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数学竞赛-三角函数


三角函数
几何中的两个基本量是:线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表 示角的大小, 从而将两个基本量联系在一起, 使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一 些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问,而且是解决几何问题的有力工具. 1. 角函数的计算和证明问题

在解三角函数问题之前,除了熟知初三教材中的有关知识外,还应该掌握: (1) 三角函数的单调性 当 a 为锐角时, sina 与 tga 的值随 a 的值增大而增大; cosa 与 ctga 随 a 的值增大而减小;当 a 为钝角时,利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.

注意到 sin45°=cos45°= 90°时,cosa<sina.

,由(1)可知,当时 0<a<45°时,cosa>sina;当 45°<a<

(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga 可取任意实数值(这一点可直接利 用三角函数定义导出).

例 1(1986 年全国初中数学竞赛备用题)在△ABC 中,如果等式 sinA+cosA= 角 A 是( (A)锐角 分析 ) (B)钝角 (C)直角

成立,那么

对 A 分类,结合 sinA 和 cosA 的单调性用枚举法讨论.

解当 A=90°时,sinA 和 cosA=1;

当 45°<A<90°时 sinA>

,cosA>0,

∴sinA+cosA>

当 A=45°时,sinA+cosA=

当 0<A<45°时,sinA>0,cosA>

∴sinA+cosA>



1,

都大于

.

∴淘汰(A)、(C),选(B). 例 2(1982 年上海初中数学竞赛题)ctg67°30′的值是( )

(A)

-1

(B)2-

(C)

-1

(D) 分析 解

(E) 构造一个有一锐角恰为 67°30′的 Rt△,再用余切定义求之. 如图 36-1,作等腰 Rt△ABC,设∠B=90°,AB=BC=1.延长 BA 到 D 使 AD=AC,连 DC,则 ,∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时,

AD=AC=

ctg67°30′=ctg∠DCB= ∴选(A).

例 3(1990 年南昌市初中数学竞赛题)如图,在△ABC 中,∠A 所对的 BC 边的边长等于 a,旁切 圆⊙O 的半径为 R,且分别切 BC 及 AB、AC 的延长线于 D,E,F.求证:

R≤a· 证明 作△ABC 的内切圆 O′,分别切三边于 G,H,K.由对称性知 GE=KF(如图 36-2).设 GB=a, BE=x,KC=y,CF=b.则 x+a=y+b, ①

且 BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是, x-a=y-b. ①+②得,x=y.从而知 a=b. ∴GE=BC=a. 设⊙O′半径为 r.显然 R+r≤OO′ (当 AB=AC)时取等号. ②

作 O′M⊥EO 于 M,则 O′M=GE=a,∠OO′M=

∴R+r≤

两式相加即得 R≤

.

例 4(1985 年武汉等四市初中联赛题)凸 4n+2 边形 A1A2A3…A4n+2(n 为自然数)各内角都是 30°的整数倍,已知关于 x 的方程: x +2xsinA1+sinA2=0 x +2xsinA2+sinA3=0 x +2xsinA3+sinA1=0 都有实根,求这凸 4n+2 边形各内角的度数.
2 2 2

① ② ③

解∵各内角只能是









∴正弦值只能取

当 sinA1=

时,∵sinA2≥

sinA3≥

∴方程①的判别式

△1=4(sin A1-sinA2)≤4

2

40

方程①无实根,与已知矛盾,故 sinA1≠

.

当 sinA1=

时,sinA2≥

,sinA3≥



∴方程①的判别式

△1=4(sin A1-sinA2)=

2

0.

方程①无实根,与已知矛盾,故 sinA1=

.

综上所述,可知 sinA1=1,A1=

.

同理,A2=A3=

.

这样其余 4n-1 个内角之和为

这些角均不大于

又 n 为自然数, ∴n=1,凸 n 边形为 6 边形,且

A4+A5+A6=4× 2.解三角形和三角法

定理

推论设

a、b、c、S 与 a′、b′、c′、S′.若

我们在正、 余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有 更大的自由. (1) 解三角形

例 5(第 37 届美国中学生数学竞赛题)在图 36-3 中,AB 是圆的直径,CD 是平行于 AB 的弦, 且 AC 和 BD 相交于 E,∠AED=α,△CDE 和△ABE 的面积之比是( ). (A)cosα(B)sinα(C)cos α(D)sin α(E)1-sinα
2 2



如图,因为 AB∥DC,AD=CB,且△CDE∽△ABE,BE=AE,因此 在直角三角形 ADE 中,DE=AEcosα.

连结 AD,因为 AB 是直径,所以∠ADB=



应选(C).

例6 (1982 年上海初中数学竞赛题)如图 36-4,已知 Rt△斜边 AB=c, ∠A=α,求内接正方形的边长.



过 C 作 AB 的垂线 CH,分别与 GF、AB 交于 P、H,则由题意可得

又∵△ABC∽△GFC,∴

,即

(2) 三角法.利用三角知识(包括下一讲介绍的正、余弦定理)解几何问题 的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段,面积等用某些角的三角函数表示,通过三 角变换来达到计算和证明的目的, 思路简单, 从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅 助线的困难.

例 7(1986 年全国初中数学竞赛征集题)如图 36-5,在△ABC 中,BE、CF 是高,∠A= 则△AFE 和四边形 FBCE 的面积之比是( (A) 解 )



1∶2(B)2∶3(C)1∶1(D)3∶4 由 BE、CF 是高知 F、B、C、E 四点共圆,得 AF·AB=AE·AC.

在 Rt△ABE 中,∠ABE=



∴S△AFE∶SFBCE=1∶1.应选(C).

例8 >2h.

(1981 年上海中学生数学竞赛题)在△ABC 中∠C 为钝角,AB 边上的高为 h,求证:AB

证明

如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)



∵∠C 是钝角,∴∠A+∠B<

,∴ctgB>ctg(

-A)=tgA.②

由①、②和代数基本不等式,得

例9 (第 18 届国际数学竞赛题)已知面积为 32cm 的平面凸四边形中 一组对边与一条对角线之长的和为 16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度. 解 由 如图 36-7,设四边形 ABCD 面积 S 为 32cm 并设 AD=y,AC=x,BC=z.则 x+y+z=16(cm)
2,

2

但 S=32,∴sinθ=1,sin x=8,y+z=8.这时易知另一条对角线 BD 的长为

=1,且 x-8=0.故 θ=

=



此处无图

例 10 (1964 年福建中学数学竞赛题)设 a、b、c 是直角三角形的三边,c 为斜 n n n 边,整数 n≥3,求证:a +b <c . 分析 如图 34-8,注意到 Rt△ABC 的边角关系:a=csinα>0,b=ccosα>0,可将不等式转化 n n 为三角不等式 sin α+cos α<1 来讨论. 证明 设直角三角形一锐角∠BAC=α(如图),则



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