tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年广东省茂名市(高中)数学老师教学论文(14份)


精设“五点” ,开出思维之花
——探讨高中数学课堂教学的有效性
广东省茂名市第一中学 车汉容

内 容 摘 要 :本 文 通 过 探 讨 如 何 启 发 学 生 在 课 堂 上 学 中 思 , 思中做, 中用, 出了在高中数学课堂教学中通过激发 兴 做 提 “ 奋点” 激活“动点” 攻破“难点” 寻找“发散点” 找准 、 、 、 、 “结合

点”来启发学生积极思维,培养学生的思维能力,从 而提高高中数学课堂教学的有效性。 ? 关键词: 数学课堂 思维能力 有效教学?

《普通高中数学课程标准(实验) 》指出: “高中数学课程应注重提高学生的 数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一”? ,并且明确要求教师在教学中 应采取灵活多样的教学方式,激发学生的学习兴趣,启发引导学生积极思维,培 养学生分析问题和解决问题的能力。笔者结合自己十几年的教学实践,就高中数 学课堂教学中如何启发学生积极思维,培养思维能力,从而提高高中课堂教学的 有效性, 作了以下五方面的探讨:? 一、激发“兴奋点”? ,引发认知冲突,培养学生的积极思维能力? 教育家第斯多惠说: “教育的艺术不在于传播的本领,而在于激励、唤醒和 鼓舞学生的一种教学艺术”? 。因此,教学中教师应采用各种方式引发学生认知 冲突,激发学生的兴趣,激发学生探究的欲望,使学生在认知内驱力的牵引下, 更好地完成自主建构的过程, 从而提高课堂教学的有效性。 我认为激发 “兴奋点” 可以从以下三方面入手:? (一) 、创设疑点激发“兴奋点” “学起于思,源于疑”? ,心理学认为, 。? 疑最容易引起定向探究反射。赫尔巴特等也提出,应该让学生就学科内容形成新 问题,想知道“事情为什么会是这样的”? ,然后再去探索,去寻找答案,解决 自己认知上的冲突,通过这种活动来使学生建构起对知识的理解。因此,在教学 中,教师要精心设置疑点、悬念,鼓励学生质疑。创设疑点的方法多种多样,比 如创设悬念、空白、活动等情境。这要求我们数学教师凭借深厚的知识底蕴,良 好的教育机智,揭示其数学模型,用艺术的方法启发学生积极思维。? 1

如,在“等比数列的通项公式”教学时,我进行了这样的设疑: “如果能将 一张厚度为 0.05mm 的报纸对折,再对折,再对折……对折 50 次后,想一想, 这叠纸大概有多厚?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?” 学生听完后, 感到惊诧, 产生强烈的求知欲, 于是我引出课题, 与学生共同分析, (mm) =5.63×1010 (m) 。 推导出通项公式, 并计算出 h=0.05×25 ≈5.63×1013
0

这时报纸的厚度已经超出了地球和月球之间的平均距离(约 3.84×108m) ,所以 能够在地球和月球之间建一座桥。通过创设这样一个疑点,把复杂、抽象而又枯 燥的问题简单化、具体化、通俗化,唤起了学生的求知欲。? (二) 、运用多媒体激发“兴奋点” 用多媒体通过图像、动画、视频、声 。 音等方式创设情景,形象直观,化静为动,可以大大活跃课堂气氛,激发学生的 兴趣,提高课堂教学的质量。如,我在上优质课“双曲线的简单几何性质”时, 为了引出双曲线的渐近线的概念和性质,我用视频播放了一首歌曲《悲伤的双曲 线》 ,它的歌词是这样写的: “如果我是双曲线,你就是那渐近线;如果我是反比 例函数,你就是那坐标轴;虽然我们有缘能够生在同一个平面,然而我们又无缘 漫漫长路无交点;为何看不见,等式成立要条件;难道正如书上说的,无限接近 不能达到;为何看不见,明月也有阴晴圆缺;此事古难全,但愿千里共婵娟。 ” 学生边听边发出赞叹,赞叹歌词写得好,写得妙,听完后一齐热烈鼓掌,兴奋到 了极点,将课堂推到了高潮,这样大大激发了学生学习数学的兴趣,这时我引出 问题: “歌词中说到双曲线的渐近线,那么,双曲线的渐近线是什么?它有什么 性质呢?”引发学生认知冲突,激发学生探究的欲望。 (三)、将数学知识用生活实例或故事的形式激发“兴奋点” 。如“指数函 数单调性”教学时,我讲了这样一个故事:一个叫杰米的百万富翁,一天他碰到 了一件奇怪的事, 一个叫韦伯的人对他说, 我想和你订个合同, 在整整一个月中, 我每天给你 10 万元,而你第一天只需给我一元钱,以后每天给我的钱是前一天 的两倍,杰米非常高兴,他同意订立这样的合同。许多同学都想做生意赚大钱, 如果是你们,你们是否愿意订立这样的合同?学生刚开始都很高兴地说愿意,看 到我笑后又想想可能有什么不对的地方,于是齐声说不要这样的合约。那么到底 谁更为合算?能否用我们的数学知识来进行探讨?此时学生的兴致达到极点, 并 2

由此发现其实际为一个“指数爆炸”的现象。? 课堂教学中,教师如果能敏锐捕捉学生的思维兴奋点,使这些思维兴奋点连 成思维流,旋成思维圈,形成思维场,就能使课堂如磁铁般吸引学生积极参与。 ? 二、激活“动点”? ,引燃探索之火,培养学生的探索思维能力? 古人云“学非有碍于思,而学愈博则思愈远,思之困则学必勤。 ”因此,在 数学课堂中要让学生的思维“动”起来,首先要引燃学生主动探索之火,教师决 不能急于把自己全部的秘密都吐露出来,而要“引在前”? , “引”学生观察分析; “引”学生大胆设问; “引”学生各抒己见; “引”学生充分活动,让学生成为学 习的主人,推动其思维的主动性。? 如:在进行椭圆的概念教学时,我不是直接地将椭圆的概念灌输给学生,也 不是通过课件或本人将椭圆的概念的形成过程演示给学生,而是这样设计的:课 前要求学生每人准备一块纸板、 一段细绳和两枚图钉; 上课时先复习圆的概念 “平 面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹”;接着引出问题:“平面内与两个 定点的距离的和等于定长的点的轨迹是什么?”; 然后要求学生按我的要求操 作和思考: (1) 把细绳的两端拉开一段距离并分别用图钉固定在纸板的两点处, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线?这说明了什么? (2) 在绳长不变的前提下,改变两个图钉间的距离,画出的椭圆有何变化?当两个图 钉合在一起时,画出的图形是什么?当两个图钉间的距离等于绳长时,画出的图 形是什么?当两个图钉固定, 能使绳长小于两图钉之间的距离吗?能画出图形吗? 这样通过层层“引”学生亲自动手操作,体验椭圆概念的形成过程,不但培养了 学生的探索能力,激发学生的学习兴趣,更加深了学生对概念的认识和理解。 另外,数学课堂中要让学生的思维“动”起来,还可以编制一些变换结论, 缺少条件的“藏头露尾”的题目。? 如,我在上优质课“双曲线的简单几何性质” 时提出这样的开放性题目:? 已知双曲线的渐近线方程是? ?y? = ?± ? ? ? ,? ? ? x (1)此双曲线的标准方程唯一吗?? (2)如果不唯一,请你加一个条件,再求此双曲线的标准方程。? 结果,学生编出了十多道题。这道开放题,把学生的探索性动机有效地激 发出来,激活了学生的探索性思维。? 3

4 3

三、攻破“难点”? ,层层启发,培养学生的逻辑思维能力? 所谓教学难点,是指学生感到难以理解或接受的内容。造成学生数学学习困 难的原因有知识本身的抽象、 复杂难以理解 (如极限的概念) 事实材料多而杂, 、 容易混淆且不便记忆(如三角公式) 、学生相应能力较薄弱(如学习立体几何时 空间想象能力不足)等。? “直观化”“类比迁移”“台阶式层层设问”“化整 、 、 、 为零,各个击破”等都是攻破难点的好策略。如何选用恰当的方法来攻破难点, 是提高数学课堂教学有效性的关键。 下面是我教学中如何攻破 “难点” 的一个例:? 在双曲线概念的教学中,对于双曲线的定义,“平面内与两定点 F1、F2 的距 离之差的绝对值是常数 (小于∣F1F2∣) 的点的轨迹叫做双曲线。 ”若直接讲述, 学生难以理解,而且理解不深。因此,为了攻破“抽象”这个难点,我借助几何 画板将双曲线的形成过程动态的演示出来;另外,攻破“理解不深”这个难点, 我多方面、多角度、多层次设计问题: (1) 、与椭圆定义相对照,比较两者有什 么相同点与不同点?(2) 、为什么强调常数——差的绝对值小于∣F1F2∣呢?其 余不变,将小于∣F1F2∣改为等于∣F1F2∣或大于∣F1F2∣不行吗?此时点的轨迹 各是什么?(3) 、将绝对值去掉,其余不变,点的轨迹是什么?(4) 、若令常数 为零,其余不变,点的轨迹是什么?通过台阶式层层设问,化解难点,使学生对 双曲线定义中的“差”、“绝对值”、“常数”、“小于∣F1F2∣”等内涵有了 深刻理解,从而培养了学生严谨的逻辑思维能力。? 四、寻找“发散点”? ,引导多角度思考,培养学生的发散思维能力? 数学课堂教学在重视培养求同思维的同时,更应重视发散思维能力的培养, 而“一题多解”和“一题多变”是培养学生发散思维的有效途径。? (一)一题多解。教师应先启发引导学生多方向、多侧面、多角度去积极思 维,再引导学生通过分析、比较,从众多的解答方法中筛选出最佳方法,从而发 展学生的发散思维,养成解决问题的良好习惯。? 如,课本《人教 A 版数学选修 2-1》第 69 页例 4:斜率为 1 的直线 l 经过 抛物线 y = 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长。
2

见此题后,很多学生都马上运用了以下两种解法: 解法 1:将直线方程与抛物线方程联立,求出 A、B 两点坐标,再用两点间 距离公式。 4

解法 2:利用圆锥曲线的弦长公式。 这两种方法都可以求解,但发现计算量较大。这时,我立即启发学生思考: “求线段 AB 的长是否一定要求出 A、B 两点的坐标?题目涉及到抛物线上的点 和焦点的连线,能否考虑利用抛物线定义来解?”学生经过思考、演练,得出 解法 3:运用抛物线定义及韦达定理,推出 AB = x A + x B + 2 = 8 .? 比较可得,“解法 3”最简便。? (二)一题多变。? 同样是课本《人教 A 版数学选修 2-1》第 69 页例 4:斜率为 1 的直线 l 经过 抛物线 y = 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长。教学
2

时我作了以下的变式: 变式 1:斜率“1”改为“4” ,其它不变;? ? ? ? ? 变式 2:抛物线方程“ y = 4 x ”改为“ x 2 = 4 y ” 其它不变;? ,
2

变式 3: “直线 l 经过抛物线的焦点 F”改为“过点 M(2,0),其它不变;? ? ? ” 变式 4: 原题改为 “直线 l 经过抛物线 y = 4 x 的焦点 F, 与抛物线相交于 A,
2

B 两点,且 AB =8,求直线 l 的方程。 ”? 通过这样“一题多变” ,学生不仅掌握了“焦点在不同坐标轴的抛物线的过 焦点的弦长的计算和不过焦点的抛物线的弦长的计算” ,而且变式 4 还培养了学 生的逆向思维,使学生的思维得以绽放。? 五、找准“结合点”? ,建构知识体系,重视实践应用,培养学生的整体思 维能力? 数学知识具有很强的系统性,找准“结合点” ,沟通知识间的纵横联系,形 成知识网络,可以促进知识融会贯通。? 如在“抛物线”教学时,我设计了如下 两个环节:一是抛物线与初中所学的二次函数之间的纵向联系;二是抛物线与物 理知识间的横向联系。让学生注重抛物线概念的建构过程,通过新旧知识的有机 结合, 合理地建构新的知识体系, 从而使知识系统化, 充分展示学生的思维过程。? ? 又如, 《人教 A 版数学选修 2-1》 109 页例 4: 课本 第 如图, 在四棱锥 P‐ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD,PD=DC,点 E 是 PC 的中点, 作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F.?

5

(1)求证:PA∥平面 EDB;? (2)求证:PB ⊥ 平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小. 教学中,我充分利用原例题增设以下问题: (4)求 EF 与 BC 所成的角的余弦值; (5)求 EF 与 BC 所成的角的余弦值;

P E

F

D A B

C

(6)直线 PB 与底面 ABCD 所成的角的余弦值; (7)平面 BDE 与平面 ABD 所成的角的余弦值。

这样,我只用一道例题就使学生掌握了用向量的方法证明直线与平面平行、 直线与平面垂直,求二面角、两向量所成的角、两直线所成的角、直线与平面所 成的角、平面与平面所成的角,共七个方面的问题的解题方法。用一道题把多个 知识点结合起来,有利于学生形成知识网络,从而培养学生的整体思维能力。 另外,找准“结合点”还可以将数学知识结合到实际应用中。如,在《圆锥 曲线》这一章中,可以在引入新课或编练习题时,将椭圆和天体运行的轨迹联系 起来,将双曲线和冷却塔联系起来,将抛物线和拱桥、接收器、物理中的凸透镜 等知识联系起来;又如,在学《数列》这一章中,可以将数列的知识与化学中的 放射性知识、 生物中的细胞分裂问题、 购房和购车中的分期付款问题等联系起来。 总之,教师应该坚信,思维是可以启发和培养的。教学中只要我们认真学习 新课标,深入钻研教材,并根据学生的自觉性、自制力、注意力、好奇心、好胜 心等特点,因材施教、精心启发,做到“学中思,思中做,做中用” ,都可以达 到使学生积极思维, 培养学生的思维能力, 从而提高高中数学课堂教学的有效性。 ? ? 参考文献 1.中华人民共和国教育部制订·《普通高中数学课程标准(实验) 》【s】·北 京:人民教育出版社,2003 2.赖国强·例析“支撑点”处的探究性问题设计【J】·中国数学教育,2011. 3.14~15,18 3.董林伟·实现数学课堂教学有效性的思考与建议【J】·中学数学月刊,200 7.6 6

数形结合百般好,以形助数效率高
茂名市第十七中学南校区
?????????????????????????????????????????????

曾兴堂

:数形结合的思想是高考数学试题中的基本方法之一, ? ? ? 【内容摘要】 数形结合的思想是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来, 关键是 可以使代数问题几何化,几何问题代数化,从而在解题过程中化难为 易,化繁为简,提高解题效率。? ? ? ? 【关键词】 :数形结合? ? 直观? ? 形象? ? 解题? 一、数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法? ? ? ? ? 华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合 百般好,割裂分家万事休。数形结合的数学思想:包含“以形助数” 和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助 形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为 目的,比如应用函数的图象来直观的说明函数的性质;二是借助于数 的精确性和规范性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目 的,如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。实际上就是在 解决数学问题时,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象 思维和形象思维结合起来,实现抽象概念与具体形象的联系与转化。 在解析几何中,我们充分强调了用代数方法解决几何问题的解析法, 它解决了许多紧靠图形无法精确讨论的问题, “数” 显示 的巨大威力。 同时我们也看到许多问题若从“形”的角度去思考,可以找到直观、 简捷的解题方案,这充分展现了“形”的无穷魅力。?

7

? 二、运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则? 1、等价性原则? 在数形结合时,代数性质和几何性质转换必须是等价的,否则解 题将会出现漏洞。有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一 般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来 的负面效应。? 2、双方性原则? 既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代 数进行几何分析容易出错。? 3、简单性原则? 不要为了“数形结合”而数形结合。具体运用时,一要考虑是否 可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、 做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是 运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。? ? ? ? ? 三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧? ? ? ? ? 在运用数形结合思想分析问题和解决问题时, 需要做到以下四点: ? ? ? ? ? 1、 要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; ? ? ? ? ? 2、要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;? ? ? ? ? 3、要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;? ? ? ? ? 4、 精心联想 “数” “形” 使一些较难解决的代数问题几何化, 与 , 几何问题代数化,以便于问题求解。?

8

? ? ? ? 很多数学概念都具有明显的几何意义,善于利用这些几何意义, 往往能收到事半功倍的效果。数学中的知识,有的本身就可以看作是 数形的结合。 锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的; 如: 任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。? ? ? ? ? 四、下面我们从几个方面谈谈怎样用数形结合的思想方法解题? ? ? ? ? 若能有意识的开发和利用解析几何中的“形” ,我们会发现它在 方程、不等式、函数、三角、复数、集合等代数分支中也有不俗的表 现,它往往比用纯代数理论进行的抽象的推算要简捷明朗得多。? ? ? ? ? (一)数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用? ? ? ? ? ? 例题: (1)设函数 f ( x) = ? x ?
?
2

+ bx + c, x ≤ 0,

?2, x f 0 ?

若 f (?4) = f (0), f (?2) = ?2,

则函数 y = g ( x) = f ( x) ? x 的零点个数为? ? ? ? ? ? ? ? ? 。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)使 log 2 (? x) p x + 1 成立的 x 的取值范围是? ? ? ? ? ? ? 。? ? ? ? ? ? 解析:(1)由 f (?4) = f (0) 得?
16 ? 4b + c = c 由 f (?2) = ?2, 得 4 ? 2b + c = ?2. ?

y?
C?

联立两方程解得: b = 4, c = 2. 于是,?
? x 2 + 4 x + 2, x ≤ 0, 在同一直角坐标? f ( x) = ? ?2, x f 0.

A

B

0?

x?

y=x

系内,作出函数 y = f ( x)与函数y = x 的图象,知它们有 3 个交点,进而 函数亦有 3 个零点。? (2)在同一坐标系中,分别作出?
log 2 (? x), y = x + 1 的图象,由图可知,?
x 的取值范围是 (? 1,0 ). ?

y
1

?1

0

x?

9

? 探究提高? (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根 式、三角等复杂方程)的解得个数是一种重要的思想方法,其根本思 想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式(不熟悉时, 需要作适当变形转化为两个熟悉的函数) ,然后在同一坐标系中作出 两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解得个数。? ? ? ? ? (2) 解不等式问题经常联系函数图象, 根据不等式中量的特点, 选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上下位置关系 转化数量关系来解决? 不等式的解得问题, 往往可以避免繁琐的运算, 获得简捷的解答。? ? ? ? ? (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联 系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低 点的纵坐标。? ? ? ? ? (二)数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用? ? ? ? ? 例题:已知函数 f ( x) = ? ?
?2 x ? 1, x f 0, ?? x 2 ? 2 x, x ≤ 0, ?

若函数 g ( x) = f ( x) ? m 有 3 个

零点,则实数 m 的取值范围为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。? 思维启迪? ? ? ? 作出分段函数 f ( x) 的图象,观察图象与?
? x ?2 ? 1, x f 0, ? y = m 的交点个数。函数 f ( x) = ? 2 ?? x ? 2 x , x ≤ 0 ?

y?
1?
?1?
y=m

0 ? 1? x

10

? x ?2 ? 1, x f 0, 画出其图象如图所示,又由函数 g ( x) = f ( x) ? m 有 3 =? ?? ( x + 1)2 + 1, x ≤ 0 ?

