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2014-2015学年重庆市开县铁桥中学高一(下)期中数学试卷


2014-2015 学年重庆市开县铁桥中学高一(下)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分;在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) 设{an}是公比为正数的等比数列, 若 a1=1, a5=16, 则数列{an}的前 7 项的和为 ( ) A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 考点:

等比数列的前 n 项和. 分析: 先由通项公式求出 q,再由前 n 项公式求其前 7 项和即可. 4 4 解答: 解:因为 a5=a1q ,即 q =16, 又 q>0,所以 q=2, 所以 S7= =127.

故选 C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项公式. 2. (5 分) (2013 春?内江期末)已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,﹣a,﹣b 的大小关系是( A. a>b>﹣b>﹣a B. a>﹣b>﹣a>b C. a>﹣b>b>﹣a D. a>b>﹣a>﹣b )

考点: 不等式比较大小. 专题: 常规题型. 分析: 法一:特殊值法,令 a=2,b=﹣1 代入检验即可. 法二:利用不等式的性质,及不等式的符号法则,先把正数的大小比较出来,再把负数的大 小比较出来. 解答: 解:法一:∵A、B、C、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴可用特殊 值法. 令 a=2,b=﹣1,则有 2>﹣(﹣1)>﹣1>﹣2, 即 a>﹣b>b>﹣a. 法二:∵a+b>0,b<0, ∴a>﹣b>0,﹣a<b<0, ∴a>﹣b>0>b>﹣a, 即 a>﹣b>b>﹣a. 点评: 在限定条件下,比较几个式子的大小,可以用特殊值法,也利用不等式的性质及符号 法则直接推导. 3. (5 分) (2015 春?开县校级期中)在三角形 ABC 中,三个内角所对的边为 a,b,c,如果 A:B:C=1:2:3,那么 a:b:c=( ) A. 1:2:3 B. 1: :2 C. 1:4:9 D. 1: : 考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 求出 A,B,C 的大小,根据正弦定理进行求解即可.

解答: 解:在三角形中如果 A:B:C=1:2:3, 则 A=30°,B=60°,C=90°, 则由正弦定理得 a:b:c=sinA:sinB:sinC=sin30°:sin60°:sin90° = =1: :2,

故选:B 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,根据条件求出角 A,B,C 的大小是解决本题的关键. 4. (5 分) (2015 春?开县校级期中)在△ ABC 中,a=50 情况是( ) A. 一解 B. 两解 C. 一解或两解 D. 无解 考点: 专题: 分析: 解答: ,b=100,A=45°,则此三角形解的

正弦定理的应用. 解三角形. 根据题意求出 bsinA 的值,再与 a 的值进行比较即可. 解:由题意得,在△ ABC 中,a=50 ,b=100,A=45°, =50 =a,

∴bsinA=100×

则此三角形解的情况是一解, 故选:A. 点评: 本题考查三角形解的个数问题,掌握解的个数的条件是解题的关键,属于中档题.

5. (5 分) (2013 秋?南郑县校级期末)若 x、y 满足条件

,则 z=﹣2x+y 的最大值为



) A. 1 B. ﹣ C. 2 D. ﹣5

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=﹣ 2x+y 对应的直线进行平移,可得当 x=﹣1,y=1 时,z=﹣2x+y 取得最大值.

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,如图

得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(﹣1,﹣1) ,B(2,﹣1) ,C( , ) 设 z=F(x,y)=﹣2x+y,将直线 l:z=﹣2x+y 进行平移, 当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(﹣1,1)=1 故选:A

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=﹣2x+y 的最大值,着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 6. (5 分) (2014 春?东河区校级期末)△ ABC 中,若 A. B. C. D. 等腰三角形但不是直角三角形 直角三角形但不是等腰三角形 等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形

=

,则该三角形一定是(



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知等式变形后,利用正弦定理化简,再利用二倍角的正弦函数公式化简,即可确定 出三角形形状. 解答: 解:由已知等式变形得:acosA=bcosB, 利用正弦定理化简得:sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B. ∴2A=2B 或 2A+2B=180°, ∴A=B 或 A+B=90°, 则△ ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选:D. 点评: 此题考查了正弦定理,以及二倍角的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 7. (5 分) (2015 春?开县校级期中)Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a2+a4+a15 是一个确定 的常数,则在数列{Sn}中也是确定常数的项是( ) A. S7 B. S4 C. S13 D. S16 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的性质结合前 n 项和的性质进行求解即可. 解答: 解:a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7, 即 a7 是常数,

