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命题、圆锥曲线、空间向量的测试


13.直线 y ? x 被圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 截得的弦长为_______________. 14.已知椭圆 x 2 ? ky 2 ? 3k (k ? 0)的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合,则该 椭圆的离心率是 15.已知方程 .

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为___________ 3? k

2?k

16 .在正方体 ABCD? A 中, E 为 A1 B1 的中点,则异面直线 D1 E 和 BC1 间的距 1 B 1 C 1 D 1 离 . 三、解答题 17.求过点(-1,6)与圆 x 2 +y 2 +6x-4y+9=0 相切的直线方程.

18.求渐近线方程为 y ? ?

3 x ,且过点 A(2 3,?3) 的双曲线的标准方程及离心率。 4

19.求与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上,且截直线 x-y=0 得的弦长为 2 7 的 圆的方程.

20.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距 离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.
试卷第 1 页,总 4 页

x2 y2 21.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 6 ,椭圆 C 上任意一点到椭圆两 a b
个焦点的距离之和为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 P (0,1) ,且 PA = PB ,求 直线 l 的方程.

22.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,底 面 ABCD 为正方形, PD ? DC , E , F 分别是 AB, PB 的中 点. (1)求证: EF ? CD ; (2)在平面 PAD 内求一点 G , 使 GF ? 平面 PCB , 并证明你 的结论; (3)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值. 一、选择题 1. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的(
2

P

F D C

A

E

B



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
试卷第 2 页,总 4 页

2.若 p?q 是假命题,则(

A. p 是真命题, q 是假命题 C. p 、 q 至少有一个是假命题

B. p 、 q 均为假命题 D. p 、 q 至少有一个是真命题

3. F , F2 是距离为 6 的两定点,动点 M 满足∣ MF ∣+∣ MF2 ∣=6,则 M 点的轨迹是 1 1 ( A.椭圆 4. 双曲线 A. y ? ? ) B.直线 C.线段 ) C. y ? ? D.圆

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为( 16 9
B. y ? ?

16 x 9

9 x 16

3 x 4

D. y ? ?

4 x 3

5. 中心在原点的双曲线, 一个焦点为 F (0 , 3) , 一个焦点到最近顶点的距离是 3 ? 1 , 则双曲线的方程是( A. y ?
2

) B. x ?
2

x2 ?1 2

y2 ?1 2

C. x 2 ?

y2 ?1 2

D. y 2 ?

x2 ?1 2

6.已知正方形 ABCD 的顶点 A, B 为椭圆的焦点,顶点 C , D 在椭圆上,则此椭圆的离 心率为( A. 2 ? 1 ) B.

2 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

7.椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值为( 4 a a 2
B. 2 C.2 D. 3



A.1

8. 与双曲线

y2 ? x 2 ? 1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线标准方程为( 4 x2 y2 ? ?1 (B) 3 12 y2 x2 ? ?1 (C) 2 8



y2 x2 ? ?1 (A) 3 12

x2 y2 ? ?1 (D) 2 8

9.已知 A(-1,-2,6) ,B(1,2,-6)O 为坐标原点,则向量 OA, 与OB 的夹角是 ( A.0 ) B.

? 2

C. ?

D.

3? 2
( ) D. ( 2, -3, -2 2 )

10.与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是 A. (

1 1 3 ,1,1) B. (-1,-3,2) C. (- , ,-1) 3 2 2

11.已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则 圆 C 的方程为(
2 2

) B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2

试卷第 3 页,总 4 页

C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2

D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 )

12.若直线 x ? y ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? m 相切,则 m 的值为( A. 0 二、填空题 B. 1 C. 2 D. 0 或 2

试卷第 4 页,总 4 页

参考答案 1.B 【解析】

x ? 1 且 x ? 2 时, 试题分析: x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ( x ?1)( x ? 2) ? 0 , 则 x ? 1且 x ? 2 ; 反之,
x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,故选 B.
考点:充要条件的判断. 2.C 【解析】 试题分析: 当 p 、q 都是真命题 ? p?q 是真命题, 其逆否命题为: p?q 是假命题 ? p 、