个零点,知 y = f ( x)与y = m 有 3 个交点,则实数 m 的取值范围是 (0,1) 。? ? ? ? ? 探究提高? ? ? ? ? 解决函数的零点问题,通常是转化为方程的根,进而转化为函数 的图象的交点问题。在解决函数图象的交点问题时,常用数形结合, 以“形”助“数” ,直观简洁。? ? ? ? ? (三)运用数形结合思想解决函数问题? ? ? ? ? 加强数形结合意识,做到脑中有图,将图形性质与数量关系联系 起来,可使复杂问题具体化,达到化难为易,解决问题的目的。? ? ? ? ? ? 例题:已知实数 x, y 满足 x + y ? 6 x + 7 = 0求:
2 2

(1) 的最值;? (2) y ? x 的最值;? (3) x + y 的最值。?
2 2

y x

? ? ? ? 分析:这是条件最值问题,若采用消元法,则较复杂,但我们注 意到方程 x + y ? 6 x + 7 = 0 等价于
2 2

(x ?3) + y = 2, 表示圆心在 (3,0) ,半
2 2 2

径为 2 的圆,而

y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率。令 x

y ? x = b ,则 b 是 y = x + b 在轴上的截距,x +

y
2

2

是圆上一点与原点的距

离的平方。为此可借助于几何知识,通过数形结合解决。? ? ? ? ? 解:条件 x + y ? 6 x + 7 = 0 ?
2 2

(x ?3) + y = 2; 表示圆心 (3,0) ,半径
2

为 2 的圆。? ?

11

(1)设 k = ,即y = kx 。由图可知,当? 直线 y = kx 与圆相切时,斜率 k 取得最? 大值和最小值。此时,
3k ? 0 1+ k
2

y x

y

y = kx ?

= 2 ,解?

0

?

x?

? 2 得 k = ± , 所以? 7

y? ? x? ?

2 ? ;? = 7

max

y? ? x? ?

2 。? =? 7

y = x+b?

min

(2)设 y ? x = b, 即 y = x + b 。当 y = x + b 与? 圆相切时,纵截距 b 取得最大值和最小值。? 由图,此时 以 ? (3) x + y 表示圆上的点与原点距离的?
2 2

y
? ? ?

x?

3?0+b 2

= 2 , 解得b = ?1, b = ?5 所?
= ?5 。?

( y ? x)

max

= ?1,

( y ? x)

b

min

y ?
?

平方,由平面几何知,原点与圆心的两个? 交点处取得最大值和最小值,即线段 OA, OB .? ? ? ? ? ? (四)数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用? ? ? ? ? 例 题 : 已 知 P 是 直 线 3x + 4 y + 8 = 0 上 的 动 点 , PA 、 PB 是 圆

A

?

B ?x ?

x +y
2

2

? 2 x ? 2 y + 1 = 0 的两条切线,A、B?

是切点,C 是圆心,求四边

y
?

形 PACB 面积的最小值。? ? 思维启迪? ? ? 在同一个坐标系中画出直线与?
?

P
?

C?
?

圆,做出圆的切线 PA、PB,则四边?
12

形 PACB 的面积 S 四边形PACB = S ?PAC + S ?PBC = 2 S ?PAC ,把 S 四边形PACB 转化为 2 倍 的 S ?PAC 可以有以下多条数形结合的思路。? ?
?

利用数形结合明确所求?

?

? ? ? ? ? 解: 方法一? ? 从运动的观点看问题, 当动点 P 沿直线 3x + 4 y + 8 = 0 向左上方或向右下方无穷远处运动时,直角三角形 PAC 的面积

s

?PAC

=

1 1 PA ? AC = PA 越来越大,从而 S 四边形PACB 也越来越大;当点 P 2 2

从左上、右下两方向向中间运动时, S 四边形PACB 变小,显然,当点 P 到 达一个最特殊的位置, CP 垂直直线,S 四边形PACB 应有唯一的最小值, 即 此时 PC =
3 ×1 + 4 ×1 + 8

3
从而 PA =

2

+4 ?

2

= 3 ,?

PA

2

AC

2

= 2 2. ?

∴ (S 四边形PACB)

1 = 2 × × PA × AC = 2 2 . ? min 2

? ? ? ? ? 方法二? ? 利用等价转化的思想,设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则
PC =
PA =

(x ?1) + ( y ?1) ,
2 2


2




2







AC = 1

,



PC

2

?

AC

2

=

(x ?1) + ( y ?1) ?1 ?
1 2

从而 S 四边形PACB = 2 S ?PAC = 2 × PA ? AC = PA = 从而欲求

(x ?1) + ( y ?1) ? 1 ?
2 2

S

四边形PACB
2

的 最 小 值 , 只 需 求 PA 的 最 小 值 , 只 需 求
2

PC

2

=

(x ?1) + ( y ?1) 的最小值,即定点 C (1,1) 与直线上动点 P(x, y ) 距
2

离的平方的最小值,它也就是点 C (1,1) 到直线 3x + 4 y + 8 = 0 的距离的平 方, 这个最小值 d =
3 ×1 + 4 ×1 + 8

3 +4
2

2

∴ = 9,

(S四边形PACB )

min

= 9 ? 1 = 2 2 。?
2 2

? ? ? ? 方法三? 利用函数思想, 将方法二中 S 四边形PACB =
13

(x ?1) + ( y ?1) ? 1

中的 y 由 3x + 4 y + 8 = 0 解出,代入化为关于 x 的一元二次函数,进而用 配方法求最值,也可得 ? ? ? ? 探究提高? ? ? ? ? 本题的解答运用了多种数学思想方法:数形结合思想,运动变化 的思想,等价转化思想以及函数思想,灵活运用数学思想方法,能使 数学问题快速得以解决。? ? ? ? ? (五)运用数形结合思想研究复数问题? ? ? ? ? 复数的几何意义用向量表示, 把复数与平面几何和解析几何有机 地联系起来,复数几何意义充分体现了数形结合的思想方法。? 。? ? ? ? ? 例题:如果复数 z 满足 z + i + z ? i = 2, 那么 z + i + 1的最小值 (? ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A.1? ? ? ? ? ? ? ? B. 2 ? ? ? ? ? ? ? ? C.2? ? ? ? ? ? ? ? D. 5 ? 解:Q z + i 和 z ? i 分别表示复数 z ? 在复平面上的对应点到 ? i和i 的距离。? 有 z + i + z ? i = 2 。∴ 表示复数 z 的点的? 集合石虚轴上点 i到点 ? i 之间的线段?
?1

(S四边形PACB )

min

= 2 2 . .?

y?
i?
1?

?1 ? i

?i ?

x?

(包括端点) ;另一方面Q z + i + 1 = z ? (?1 ? i) 表示 z 对应的点到 ?1 ? i 对 应点的距离。由图可见,当 z = ?i 时, z + i + 1 取得最小值为 1。所以应 选 A。? ? ? ? ? 探究提高:本题的常规解法是根据已知条件,寻求变量 x 和 y 关 系,转化为一元函数,按照求二次函数的最值的方法求解,这个解法 虽有遵循操作程序,但对解题过程中出现情况难以预料,对可能发生 的疏漏不易察觉,而且解题过程很长,而用数形结合的思想方法,则

14

通过图形直接揭示出问题的本质面貌, 在很短时间内就能直观地看到 十分简捷的解题途径直接获得可靠地结果, 这对只要写出结果的选择 和填空题中,有显著的优越性,当这种机会出现时,应是首选的解题 方法。一般地,复数问题可以应用于求解的几种方法是:直接运用复 数的性质求解;设复数的三角形式转化为三角问题求解;设复数的代 数形式转化为代数问题求解; 利用复数的几何意义转化为几何问题求 解。? 总之,类似上述的题目很多,经常做这样的训练,对于培养学生 的学习兴趣,提高解题能力是很有帮助的,总之凡是涉及到几何图形 或具有几何意义的数学问题都应让学生考虑先从几何图形的关系上 分析问题,从“形数”结合上逐步推理的好习惯。这样做既可以培养 对“形数”两方面的分析能力又可迅速的估计出答案或答案的大致情 形以寻找并发现解答问题的途径, 有时还可以防止和纠正某些计算错 误。高考十分重视对于数学思想方法的考查,我们要有意识的运用数 学思想方法去分析问题和解决问题,形成能力,提高数学素养。? 恩格斯曾说过: “数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的 科学。 ”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系, 既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数与量间的精确刻划与空 间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻 找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。 “数”与 “形” 是一对矛盾, 宇宙间万物无不是 “数” “形” 和 的矛盾的统一。? ?????????????????????????????????????????????????????????????????
?????????

15

学生创新潜能不可估量
——— 一次数学测验卷评讲的教学案例
化州市第一中学 李俊雄

我国近代杰出的教育家陶行知先生曾经说过: “教师的教法必须 根据学生的学法而定,教师的教是为了学生的学。 ”而传统的课堂教 学模式用的是教师讲学生听,教师问学生答,教师生塞硬给,信号单 向传递的教学模式。在课堂学习中,学生是被动地回答老师提出的问 题而不是利用自己的潜能主动地解决问题,课堂气氛沉闷、压抑,学 生学习积极性不高,课堂教学效果不佳。为改变这种现状,摒弃这种 古板的“填鸭子”式教学,以尽可能地激发学生的学习热情,使学生 成为课堂上的主人,笔者曾尝试过“对话”式教学,分组探究、讨论 式教学,比较式和自我表现式教学等开放式教学,并收到理想的教学 效果。本文以一次数学测验试卷评讲的教学个案为例,谈谈自己用开 放式教学的一点体会。 一、 师生角色换位,活跃课堂气氛

在一次数学测验卷评讲中, 或许是试题太难, 同学们考得不理想, 所以课堂气氛相当压抑、 沉闷, 同学们即使努力地听, 也是面存疑色, 渐渐地几乎听者瘳廖,鸦雀无声了。我灵机一动,提出:这节课我的 教学口味或许不适合大家了, 不如请哪位同学愿意上来帮我上一节课 吧。这一下,教室气氛活跃起来了。经过同学们的推荐和我的鼓励, 数学科代表上来了。 顿时, 教室掌声四起, 个个精神集中, 翘首以待。 由于大家是同学,朝夕相处,没有年龄区别,没有尊贵之分,所以同

16

学们对不懂的问题敢于大胆提出,对不明之处敢于质疑和反驳,对与 自己不同的见解能积极提出来一起探究和讨论, 使得整堂课气氛高度 亢奋,同学们的积极性、主动性和创造性都是前所未有的。 比如,证明不等式: 3(1 + a 2 + a 4 ) ≥ (1 + a + a 2 )
2

.

评讲的同学 (下用 “代表” 代之) 先用了常见的证明方法—— 比 较法。这种方法同学们易于接受,也没存异议,只是觉得三个数之和 再平方很麻烦。于是,就有同学提出有没有更简便的方法? 代表:有。用向量很简单。 同学们一听,来了兴致,如何用向量法?
1 代表:设向量 m = (1 ,1 ,1 ), n = ( , a , a
m = 12 + 12 + 12 =
2

) ,有

3, n = 1 + a 2 + a 4

Q m n ≥ m ?n ∴ 3 ? 1+ a2 + a4 ≥ 1+ a + a2



3 1 +a 2 +a 4 ≥ 1 + a + a 2

(

) (

)

2

.

“哗!果然简单。 ”部分同学异口同声地说。 “不明! 有位大胆的同学马上提出质疑, 为什么要设 ” “
m = (1,1,1), n = 1, a, a 2 呢?你是怎样想到的?设其它还行吗?”

(

)

代表:我们先要熟悉向量,有 3 就要联想到是向量 (1,1,1, ) 的模, 而 1 + a 2 + a 4 刚好又是向量 (1, a, a 2 ) 的模,然后由内积公式 m ? n = m n ?

cos α , m n ≥ m ? n , 得 按此思路写下来, 我们就会 “柳暗花明” 了。
接 着 还 举 了 一 例 加 以 巩 固 : 教 材 P16 练 习 题 2 ) 证 明 : (

(ac + bd )2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )

17

证明:设向量 m = (a, b ) ,向量 n = (c, d ) ,有
m = a2 + b2 , n = c2 + d 2

∴ m ? n = ac + bd , m n = Q m ? n ≤ m nn

(a

2

+ b2 c2 + d 2

)(

)



(ac + bd )2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) .

这时,同学们兴致盎然,觉得此证法新颖、简捷,对其它同类 问题亦想跃跃欲试,学生进入了积极主动的亢奋状态。 二、 适度点拔,启迪创造思维,激发学生自主性

弗赖登塔尔认为: “学一个活动的最好方法是做。 ”学生只有通过 自身的操作活动和再创造性的 “做” 才能使知识内化为他自己知识。 , 在教学过程中,教师要善于调动、鼓励学生去做,尤其是应该鼓励学 生用不同的思路、方法去分析问题、解决问题,在智力运用中开发智 力,在思维的磨砺中锻炼思维。这亦是培养学生创造力的一个极好的 教学手段。 这一教学过程, 我们同样可以在数学教学课堂中得到体现。 比如,在试卷中有这样一道题: 已知 x ∈ (0,1) ,且 a, b 是不相等的正数,求
a2 b2 的最小值。 + x 1? x

这道题代表也做错了,他利用均值原理使分母变成 1,但却只有 当 a = b 时,才有最小值,这与题设不符。笔者及时点拔,引导学生考 以启迪学 虑用换元法或用引入参数法, 比如设 x = sin α , ?α ∈ ? 0, ?? , ? ? ? 2?
? ? ?

π ?

生思维。 几分钟后,代表有了解题思路并进行了分析、解题:

18

设 x = sin 2 α , ?α ∈ ? 0, ?? , 则 ? ? ? 2?
? ? a2 b2 a2 b2 + = + = a 2 (1 + cot 2 α ) + b 2 (1 + tan 2 α ) 2 2 x 1 ? x sin α 1 ? sin α
= a 2 + b 2 + (a cot α ) + (b tan α ) ≥ a 2 + b 2 + 2ab = (a + b )
2 2

?

π ?

2

.

当且仅当 a cot α = b tan α ,则 x = 此时

a 时 , 取得等号成立。 a+b

a2 b2 取得最小值为 (a + b )2 . + x 1? x

“噢,原来如此简单。 ”当解题过程写出后,同学们都茅塞顿开 了。为了激发学生的探究和创新精神,以免满足于现状,笔者又问: “还有哪位同学有不同解法的吗?如刚才所说的用引入参数法 (即引 入一个参数,使原式能运用均值原理,然后算出参数) 。有不同解法 的可在黑板上写出来,以供同学们共同学习。 ”
a2 b2 ? a2 ? ? b2 ? = ? + λx ? + ? 同学 1: + ? x ? 1 ? x + λ (1 ? x )? ? λ x 1? x ? ? ? ?
≥ 2a λ + 2b λ ? λ = (2a + 2b ) λ ? λ .
?a2 = λx ? 2 ? x 当且仅当 ? 2 ,则 λ = (a + b ) 时,取得等号成立。 ? b = λ (1 ? x ) ?1 ? x ?

∴当且仅当 x =

a 时,原式有最小值为 (2a + 2b ) λ ? λ = (a + b )2 . a+b

(同学 2 跟同学 1 基本相同,略。 ) 这时候,又有一位同学小声地说: “我有一种更简单的方法。 ”同 学们一听,立刻骚动起来,都想急待知道该方法。我马上鼓励她到黑 板上写出来:

19

Q x + (1 ? x ) = 1



? a2 a2 b2 b2 ? x 2 1? x 2 2 2 + =? + ? ? x 1 ? x ? ? [x + (1 ? x )] = a + b + x a + 1 ? x b x 1? x ? ? ≥ a2 + b2 + 2
1? x 2 x 2 2 a ? b = (a + b ) x 1? x

.

当且仅当

1? x 2 a x 2 2 时, 原式有最小值为 ( a + b ) . b ,则 x = a = 1? x a+b x

同学们一见,不约而同地欢呼: “妙! ”同学们倍受鼓舞,学习热 情高涨,课堂气氛更是进入了高潮。笔者也感慨: “你们的思维真利 害,我相信每一位同学都蕴藏着不可估量的创新潜能,只要你们敢于 挖掘,勇于探索,你的潜能就一定会表现出来。 ” 三、 顺势出击,充分点燃学生创新之火

“问题是数学的心脏” 。提出了问题,就要求我们如何运用“空 间想象、创新思维、抽象概括、运算求解、数据处理等能力”去解决 问题。学生要具备这一能力,就要求我们老师先要设置好问题,然后 引导学生勇于创新、敢于探索、运用发散性思维多角度去思考。由于 课堂气氛空前高涨,学生创新思维活跃,个个都摩拳擦掌,想一展身 手,于是,我顺势出击,马上投影一道原先准备好的开放型例题,要 求学生把自己构造的函数式或曲线的方程及图象写在卡片上, 便于 (用投影仪向全班展示)交流。 【例 】 给每位学生一张卡片, 上面给出平面直角坐标系 xOy 中 的三点 A (1, 0) 、B (-1,0) 、C(0, 2) , 请你构造一些函数关系 式, 使其图象经过 A 、B、C 三点; 或写出一些曲线方程, 使方程的 曲线经过这三点。 学生阅读题目后, 都跃跃欲试想尽可能多地写出满足题设的函数
20

式或曲线的方程。 笔者鼓励: 同学们都动了脑筋, 一定有不少好点子, 好方法, 能 不能把你所构造的函数式或方程拿上来投影与同学们交流一下? 同学 1(投影) : 从二次函数着手构造可得( 如图 1) : 同学 2(投影) : 从一次函数和分段函数着手构造可得(如图 2):
y y

2
x

2
x

-1 0

1

-1 0

1

(图 1) (1) y = ?2 x 2 + 2

(图 2)
? 2 ( x + 1), x ≤ 0 (2) y = ? ? ? 2 ( x ? 1), x > 0

同学 3(投影) : 从指数函数、对数函数及分段函数着手构造可 得(如图 3、图 4) :
y
2

y
2

x

x

-1

0

1

-1

0

1

(图 3)
? ? 2 x +1 + 1, x ≤ ? 1 ? (3) y = ? ? ? 2 x +1 + 4 , x > ? 1 ?

(图 4)
? 2 log 2 ( x + 2 ), ? 2 < x < 1 y=? (4) ? x ? 1, x ≥ 1

“ 三位同学答得很好, 他们根据自己所学知识, 充分发挥自己 的聪明才智, 从不同角度展开探索, 得出了正确答案” 我及时鼓励, , 给三位上来的同学给予充分肯定,让他们充满成就感,又使其他同学 充满信心,激发同学们的创新精神:谁还有新发现吗?说出来共同欣

21

赏一下。 同学 4(投影): 从圆、椭圆曲线方面着手构造可得(如图 5、图 6)。
?

y 2 -1 x -1 0 1

? ?
0

1

?

(图 5)
3 25 (5) 圆: x + ? y ? ? = ? ? 4? 16 ?
2 2

(图 6) (6) 椭圆: 错误!未找到引

用源。. 同学 5(投影): 双曲线也可以(如图 7、图 8)。
y 2 x
? ?

y
?

x -1 0
?

1

(图 7)
2

(图 8) (8)双曲线:

3 (7)双曲线:错误!未找到引用源。4? y ? ? ? 8 x 2 = 1 ? ? ? 2?