则 S13=

=13a7,为常数,

故选:C. 点评: 本题主要考查等差数列通项公式和前 n 项和的应用,考查学生的运算和推理能力. 8. (5 分)设 f(n)= A. B. + C. + +…+ + (n∈N ) ,那么 f(n+1)﹣f(n)等于( D. ﹣
*



考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 根据题中所给式子,求出 f(n+1)和 f(n) ,再两者相减,即得到 f(n+1)﹣f(n) 的结果. 解答: 解:根据题中所给式子,得 f(n+1)﹣f(n) = = = + + ﹣ +…+ ﹣ , + + ﹣( + ++ )

故答案选 D. 点评: 此题主要考查数列递推式的求解. 9. (5 分) (2015 春?开县校级期中)若关于 x 的方程 x +(a﹣3)x+a=0 的两根均为正数,则 实数 a 的取值范围是( ) A. 0<a≤3 B. a≥9 C. a≥9 或 a≤0 D. 0<a≤1 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 2 分析: 由已知中关于 x 的方程 x +(a﹣3)x+a=0 的两个实数根是正数,则方程的△ ≥0,且方 程的两根 x1,x2 满足 x1+x2>0,x1?x2>0,由此构造一个关于 a 的不等式组,解不等式组即可 得到实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:若关于 x 的方程 x +(a﹣3)x+a=0 的两个实数根是正数, 即 x1>0,x2>0,
2



解得 0<a≤1 故实数 a 的取值范围是(0,1] 故选 D.

点评: 本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系,韦达定理,其中根据已 知条件,结合一元二次方程的根的个数与△ 的关系及韦达定理,构造一个关于 m 的不等式组, 是解答本题的关键. 10. (5 分)数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,则{an}的前 60 项和为( A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
n



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a2﹣a1=1, a3+a2=3, a4﹣a3=5, a5+a4=7, a6﹣a5=9, a7+a6=11, …a50﹣a49=97, 变形可得 a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…利用 数列的结构特征,求出{an}的前 60 项和. n 解答: 解:由于数列{an}满足 an+1+(﹣1) an=2n﹣1,故有 a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5, a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97. 从而可得 a3+a1=2, a4+a2=8, a7+a5=2, a8+a6=24, a11+a9=2, a12+a10=40, a15+a13=2, a16+a14=56, … 从第一项开始,依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2, 从第二项开始,依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项,以 16 为公差的等差数列. {an}的前 60 项和为 15×2+(15×8+ )=1830,

故选 D. 点评: 本题主要考查数列求和的方法,等差数列的求和公式,注意利用数列的结构特征,属 于中档题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分) (2015 春?开县校级期中) 已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0}, B={x|x≥0}, 则 A∩B= [0, 3] . . 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)≤0, 解得:﹣1≤x≤3,即 A=[﹣1,3], ∵B=[0,+∞) , ∴A∩B=[0,3], 故答案为:[0,3] 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 12. (5 分) (2015 春?开县校级期中)在等差数列{an}中,若 a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118, 则 a4+a10= 50 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用 a1+a13=a2+a12=a3+a11,即可得出结论.
2

解答: 解:因为 a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118, 所以 a1+a2+a3+a11+a12+a13=150, 又因为 a1+a13=a2+a12=a3+a11, 所以 a1+a13=50, 所以 a4+a10=50. 故答案为:50. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 13. (5 分) (2015?兰州模拟)等差数列{an},公差 d=2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的 2 前 n 项和 Sn 等于 n +n . 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接利用等差数列以及等比数列求出等差数列的首项然后求解数列的 Sn. 解答: 解:等差数列{an},公差 d=2,若 a2,a4,a8 成等比数列, 2 2 所以(a4) =a2?a8,可得(a1+6) =(a1+2) (a1+14) ,解得 a1=2. 则{an}的前 n 项和 Sn=2n+
2

=n +n.

2

故答案为:n +n. 点评: 本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理 问题,对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.

14. (5 分) (2015 春?开县校级期中)三角形两边之差为 2,夹角的余弦值为 ,面积为 14, 那么这个三角形的此两边长分别是 5 和 7 . 考点: 三角形的面积公式. 专题: 解三角形. 分析: 利用平方关系即可得出 sinB,再利用面积公式 S△ ABC= acsinB,即可得出 ac 的值, 与 a﹣c=2 联立即可得出 a,c 得值 解答: 解:如图所示, 假设已知 a﹣c=2,cosB= , S△ ABC=14. ∵0<B<π, ∴sinB= 又 14= acsinB, ∴ac=35. 联立 ,∵a,c>0,解得 , = .