q 至少有一个是假命题,可得 C 正确.
考点: 命题真假的判断. 3.C 【解析】 解题分析:因为 F 1 , F2 是距离为 6,动点 M 满足∣ MF 1 ∣+∣ MF2 ∣=6,所以 M 点的轨迹是 线段 F1F2 。故选 C。 考点:主要考查椭圆的定义。 点评:学习中应熟读定义,关注细节。 4.C 【解析】因为双曲线 5.A 【解析】 试题分析:由焦点为 F (0 , 3) ,所以,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c = 3 ,焦点到最近 顶点的距离是 3 ? 1 , 所以,a = 3 - ( 3 ?1 ) =1, 所以,b ? 双曲线方程为: y ?
2

x2 y 2 3 ? ? 1 ,a=4,b=3,c=5,则其渐近线方程为 y ? ? x 4 ,选 C. 16 9

c 2 ? a 2 = 2 ,所以,

x2 ? 1.本题容易错选 B,没看清楚焦点的位置,注意区分. 2

考点:双曲线的标准方程及其性质. 6.A 【解析】 试题分析:设正方形 ABCD 的边长为 1,则根据题意知, 2c ? 1,? c ?

1 , 2a ? 1 ? 2, 2

答案第 1 页,总 7 页

1 1? 2 1 ,所以椭圆的离心率为 2 ?a ? ? ? 2 ? 1. 2 2 ?1 2 ?1 2
考点: 本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法, 考查学生的运算求解能 力. 点评:求椭圆的离心率关键是求出 7.A 【解析】 试题分析:因为椭圆

c ,而不必分别求出 a, c. a

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,所以 a ? 0 ,且椭 4 a a 2

圆的焦点应该在 x 轴上,所以 4 ? a2 ? a ? 2,? a ? ?2, 或a ? 1. 因为 a ? 0 ,所以 a ? 1. 考点:本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用. 点评:椭圆中 c ? a ? b ,而在双曲线中 c ? a ? b .
2 2 2 2 2 2

8.B 【解析】 试题分析:设所求的双曲线方程为

y2 ? x 2 ? ? ,因为过点(2,2) ,代入可得 ? ? ?3 ,所以 4

所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 3 12

考点:本小题主要考查双曲线标准方程的求解,考查学生的运算求解能力.

y2 y2 2 ? x ? 1 有共同的渐近线的方程设为 ? x 2 ? ? 是简化运算的关键. 点评:与双曲线 4 4
9.C 【解析】 试题分析: 应用向量的夹角公式 cos ? ? 选 C。 考点:本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算. 点评:较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力,属于基本题型。 10.C; 【解析】 试题分析:向量的共线(平行)问题,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即

a ?b | a |?|b |

=-1.所以量 OA, 与OB 的夹角是 ? ,故

b ? 0, a // b ? a ? ?b .也可直接运用坐标运算。经计算选 C。
答案第 2 页,总 7 页

考点:本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算. 点评:有不同解法,较好地考查考生综合应用知识解题的能力。 11.B 【解析】 试题分析:因圆心在直线 x ? y ? 0 上,而点(1,1)和点(-1,-1)不在直线上,故 C、D 错;又直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 平行,且都与圆相切,故圆心在第四象限,故 A 错, 选 B. 或用直接法求解亦可. 考点:1. 圆的标准方程;2. 直线与圆的位置关系. 12.C 【解析】 试题分析:根据题意,由于直线 x ? y ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? m 相切,则圆心(0,0 )到直线 x+y=m 的距离为

|m| = m ,则可知得到参数 m 的值为 2,故答案为 C. 2

考点:直线与圆的位置关系 点评:主要是考查了直线与圆的位置关系的运用,属于基础题。 13. 2 2 【解析】 试题分析:由弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,应用勾股定理得,直线 y ? x 被圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 截得的弦长为 2 22 ? ( 考点:直线与圆的位置关系 点评:简单题,研究直线与圆的位置关系问题,要注意利用数形结合思想,充分借助于“特 征直角三角形” ,应用勾股定理。 14. e ? 【解析】 试题分析:抛物线的焦点为 F (3, 0) ,椭圆的方程为:

| ?2 | 2 ) ?2 2。 2

3 2

x2 y 2 ? ?1 3k 3

3k ? 3 ? 9 ? k ? 4 ,所

以离心率 e ?

3 2 3

?