( y ? 3)2 ? 8 x 2 = 1( y ≤ 2)
“对, 完全正确, 同学们真了不起。 让我们从几何图形和三角函 数共同探索, 还可以有什么新发现? 同学 6(投影,如图 9) 同学 7(投影,如图 10)

22

?

x -1
?
?

(图 9) ( 9) 菱形: 错误!未找到引用源。 x + 弦函数: y = 2 cos
π
2 x

(图 10)
y =1 2

(10) 余

看到同学们给出上述条件各种结果, 笔者内心十分高兴, 同学 们脸上也挂满了笑容,他们从中品尝到成功的欢乐。极其令人振奋的 是: 学生的思维相当活跃, 对于这些颇具创造性, 甚至是教师在课 前未能想到的问题,让学生来思考和讨论,不仅充分点燃学生创新之 火,更有效地培养了学生的敢思敢探精神,激发了学生的创新潜能。 四、 笔者体会

这一次试卷评讲,笔者把课堂舞台真正让给了学生,学生在课堂 上充分体现了独立思考, 主动探索, 多项互动, 大胆创新的良好习惯, 他们成了真正的“主角” 。可见,真正把课堂让给学生,一方面,可 以促进学生变被动学习为主动学习、变机械模仿为灵活创新,激发了 学生对学习数学的兴趣;另一方面,是让学生在亲历对问题的探究过 程中获得良好的情感体验,磨砺意志,使他们逐渐具备在遇到陌生问 题时能运用科学的思维方法分析问题, 充分挖掘了他们潜在的不可估 量的创新能力。教师只以合作者、鼓励者和引导者的身份出现在舞台 上,只有当学生不能独立解决问题时才适度点拨,精讲启迪。这种以

23

学生之间的聪明才智相互感染来教学的教法,比教师的“一言堂”不 知好出多少倍呀。

浅析高中学生数学成绩下降的原因及对策 化州市官桥中学 郭文旺

我校是粤西一所市重点农村中学,学生生源相对比较好,但每一届初中毕业 生中总有一部分以比较高的数学成绩进入高中后,学习成绩大幅度下降,甚至过 去的尖子生渐渐沦为数学后进生。 少数学生对数学学习失去信心, 甚至害怕数学, 讨厌数学,直至放弃数学。学生厌恶数学、成绩下降的原因何在?又有何对策? 本人经过长期的观察研究和比较高、初中数学的教与学。从以下两个方面加以阐 述: 1.高中尤其高一学生数学成绩下降的主要原因 1.1 初、高中教材的变化影响 初中教材往往内容通俗、具体,偏重于实数集内的运算,题型少而且简单。 对于不少定理没有严格的论证或以公理形式直接导出,从而避免了证明。另外, 初中教材坡度小,直观性强,对于每个概念都配备大量的习题和练习;加之升学 压力,教师多采用反复训练,机械重复的方法,让学生熟悉每一道题的求解而不 是理解。但高一教材一开始就给出了一个全新的概念:集合、映射等近代数学知 识;接下来是抽象性更强的集合运算问题、函数的性质及其应用,提高了一个层 次。 而紧接着的数列知识对学生的观察分析、 判断和推理能力提出了更高的要求。 在众多的符号、 概念、 严格的逻辑推理和论证中, 一部分学生便渐渐找不到感觉。 尽管近年来高中教材的难度有所下降;但由于高考的存在和影响,教师在教学过 程中并不敢降低难度。 1.2 教辅材料的影响 随着教辅市场的开放,书店里的各种教辅资料铺天盖地,而大多数学生不能 辨别其价值性,往往选择了一些不适合的资料和习题集,从而陷入无尽的题海当 中。 甚至有些教育主管部门编辑出版的图书也存在一些不适合高一新生的数学习 题。 如某省高一年级配发的基础训练在学生刚刚学过和角、差角的三角函数之 后配了这样一道习题:已知 sin α + sin β + sin γ = 0 , cos α + cos β + cos γ = 0 且
0 < α < β < γ < 2π ,求 β ? α 的值。许多学生能求出 cos( β ? α ) = ?

1 但是却不能 2

得到正确答案。 又如某省配发给高一学生的寒假作业里有这样一道习题:已知数列 {a n} 是
1 首项为 2,公比是 的等比数列, 2

(1)用 (2) s 是它的前项的和, sn 表示 sn+1,
n

24

?c > 2 成立?。 是否存在正的自然数使得 s k +1 调查发现不仅在 657 名学生中能够 sk ? c
做出第二问的不到 10 人,就是部分年轻教师也颇感辣手,试想这样的习题配给 高一新生又有何意义,它只能使学生产生一个又一个的挫折感,打击他们的自信 心。 c) 不良学习习惯,不当的学习方法严重影响高中数学学习 高一学生在初中学习过程中形成了固定的学习习惯和学习方法: 他们上课注 意听讲,满足于老师布置的作业。但只是满足于课堂上听,没有养成做笔记的习 惯;或者走向另一个极端。多数学生缺乏积极思考的习惯,学习不能持之以恒。 他们在平时的学习过程中害怕困难, 遇到难题不是动脑子自己去寻求解决的办法 而是希望老师讲解整个过程。 不会科学的安排时间,缺乏自主学习的习惯和能力。对于自己学习中的错误 不愿积极主动的思考分析,从中难取经验教训。他们之所以学习成绩不理想并不 是因为智力有缺陷而是他们缺乏顽强的意志和毅力, 没有良好的学习方法和习惯。 当这些学生升入高中后,高中数学多强调数学思想和方法,注重举一反三和严格 的逻辑推理、 论证, 注重学生的思维能力和自主学习的培养, 这让学生很不适应。 再之高中教材内容多、课时少,教师不能象初中那样细嚼慢喂,只能选取一些典 型的习题讲解,培养学生的能力。因而,高中数学学习要求学生变被动为主动, 勤于思考,善于归纳。而高一的新生往往沿用初中的学习习惯和方法,一时不能 适应及至发现,已落后于人! 1.4 教师对学生学习的影响 教师是和学生接触最为密切的群体之一,他们的言行对学生的心理、学习兴 趣有着不可估量的影响。 高一的老师多是高三循环下来或刚参加工作的年轻教师。 高三循环下来的老教师,他们往往眼界过高,教学过程中有意无意之间用高三复 习时的难度要求高一新生;刚参加工作的年轻教师又对教材、教法不熟悉往往抓 不住重点、难点。 教师教学中常常过分强调:本节内容是高中数学学习的难点、重点,一旦学 不好便会如何、如何的言论。以期望引起学生的重视,孰不知这反而加大了学生 的心理负担,使学生产生严重的畏难情绪,打击了学生学习数学的兴趣。倘若学 不好便会使学生对自己的能力产生怀疑。 又如部分老师在讲解习题时往往对之点 评,有时会说:这题很简单,我想同学们能解决。而在学生问问题时又说“这么 容易的题怎么能不会” ,此时,即使老师能坐下来讲解,大多数学生无论懂与不 懂也只有点头的份儿,以后更不要说再去问老师习题了。教师在作业的批改和课 堂的提问以及课下的辅导等方面的一言一行, 都有可能刺痛一个学生学习数学的 上进心。 1.5 学生的学习品质、情感对数学成绩的影响 高中和初中的数学成绩的悬殊造成了学生学习心理上的负担。 同时我们应当 注意到许多学生的情感往往很脆弱,承受不住太多的挫折,几次考试分数过低就 有可能使他们失去对数学学习的信心。另外,我们的某些家长和数学教师又硬想 把他们和数学学习成绩较好的学生拉在一起比较, 要求他们在相同的时间里作出 相同的反应,消化和接受同样多的知识。这样无形中又加大了他们的心理负担, 结果其成绩不但不能提高反而使他们越来越害怕学习数学。 而学习不好又要导致 老师和家长的批评,久而久之,必将导致其心情郁闷而产生严重的心理自卑感;

25

从而使他们自暴自弃,终放弃数学学习。 2、转化数学后进生的对策 高中数学仅仅想学是不够的,还必须会学,要讲究科学的学习方法,才能变 被动为主动,提高学习的效率,针对调查分析中出现的问题我在教学中主要采取 了以下对策: 2.1加强学法指导,提高听课效率 学生的学习方法是否得当,课堂上的听课效率如何,严重影响甚至决定着 学生的基本学习状况的优劣。良好的听课效率主要来源于制定科学的学习计划、 课前预习、 专心听课以及及时总结、 独立作业、 质疑解难和课外练习等几个方面。 制订计划以明确学习的目的,合理安排时间以提高学习效率。这是推动学生 积极向上,自主学习的内在动力。但计划一定要切合实际不可好高骛远。科学家 曾经做过这样的实验:如果把香蕉放在猴子无论如何努力也抓不到的地方,则猴 子经过努力后就会放弃,再也不会去抓。但如果放在一个它努力一下即可抓到的 地方,那么下一次稍稍提高一点则它会进一步寻找解决的办法。因而,计划不可 过高,它应是台阶式的逐步提升。 课前自学不仅能培养自学能力,而且能发现重点,难点,减少听课过程中的 盲目性,有助于提高学生的思维能力。这样就会把问题有针对性地放在课堂上解 决。 专心听课就是在听课的过程中全身心地投入到课堂学习之中, 努力使自己耳 到、眼到、心到、口到、手到。上课过程中认真思考,积极参与,随时记下课堂 中的要点以及自己的感悟或创新。 独立作业、质疑解难,就是通过自己的独立思考,灵活的分析问题,解决问 题。并对此过程中暴露出来的错误,集中整理在自己的记错本上以便及时拿出来 复习。 总结和课外练习是必须的,在系统复习的基础上激发学生积极主动的梳理 知识体系,通过分析,类比,概括,提炼以达到知识的升华。而课外习题的训练 是必不可少的,但训练不在于多寡而在于做题的质量,在于它是否能检查你所学 的知识。做题后一定要进行‘反思’ ,即思考一下本题所用的基础知识,数学思 想方法,为什么要这样做,是否还有别的方法思路,本题的思想和解法在解决其 他问题时是否可用等。通过这样不断的积累就会养成良好的分析问题,解决问题 的习惯和能力。 2.2 教师角色的转变 教学过程中,教师要由过去教学中的主角转为与学生一起学习的伙伴。即既 是学生学习的导师,也是学生学习的朋友;既是教与学的合作者,也是学生发展 的促进者;既是达成教学目标的“学习共同体”的一员,也是关怀学生成长的有 心人。 2.2.1 建立良好的师生关系 师生情感不仅是师生交往的基础,而且也是使学生对数学产生兴趣的关键。 教师是师生情感的主导者。热爱学生是进行数学教学的前提。当教师的情感倾注 在数学教学中,激发了学生的数学学习情感时,学生就能够更加积极主动地投入 数学学习。这是培养学生数学学习兴趣的秘诀。要让学生多交流,教师也要参与 学生的交流,这样才能使学生的认知范围不断扩大,从而掌握更多,更全面的知识。 应让学生在平等的气氛中发表和交流意见,鼓励学生大胆质疑,大胆想象,教师要 成为学生创新能力的激发者,培养者和欣赏者。

26

“亲其师而信其道”讲出了一种好的师生关系带来了良好的学习效果,这是 教师们早已熟知的古理。 北京市海淀区进修学校化学特级教师郄棣和在几年内听 了六百多节课后总结出了如下一个组合: 业务水平 爱生情况 教学效果 高 冷漠 不高 一般 爱生 高 高 甚爱 最高 低 冷漠 最低 这说明,无论古今,生亲师,才有可能学好“道” ;师爱生,才能达到良好的教 学效果。 加强与学生的情感交流特别是对于数学学习有困难的学生, 要充分创造机会 主动接触他们,多给他们温暖和亲情,让他们感受到老师是他们的朋友。通过自 己的言行去打动和感染每一位数学差生, 消除数学差生对数学教师敬而远之的心 理。只有和他们融成一片他们才会主动和你交流,才能向你道出数学学习中的困 惑。 这样, 你才能采取相应的措施。 另外, 必须善于抓住数学差生的每一闪光点, 哪怕是一个概念的叙述、 一个简单习题的正确求解, 都要及时给予的表扬和鼓励, 以唤醒他们的自信、消除他们的自卑心理。因而在与学生的交流中绝对不能有伤 害学生自信心,打击学生上进心的言行。一个简单的表扬、一个真诚的鼓舞或者 一个赞许的目光都有可能成为他们学好数学的契机。在课堂提问过程,注意知识 的深入浅出;设计问题时力求简单明了,把容易的问题留给中下学生,当回答正 确时及时给予表扬和鼓励;如果答错也不应加以指责,而应帮助他们分析,为他 们设计好台阶,先鼓励他们正确的部分以及探索的精神和勇气,再指出不足;鼓 励他们再找出答案。要尽一切可能保护他们的自尊心和自信心。 2.2.2 学生不是接受的“容器” ,而是可以点燃的“火把” 。轻松活泼的课堂气 氛和师生关系,是点燃的“火把”最适宜的火种。 以“升学率”为教育目标的应试教育,使得教师和学生都处于高度紧张的、 机械的知识传授中,很难激发学生的积极性,这些严重阻碍了学生数学能力的培 养。因此,在数学教学中,应转变过去提倡的教师“教”和学生“学”并重的模 式,实现由“教”向“学”过渡,创造适宜于学生主动参与、自主学习的活跃的 课堂气氛,从而形成有利于学生主体精神、创新意识、创新能力健康发展的宽松 的教学环境。 在教学中我经常让学生去讲、去做、去思考,而我更多的只是做引导、指 导。例如:在讲函数例题 1: 已知:f(x+1)=x -5x+2,求 f(x) ; 例题 2 已知:f(f(x))=9x+1,求一次函数 f(x)的表达式?时, 我完全让学生去思考、探索、研究。结果有的学生能发现好几种解法,还有 的学生在研究探索中存在很多问题,这些问题是老师有时也没能想到的。然后我 就根据学生的研究存在的问题大做文章,结果课堂气氛和课堂效果都很好。 2.2.3 在数学教学中,首先,我们要从学生的实际出发,了解初高中教材的异 同。 高一时期要注意教学的进度不可过快, 要善于根据学生的实际情况备教材、 备学生,与他们一起共同制定合适的学习目标,确定适当的期望值。要加强学 习用先进的教育理念充实自己,在数学教学中充分利用现代化的教学手段把课

27

本中抽象的知识形象化。 例如:我在三角函数的知识时,利用几何画板自制课件轻而易举的解决了 正弦、余弦、正切函数图象的形成,图象之间的相互变换等难点。在数学教学 中,坚持以学生为主体、教师为导,努力尝试一些有益的教学方法,广泛征求 学生的意见,寻找符合学生心理特点、数学实际水平的数学方法,注意吸引学 生的注意力。在课堂中时常设计一些悬念或选取一些与数学有关的、趣味的话 题。如我在讲述“等比数列”时,首先给学生讲了一个老财嫁女的故事,一下 子吸引了学生的注意力,收到了极好的教学效果。因材施教、充分照顾弱势群 体,对数学差生讲解时尽量降低难度和起点;在习题处理上采用分层处理法, 要求数学学有困难的学生只做基础题,对他们的作业采取面批以达到及时订正 其中的错误的目的。 2.3 加强学生的数学思维能力训练 注重学生思维能力的培养,训练创新思维。数学是思维的体操,因此,若能 对数学教材巧安排,对问题巧妙引导,创设一个良好的思维情境,引导学生积极 思维,运用已学过知识去解决新问题。这样的思维训练对提高学生的思维能力是 非常有益的。在教学中应打破“老师讲,学生听”的常规教学,变“传授”为“探 究” 。其中组织课堂讨论是一种使用较普遍的有效方法。这样培养的学生敢于提 问题、敢于批判、敢于质疑、思维敏捷。不受老师讲解的束缚,可为发散思维的 培养创良好的内、外部环境。同时,适当进行“一题多解”“一题多变”“一法 、 、 多用”等教学活动,培养学生的发散思维。现代教育强调知识结构与学习知识发 生发展的过程,其目的在于培养学生的思维能力。数学知识可能会遗忘,但思维 品质的培养却会让学生受用一生。 一题多变是通过题目的引申、变化、发散,提供问题的背景,提示问题间 的逻辑关系。例如:方程 sinx+cosx=m 在[0,π],上有两个解,求实数 m 的取 值范围。 在分析与论证本题以后, 不失时机地引导学生对原题的条件作以下变换: 方程 sinx+cosx=m 在[0,π],上有一个解,无解又如何求解,这样步步变化深 入,既发展了学生的探究思维能力,又综合性地复习与巩固了已学的有关知识, 可取得较好的教学效果。 2.4 精选资料,提高学生数学学习的效率 针对教辅市场上形形色色、浩如烟海的资料,要指导学生精心选购、甚至放 弃教辅资料的选用。即使对配发的某些资料也要对其中偏、难、怪的习题大胆删 除或压后处理。在教学实践中,教师个人要大量占有资料,汲取精华、提炼那些 与课本内容紧密相关,能较好的检验教学效果,提高学生兴趣,发散学生思维的 习题,适度适量的补充给学生,以减少学生选题的盲目性、减轻学生数学学习的 压力。 总之,高中数学的特点决定了高一学生在学习中困难大、挫折多。为此, 我们在教学中应注意培养学生正确对待困难和挫折的良好心理素质, 使他们善于 在失败面前冷静总结教训、振作精神,主动调整自己的学习方法,平时多注意观 察学生的学习并加以指导。教学中积极钻研、兼容并蓄、提高自己的教学水平, 才能比较好的进行高中数学教学,激发学生的数学学习兴趣,使学生的数学学习 变被动为主动,有效提高数学成绩

28

参考文献: 1.程亚焕 数学教学观与数学差生 数学教育学报 2001.10(2) 9—15 2.《教师职业道德》第六章、第七章,中华人民共和国国家教委人事司编 3.陈建民 李平军 4、张大军
?

高一学生数学成绩下降的原因

网络资料 2000.7

《教育心理学》 第六章、第七章

思想方法齐共舞

缘何无法达“罗马 ”

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一堂复习课引发的思考 信宜中学 吴程北

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略, 是数学的 灵魂. 本人最近听到的一堂“函数”复习课,深切感受到数学思想方 法在中学数学教学和学习中的认识与落实不到位.何为数学思想方法? 数学思想是对数学知识的本质认识,是对数学规律理性的认识,是从 某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点.它 在认识活动中被反复运用,具有普遍的指导意义,是建立数学和用数 学解决问题的指导思想.数学方法是指从数学的角度提出问题、解决 问题(包括数学内部问题和实际问题)的过程中所采用的各种方式、 手段、途径等,其中包括变换数学形式.两者紧密联系,数学方法是 数学思想的具体化形式.一般来说, 在强调指导思想时称为数学思想, 在强调操作过程时称为数学方法,通常混称为数学思想方法.欲借方 寸之地,抛砖引玉,求教于同仁. 一、问题呈现及教学实录
29

问题 1 设函数 f ( x) = x ? [ x] ,其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如
[?2.1] = ?3 , [2.1] = 2 , [1] = 1 ,则方程 f ( x) = lg x 的根的个数为(



(A)7

(B) 8

(C)9

(D)10

问题 2 若函数 y = f ( x)( x ∈ R) 满足 f ( x + 2) = f ( x) ,且 x ∈ (?1,1] 时,
f ( x) = 1 ?2x 2 ,函数 g ( x) = lg x ? 2 ,则函数 h( x) = f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ?6,12]

内零点的个数为 ( (A)18 问题 3 若 a =

) (B) 19 (B)20 (B)17

ln 2 ln 3 ln 5 , a 、b 、c 的大小顺序 _________ . 则 ,b = ,c = 2 3 5

教师:怎样判断方程的根的个数?(教师直奔主题) 学生 1:常见方法为:①从数的角度直接求出(简单)方程的根; ②构造函数利用函数零点与对应方程的根的关系, 从数形结合的角度, 利用闭区间上连续函数零点定理(下文简称零点定理) ,判断超越方 程根的个数. 教师:这个方程 f ( x) = lg x 的根能直接求出吗? 因为 f ( x) = x ? [ x] 表示实数 x 的小数部分, 它是一个分段函 学生 2: 所以无法通过解方程的方法求出方程的根. 数, y = lg x 是超越函数, 而 因 此 要 采 用 数 形 结 合 思 想 方 法 , 转 化 为 函 数 y = f ( x) 图 像 和 函 数
g ( x) = lg x 交点的个数.