∴这个三角形的此两边长分别是 5 和 7.

故答案为:5 和 7

点评: 本题考查的知识点是三角形的面积公式,熟练掌握平方关系和面积公式 S△ ABC= acsinB,是解题的关键

15. (5 分) (2015 春?开县校级期中)已知数列{an}中的前几项为:2,5,11,20,32,47,… 求数列的通项式 an=2+ .

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的规律,利用累加法进行求解即可数列的通项公式. 解答: 解:a2﹣a1=3, a3﹣a2=6, a4﹣a3=9, … an﹣an﹣1=3(n﹣1) , 等式两边同时相加得 an﹣a1=3+6+9+…+3(n﹣1)= 得 an=2+ 故答案为:an=2+ 点评: 本题主要考查数列的通项公式,根据条件得到 an﹣an﹣1=3(n﹣1)是解决本题的关键. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分) (2009?福建)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn . 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (I)由 a1=2,a4=16 直接求出公比 q 再代入等比数列的通项公式即可. (Ⅱ)利用题中条件求出 b3=8,b5=32,又由数列{bn}是等差数列求出 出通项公式及前 n 项和 Sn. .再代入求 , = ,

解答: 解: (I)设{an}的公比为 q 3 由已知得 16=2q ,解得 q=2 ∴ =2
n

(Ⅱ)由(I)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32 设{bn}的公差为 d,则有

解得



从而 bn=﹣16+12(n﹣1)=12n﹣28 所以数列{bn}的前 n 项和 .

点评: 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查归化与转 化思想. 17. (13 分) (2014 秋?梧州期末)锐角三角形 ABC 中,边 a,b 是方程 x ﹣2 角 A,B 满足 2sin(A+B)﹣ =0,求: (1)角 C 的度数; (2)边 c 的长度及△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由已知可得 sin(A+B)= 即可求∠C 的值. (2)由已知可得 a+b=2 ,由△ ABC 是锐角三角形,从而求得 A+B=120°,
2

x+2=0 的两根,

,ab=2,根据余弦定理可求 c 的值,由三角形面积公式即可求解. =0,得 sin(A+B)= ,

解答: 解: (1)由 2sin(A+B)﹣

∵△ABC 是锐角三角形, ∴A+B=120°, ∴∠C=60°, 2 (2)∵a,b 是方程 x ﹣2 x+2=0 的两根, ∴a+b=2 ,ab=2, 2 2 2 ∴c =a +b ﹣2abcosC, 2 =(a+b) ﹣3ab=12﹣6=6, ∴c= , ∴S△ ABC= absinC= = .

点评: 本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用,属于 基本知识的考查.

18. (13 分) (2013?山东)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2, . (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A﹣B)的值. 考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理列出关系式,将 b 与 cosB 的值代入,利用完全平方公式变形,求 出 acb 的值,与 a+c 的值联立即可求出 a 与 c 的值即可; (2)先由 cosB 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值,再由 a,b 及 sinB 的 值,利用正弦定理求出 sinA 的值,进而求出 cosA 的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数 公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵a+c=6①,b=2,cosB= , ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=(a+c) ﹣2ac﹣ 整理得:ac=9②, 联立①②解得:a=c=3; (2)∵cosB= ,B 为三角形的内角,
2 2 2 2

ac=36﹣

ac=4,

∴sinB=

=



∵b=2,a=3,sinB=



∴由正弦定理得:sinA=

=

=



∵a=c,即 A=C,∴A 为锐角, ∴cosA= = , × ﹣ × = .

则 sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB=

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基 本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 19. (12 分) (2015 春?开县校级期中) (1) 已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a2﹣a7 +2a12=0, 数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,Tn 表示数列{bn}的前 n 项积,求 T13. 2 2 (2)不等式(m ﹣2m﹣3)x ﹣(m﹣3)x﹣1<0 的解集为 R,求实数 m 的取值范围. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.
2