3 . 2

考点:1、椭圆与抛物线的焦点;2、圆的离心率. 15. (?3, ? ) 【解析】

1 2

1 (? , 2) 2

答案第 3 页,总 7 页

? 3? k ? 0 ? x2 y2 试题分析:方程 ? ? 1 表示椭圆,需要满足 ? 2 ? k ? 0 ,解得 k 的取值范围为 3? k 2?k ?3 ? k ? 2 ? k ?
1 1 (?3, ? ) (? , 2) . 2 2
考点:本小题主要考查椭圆的标准方程,考查学生的推理能力. 点评:解决本小题时,不要忘记 3 ? k ? 2 ? k ,否则就表示圆了. 16.
2 6 3

【解析】 试题分析: 设正方体棱长为 2 , 以 D1 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D1 E ? (2,1,0) ,
?nD ? E1 ? 0 ? 2?? ? 0 ? 设 D1 E 和 BC1 公垂线段上的向量为 n ? (1, ? , ? ) , 则? , 即? , C1 B ? (2,0, 2) , ?2 ? 2? ? 0 ? 1 ?0 ? ? nCB
D1C1 ? n ? ? ? ?2 4 2 6 ?? ,? n ? (1, ?2, ?1) ,又 D1C1 ? (0, 2,0) ,? ,所以异面直线 D1 E 和 ? ? ? ? ? 1 3 6 n ?
BC1 间的距离为

2 6 . 3

考点:本题主要考查空间向量的应用, 综合考查向量的基础知识。 点评:法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外,还能处理异面直线间 的距离,线面间的距离,以及平行平面间的距离等. 17.3x-4y+27=0 或 x=-1. 【解析】 试题分析:圆 x +y +6x-4y+9=0,即 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 。点(-1,6)在圆 x +y +6x
2 2 2 2

-4y+9=0 外,所以,过点(-1,6)与圆 x +y +6x-4y+9=0 相切的直线有两条。 当切线的斜率不存在时,x=-1 符合题意; 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y ? 6 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 6 ? 0 。

2

2

由圆心(-3,2)到切线距离等于半径 2,得, 所以,切线方程为 3x-4y+27=0。 综上知,答案为 3x-4y+27=0 或 x=-1. 考点:直线与圆的位置关系

| ?3k ? 2 ? k ? 6 | k ?1
2

? 2 ,解得,k=

3 , 4

点评:中档题,研究直线与圆的位置关系问题,利用“代数法” ,须研究方程组解的情况; 利用“几何法” ,则要研究圆心到直线的距离与半径比较。本题易错,忽视斜率不存在的情 况。 18.(x-1)2 +(y-3)2 =9 或(x+1)2 +(y+3)2 =9 【解析】
答案第 4 页,总 7 页

试题分析:解:设圆心为(a,b),半径为 r, 因为圆 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上, 所以 b=3a,r=|b|=|3a|, 圆心(a,3a)到直线 x-y=0 的距离 d=

| a ? 3a | 1?1

2 2 2 由 r -d =( 7 )

得:a=1 或-1
2 2 2 2

所以圆的方程为(x-1) +(y-3) =9 或(x+1) +(y+3) =9 考点:圆的方程 点评:确定出圆心和半径是解决圆的方程的关键,属于基础题。

y2 x2 5 ? ? 1 ,离心率为 19.双曲线方程为 9 3 4 4
【解析】 试题分析:设所求双曲线方程为 带入 A(2 3,?3) ,?

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) , 16 9

??4 分

12 9 1 ? ???? ?? , 16 9 4

??8 分

y2 x2 ?所求双曲线方程为 ? ? 1 , 9 4 4
又a ?
2

??10 分

9 2 25 ,b ? 4 ? c2 ? , 4 4 c 5 ?离心率 e ? ? . a 3

??12 分

考点: 本小题主要考查由渐近线方程和双曲线上的点求双曲线方程的方法和双曲线离心率的 求法,考查学生的运算求解能力.

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) 是简化此题解题步骤的关键, 点评: 由双曲线方程设所求双曲线方程为 16 9
另外圆锥曲线中离心率是一个比较常考的考点,要准确求解. 20. m的值为? 2 6 【解析】 试题分析:设抛物线方程为 x ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
2

p ,0 ) ,由题意可得 2

?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p 2 ?p ? 4 ?p ? 4 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?