教 师 : 很 好 . 请 同 学 们 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 函 数 y = f ( x) 和
g ( x) = lg x 的图像.学生练习,教师巡查,3 分钟左右,教师用幻灯片

展示学生 3 的解答: 在同一坐标下画出 解: 由题意可知 f ( x) 表示实数 x 的小数部分,
30

y?

函数 y = f ( x) ,y = lg x 的图像,如图 1 所示,由图可知,函数 y = f ( x) 与 函数 y = lg x 有 8 个不同的交点,故方程 f ( x) = lg x 的根的个数为 8.

教师:请同学们尝试完成问题 2. 学生先独立思考,后相互交流.教师展示学生 4 的解答: 解 由题意可知,函数 y = f ( x) 的周期为 2,在同一坐标下作出函数
y

y = f ( x) , y = lg x 的图像,如图 2
‐6

1 ‐1? 图 2? 2 10? 12? x

所示,由图可知, f ( x) 与 g ( x) 在

[ ?6, 2] ,(2,12] 内分别有 8,10 个交点,所以函数 h( x) = [ ?6,12] 内零点的个数为 18 .

f ( x) ? g ( x) 在区间

教师:问题 3 要对一组数按大小进行排序,比较两个数的大小的 方法有哪些? 学生 5:比较两个数的大小常用的方法有:①作差比较法;②作商 比较法;③图象法;④中间值法;⑤单调性法. 教师:请同学们尝试完成此题. 教师巡视,对部分学生进行指导.5 分钟左右,展示学生的解答: 学生 6:令函数 y = ln x ,则 k =
ln x 表示曲线 y = ln x 上任意 x y?
A B C 5

一点 ( x, ln x) 与原点连线的斜率,由图 3 直观可得 kOA > kOB > kOC ,

O? 1? 2 3

x

31

图3

所以 a > b > c .
ln 2 ln 3 ln 8 ? ln 9 y ? = < 0 ,则 a < b ;同理, 2 3 6 1 ? ln 5 ln 2 ln 25 ? ln 32 e c?a = ? = < 0 ,则 c < a ,所以 c < a < b . 5 2 10 O? 1? 2? 3 5

学生 7: a ? b =

x

教师:请详细说说你的思维过程.
图 4?

学生 7:三个数 a 、 b 、 c 具有相同的结构特征,构造函数 f ( x)
= ln x 1 ? ln x ,则 f '( x) = ,令 f '( x) = 0 ,解得 x = e ,所以函数 x x2 ln x ln x 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, +∞) 上单调递减,则函数 f ( x) = f ( x) = x x

的草图如图 4 所示, 2,3,5 不同在任何一个单调区间内, 而 而函数图像 没有对称性,无法比较 a 、 b 、 c 的大小,只能借助作差比较大小. 教师:很好.学生 7 仔细审题,明察秋毫,出现问题及时调整思路. 请同学们思考学生 6 出错的缘由. 学生 8:图像(草图)的位置失真导致直观上的错觉. 二、问题的根源及反思 以上三个问题,涉及数形结合、化归与转化等数学思想方法.学 生给出的问题 1 的答案是正确的,而问题 2 的答案是错误的。为何解 法相同, 结果迥异! 问题 1 中 f ( x) = lg x 在 [2,11) 上根的个数毋庸置疑, 但在 [1, 2) 内到底几个交点?无法通过图像得到准确答案.当 x ∈ [1, 2) 时,
f ( x) = x ? 1 ,构造函数 h( x) = x ? 1 ? lg x , x ∈ [1, 2) ,则 h '( x) = 1 ? 1 x ln10 ,令 h '( x) = 0 ,所以 x = 1 ln10 ∈ (0,1) ,所以函数 h( x) 在 [1, 2) 上单调递增,而 h(1) = 0 ,所以函数 h( x) = x ? 1 ? lg x 在 [1, 2) 上只有一个零点,故方程 f ( x) = lg x 的根的个数为 8.说明当 x ∈ [1, 2) 时,函数 g ( x) = lg x 图像从 y = f ( x) 图像“下边”悄悄溜走,说明图 1 是正确的(纯属巧合).问
32

题 2 中 x ∈ [ ?6,11] 时,两个函数的交点个数没有任何问题,而对于 x ∈

[11,12] 时,h( x) =

f ( x) ? g ( x) 零点个数的判断存在疑惑:g ( x) 图像从 f ( x)

图像上方溜过还是 g ( x) 图像穿过 f ( x) 图像与其会合于 (12,1) , 不得而知. 笔者借助几何画板,将两者的图形放大,仍看不出准确的结果。事实 上,当 x ∈ [11,12] 时, f ( x) = 1 ? 2( x ? 12) 2 , g ( x) = lg( x ? 2) .令 t = x ? 2 ,则
t ∈ [9,10] , ? (t ) = lg t + 2(t ? 10) 2 ? 1 = lg t + 2t 2 ? 40t
1 1 + 4t ? 40 , ''(t ) = ? 2 ? + 4 .所以当 t ∈ [9,10] t ln10 t ln10 1 时, ? ''(t ) > 0 ,则 ? '(t ) 在 [9,10] 上单调递增,由 ? '(9) = ?4< 0, 9 ln10 1 ? '(10) = > 0 ,所以一定存在唯一实数 t0 ∈ (9,10) 满足 ? '(t0 ) = 0 .故当 10 ln10
+199 ,∈ [9,10] , ? '(t ) = t 则

x ∈ (9, t0 ) 时,函数 ? '(t ) < 0 ,函数 ? (t ) 单调递减,当 x ∈ (t0 ,10) 时,函数

? '(t ) > 0 , 函数 ? (t ) 单调递增.而 ? (9) = lg 9 + 1 > 0 , (10) = 0 , ? 所以 ? (t0 ) < 0 .

所以 h( x) = f ( x) ? g ( x) 在区间 [11,12] 内零点的个数为两个,其中 x1 ∈
(11, t0 + 2) , 2 = 12 .所以函数 h( x) = f ( x) ? g ( x) 在区间 [ ?6,12] 内零点的个数 x

为 19.因此, 2 是错误的.问题 3 中学生 7 尝试把 2,3,5 转化到函数 图
f ( x) = ln x 的一个单调区间中去,出现了“山重水复疑无路” ,碰壁后 x

改用作差法,教师对其大加赞赏,果真无法使用单调性吗?只需将
a= ln 2 ln 4 进行变形,立刻“柳暗花明又一村” ,避免了白白辛苦一 = 2 4

番,怎样将个别“元素”纳入整体“系统”是解这类题的关键. 数形结合、分类讨论、函数与方程、化归与转化等数学思想是中 学数学重要的思想方法,从高一入学起,一直是数学课的强调重点, 师生何以对问题 1、2 的图像没有任何疑惑?尤其在问题 3 解决后, 2 为何师 学生 6 的错误已经清晰地反映出学生对问题 1、 解法的漏洞,
33

生对此熟视无睹?可见师生对数形结合思想的认识是模糊的、 不到位 的.而
ln 2 ln 4 是常规变形, 为什么师生却未曾想到并去 “亡羊补牢” ? = 2 4

笔者带着这些疑惑,对部分师生进行调查研究.(1)就问题 1、2 对 笔者所带的高二(高二学生尚未学习导数) 、高三各一个班(均为 60 人) 120 人展开调查. 结果出乎意料——高二有超过半数学生对方 共 程的根的个数和图像产生质疑, 而高三几乎千篇一律的快速给出同学 3、4 的解答.(2)就问题 1、2、3 对高三部分班级调查,结果与随 堂听课情形基本相同.(3)教师对问题 1、2 的免疫力较强,而对问 题 3 中a =
ln 2 ln 4 转化基本全军覆没. = 2 4

三、原因分析及对策 1.教师的认识不到位 尽管多数教师已经意识到中学数学思想方法的巨大威力、 核心作 用,但对其本质的认知仍浮于表面,更多的是经验的总结.教学中缺 乏对怎样准确合理渗透数学思想必要的研究, 缺乏分析学生接纳数学 思想的心理机制,往往对照参考答案,照本宣科,导致学生更多的是 机械模仿,只能感悟到其中缺乏系统性的星星点点,而非真正的理解 和掌握,导致“只见树木不见森林”的局面.以数形结合为例,我国 著名数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形少数时难入微; 数形结合百般好,隔离分家万事休”.“数形结合”是对象性结合与 功能性结合的统一体.对象性结合指“数”表征与“形”表征在作为 客体维度上的结合.在知识的学习中,它表现为学习者以图式的方式 对知识长时储存, 类似于双编码理论所论及的词元与象元之间相互沟

34

通、相互激活,命题表征共同合成图式这一综合型表征.在问题解决 中,对象性结合外在地表现为“数”表征与“形”表征的相互转换, 这种转化隐藏着一种重要的心理过程:选择.功能性结合指“数”表 征与“形”表征在思维特征维度上的结合.“数”表征与生俱来地具 有抽象性和创造性,这同时也决定其能更深刻、更简练的研究问题的 功能性内涵.“形”表征有着丰富的感性认识和相对可靠的直观,直 观辅助思维的特征无疑是“形”表征的功能性内涵.以数解形、以形 助数可以认为是功能性结合的两种表现形式.当前对“数形结合”的 教学强调对象性结合,对功能性结合重视不够,这说明重视知识的传 授的教学理念还是根深蒂固.人们对以形助数的偏爱,对以数解形的 回避,以及对“数”表征操作的不熟练性、低水准和恐惧.这说明数 学研习只认可了图形的直观辅助功能,对“数”表征的抽象性认识不 足.殊不知,借助图形的直观性,当两者图像相差较大时,结果一目 了然,但当两者非常接近时,可能会“差以毫厘,谬以千里” ,此时 需要精确的数工具出面解决. 对策:教师要加强知识的学习、积累、研究,居高临下,高屋建 瓴的给予学生以指点.在加强反思的同时,还要借助他人的经验和智 慧的支持,常见的学习途径为(1)阅览报刊杂志,更新理念,提高 认识; (2)同行切磋交流,去伪存真; (3)积极参加各种研修活动, 由专家引领走向深入. 2.学生的认识不到位

35

学生受到知识储备、思维水平、学习习惯的限制和影响,更乐于 接受解题的一招一式,认为思想方法过于抽象,不易把握,远不如套 题型,模仿方法更加“务实” ,对思想方法的重要性重视不够.从笔者 授课的两个班级来看,高三学生受“题型+技巧”毒害较深. 同时新 教材中凸显直观感知——归纳提炼——操作验证这一认知模式, 导致 一些学生注重直觉思维、淡化逻辑思维,忽视对问题的质疑和逻辑论 证. 对策:在教学中通过典型例题,不断强化学生认知,让学生明白 数学思想方法才是“无招胜有招”的根本大法,使学生自觉的模仿、 感悟、掌握各种数学思想方法,达到以不变应万变,全面提升数学综 合素质.因为教材是教师教学和学生学习的重要载体,具有很强示范 性, 因此建议教材编写者在教材中增加数学思想方法的专题或相关内 容,在配套教学用书增加相关的教学资源,让学生切实感到数学思想 方法不再遥远,让教师有法可依,有章可循. 3.数学基本功不扎实 俗话说,打铁还需自身硬,没有扎实的数学基本功,解题时就会 出现千疮百孔.问题 3 中构造函数 f ( x) =
ln x 并判断其单调性,可谓一 x ln 2 进行转化,思路何其自然, 马平川,很多学生欲借助对称性对 a = 2 ln 2 ln 4 看似“意料之外” ,实乃“意料之中” ,找不到的原因就是 而 = 2 4

基础不过关,有心无力. 对策:俗话说“万丈高楼平地起” ,分析自身的不足和发展所需,
36

夯实基础、着眼提升,一步一个脚印,不出现断层和真空,方能在解 决问题时随心所欲、信手拈来. 数学思想方法是数学的精髓,其教学价值是不言而喻的。但是, 数学思想方法的形成,需经历从模糊到清晰、从理解到应用的较长的 发展过程,因此,教学过程中,老师要扎扎实实地把数学思想和方法 的教学落在实处。这样,定能使我们的教学优质高效,学生的数学综 合素质节节攀高.

参考文献: 1、 2、 张顺燕.关于数学教学的若干认识,数学教育学报 2004.9 李昌湛.新课程理念下的数学生活化教学途径的探究.中学数

学研究,2007,2 3、潘新德. 七年级数学教学应重视数学思想方法的渗透,2011 ,7

新课标下对高中数学课堂教学的评价
广东省信宜市第三中学 周文龙

内容提要:在新课程标准下,对高中数学课堂教学的评价应包括如下几个 方面:一、对学生的评价:包括参与程度、对数学基础知识和基本技能的掌握程 度、学习能力。二、对教师的评价:包括对教材的处理、对学生的引导、指导示 范作用、反馈矫正、点拨。三、对师生互动的评价:包括气氛的宽松程度、课堂 气氛活跃程度、师生的精神状态;四、对教学手段的评价:课程标准要求高中数 学的教学要运用适当的信息技术,使用现代的数学手段进行演示、计算、画图。

新课程标准中, 关于高中数学的评价建议是这样说的: “数学学习的评价, 既要重视学生知识、技能的掌握和能力的提高,又要重视情感、态度和价值观的

37

变化; 既要重视学生学习水平的甄别, 又要重视其学习过程中主观能动性的发挥; 既要重视定量的认识,又要重视定性的分析;既要重视教育者对学生的评价,又 要重视学生的自评、互评。总之,应将评价贯穿数学学习的全过程,既要发挥评 价的甄别和选拨功能,更要突出评价的激励与发展功能。 ” 数学课堂教学是数学学习的重要环节,新课程标准下,数学课堂教学过程 是师生双方在数学教学目的指引下,以数学教材为中介,教师组织和引导学生主 动掌握数学知识、发展数学能力、形成良好个性心理品质的认识与发展相统一的 活动过程。所以对数学课堂教学的评价显得十分重要,我认为,对数学课堂教学 的评价是对课堂教学效果的评价, 以及对构成课堂教学过程各要素作用的分析和 评价。构成教学过程的要素包括教师、学生、教学内容、教学方法和教学环境等 方面,课堂教学的评价是多方面的综合评价: 一、对学生的评价。新课程标准认为学生是数学教学过程的主体,学生的 发展是教学活动的出发点和归宿,学生的学习应是发展学生心智、形成健全人格 的重要途径。因此,数学课堂教学过程是教师根据不同学习内容,让学生采取掌 握、接受、探究、模仿、体验等学习方式,使学生的学习成为在教师指导下主动 的、富有个性的过程。对学生数学课堂学习的评价包括如下几个方面: 1、参与程度。由于知识并不是主体对客观实在简单的被动反应,而是学 习者以自己已有知识和经验为基础的一个主动的构建过程, 同时学生的学习活动 是在一个特定的环境——学校里,在教师的直接指导下进行的。所以学生的学习 活动就成为一种特殊的建构活动,课堂学习是学生获得知识的重要途径,所以对 学生课堂学习的评价应体现学生的参与程度,关注学生是否肯思考、善于思考、 坚持思考并不断改进思考的方法和过程, 关注学生是否积极主动地参与数学学习 活动,是否愿意和能够与同伴交流数学学习的体会,与他人合作探究数学问题等 等。 2、对数学基础知识和基本技能的掌握程度。新课标对知识和能力分别有 不同的要求,对知识的要求有了解、理解、掌握三个层次。如关于幂函数有“结 合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x0.5 的图像, 了解它们的变化情况。 这要求不高。 ” “理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx.” “掌握等 差数列、 等比数列的通项公式与前 n 项和公式” 等等。 能力要求有 “空间想象力、

38

抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力”等等。学生对基础知识和基本技 能的理解和掌握是数学教学的基本要求, 所以是评价学生数学课堂学习的基本内 容。评价应关注学生对数学本质的理解和方法的把握程度,是否达到有关要求; 能否建立不同知识之间的联系,把握数学知识的结构、体系;能否在理解方法的 基础上,针对问题特点进行合理的选择、进而熟练地运用,能否恰当地运用数学 语言及自然语言进行表述与交流。 3、对学生学习能力的评价。学习能力的获得与提高是其自主学习,实现 可持续发展的关键。评价对此应有正确的导向,对学生数学课堂学习的评价应关 注学生是否有问题意识,是否善于发现和提出问题,在解决问题的过程中,既能 独立地思考,又能够与他人很好地合作,能否在教师的积极引导下,总结和发现 新问题、新方法。学生分析问题、解决问题的能力、自主学习能力等等是否得到 很好地提高。 二、对教师的评价。教师是数学教学过程的组织者和引导者。新课程要求 教师在设计教学目标、选择课程资源、组织教学活动、运用现代教育技术,以及 参与研制开发学校课程等方面, 必须围绕素质教育这个中心, 同时面向全体学生, 因材施教,创造性地进行教学。新课程标准下还要求教师学习、探索和积极运用 先进的教学方法和教学手段;不断提高师德素养和专业水平。因此,对教师的评 价,包括如下几个方面: 1、对教材的处理。新课程标准认为教材是数学教学过程的重要介质,教 师要做到教学内容处理科学、容量适当、目标明确、重点突出、难度合理、教学 活动所需要的相关资料充足,有利于学生进行观察、研究、猜测、推理、验证、 讨论等数学活动; 应做到概念讲透、 定理讲深、 例题讲明、 方法讲活、 题型讲足、 探究讲实、知识点讲全。数学教学过程中应依据课程标准,灵活地、创造性使用 教材。 如教师在 “不等式” 教学时, 针对教材中的定理: “如果 a、 c ∈ R+,a2+b2+c2 b、 ≥abc(当且仅当 a=b=c 时取“=")。教师可以引导学生质疑:是否一定要有 a、 ” b、c ∈ R+结论才能成立?引导学生思考、探索、讨论、验证等数学活动。所以, 评价应体现上述的方面。 2、对学生的引导。新教材的编写更注重创设问题情景,这些情景更贴近 生活,更具时代性。新教材并开设了“思考”“探究”“阅读与思考”等栏目, 、 、

39

教师应充分利用好这些材料,并增加适当的材料对学生进行引导,引导得好与否 应为课堂评价的内容之一。课堂教学的评价不该拘泥于教学方法的选择, “循循 善诱”应涵盖丰富的新观念。例如我们可以通过一道或几道典型例题,紧紧围绕 着数学知识的内在联系,反映不同的思维过程,从而达到事半功倍的教学效果。 举例:在学习数列后教师可以用例题:一个数列有四项,前三项成等差数列,后 三项成等比数列,第一项与第四项的和为 37,第二项与第三项的和为 36,求这 个数列。教师引导学生讨论就如何设这四个数引出 a、b、c、d 或 a、b、36-b、 37-a 等多种设法,再进行分析、比较,培养学生思维的多向性。 3、 指导示范作用。 传统的数学课程体系基本是严格按照科学体系展开的, 较少重视学生自己的经验,虽然对学生的“知识储备”起到了作用,但是学生的 视野、主动性和创造性受到抑制。这里的指导示范应建立在充分暴露学生头脑中 那些非正规数学知识和数学体验基础上,使其发展为科学的结论,并从中感受 到数学发展的乐趣,增进学好数学的信心,形成应用意识、创造意识,在这个环 节中,教师角色应由传统的课程组织体系的灌输者成为教育学意义上的对话者。 4、反馈矫正。因课堂教学的内容的不同,自然出现传统的“讲解法”与 新潮的“探究式”的教法选择,或许前者较易的掩盖问题矛盾,但后者所需时间 和知识容量间的矛盾也是显然的,这就要求充分了解学生并有预见性。提问和课 堂练习是知识反馈的重要途径, 它们应符合下列原则: 针对性原则、 科学性原则、 层次性与系统性原则、形式多样的原则等等,课堂评价一定要有所体现。我们认 为学生无问题可问,找不出问题的一堂课必存在着重大问题,于是把教师如何站 在学生角度并指导学生搜集问题、 整理问题、 解决问题作为一个重要的评价指标。 5、点拨。教师不可能也无法代替学生的思维。所以点拨应贯穿在整个课堂 教学过程中,较高的“点拨”艺术需要教育学、心理学技术的综合。 “豁然开朗” 、 “于无声处”见“成果”则是“点拨”的最高境界,因此,对教师课堂教学的评 价应体现教师的点拨作用。例: 如图.在矩形 ABCD 中, AB = 1 ,BC = a ,PA ⊥ 且 请问 BC 边上是否一定存在点 Q , 使得 PQ ⊥ QD ?为什么? 面 ABCD , PA = 1 ,

40

P

A

D

B Q C

?