分析: (1)设各项不为 0 的等差数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q,由等差数列的 通项和等比数列的性质,可得所求值; (2)对二次项系数讨论,m ﹣2m﹣3=0,和 m ﹣2m﹣3<0,且判别式△ <0,解不等式即可 得到所求范围. 解答: 解: (1)设各项不为 0 的等差数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q, 2 2 由 2a2﹣a7 +2a12=0,可得 2(a1+d)﹣(a1+6d) +2(a1+11d)=0, 化简可得 a1+6d=4,即 a7=4. 即有 b7=4, 又 T13=b1?b2?b3…b13=b13?b12?b11…b1, 2 即有 T13 =(b1b13)?(b2b12)?(b3b11)…(b13b1) 2 2 2 2 13 =b7 ?b7 ?b7 …b7 =16 , 13 解得 T13=4 ; 2 (2)由题意可得,m ﹣2m﹣3=0,解得 m=3 或﹣1, 当 m=3 时,不等式即为﹣1<0,恒成立; 当 m=﹣1 时,不等式即为 4x﹣1<0 不恒成立; 2 2 2 当 m ﹣2m﹣3<0,且判别式△ <0,即有(m﹣3) +4(m ﹣2m﹣3)<0, 解得﹣1<m<3 且﹣ <m<3, 解得﹣ <m<3. 即有 m 的范围是(﹣ ,3]. 点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项和性质,同时考查二次不等式恒成立,注意讨论 二次项系数的符号和判别式的符号,考查运算能力,属于中档题和易错题. 20. (12 分) (2015 春?开县校级期中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n +n,n∈N . (1)求 an. n﹣1 * (2)如果数列{bn}满足 bn=2 (n∈N ) ,求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn=2n +n 可得,当 n=1 时,可求 a1=3,当 n≥2 时,由 an=sn﹣sn﹣1 可求通项, 进而可求 bn; n﹣1 (2)由(1)知,anbn=(4n﹣1)?2 ,利用错位相减可求数列的和. 2 解答: 解: (1)由 Sn=2n +n 可得,当 n=1 时,a1=s1=3, 2 2 当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=2n +n﹣2(n﹣1) ﹣(n﹣1)=4n﹣1, 而 n=1,a1=4﹣1=3 适合上式, 故 an=4n﹣1; n﹣1 (2)由(1)知,anbn=(4n﹣1)?2 , 0 n﹣1 Tn=3×2 +7×2+…+(4n﹣1)?2 , 2 n﹣1 n 2Tn=3×2+7×2 +…+(4n﹣5)?2 +(4n﹣1)?2 n 2 n﹣1 两式相减可得 Tn=(4n﹣1)?2 ﹣[3+4(2+2 +…+2 )] =(4n﹣1)?2 ﹣[3+4?
n 2 2 * 2 2

]

=(4n﹣1)?2 ﹣[3+4(2 ﹣2)] n =(4n﹣5)?2 +5. 点评: 本题主要考查了数列的递推公式 an= 的应用,数列求和的错位相减求和方法的应用. 21. (12 分) (2013?重庆) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 且 a +b + (1)求 C; (2)设 cosAcosB= , = ,求 tanα 的值.
2 2

n

n

,在数列的通项公式求解中

ab=c .

2

考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理表示出 cosC,将已知等式变形后代入求出 cosC 的值,由 C 为三角 形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数; (2)已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简,再利用同角三角函数间 的基本关系弦化切,利用多项式乘多项式法则计算,由 A+B 的度数求出 sin(A+B)的值,进 而求出 cos(A+B)的值,利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos(A+B) ,将 cosAcosB 的 值代入求出 sinAsinB 的值,将各自的值代入得到 tanα 的方程,求出方程的解即可得到 tanα 的 值. 解答: 解: (1)∵a +b + ∴由余弦定理得:cosC= 又 C 为三角形的内角, 则 C= ;
2 2

ab=c ,即 a +b ﹣c =﹣ = =﹣

2

2

2

2

ab, ,

(2)由题意 =

=



∴(cosA﹣tanαsinA) (cosB﹣tanαsinB)=
2


2

即 tan αsinAsinB﹣tanα(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosB=tan αsinAsinB﹣tanαsin(A+B) +cosAcosB= ∵C= , ,cosAcosB= ,

,A+B=

∴sin(A+B)= ∴ tan α﹣
2

,cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB= tanα+ = ,即 tan α﹣5tanα+4=0,
2

﹣sinAsinB=

,即 sinAsinB=



解得:tanα=1 或 tanα=4. 点评: 此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟 练掌握余弦定理是解本题的关键.


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重庆市开县铁桥中学2014-2015学年高一(上)期中语文试题

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重庆市开县铁桥中学2014-2015学年高二下学期期中语文试题

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2014-2015学年重庆市开县铁桥中学高二(上)期中生物试卷

2014-2015 学年重庆市开县铁桥中学高二(上)期中生物试卷一、选择题(6 分×6) 1. (6 分) (2014 秋?开县校级期中)一对夫妇前三胎生的都是女孩,则第...

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