴ 可以找到这样的定点 R ,使得 为定值. 如点 R 的坐标为 (2,1) 时,比值为 2 ; PR 2 1 10 点 R 的坐标为 ( , ) 时,比值为 ……………………………16 分 5 5 3
解得 a ? 2, b ? 1, ? ?

2或a ?

-7-


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