2

可以这样点拨:若 BC 边上存在点 Q ,使得 PQ ⊥ QD ,则由 PA ⊥面 ABCD 及线面垂直定理可知 AQ ⊥ QD , 从而 Q 在以 AD 为直径的圆上, 在矩形 ABCD 中, 直线 BC 与以 AD 为直径的圆相离, 故不存在点 Q 使 AQ ⊥ QD , 当 AD = a < 2 时, 所以,当 a ≥ 2 时,才存在点 Q 使得 PQ ⊥ QD 。 三、对师生互动的评价。教学活动的核心是:重视学生对知识发生过程中 的心理体验、心智感受,并不断上升为理性的判断与创新,直到达到创新能力的 形成,具体到课堂教学,其核心观念是:数学教育中指导学生,把握好数学知识 方法体系与使学生体验数学知识方法的过程并重,所以,对课堂教学的评价应关 注师生互动。 1、气氛的宽松程度:学生的人格受到尊重,学生的讨论和回答问题得到 鼓励,学生质疑问难得到鼓励,学习进程有张有弛。 2、课堂气氛活跃程度:新课程标准下数学教学过程的核心要素是加强师 生相互沟通和交流,倡导教学民主,建立平等合作的师生关系,营造同学之间合 作学习的良好氛围,为学生的全面发展和健康成长创造有利的条件,因此数学教 学过程是师生交往、 共同发展的互动过程, 而互动必然是双向的, 而不是单向的。 课堂气氛活跃、有序、师生、生生平等交流、积极。 3、师生的精神状态:教师精神饱满,学生体验到学习和成功的愉悦,学 生的有进一步学习的愿望。

41

要使学生真正地、深刻地理解知识,教师需要就学习内容设计出有思考价 值的、有意义的问题,引导学生通过持续的概括、分析、推论、假设、检验等思 维活动,来建构起与此相关的知识。 四、教学手段的评价。新课程标准下教师已经不再是单纯地传授知识,而 是帮助学生吸收、选择和整理信息,带领学生去管理人类已形成和发展的认识成 果,不再是在课堂上千篇一律的死板讲授,代之而行的是主持和发展种种认知性 学习活动,师生共同参与探讨数学的神奇世界。课程标准要求高中数学的教学要 运用适当的信息技术,使用现代的数学手段进行演示、计算、画图,使学生掌握 知识的同时也时俱进。因此,对高中数学课堂教学的评价应也包括教学手段的使 用。 总之,新课程标准下对高中数学课堂教学的评价要全面考量、科学评价。 这样才能发挥其应有的作用。

附:高中数学课堂教学评价表

高中数学课堂教学评价表 授课教师 授课内容 授课班级 时 间

42

评价项目及分值 一、 学生方面 (35 分) 参与程度(10 分) 对数学基础知识和基本技能的掌握(15 分) 学生学习能力的提高(10 分) 对教材的处理(10 分) 二、 教师方面 (35 分) 对学生的引导(10 分) 指导示范(5 分) 反馈矫正(5 分) 点 三、 师生互动 (20 分) 拨(5 分)

得 分

课堂气氛(10 分) 精神状态(10 分)

四、教学手段(10 分) 总得分 备注

参考书目: 1、 《普通高中数学课程标准》 (实验)2003.4 2、 《关于数学课程教学评价体系的建构》 (作者:赵玉城, 《中学数学教与学》 2005 第 8 期) 3、 《数学课程教学评价体系的建构》 (作者:王汉岭, 《中学数学教与学》2005 第 5 期) 4.《新课标下数学教师如何把好数学教学关》 (作者:林志强, 《中学数学研究》 2010 第 1 期 写于 2012 年 12 月

? ? ? 高中数学分析和解决问题能力的组成及培养策略
化州实验中学? ? 姚华平 ? ? 摘要:分析和解决问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能 应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决生活中数学问题,并能用数 学语言正确地表述。它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能 力的综合体现。由于高考数学命题原则是在考查基础知识的基础上,注重对数学 思想和方法的考查,注重数学能力的考查,强调了综合性。这就对考生分析和解 决问题的能力提出了更高的要求,也使试卷题型更新更有开放性。

43

关键词:高中数学;分析和解决问题;能力的组成和培养。 纵观近几年的高考, 学生在分析和解决问题的能力这一方面失分的普遍存在, 这就要求我们教师在平时教学中注重分析和解决问题能力的培养, 以减少在这一 方面的失分。为此,我就分析和解决问题能力的组成及培养谈谈一些想法。 一、分析和解决问题能力的组成 1、审题能力 审题是对条件和问题进行全面认识, 对与条件和问题有关的全部情况进 行分析研究, 它是如何分析和解决问题的前提。 审题能力主要是指充分理解题意, 把握住题目本质的能力; 分析、 发现隐含条件以及化简、 转化已知和所求的能力。 要快捷、准确在解决问题,掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发 现隐含条件是至关重要的。 例1 已知 sin α + sin β = 2 , cos α + cos β =

2 3 , 求 tan α tan β 的值。 3

分析:怎样利用已知的二个等式?初看好象找不出条件和结论的联系。只好 从未知 tgαtgβ 入手,当然,首先想到的是把 tan α 、 tan β 分别求出,然后求出它 们的乘积,这是个办法,但是不好求;于是可考虑将 tgαtgβ 写成 向求 sin α sin β 、 cos α cos β 。令

sin α sin β ,转 cos α cos β

x = cos α cos β , y = sin α sin β ,于是 tan α tan β =

y 。 x

从方程的观点看,只要有 x 、 y 的二元一次方程就可求出 x 、 y 。于是转向 求

x + y = cos(α ? β ) , x ? y = cos(α + β ) 。
这样把问题转化为下列问题: 已知

sin α + sin β = 2 cos α + cos β = 2 3 3

① ②

求 cos(α + β ) 、 cos(α ? β ) 的值。 ①2+②2 得 2 + 2 cos(α ? β ) =

10 2 , cos(α ? β ) = 3 3



44

②2-①2 得 cos 2α + cos 2 β + 2 cos(α + β ) = 可以解决。

2 1 , cos(α + β ) = ? 。 这样问题就 3 5

从刚才的解答过程中可以看出, 解决此题的关键在于挖掘所求和条件之间的 联系,这需要一定的审题能力。由此可见,审题能力应是分析和解决问题能力的 一个基本组成部分。 2、合理应用知识、思想、方法解决问题的能力 高中数学知识包括函数、不等式、数列、三角函数、复数、立体几何、解析 几何等内容;数学思想包括数形结合、函数与方程思想、分类与讨论和等价转化 等;数学方法包括待定系数法、换元法、数学归纳法、反证法、配方法等基本方 法。只有理解和掌握数学基本知识、思想、方法,才能解决高中数学中的一些基 本问题,而合理选择和应用知识、思想、方法可以使问题解决得更迅速、顺畅。 例2 (2000 年全国高考题)设函数 f ( x) = x 2 + 1 ? ax 其中 a > 0.

(Ⅰ)解不等式 f ( x) ≤ 1 ; (Ⅱ)求 a 的取值范围,使函数 f ( x) 在 [0, + ∞ ) 上是单调函数。 解: (Ⅰ)不等式 f ( x) ≤ 1 即

x 2 + 1 ≤ 1 + ax,
由此得 1 ≤ 1 + ax, 即 ax ≥ 0, 其中常数 a > 0. 所以,原不等式等到价于

x 2 + 1 ≤ (1 + ax) 2 ,
x ≥ 0.



x ≥ 0,

(a 2 ? 1) x + 2a ≥ 0. 2a ? ? 所以,当 0 < a < 1 时,所给不等式的解集为 ? x 0 ≤ x ≤ ?; 1? a2 ? ?
当 a ≥ 1 时,所给不等式的解集为 {x x ≥ 0} .

45

(Ⅱ)在区间 [0, + ∞ ) 上任取 x1 , x 2 , 使得 x1 < x 2 .
2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x12 + 1 ? x 2 + 1 ? a( x1 ? x 2 )
2 x12 ? x 2 2 x12 + 1 + x 2 + 1

=

? a( x1 ? x 2 ) ? a).

= ( x1 ? x 2 )(
(ⅰ)当 a ≥ 1 时, ∵

x1 + x 2
2 x + 1 + x2 + 1 2 1

x1 + x 2
2 x12 + 1 + x 2 + 1

< 1,



x1 + x 2
2 x12 + 1 + x 2 + 1

? a < 0,

又 x1 ? x 2 < 0, ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) > 0, 即 f ( x1 ) > f ( x 2 ). 所以,当 a ≥ 1 时,函数 f (x) 在区间 [0, + ∞ ) 上是单调递减函数。 (ⅱ)当 0 < a < 1 时,在区间 [0, + ∞ ) 上存在两点 x1 = 0, x 2 = 足 f ( x1 ) = f ( x 2 ) = 1, 所以函数 f (x) 在区间 [0, + ∞ ) 上不是单调函数。 综上,当且仅当 a ≥ 1 时,函数 f (x) 在区间 [0, + ∞ ) 上是单调函数。 在上述的解答过程中可以看出,本题主要考查不等式的解法、函数的单调性 等基本知识,分类讨论的数学思想方法的运算、推理能力。 3、数学建模能力 近几年来,在高考数学试卷中,都有几道实际应用问题,这给学生的分 析和解决问题的能力提出了挑战。 而数学建模能力是解决实际应用问题的重要途 径和核心。 例 3 (1999 全国高考题)下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧 辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输出。

2a ,满 1? a2

46

(Ⅰ)输入带钢的厚度为 α ,输出带钢的厚度为 β ,若每对轧辊的减薄率不 超过 r0 。问冷轧机至少需要安装多少对轧辊? (
一对轧辊减薄率 = 输入该对的带钢厚度度 ? 从该对输出的带钢厚度 输入该对的带钢厚度



(Ⅱ)已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊,所有轧辊周长为 1600mm。 .若第 k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机 输出的带钢上,疵点的间距为 Lk 。为了便于检修,请计算 L1 、 L2 、 L3 并填入下 表(轧钢过程中,带钢宽度为变,且不考虑损耗) 。 轧辊序号
k

1 疵 点 间 距 Lk ( 单

2

3

4

位:mm)

1600

解:厚度为 α 的带钢经过减薄率均为 r0 的 n 对轧辊后厚度为 α (1 ? r0 ) n 。 为使输出带钢的厚度不超过 β ,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满 足

α (1 ? r0 ) n ≤ β ,


(1 ? r0 ) n ≤

由于 (1 ? r0 ) n > 0,

β β > 0 ,对上式两端取对数,得 n lg(1 ? r0 ) ≤ lg , α α
n≥ lg β ? lg α 。 lg(1 ? r0 )

β 。 α

由于 lg(1 ? r0 ) < 0 ,所以

47

因此,至少需要安装不小于

lg β ? lg α 的整数对轧辊。 lg(1 ? r0 )

(Ⅱ)第 k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带 钢的体积为

1600 ? α (1 ? r) k ? 宽度

(其中 r = 20 %) ,

而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 Lk ? α (1 ? r ) 4 ? 宽度 。

因宽度相等,且无损耗,由体积相等得
1600 ? α (1 ? r ) k = Lk ? α (1 ? r ) 4 (r = 20 %)

即 由此得 填表如下

Lk = 1600 ? 0.8 k ? 4 。 L3 = 2000(mm), L2 = 2500(mm), L1 = 3125(mm) 。

轧辊序号
k

1 疵 点 间 距 Lk ( 单

2

3

4

位:mm)

3125

2500

2000

1600

评述: (Ⅰ)题是一个常见的等比数列模型问题,即平均变化率类型,要解 决该问题关键是理解题中“若每对轧辊的减薄率不超过 r0 ”的含义; (Ⅱ)题若 通过合理联想, 带钢从第 k 对轧辊出口处两疵点间的距离和冷轧机出口处两疵点 间的距离的关系,由于在此过程中,两疵点间的钢板体积相等,故是一等体积几 何模型问题,可列式:
1600 ? α (1 ? r ) k ? 宽度 = Lk ? α (1 ? r ) 4 ? 宽度 。

在该题的解答中, 学生若没有一定的数学建模能力, 正确解决此题实属不易。 因此,建模能力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分。 二、培养和提高分析和解决问题能力的策略 1.重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法 数学思想较之数学基础知识, 有更高的层次和地位。 它蕴涵在数学知识发生、
48

发展和应用的过程中,它是一种数学意识,属于思维的范畴,用以对数学问题的 认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现,具有模式化与可操作性的 特征,可以作为解题的具体手段。只有对数学思想与方法概括了,才能在分析和 解决问题时得心应手;只有领悟了数学思想与方法,书本的、别人的知识技巧才 会变成自已的能力。 每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论, 如分类 讨论思想可以分成: (1)由于概念本身需要分类的,象等比数列的求和公式中对 公比 q 的分类和直线方程中对斜率 k 的分类等; (2)同解变形中需要分类的,如 含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。又如数学方法的选择, 二次函数问题常用配方法,含参问题常用待定系数法等。因此,在数学课堂教学 中应重视通性通法, 淡化特殊技巧, 使学生认识一种 “思想” “方法” 或 的个性, 即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效。 从而培养和提高学生合 理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。 2.加强应用题的教学,提高学生的模式识别能力 高考是注重能力的考试, 特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问 题的能力,更是考查的重点,而高考中的应用题就着重考查这方面的能力,这从 新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑 (新课程版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”。 ) 数学是充满模式的, 就解应用题而言, 对其数学模式的识别是解决它的前提。 由于高考考查的都不是原始的实际问题,命题者对生产、生活中的原始问题的设 计加工使每个应用题都有其数学模型。如 1997 年的“运输成本问题”为函数与 均值不等式;1998 年的“污水池问题”为函数、立几与均值不等式;1999 年的 “减薄率问题”是数列、不等式与方程;2000 年的“西红柿问题”是分段式的 一次函数与二次函数等等.在高中数学教学中,不但要重视应用题的教学,同时 要对应用题进行专题训练,引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型,这样学 生才能有的放矢,合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。 3.适当进行开放题和新型题的训练,拓宽学生的知识面 要分析和解决问题,必先理解题意,才能进一步运用数学思想和方法解决问 题。近年来,随着新技术革命的飞速发展,要求数学教育培养出更高数学素质、

49

具有更强的创造能力的人才,这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的 出现,更加注重了能力的考查。由于开放题的特征是题目的条件不充分,或没有 确定的结论,而新背景题的背景新,这样给学生在题意的理解和解题方法的选择 上制造了不少的麻烦,导致失分率较高。如 1999 年理科的第 16 题和第 22 题,很 多学生由于对“垄”和“减薄率不超过 r0 ”不理解而不知所措;又如 2000 年文 科第 16 题和第 21 题、2001 年春季高考的第 11 题,只有在读懂所给的图形的前 提下,才能正确作出解答。因此,在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的 训练,拓宽学生的知识面是提高学生分析和解决问题能力的必要的补充。 4.重视解题的回顾 在数学解题过程中,解决问题以后,再回过头来对自己的解题活动加以回顾 与探讨、分析与研究,是非常必要的一个重要环节。这是数学解题过程的最后阶 段,也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段。 解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果, 真正的目的是为了提高学生 分析和解决问题的能力,培养学生的创造精神,而这一教学目的恰恰主要通过回 顾解题的教学来实现。所以,在数学教学中要十分重视解题的回顾,与学生一起 对解题的结果和解法进行细致的分析,对解题的主要思想、关键因素和同一类型 问题的解法进行概括, 可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以 掌握,并将它们用到新的问题中去,成为以后分析和解决问题的有力武器。

参考文献 1.简洪权.高中数学运算能力的组成及培养策略。 《中学数学教学参考》 2000.1-2 2.张卫国.例谈高考应用题对能力的考查。 《中学数学研究》2001.3 3.普通高等学校招生全国统一考试说明。2001

50

新课标下学生学习方式的探究
茂名市实验中学 柯金花 摘要:数学新课程标准的核心理念是“以人为本”,“不同的人在数学上得 到不同的发展”。“学生的数学学习活动,不应只限于对概念、结论和技能的记 忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都应 是学习数学的重要方式”。因此,学生学习方式,不仅涉及具体的学习方法、策 略等,还应包括其学习是否具有自主性、探究性、合作性等基本特征。培养学生 学会学习、培养学生高效的学习方式,应是新课程改革的关键。本文就影响学生 学习因素及新课标下学生学习方式的特征, 并针对课堂教学中教师如何引导学生 转化学习方式作出的尝试进行探讨。

关键词:新课程标准;学习方式;自主;合作

新课程标准提出: 学生的数学学习活动不应只限于接受、 记忆、 模仿和练习, 还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式,这些方 式有助于发展学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在教师指导下的“再创 造”过程,教学中应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动,让学生体验 数学的发现和创造历程,发展他们的创新意识。 一、 影响学生学习方式的因素 1、 教材因素 学生的学习过程, 很大程度是看教材的, 教材就是一个导向, 教材编写的内容、难易程度、思想导向都直接影响着学生的学习。在新课标改革
51