答案第 5 页,总 7 页

故所求的抛物线方程为 x 2 ? ?8 y , m的值为? 2 6 考点:本题主要考查抛物线的标准方程、几何性质,考查抛物线标准方程求法---待定系数 法。 点评: 本题突出考查了抛物线的标准方程、 几何性质, , 通过布列方程组, 运用待定系数法, 使问题得解。 21. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由已知 2a ? 6 , 2c ? 2 6 ,解得 a ? 3 , c ? 所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 (Ⅱ) x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 9 3

6,
??4 分

x2 y2 ? ? 1。 9 3

? x2 y2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 3 ? y ? kx ? 2, ?

得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 3 ? 0 ,

直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 144k 2 ? 12(1 ? 3k 2 ) ? 0 解得 k ?
2

1 。 9

设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 )

12 k 3 , x1 x 2 ? , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 12 k 4 ?? 计算 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? k ? , 2 1 ? 3k ? 4 1 ? 3k 2 6k 2 所以,A,B 中点坐标 E( ,? ), 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
则 x1 ? x 2 ? 因为 PA = PB ,所以 PE⊥AB, k PE ? k AB ? ?1 ,

??7 分

2 ?1 2 1 ? 3 k ? k ? ?1 , 解得 k ? ?1 , 所以 6k 1 ? 3k 2 ?
经检验,符合题意,所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。 ??12 分

考点: 本小题主要考查椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系、 弦长公式以及中点坐 标公式、斜率公式等的综合应用,考查学生数形结合解决问题的能力和运算求解能力. 点评:圆锥曲线是每年高考的重点考查内容,涉及到直线与圆锥曲线的位置关系时,运算量 比较大,要结合图形,数形结合可以简化运算. 22. (1)详见解析; (2)详见解析;(3)

3 6

答案第 6 页,总 7 页

【解析】 试题分析:在空间中直线、平面的平行和垂直关系的判定,求空间中的角,可以用相关定义 和定理解决,如(1)中,易证 EF

AP , AP ? CD ,所以, EF ? CD ,但有些位置关系

很难转化,特别求空间中的角,很难找到直线在平面内的射影,很难作出二面角,这时空间 向量便可大显身手,如果图形便于建立空间直角坐标系,则更为方便,本题就是建立空间直 角坐标系, 写出各点坐标 (1) 计算 EF ? DC ? 0 即可; (2)设 G( x,0, z) , 再由 FG ? CB ? 0 ,

FG ? CP ? 0 解出 x , z ,即可找出点 G ;(3)用待定系数法求出件可求出平面 DEF 的法向
量,再求出平面 DEF 的法向量与向量平面 DB 的夹角的余弦,从而得到结果. 试题解析:以 DA, DC , DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(如图),设

a a a a DA ? a ,则 D(0,0,0) , A(a,0,0) , B(a, a,0) , C (0, a,0) , E (a, , 0) , F ( , , ) , 2 2 2 2
P(0,0, a) .

a a , 0, ) ? (0, a, 0) ? 0 ,所以 EF ? CD . 4分 2 2 a a a (2)设 G( x,0, z) ,则 G ?平面 PAD , FG ? ( x ? , ? , z ? ) , 2 2 2 a a a a a FG ? CB ? ( x ? , ? , z ? ) ? (a, 0, 0) ? a( x ? ) ? 0 ,所以 x ? , 2 2 2 2 2 a a a FG ? CP ? ( x ? , ? , z ? ) ? (0, ?a, a) ? az ? 0 ,所以 z ? 0 2 2 2 a ∴ G 点坐标为 ( , 0, 0) ,即 G 点为 AD 的中点. 8分 2
(1) 因为 EF ? DC ? (? (3)设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

a a a ? ?a ( x , y , z ) ? ( , , ) ? 0 ( x ? y ? z) ? 0 ? ? ?n ? DF ? 0 ? ?2 ? 2 2 2 由? 得, ? 即? , a a n ? DE ? 0 ? ? ? ? ( x, y, z ) ? ( a, , 0) ? 0 ax ? y ? 0 ? ? ? 2 ? 2
取 x ? 1 ,则 y ? ?2 , z ? 1 ,得 n ? (1, ?2,1) .

cos? BD, n? ?

BD ? n a 3 , ? ? 6 | BD || n | 2a ? 6
3 6
13 分

所以, DB 与平面 DEF 所成角的正弦值的大小为 考点:空间向量与立体几何.

答案第 7 页,总 7 页


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