中,我们看到数学教材在编写上是顺着学生的思路,采取探究、发现式编写的, 这为学生形成良好学习方式提供了基本保障。 2、学校因素 学校是学生学习的主要场所,学校的各方面都对学生的学习 方式产生影响。特别是学校的办学理念,直接影响整个学校的教学活动,当然对 学生的学习方式起着一个导向作用。 3、班集体因素 班集体是学生学习的主要场所。若班集体的班风好、学风 浓,在上课时气氛生动活泼,能在学习过程中体会到同学间的温暖,能在同学良 好学习方式上受到启发,这对自己形成合适、良好的学习方式将大有益处。 4、教师因素 不管是教材、学校还是班集体氛围的形成,直接的实施者还 是教师。对教材的解读,对学校理念的践行,促进班集体良好的学风,教师在教 育教学中都起着主导作用。在数学教学过程中,教师按照学生的认识规律,从学 生的实际出发,创设教学场景,调动学生的积极性,使学生参与课堂教学过程, 发现数学规律,从而乐学,好学,形成良好的学习方式。 二、新课标下学生学习方式的基本特征 1、自主性 自主性表现为有意识地克服和摆脱依赖他人心理,有自主学习 意识,积极主动地去探索、尝试、谋求自身创造潜能的发挥,并对学习过程主动 做出安排、调控,对学习结果做出反思。 2、合作性 合作性表现在学习者将自身的学习行为有机融人到小组的学习 活动中,并与同学之间、师生之间进行广泛合作与交流,积极发表己见,倾听异 己意见,互助互学,共同完成学习任务。 3、探究性 学习的本质是探究未知世界。探究学习就是探索未知问题,通 过独立自主发现问题,收集和处理信息,表达交流学习活动,从而构建知识,掌 握科学研究的方法和手段。 4、个性化 个性化表现在学习活动中不同于他人思维方式方法,具有明显 的独特性、差异性和独立性特征。每个学生独立意义和潜能发展不同,独立学习 的表现也不同。 5 问题性 问题性表现在学生以敏锐的洞察力发现问题,通过观察、分析、

推理和归纳等思维活动,提出解决问题的方案和结论,从中领略到学习的乐趣与 魅力。 三、课堂教学中新课标学习方式的尝试
52

教育改革要求我们,教学要以人为本,突出学生的主体作用。教师的教是为 了学生的学,教学的效果都在学生身上体现。从教与学关系而言,学生的学习方 式与教师的教学方式是一个有机整体, 特别是在课堂上教师的教学方式最终决定 了学生的学习方式。 要培养学生学习高效的学习方式还得从教师的教学模式和理 念做起。 (一) 、重视知识的形成过程 人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断的经历直观感知、观察发现、 归纳类比、空间想象、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构 等思维过程。重视过程就是要教师在教学设计中揭示知识的发生、发展过程,让 学生经历感知 (情景) ——概括 (建模) ——应用 (实践) ——拓展的整个过程。 教学中要多一些针对性练习,多一些有层次,有梯度的变式练习,避免盲目性, 避免机械重复练习。 比如,在讲解“已知三角函数的值求角”这个问题时,我总结出如下解题步 骤: (1)先根据函数值的正负判断所求角是第几象限角。 (2)求出函数值是正的 (3)若所求的角是第二象限角,则为 π - ? ;若所求的角是第三 所对应的锐角 ?。 象限角,则为 π + ? ;若所求的角是第四象限角,则为2 π - ? 。在做课后练习的 过程中, 非常顺利, 即使是学习比较差的同学也能掌握规律, 迅速得出正确答案。 而另一班级,在其它条件均未改变的条件下让学生自己利用前面所学知识,通过 函数图像得出结论,在这一过程中,很多学生感到困难。在做课后练习的过程中 很多同学通过与其他同学讨论才得出结果,而且只做了三道题就到了下课时间, 未完成本节课的要求。但一周后我再重新拿出这节课的一道题目,第一个班级中 只有几个善于复习的同学记住了规律,做出了此题。而第二个班级有一半多的同 学做出了此题。一个月后,我把这道题稍加深化重新考察,第一个班级中已经没 有同学会做这道题了,而第二个班级中仍有很多同学能够做出。可见,对第一个 班级采用只重视结果的教学,学生只会模仿老师总结出来的规律,思维得不到发 展, 是一种机械性的教学。 而对第二个班级的教学中重视知识的发生、 发展过程, 让学生感知了知识发展的整个过程,学生的思维得到发展,这样的教学效果比使 用前一种方法的教学效果明显要好很多,但仍不理想。在高考一轮复习中,我采 用了三角函数的定义让学生理解角与对应的三角函数之间的本质关系, 通过单位 圆与角终边的交点坐标的关系可以发现: 当正弦三角函数值相等时对应角的终边
53

关于 y 轴对称;当余弦三角函数值相等时对应的角终边关于 x 轴对称;当正切三 角函数值相等时对应的角终边关于原点对称; 三角函数的图象也是由定义得来的, 由定义直接得到的结论更直观、形象,学生也更易于接受。当然这个结论的探讨 必须由学生独立观察发现得出。结果两班学生对这一问题再也没有困惑,总能很 顺利地完成。 由实践我们能发现,经历知识的形成过程学生所需的时间更多,效果也不是 立竿见影的,但知识形成过程越周详,即用最原始的定义开始去渐进,学生的理 解会更直观,也更易于接受,且一旦接受就不易遗忘,知识的运用迁移也更得心 应手。 (二) 、创设“问题”,发挥学生的“主体”作用 一个匠心独具的问题, 往往会产生 “一石激起千层浪” 的效果。 教师设计 “教 学问题” 要有针对性, , 即针对教材的重点、 难点, 以及能引发学生思考的内容。 教师还应站在“导”的地位上不失时机、巧妙地以变式题组呈现,注重开放性和 发散性创设阶梯式的“问题”,发挥学生的“主体”作用,在合作互动中使学生 产生“有梯可上、步步提高”的成功感。 【案例】《立体图形的展开图》 : 课前准备:老师让学生以小组为单位,准备好多个正方体,剪刀。 目的:让学生动手实验,体会得出正确结论的过程,感受知识的形成过程。 师: 一只蚂蚁要从正方体的顶点 A1 爬到顶点 A2, 请你为它设计一条最近的 路线。
A2

A1

生: (思考一会后)根据 “两点之间,线段最短” , 我要先找出 A1A2 的距离,所以要把正方体展成平面。 师:说得好,那将一个正方体沿棱展开,你会得到 怎样的平面图形?先自己动手操作再与同伴交流。 (学生动手实验,并热列讨论) 生:老师,我发现,将一个正方体展开的平面图形是 6 个正方形连在一块
54

的平面图形。 师:那,是不是 6 个正方形连在一块的平面图形就一定能围成一个正方体 呢? (有争议,有的学生开始动手实验) 甲生:不行,象这样四个正方形在一条直线上时,如果另两个在它的同一 侧,就不能围成一个正方体(学生边说边把图画出来) 。 师:说得真好。还有没有其他情况? 乙生:如果 6 个正方形连在一块,其中含有“田”字形,也不能围成一个 正方体。 师: 补充得好, 说明你观察得很仔细。 (指着黑板上同学们展开的平面图形) 同学们,请你们总结一下,把一个正方体表面展开成平面图形共有哪些情况,你 们能不能对这些情况进行分类? (学生开始热烈讨论,方法不一。教师在一旁略加指导,对学生的不同意见 要多鼓励、多肯定) 学生代表一:可以分成三类:四个正方形在一直线上;三个正方形在一直 线上;二个正方形在一直线上。 学生代表二:可以分成四类:1-4-1 型;2-3-1 型;3-3 型;2-2-2 型。 通过学生的动手实践,掌握了正方体展开图的各种形式,加强了立体图形与 平面图形相互转化的的直观认识。我们经常会听到有学生说自己的立体感不强, 立体几何学不好,若能多通过这种体验式的操作,就能提高自己的立体感,并能 提高学习兴趣,从害怕转变为喜欢。而在这一过程中,老师的“问题”引导显得 举足轻重。 (三) 、引导学生主动参与 有效的教学要面向全体,学生的群体参与,互相启发所产生的互补、互促效 应是个人“单打独斗”无法比拟的.课堂应该是群言堂,教师要鼓励学生积极参 与教学活动, 包括思维参与和行为参与. 通过师生之间、 生生之间的提问、 对话、 分享观点、合作交流等方式,促进学生对数学知识的深刻理解,帮助学生不断克 服由于自身认识局限所导致的主观性偏差,引导学生的思维往辩证、深刻、合理 的方向发展。

55

学生的思维发展和能力的提升是一个由低级到高级的渐进过程, 教师要善于 搭建平台,遵循“最近发展区”的原则,巧妙地设置坡度适中的阶梯式问题,引 领学生积极参与,让学生沿着一个个台阶自然地登上“峰顶”,使其思维和能力 的发展渐渐地提升到一个又一个制高点,并切身感受到学习数学的乐趣。 比如:方程 cos2x+2sinx+2a-3=0 在[0,2π]内恰有两实根,求 a 的取值范 围。 我让学生思考后, 有的学生的解题思路是: sinx=t, 令 方程转化为 t2-t+1-a=0 有两实根,利用△≥0 即得 a 的范围。这样对吗?我让学生再思考,有的学生发 现:t∈ [-1,1],因此方程 t2-t+1-a=0 应在[-1,1]内有两实根,利用根的分布 可以求得的 a 的范围。是否正确呢?让学生进一步思考,有的学生发现:对于 t 在区间[-1,1]内的每一个值,在[0,2 π ]内都有两个 x 值与之对应,因此方程 1]内有且只有一根, 再利用根的分布进行求解。 这时, t2-t+1-a=0 应在区间[-1, 我提出,除此之外还有其他解法吗?让学生思考后,有的学生发现:把上面换元 所得的方程化为 a=t2-t+1,问题转化为函数图象 y=t2-t+1,t ∈[-1,1]与 y=a 有一交点。教师还可以进行变式训练,把原题中的“恰有两个实根”改为“有实 根”再让学生思考解决。像这样的问题情境,不仅激发了学生学习的好奇心、求 知欲,更重要的是扩展了他们思维的广度,增进了他们思维的深度。所以,只要 教师在课堂上巧妙地适时地设置问题情境,对学生进行思维广度与深度的训练, 学生的思维创造性便能得到充分发挥。主动参与的热情也就更高,这也正印证了 著名教育家契可夫说过的一句话:“教学中一旦触及学生的精神需求,这种教学 就能发挥高效作用。” (四) 、尊重个体差异,培养合作学习的意识 作为新课程倡导的三大学习方式之一的合作学习,它既是教师在课堂上的一 种教学组织形式,也是学生在集体学习中的一种学习方式。在形式上是有别于传 统教学的,它有力地挑战了教师“一言堂”的专制,同时也在课堂上给了学生自 主、 合作的机会, 目的是培养学生团体的合作和竞争意识, 发展交往与审美能力, 强调合作动机和个人责任。 如在学习“函数 y = A sin(ωx + ? ) 的图像”这节内容时,我有意识地把“函 ,让学 数 y = A sin(ωx + ? ) 的图像”设计为探究性课题,进行了一次“数学实验” 生4人一组,自定 A, ω , ? 的值,自主探究函数 y = sin x 与 y = sin ωx,
56

y = sin(ωx + ? ) , y = A sin(ωx + ? ) 的图像之间的关系,并要求每小组选出一名组

长,请他们在探究结束后代表小组做汇报发言,向大家介绍小组的探究历程、交 流实验心得、证明数学猜想。实践结果表明,学生们在“数学实验”中不仅兴趣 高涨,而且通过计算、观察、归纳、发现了函数图像的变化情况,体验了数学发 现、创造的历程,发展了创新意识,不仅认知结构得到发展,而且身心和品质也 得到发展。正如他们自己所说:要“细心、严谨、耐心、求真、勇于猜想,敢于 实验”“通过自己的思考与实践所获得的知识更有趣,也更牢固,凡事都应认真 。 对待,不能人云亦云,要探个明白才能下结论” 。 在倡导合作学习的过程中必须要处理好 “合作学习” “独立学习” 与 的关系。 1、“合作学习”应以个体探究为前提。 知识的掌握和内化,终究须通过个体的头脑才能完成,集体学习和思维必须 以个体的学习和思维为基础, 而且集体学习和思维的影响最终通过个体的学习和 思维而起作用。从这一点来讲,注重个体的独立探索显得尤为重要。在合作学习 前,教师应通过让学生尝试自学或独立思索某一问题,放手让学生自己决定探索 方向,鼓励学生选择自己的“数学语言”来表达,形成初步的个体化意见。所以 在合作学习前应给足学生独立思考的时间和空间,在这基础上再组织合作探索, 引导学生开展讨论、交流、操作等活动,才能让学生各抒己见,取长补短。 2、“合作学习”过程中需要学习个体的独立思考。 “合作学习”和“独立学习”应相辅相成,“边讨论边独立思考”才是合作 学习的有效方式。那种流于形式的合作学习,听起来很热闹,但根本就谈不上边 讨论边思考。所以老师要转变观念,使用合作学习的方式的同时也应从转变学生 的学习观念和培养学生良好的“合作学习”习惯和形式开始。应去帮助其克服依 赖性,使其懂得自己是学习的主人,充分认识到自身的潜能,树立起合作探索的 自信。 在合作学习时,发言的同学要轻轻、 慢慢地说,把自己要表达的意思说完整。 其他的同学要认真地倾听并且仔细地思考发言人的见解是否正确, 或自己还有什 么其他的见解要补充。当对同一问题有不同观点时,小组里也要安排时间让组员 去独立思考证明自己的观点是否正确,再一起讨论、研究。 3、“合作学习”完成后应当让学生个体进行反思。 从学生个体参与探索的心理视角分析, 独立探索有利于学生自觉参与问题的 思考与实践,逐步形成独立思考问题的能力和习惯,如果能在小组合作后留给学
57

生一点独立思考的时间,让学生来整理、归纳和总结对问题的理解或反思,无疑 更有利于学生个性的完善,更有利促进学生的发展。

[参考文献] 1、 《走出新课程课堂教学的误区》 高爱玲 杨志文 陕西师范大学中学数 学教学参考杂志社 2006.12 2、 《数学概念的理解与教学》 章建跃 陕西师范大学中学数学教学参考杂 志社 2010.11

3、 《新课程标准下学生学习方式的及其实施策略》 邵胜新
?

巧用比较法,优化数学课堂教学
化州市新安中学 马盛来

摘要:比较法是课堂数学教学的常用方法之一,将比较法恰当运 用于各个教学环节,能起到提高学习效率,培养学生的自学能力和发 展思维能力的作用。比较法是教学中行之有效的一种方法,具有内容 直观,印象鲜明,思路清晰,信息强烈等特点,能有效地帮助帮助学 生克服思维弱点,逐步培养良好的思维习惯,帮助学生对所学知识达 到确切地理解、牢固地掌握、正确地运用。

关鍵词:比较法;数学教学;优化 一、比较法在数学课堂教学中的作用? 1.提高学习效率? 数学教材中有许多既有联系,又有区别的相关知识,如映射与函 数,增函数与减函数,椭圆与双曲线等。教学上运用比较法,将概念

58

之间的异同点直观地揭示出来,使学生在比较中清晰地认识,在认识 中加深理解,在理解中牢固掌握,这就避免了学习的盲目性,提高了 学习效率。? 2.培养学习能力? 采用比较法教学的目的,不仅是让学生“学会” ,更重要的是让 学生 “会学” 教师在课堂教学过程中能恰当运用比较法, 。 久而久之, 学生也学会了运用这种用于学习活动, 从而培养学生自主获取知识的 能力。? 3.发展思维能力? 教学方法的有效运用,主要是激发学生的思考热情,使学生会思 考、善思考、勤思考。比较法能有效地引起学生的有意注意,通过对 知识的纵向和横向、局部与整体的比较,揭示知识的异同点与本质特 征,促使学生去观察、想象、判断、概括,从中接受常规推理方法的 训练,锻炼了思维,发展了思维能力。? 二、比较法在各教学环节中的运用? 1.比较引人,建立新知? 人们接受新知识,很大程度上依赖于已掌握的知识,教学上通过 比较引人的方法由旧知识导出新知识,能给学生一种“似曾相识”的 感觉,温故而知新,帮助学生接受新概念,如在“映射与函数”的教 学中;我放弃教材以三个例子归纳出映射概念的方法(因为这些例子 抽象难理解) ,而是给出以下两组图进行对比。? 通过两组图的比较,从三种对应(一对一,一对多,多对一)到

59

函数(旧知识)再到映射(新知识) ,就能直观地引导学生概括出

? 映射的概念,启发学生的积极思维。? ? 2、比较分析,指导析疑解难,理解新知识? 有的概念十分抽象,学生不易理解,学习困难大。运用比较方法 常常可化抽象为具体,化难为易,软化教学难点,还以映射与函数的 教学为例,我在利用比较法建立概念后,利用比较分析法,继续帮助 学生理解和掌握。? (1)区别与联系?
函数是数集 A 到数集 B 的对应 映射是集合 A 到集合 B 的对应

}函数是映射,但映射不一定是函数。?

(2)本质特征比较分析?

60

? 通过比较,引导学生再将映射与函数归结到对应(一对一或多对 一)这一本质特征上来,与引人概念时所用的例子相呼应。至此,映 射概念不再抽象难懂。? 3.? 比较综合,拓宽知识结构? 比较综合,是通过比较的形式帮助学生在原有的知识基础上,沟 通数学知识之间,如概念、相应定理、公式、法则之间的内在联系, 找出重点、关键,组成知识网络,以达到对所学知识的深入理解、融 会贯通、牢固掌握的目的。例如,在学习“直线方程的几种形式”一 节时,我抓住“点斜式”这一重点与关键,指导学生综合成比较框图 如下:?

? 通过框图揭示直线方程几种形式的关系与互相转化的条件, 促进

61

了学生对几种方程的进一步认识和记忆, 也使之对直线方程、 倾斜角、 斜率的概念及相关知识有更深刻的理解。? 4.比较练习,巩固新知? 练习是学生联系实际学习数学的主要方式, 不仅有利于培养学生 独立思考的精神和提高分析问题、解决问题的能力。反过来,对促进 知识的理解和掌握都有很好的作用。多让学生做一些比较练习,更是 巩固所学知识的基本方式和有效途径。? 3、 类似题比较?

安排一些形状相似,但思维方式解答方法都不同的题型,有助于 学生理顺解题思路,深化概念的理解。例如作差比较法是证明不等式 的重要方法,教学过程中我安排了以下练习内容:? 3 解不等式 2(X+3)>X‐1? 4 证明不等式 a 2 + a > 2a - 1(a ∈ R) ? 以此来说明解不等式与证明不等式是互逆思维过程, 使学生认清 了 “作差比较法” 的实质, 从而避免了 Q a 2 + a > 2a ? 1∴ a 2 ? a + 1 > 0 ……” “ 的逻辑推理错误。? (2)是非题比较? 这类练习,利于学生明确概念,加深记忆,提高学习效率。如在 学习空集概念时,我出示以下三组判断正误比较练习题,帮助学生正 确理解概念:? ① ②
{x | x 2 + 1 = 0, x ∈ R} = Φ;{x | x( x 2 + 1) = 0, x ∈ R} = Φ ?
{x | x > 2且x < 0} = Φ; {x | x > 2或x < 0} = Φ ?

62

③ ?

{( x, y ) | x ? y = 0且x + y = 0} = Φ;{( x, y ) | x + y = 1且2 x + 2 y = 1} = Φ

(3)互逆题比较? 数学中有许多互逆关系,如互逆概念、互逆运算、互逆公式等。 利用互逆比较练习, 既深化了学生的认识, 又培养了学生的逆向思维。 如:? 若 y=f(x)是奇函数,则 f(0)=?若 f(0)=0,y=f(x)是否奇函数?可以加 深对奇函数 f(‐x)=‐f(x)中 x 任意性的理解。? 又如同时给出把指数式化对数式,将对数式化指数式的练习题, 都能更好地帮助学生澄清指数与对数这对互逆概念。? 三、采用比较法教学应注意的问题? 1.注意直观,变抽象为形象? 用比较法组织教学,要遵循直观性原则,根据教学内容的需要, 设计直观形象的表达方式,如文字、图像、数式及框图等,板书设计 也要简洁、清晰,以增强比较效果,使学生对相关知识一目了然。还 要语调、音量、动作、线条、颜色等作为辅助手段,增加比较强度, 给学生以强烈的感官刺激,把抽的知识形象化、直观化,学生才能学 得懂、记得牢。? 2.注意启发,变讲为导? 用比较法教学,还要贯彻启发性原则,即抓住某一知识点为突破 口, 通过教师的质疑、 点拨, 既引导学生去求同, 又启发学生去探异, 共同揭示知识的本质特征和规律,一边综合一边板书,一幅完整的比

63

较框图很快跃现在学生眼前。 教师应避免将所教内容预先完整地板书 成比较框图,课堂上讲解一遍的做法。? 3.注意教学方法的灵活性,变单一化为多样化? 比较法是多种教学方法中的一种,是为教学目标服务的。因此, 根据不同的教学内容和学生的特点把比较法与其他教学方法结合起 来使用,讲究教学方法的多样化,避免单一化,才能收到好的教学效 果。? 总之,比较教学法具有内容直观,印象鲜明,思路清晰,信息强 烈等特点。将比较法贯穿于各教学环节,突出比较的作用,能有效地 激发学生的思维活动,克服思维弱点,逐步培养良好的思维习惯,帮 助学生对所学知识达到确切地理解、牢固地掌握、正确地运用三个层 次要求。?

多方展示思维过程? 让学生思维之花盛开?
茂名信宜市信宜中学董倍源 我们面临着一个不可回避的事实:举国上下“素质教育轰轰烈烈,应试教 育扎扎实实”的现状并没有得到根本改变.现在数学教学中采用“类型+方法” 的数学模式的现象仍很严重,学生只知其然不知其所以然. 长此以往,学生的 思维能力尤其是创新能力低下. 培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途 径,因此, 《普通高中数学课程标准》提出应注重提高学生的数学思维能力,即 要求数学教学不仅要传授数学知识,更重要是要传授获取数学知识的科学思维 方法. 正如我国近代思想家梁启超说: “教员不是拿所得的结果教人,更要紧的 是拿怎样得结果的方法教人”. 本文就如何抓住新一轮的数学课程改革机遇, 我们教师在教学活动中如何多方面、多角度展示思维过程,提升学生的思维能 力,谈谈个人的认识与思考.

64

一、

再现知识的形成背景,展示知识的内在思维过程?

“高中阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发 展. 使学生获得对数学理解的同时,在思维能力等多方面得到进步和发展.” 因此, 数学教学的过程应该是教师引导学生进行数学思维活动的过程, 使教材、 教师和学生三方面的思维结构有机地联系起来,相互沟通,达到培养学生思维 能力的目的.现行数学教材,基本上从数、式、形三线展开,从感性到理性作 多次的循环往复、螺旋上升,不断扩展知识的深度和广度,形成“知识链” , 前后紧密联系.
5 重视教材的联贯性,把知识理成“线”?

教师钻研教材要注意知识的联贯性,要弄清知识的来龙去脉. 备课时要根 据前后知识的内在联系,从而使学生的学习始终是“一线相牵,前后贯通”. 例如: “复数”这一章内容,贯穿全章的主线是:①为什么要引入复数; ②复数与实数的区别、联系;③解决复数问题的基本方法.在教学中每一内容 都要突出主线,同时要注意渗透数学思想. 因此教师讲课的重点应放在引导、分析上,也就是指导学生想问题. 如概 念形成的过程、问题被发现的过程、规律被揭示的过程、方法思考的过程、结 论推导的过程. 这样,必可使学生“知其然”亦“知其所以然” ,并学到正确 的思维方法.
2.? 再现知识的发生过程,展示知识的形成背景?

知识的发生过程,定理、公式的探索、发现过程,都蕴含着丰富的数学思 想、数学观点、数学方法. 在教学过程中,教师应为学生创设问题的情景,与 学生一起共同去“再发现”或“再创造”数学概念、公式、定理,并在“再现” 的过程中教给学生发现创造的方法. 这样不仅充分揭示问题的提出、形成、发 展过程,而且使学生在整个教学过程中始终处于积极的思维状态,达到思有源 泉、思有方向、思有所收获的目的. 尽管这个过程可能是片段的、基本的,但 学生会从中体验到成功的喜悦. 这对促进学生创造性思维能力的培养无疑是十 分有益的. 例如:我在讲授极坐标系这个内容之初,先用多煤体课件图文并茂地演示拯 救船如何确定求救船位置和路人问路两个生动形象的问题情景, 然后叫学生思考
65

讨论课本第 9 页“思考”内容,如下: 如图示:用点 A、B、C、D、E 分别表示教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、 办公楼的位置(如下图所示,其中四边形 ABCD 为 矩形) ,假设某同学在教学楼处,请回答下 列问题: 五、 他向东偏北 60o 方向走 120m 后到达
E 50 120m?
45 o

D

C

什么位置?该位置惟一确定吗? 六、 如果有人向他打听体育馆和办公楼

60 3m
X

60 o ?

的位置,他应如何描述? 过程:先让学生思考讨论,再引导他们 在为人指路时采用的方法,然后再给出自己

A(O)?

B

(课本 P9 思考图)

的解答,然后再让学生举出一些生活中用“距离”和“角度”刻画位置的事例. 形成概念:引导学生根据自己的生活经验注意到用距离与角度刻画位置时, 总是先固定一个位置作为基点, 并以某个方向作为参照方向, “北向东 30o, 例如 距离 100m”等.在此基础上,再让学生尝试类比平面直角坐标系的建立过程, 尝试建立极坐标系,教师引导归纳得极坐标系的相关概念. 这样设计让学生根据自己的生活经验与生活常识去感悟用 “距离” “方向” 与 来刻画位置的好处. 自然流畅,学生思维活动步步深入,始终处于积极兴奋探索 求新的最佳思维状态,使其在“迷惑”和“好奇”的感觉中,在跃跃欲试的心理 状态下,激起思维波动. 在教学中,教师有意识、有目的地把数学各分支的知识联系起来,互相渗 透、广泛联想,通过联想、类比出新,由新而生疑,激发学生的求知欲,实现 思维的突破、拓展,有利于提高学生的创造性思维能力.
二、解题教学展示教师思维过程,提高学生思维能力?

教师在整个教学过程中处于组织和调控的主导地位, 如果在教学中不讲思路 和过程,忽视思想和方法,照本宣科,将结论塞给学生. 这样无疑会造成学生 思维懒惰,使思维定势或僵化,思维的深刻性得不到发展. 展示思想过程,能 揭示知识的发生发展变化,使学生在掌握知识方法的同时,培养各种能力. 波

66

利亚曾提出要弄清“是怎样想到这个解法的?”“是什么促使你这样想、这样 、 做的?”这才是解题的价值所在.

?4 x ? ?4 x ? 【例 1】 已知点 M (?3, 0), N (3, 0) , P ( x, y ) 是区域 4 x 设 ? ?4 x ?
边界上的点,则下列式子恒成立的是 A. | PM | + | PN |≥ 10 C. | PM | + | PN |≤ 10 ( )

? 5 y + 20 ≥ 0 + 5 y + 20 ≥ 0 + 5 y ? 20 ≤ 0 ? 5 y ? 20 ≤ 0

B. | PM | ? | PN | ≥ 10 D. | PM | ? | PN | = 10

在讲评此题时, 先设问该题应怎么去想?切入点是什么?然后再引导学生观 察选项特征,到两点的距离之和(差)联系、联想椭圆、双曲线定义,然后数 形结合解题,展示教师解题的思维过程. 在解题教学时,教师不宜时时摆出“先知先觉”的姿态,有时应将自己定位 为一应试者,将要讲评的问题现场演绎推理,让学生看看老师在解决这个问题 时迂回曲折的思索过程,……,让同学们思维跟着老师的思维去思索,如此展 示教师思维过程有利于使学生尽快掌握解题的正确思维方法,提高思维能力. 展示教师思维过程同时,注意学生的反应和思维发展,根据学生的反馈及时调 整讲评进度和方法,形成教与学的双向交流. 正如我国科学家钱学森说的: “正 确的结果,是从大量错误中得出来的;没有大量错误作台阶,也就登不上最后 正确结果的高座.” 【例 2】设直线 l 与椭圆 x2 y2 + =1 相交于 A、B 两点,l 又与双曲线 x2 25 16

-y2=1 相交于 C、D 两点,C、D 三等分线段 AB.求直线 l 的方程. 教师展示思维过程:求直线 l 的方程显然可以从两种不同的途径入手,一 是待定系数法;二是想办法求出 A、B、C、D 中两个点的坐标. 那么,先尝试哪 一种方法呢?我特意先用第二种方法,因为字母运算比较繁杂,还没算完学生 就提出运用第一种方法应该比较快捷. 接着我再利用方法一和学生一起共同完 成: 首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况.

67

这时可设直线的方程为 y=kx+b. 由于题设与 A、B、C、D 四点有关,故可设 这四个交点坐标为:A(x1,y1) 、B(x2,y2) 、c(x3,y3) 、D(x4,y4).如果利 用两点间的距离公式来列等式求解,显然运算过于复杂.注意到
AC = DB ? x3 ? x1 = x 2 ? x 4 ? x1 + x 2 = x3 + x 4 . 这样就简便多了(解略).

回顾:很多时候我们并不都容易地找到正确或简捷的解题途径,当解题出 现错误或繁杂的时候,需找出发生的原因及根源,正确或简捷的解题方法往往 就在这个原因和根源之处找到. 在展示教师思维过程中需注意引导学生分析对比、归纳总结,使知识条理 化、系统化, 这样不仅有利于学生思维的条理性,而且有助于学生掌握化学知 识间的内在联系,加强记忆,并能及时联系相关知识,全方位进行思维.
三、反馈学生思维过程,培养学生思维的深刻性?

我们很多教师在教学过程中,对学生的学习能力往往并不完全信任,怕学 生出错,怕学生会浪费时间,总想搀扶着学生,甚至不惜去代替学生思维,因 此在教学过程中只重视正确的方法和步骤,而忽视了问题时思维过程的展示, 造成学生只懂得模仿,不懂得正确的思维方法,从而遇到“陌生”的问题时则 无从下手. 因此在教学过程中要关注学生的思维过程,要引导学生在探究中展 示自己的思维过程,做到动手与动脑相结合,引起学生思维的振动,形成科学 的思维方式.
1.利用阅卷反馈学生的思维过程,把握试卷讲评?

考试是学生运用知识的再学习过程,这一过程可暴露学生在基础知识、思考 问题的方法、以及存在的问题. 可是对于考试,许多学生,甚至教师却只关心 考试成绩,而忽视了考试中反馈出的问题及其补偿. 因此相应的试卷讲评不仅 是教学补偿的最佳时机,也是对学生评价补偿的最佳时机.那么如何利用阅卷中 的信息反馈提高试卷讲评质量呢? 【例 3】 某次考试中数列问题: 已求得 a n = 则 a n +1 会等于什么?

1 1 1 1 + + +L+ , n+1 n+ 2 n+ 3 n+n

68

很多的学生在这次考试中都得到

a n+1 =

1 1 1 1 1 + + + L+ + 的错误结果,暴露了学生没 n+1 n+ 2 n+ 3 n + n n + n + 1) (

有掌握此数列的本质,只进行了形式上的模仿变形 . 错必有因,教师要根据阅卷中反馈的信息,及时认真地进行分析和判断,找 出学生症结所在,然后在讲评中引导学生多角度、全方位、综合性地去思考问 题. 探究错在哪里?错的原因何在?这样在探求错因的过程中,学生自然而然 地加深了对知识的理解,分析问题也将更具有全面性和深刻性. 加强试卷讲评的针对性、科学性和艺术性,激发学生积极思维,使学生的知 识在双向反馈中条理化、系统化,同时分析、判断、迁移、总结等思维能力得 以发展提高.
2.利用提问反馈学生的思维过程,培养思维的深刻性?

在教学中教师要为学生营造民主、宽松、和谐的氛围,使学生在心理上有一 种安全感,心理安全是孕育学生主动发展的摇篮,有了心理安全才能使思维进入 兴奋点,学生才能够进行正常的质疑,敢于发表独特的见解,善于倾听别人的意 见,他们的思维能力在讨论和质疑中才能得到提高. 教师在这一活动中,要尊重 他们的个性,鼓励学生、激发学生积极参与、相互交流,使他们的思维随时迸发 智慧的火花. 教师更多地扮演一个忠实的听众,在适当的时候,给予一些点拨或 矛盾的激化,使学生的探究思维得以激发、升华.

?4 x ? ?4 x ? 【例 4】 已知点 M (?3, 0), N (3, 0) , P ( x, y ) 是区域 4 x 设 ? ?4 x ?
边界上的点,则下列式子恒成立的是 A. | PM | + | PN |≥ 10 C. | PM | + | PN |≤ 10 ( )

? 5 y + 20 ≥ 0 + 5 y + 20 ≥ 0 + 5 y ? 20 ≤ 0 ? 5 y ? 20 ≤ 0

B. | PM | ? | PN | ≥ 10 D. | PM | ? | PN | = 10

此例题提问学生了解到他们的思维过程:代边界上的特殊点得到选项 C,虽 然结果求对了,但是暴露了他们没有掌握基本方法.
69

【例 5】若 函 数 Y=F( x) x∈ R)的 图 象 关 于 直 线 x=A 与 x=B( a≠ b) ( 都 对 称 , 求 证 : F( x) 是 周 期 函 数 且 2( b-a) 是 它 的 一 个 周 期 . 我设置了以下一组问句启发引导:
① 本题的条件是什么?条件中的关键词语是什么? ② 本题的结论是什么?问题解决的切入点在哪? ③ 条件可进行怎样转化?转化后的条件与结论还有怎样的距离?

缩短距离的方法是什么?(探索解题思路)
④ 本题使用了哪些知识点及思想方法? ⑤ 由本题产生哪些猜想.怎样证明猜想?(反思过程)

课堂上常常通过一连串的问句, 质疑启发, 学 们 兴 趣 盎 然 , 极 讨 论 , 同 积 最 后 师 生 共 同 总 结 归 纳 出 一 些 正 确 命 题 . 设问需注意艺术性,设问巧妙思 路自然流畅,否则就会有生拉硬拽, “天上掉下帽子”的感觉. “道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”《学记》 ( )意思是说:引导学生而不牵 着学生走,策励学生而不推着学生走,启发学生而不代替学生达成结论. 提问 反馈学生的 思 维 活 动 过 程 , 教 师 能 清 楚 知 道 学 生 掌 握 的 情 况 , 及 时 进 行 引导纠正错误或加深理解.
? 四 、结束语?

展示思维过程培养和提高学生的思维能力,无论采取哪一种方法,其效果 都不会是立竿见影的. 因此,教师在展示思维过程方面也应该是长期的、经常 性的,无论是课堂教学或是课外辅导,自始至终都注重多方面、多角度展示思 维过程,有意揭示探索过程,教会学生如何发现问题,如何解决问题. 同时教 师还要了解学生,准确估计学生的思维角度,讲解时才能恰当引导,适时调整, 充分发挥教师的主导作用及学生的主体作用. 最大限度地激发了学生的参与热 情,使师生都溶合于数学思维的世界里,在潜移默化中锻炼学生的数学思维能 力,他们思维能力必定像雨后春笋一样破土而出节节高 .

参考文献:

70

[1] 凌小云、王列盈、范兆雄.《教育学》. 华南理工大学出版社,2001. [2] 郭思乐. 《现代教育论从》. 广东省报刊发行局,2007 年 1 月. [3] 郭思乐.《教育走向生本》.人民教育出版社 , 2001. [4] 王子兴. 《中学数学教育心理研究》. 湖南师范大学出版社,1999 年第一 版.

谈谈高中数学自学能力的培养
化州市官桥中学彭陈生
【摘要】 素质教育要求确立学生学习的主体地位, 这就要求我们教师要维护 学生自主学习、主动探究、自我发展的权利.这就需要培养学生的自学数学的能 力.一个学生如果不具备自学能力,也就意味着缺乏创新能力,因为自学能力是 创新能力的基础.就学科而言,数学是现代自然科学中的基础学科,数学自学能 力的培养在创新教育中就有着异乎寻常的意义.对于“科学技术就是生产力”的 今天也有异乎寻常的意义.要培养学生的自学数学的能力,首先要激发学习数学 的兴趣和动机,因为动机是激发自学的内驱力,有了自学的动力后,就要强化数 学阅读、思维能力的培养,这是数学自学能力的培养核心. 【关键词】自学,数学文化,思维能力,养成教育 客观地说,一个人的成就,很大程度上不是由谁教出来的,而是由他个人的 素质和自我努力决定的.辨证唯物主义者告诉我们,内因是决定的因素,外因只 能通过内因来起作用.这就要求我们,在学科教育中始终保持学生的学习主体地 位, 承认学生学习的过程是主动获取、 主动发展的过程, 甚至是 “刺激——反应” 的过程.明白这一点,我们做教师的,就不能光知道如何把学生教好,更重要的 是知道如何才能让学生学好.这实际上就是自学能力的培养问题.任何一门学科, 如果我们只知道如何去教而不注重学生自学能力的培养,这个教师是不及格的. 因为它违背了素质教育的方向,剥夺了学生自主学习、主动探究、自我发展的权 力.认识到这一点,作为高中数学教育,就理应重视自学能力的培养. 在高中学科中,数学是一门理论性,系统性都较强的学科,让学生自学有一

71

定的难度,这难度很大程度取决于学科本身的抽象性与灵活性.比较而言,人文 学科的自学要容易,即使素质差一点的学生,只要肯学,总会有所得,有所悟. 而自学数学要弄明白例题都不容易,更不用说有所得有所悟了.如果更高一层地 要求学生把数学作为发展自身的一种途径,视数学为发展自身的一种方式,通过 自学来真正认识数学,理解数学、掌握数学、应用数学,发挥自身的潜能和能动 性,形成对自己的主体意识,从而发展自己的创造性思维,这就更不容易了.这 就要我们数学教育工作者不得不在培养学生自学能力上下大功夫,花大力气. 当然,自学和自学能力培养有其相通的地方,可以说,自学是培养自学能力 的一种方式,但我们不能因此认为,日常教学中随意性地叫学生自学的行为就等 同于自学能力的培养.这之间是有差异的.这差异主要体现在两个方面, 前者缺乏 目标和计划, 带有随意性, 后者则有明确的目标和计划.社会认识学派 Zimmerman 提出的一个系统的自主学习研究框架可供我们参考.
科学的问题 1 为什么学 2 如何学 3 何时学 4 学什么 心理维度 动机 方法 时间 学习结果 任务条件 选择参与 选择方法 控制时限 控制学习结果 自主的实质 内在的或自我激发的 价值、归因等 有计划的或自动化的 定时而有效 对学习结果的自我意识 行为控制、意志等 对物质环境的敏感和随 5 在哪里学 环境 控制物质环境 机应变 对社会环境的敏感和随 6 与谁一起学 社会性 控制社会环境 机应变 选择榜样、寻求帮助 选择、组织学习环境 策略使用、放松等 时间计划和管理 自我监控、 自我判断、 自主过程 自我目标、自我效能

归纳起来,自主是其核心,包含三个层面,目标,计划,监控.这才称为严 格意义上自主学习,才有助于形成自学能力. 那么在高中阶段, 学生的数学自学能力该如何培养呢?我想可以在下面几个 方面着手. 一、首先激发学生自学数学的动机 动机是学习的内驱力,要培养自学数学能力,首先要培养学习数学的动机.

72

在我看来.动机的产生来自于数学的兴趣和正确的价值观, “好之者不如乐知者” , 一个人如果对数学乐在其中,以解题为乐,以解难为乐,就没有比这更好的内驱 力.那么,如何培养学生对数学的浓郁的趣味,我想可以从以下三个方面看.1、 善于发掘学科本身的情趣;2、具备良好的教育素质;3、善于深入浅出的讲解. 数学是抽象的.但数学教学不应该是抽象的.它也是一种文化,有思想,也有 感情,也有美感,教师在教学中应努力营造浓郁的文化氛围,让学生体会数学的 美感.任何一种艺术,都和数学息息相关.甚至,数学本身就是美学的四大构件之 一(史诗、音乐、造型、数学)毕达哥拉斯发现,在相同张力作用下的弦,当它们 的长度成简单的整数比时, 击弦发出的声音听起来是和谐的, 正是基于这种认识, 毕达哥拉斯派定出了韵律,达芬奇说: “任何人类的探索活动也不能成为科学, 除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明为自己开辟道路.”他甚至说: “欣赏我的作品的人,没有一个不是数学家.”简单,对称,完备,统一和谐, 所有这些既是数学的,也是美的.当然,这里无意主张在课堂上大谈特谈数学与 艺术的关系,只是说必要的时候,有意识地营造一种数学文化氛围,比如讲一些 数学史上的名人趣事,是有助于化解数学学科“面目可憎”的印象的. 此外,教师的教育素质也是很关键的.我做过一份问卷调查,在“你喜欢怎 样的数学教师”一栏里,70%的学生以“平易近人,幽默”作为首要条件.可见, 教师个人的品质修养和驾驭课堂的能力对培养学生的兴趣有非常密切的关系.很 难设想, 一个把数学课上得如同数学本身那样缺乏情感的教师可以培养出学生的 趣味. 当然,仅仅让学生觉得有趣并不能持久地维持学生的兴趣,重要的还是学科 知识本身.孔夫子说: “知之者不如好知者,好知者不如乐知者”虽然强调“好” , “乐”的重要,但“知之”是两者的前提.如果学生上课老是听不明白所讲的内 容,课后又无法运用所学的知识去解决问题,获得快感,那么,这种对数学的兴 趣当然只是空中楼阁.近年来,在测试评估方面,也有了改进:新大纲指出测试 和评估,一是评定学生的学习成绩,二是激励学生努力学习.甚至在考题的设置 上也要求“易于入手,难于解决” ,这些都有助于维持学生的学习兴趣,培养他 们的自学能力. 二、自学中注意阅读能力培养

73

在这方面,老师的合理指导、详细说明、和认真指点是不可缺少的,主要着 力于应该“读什么”及“怎样读”.“读什么”主要让学生首先认识到教科书的 重要,然后是对其练习和课外读物的选择.“怎样读”是这部分的核心.好方法多 种多样,但往往离不开“查”“思”“练”三个方面: 、 、 所谓“查”是指在阅读的过程中,常常会遇到一些不懂的概念,较为生疏的 问题,比如:符号“ x ∈ J ”中的“ J ”表示什么?“三面角”是什么样的角? 复数与点与向量之间的关系等等这些问题.这时要学会在向别人请教前,自己先 去查找相应资料,尽量通过对不同种样、不同层次的书籍,来对它进行了解和把 握.从某种意义上来说, “查” 是自学体现的第一步, 是开启通往知识宝库的钥匙! 所谓“思”是指对阅读材料的理解.读而不思,无异于囫囵吞枣,只有所读 到的知识与自己的思考融合在一起,才会学有所得.但这种对数学的理解,也由 于不同的学生有着不同的数学经验和知识积累,而呈现出差异,表现为机械的、 联系的、逻辑的、创造性的四种层次的理解水平.由此,老师要针对不同的水平 进而作不同程度的指引. 所谓“练”是指将阅读到的知识加以巩固,更深一层地掌握所学内容.老师 可以在学生“练”后,指导学生“举一反三”.并学会现实中的运用,使学生懂 得了数学本身是从量和形的角度对客观事物进行分析、研究的过程和结果.只有 做好这一点,才能更好地积累知识,为实现由知识到素质,进而发展成为能力做 好准备. 南昌二中数学教研组就做了很好的尝试.他们提出了培养学生自学能力的四 层次目标.第一是学生能在课堂上找出并初识概念,教师分析概念内涵及背景, 引导学生运用;第二是学生在理解概念后,能初步运用概念自行解决不同类型题 目;第三是在学生正确理解运用的基础上提出问题,由教师予以解答;第四是学 生提出问题由学生自己解答或教师提出问题由学生解答,遵照循序渐进原则,逐 步提高学生的自学能力和创新意识.在连续十年夺得高中数学联赛省团体冠军. 这就是一个很好的例子. 三、自学中独立思维能力的培养. 学习的过程是一个认识不断提高的过程,其中要学会去粗取精的筛选、去伪 存真的鉴别、由此及彼的联想、由表及里的深化……这些科学的思维方式,提高

74

学生独立思维的能力,可以说自学能力培养中的核心.主要有以下六个方面: (1)注意正向运用与逆向思维相结合 一个人的思维, 如果总是向着同一个方向发展, 总是按照同一种模式进行, 则很容易养成一种定向思维的习惯, 形成一套近乎格式化的模式, 造成思维单一、 迟缓、呆板、甚至僵化.因此,培养思维的可逆性是十分必要的,这里的可逆是 指“正向与逆向并重,灵活改变心理过程的思维方向”.以数学为例,正运算与 逆运算、 原命题与逆命、 原函数与反函数、 综合法与分析法以及公式的正反使用、 等价命题的充分、必要性等等,都可用来帮助学生将正向运用与逆向思维有机结 合在一起. 在数学解题中,正向思维是从题给的已知条件出发,按条件的先后顺序,按 常规的思路去研究某一数学问题,而逆向思维就是倒过来想问题.适时利用逆向 思维逐渐培养自己的独立思考能力,可独辟蹊径,突破难点,化繁为简. 例如:若 α 是第二象限角,计算:
2 + 2 cos α + 1 ? sin α ? sin

α
2

+ cos

α
2

之值.

习惯上,总是先分别脱去各根式的根号(即移出根号).那必须讨论

α
2

是第

几象限的角,这样的讨论历来是学生学习上的难点,并且计算繁锁,不易保证结 果的准确性,如果依相反方向思考,则有:
Q α 是第二象限角,∴ sin α < cos α < 0

∴ 原式= 2 + 2 cos α + 1 ? sin α ? 1 + sin α

= 2 + 2 cos α +

( 1 ? sin α ?

1 + sin α

)

2

= 2 + 2 cos α ? 2 ? 2 1 ? sin α = 2 + 2 cos α ? 2 + 2 cos α =0 这里采用了“移进”根号的方法和同次不同类的二次根式进行“合并” ,即 从 a2 = a
a + b ± 2 ab = a ± b (a > 0, b > 0) 的右端进行的逆向思维运算.

(2)培养自学中的发散思维

75

在数学教学中,通常是教师按照教材固有的知识结构,按照单向思维方式从 题目的条件和结论出发联想到已知的公理、定理、公式和性质,只从某一方向思 考问题,采用某一方法解决问题,应该说这种方式是解决问题的基本方法,但是 长期按照这种方式去思考问题就会形成“思绪定势”.因此,老师应该引导数学 的自学中,逐步养成用发散思维去思考问题,经常运用一题多思、一题多解、一 题多变等思索方法,鼓励学生在自学中,通过分析、综合、比较、抽象、概括等 方法, 对原有知识进行引伸与扩展.比如, 我在教学关于二次函数的最值问题时, 采用变式题组: ① 求函数 f ( x ) = 4 x 2 + 8 x + 7 的最小值.(3) ② 求函数 f ( x ) = 4 x 2 + 8 x + 3 在区间 [0,2] 上的最小值.(3) ③ 已知函数 f ( x ) = x 2 ? 8 x + a 在区间 [0,2] 上的最小值 3 ,求 a 的值. (a = 15) ④ 已知函数 f ( x ) = 4 x 2 ? 4ax + (a 2 ? 2a + 2) 在区间 [0,2] 上的最小值 3 , a 的 求 值.( a = 1 ? 2 或 5 + 10 ) 这一组题目由浅入深,由静到动,使学生由静态思维向动态思维发展,以培 养学生的发散思维. 学习的过程是一个不断拓展知识、掌握技艺、培养思维、提高能力的过程. 在这一过程中,既要有点的深度,又要有面的广度;既要有思维的集中,又要有 思维的发散.有时,发散型思维比集中型思维更具有突破性,发散型思维往往能 揭示不同事物的本质特征,反映已知与未知之间的普遍联系,表现事物发展的千 差万别.因此, 在要求学生认真思考, 广泛联想的基础上, 鼓励他们大胆猜想 (发 散型思维) ,小心求证(集中型思维)是培养学生思维能力的重要方面,也是培 养学生自学能力的不可缺少的重要环节. (3)重视问题解决的思维过程 著名数学教育家彼利亚曾经说过: “掌握数学意味着什么呢?这就是说善于 解题.不仅善于解一些标准问题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见 解独到和有发明创造的题.”事实上,对于一个题目,如果我们能“一目了然” , 并不是什么好事,实际效果是该题对提高知识水平,培养思维能力几乎没有什么 帮助.
76

自学不同于复习,它的根本任务是获取新知识,培养新能力,有时一而再, 再而三,甚至百思不得其解的过程,远比毫不费力,甚至不假思索便可实现问题 的解决、获取最终的结果来得更有意义. 面对一些实际问题,往往需要进行分析、综合、比较、抽象、概括、归纳、 演绎等一系列的高级心理活动,这些恰恰是培养学生独立思维能力的最佳途径. 如何由开始时的“处处碰碰” ,到后来的“初窥门径” ,以至最终的“真相大白” , 这一步步求得问题解决的过程,正是难苦历程的真实写照.只要时刻关注这一过 程,我们就会在不断积累和完善的基础上,促成心智活动的质的变化.比如我在 要求学生预习关于分段函数这一节课时,出了一道思考题:有日有人要买荔枝, 卖者说:买 10 斤以上就要 5 元/斤,买少于 10 斤就要 6 元/斤.问你买几斤? 关于这一问题的解决,我们的同学基本上都列出函数表达式
5 x ( 0 < x < 10 ) f (x) = 6 x ( x ≥ 10 )

至于买几斤的问题的争论主要局限于 10-12 斤之间,很

小有人考虑自己的需要,是否只需买一两斤就可以啦? (4)在自学中构建整体思维 整体思维是整体原理在数学中的反映.在数学解题中,同学们的思维不一定 要集中在问题的个别部分,有时要将一个局部看作一个整体,甚至将整个问题看 作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理后,达到顺 利而又简捷地解决问题的目的.
4(a + 1) 2a (a + 1) 2 例如,设对于 x ∈ R ,不等式 x log 2 + 2 x log 2 + log 2 >0恒 a a +1 4a 2
2

成立,求 a 的取值范围(1987 年全国高考题).若视 a 为主元,视 log 2 体问题就便于解决了.又比如下列一组问题: 1.求 sin 2 10 0 + cos 2 40 0 + sin 10 0 cos 40 0 的值. 2.求 cos 2 10 0 + cos 2 50 0 ? sin 40 0 sin 80 0 的值. 3.求 sin 2 20 0 + cos 2 80 0 + 3 sin 20 0 cos 80 0 的值. 4.求 sin 2 20 0 + cos 2 50 0 + sin 20 0 cos 50 0 的值.

a +1 为一整 2a

5.设 a, b, c, 分别是 ?ABC 的边 BC , CA, AB 的长,如果 a 2 + b 2 = 1995c 2 ,求
77

ctgC . ctgA + ctgB

利用余弦定理的三角形式 sin 2 C = sin 2 A + sin 2 B ? 2 sin A sin B cos C 把所求 问题看作一个整体, 就不必利用三角公式进行复杂的变换, 只需构造一个三角形, 便可化难为易,变繁为简,起到事半功倍之效. (5)注意自学中的直觉思维 当人们解一道数学题时,往往要对结果或解题途径先作大致的估计(估量) 或猜测,这就是一种直觉(思维) ,在解决抽象的数学问题时,要时刻注意利用 直觉思维解题, 以培养自己能把抽象转化为具体 (形象) 的能力.值得指出的是, 能把抽象转化为具体,本身也是一种抽象思维能力.例如 2000 年高考第 11 题: 过抛物线 y = ax 2 (a > 0 ) 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P, Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p , q 则 (A) 2a (B)
1 1 + 等于 p q

1 2a

(C) 4a

(D)

4 a

分析 1:首先抛物线方程化成标准形式为 x 2 = 求得 p = q =

1 y ,其次当 PQ 为通径时可 a

1 ,由此可知,本题答案为(C).分析 2:当直线 PQ 的斜率趋向 2a

于 + ∞ 时,其中一条(不妨设 PF )的长度趋向于 + ∞ ,而另一条趋向于 OF ,从 而可求得答案(C) ,十分简单. (6)培养批判性思维增加思维开拓的力度 所谓“批判性思维”就其实质而言,是指对所学的知识结构、基本理念进行 评估、审核与取舍,是一项“来料加工”工程,同时也是对思维的一种开拓与创 新. 从信息学的角度来看,信息的传播往往会产生衰弱和变异.即使是真实的信 息, 也会在传播的过程中有所损失, 取而代之的往往是一些主观的、 虚拟的东西. 因而,在思维过程中,我们不仅要力争求得问题的解决,而且要善于分析问题解 决的过程是否合理、思路是否清晰、结果是否简捷、形式是否完美、能力是否提 高、思维是否由此开拓等等. 四、抓“养成教育”是培养学生自学能力的必备手段
78

如果我们只是简单地将自学三、四本书,掌握一、两种方法看成是具备了良 好的自学能力,那无疑是一种错误.这是因为知识和能力原本就是各不相同的两 个概念.能力的形成往往要比知识的接受来得慢得多,但能力一旦形成往往会比 知识更具有持久性、耐用性,知识往往会由于遗忘而减少,并且需要不断更新, 能力只会在实践中不断得到加强与提高. 所有这些都在不断提醒我们: 能力不是一人、 一事、 一日、 一地就可完成的, 要将学生的自学能力培养好就必须抓“养成教育”.要想把“养成教育”抓好, 除了充分调动学生自学的积极性和主动性以外,还得使其保持自学的连续性、持 久性、稳定性. 在培养学生的自学能力的过程中,除了上述种种注意方面以外,还有一个很 容易让人忽略,但是很大程度影响学生的自学成效因素,即是老师在课堂上的表 现.老师应该在与学生的课堂交流中,呈现多边多向的互动性——尊重学生的独 立思考,尊重学生的个人习惯或经历,耐心接纳学生的差异甚至错误;保证学生 质问、提问的随机性与充分性,思维活动的发散性与求异性,思维结果的独特性 与多样性,语言表达的自主与畅通;要让学生体验到平等、自由、民主、信任、 友善、宽容,同时得到激励、鞭策、鼓舞、感化、召唤、指导、建议、达成师生 共享经验、知识、智慧、意义和价值. 以上是我就如何培养学生自学数学能力的一些基本意见, 当然会有很多不成 熟的地方.所谓抛砖引玉,希望能得到大家的批评意见.

【参考文献】 马平林: 《数学学习方法论》广西教育出版社 2003 年 10 月. 《高中数学课程教材讲习班专家讲课讲稿》 ,中国教育学会中学数学教学专业委 员会秘书处,2003 年 7 月. 《现代教育理论》中小学教师继续教育,中山大学出版 2004 年.

注重探究教学,培养创新能力
(广东省信宜市第二中学 一 引言 邓俏华)

79

我国的基础教育长期以来受应试教育模式的严重影响,在教学方法上,教师 在教学中占主体地位,学生被动地接受知识。这种“填鸭式”的教学模式,学生 学习的自主性和积极性差, 学习方式机械、 呆板, 以致思维能力差、 学习效率低, 很难适应更高一级学校的学习。他们缺乏创新精神和创新能力,日后参加工作表 现为技能单一,效率低下,竞争力差。因此,我们在教学过程中,必须结合所教 学科的特点,完善教学方法,注重学生的素质教育,注重创新精神和创新能力的 培养,为社会造就高素质的人才。如何实现以上目标呢?现我就中学数学教学中 如何使用 “探究式” 教学, 从而培养学生的创新能力方面, 谈谈自己的一些体会。 二 “探究式”与中学数学教学 “探究式”教学就是让学生独立思考,自行发现问题、自主探索、自主解决 问题,从而掌握原理、法则、方法、规律的一种教学方法。其目的是尽力发展学 生认识的可能性,使学生在掌握知识的过程中,进行研究、探讨和创造,从而培 养学生的研究性学习能力、创新精神和创新思维能力。 “探究式”主要用意在 于重视学生学习的主动性,把教学过程作为对进入感官的事物进行选择、替换、 储存和应用的过程。著名数学家华罗庚说: “数学是最宝贵的研究精神之一。 ”而 毕达哥拉斯说: 在数学的天地里重要的不是知道什么, “ 而是我们怎么知道什么。 ” 高中数学新课程标准明确要求以培养学生的创新精神和创新思维为主要任务之 一。 “探究式”教学进行时,学生的探究活动过程就是学生思维上的探究和实 践过程。 “探究”是培养学生创新精神和实践能力的一种教学方法,它符合中学 数学素质教育的总体要求。 三“探究式”在中学数学教学中的运用 在中学数学教学中如何进行“探究式”教学呢?我在教学《解三角形》中的 正弦定理教学进行如下尝试:
80

1、初探阶段 初探阶段是对数学新知识的初步认识,这种初步认识是感性的、零碎的,或 者说是表面的、朦胧的对知识的理解。它存在着数学新知识与学生原有知识如何 同化或顺应的问题。这些问题造成了学生深入理解新数学知识的困惑,但同时也 是学生力图解除困惑的动因。教师应充分利用这种困惑,设疑导入,并逐步抽象 和提炼,不断逼近数学新知识的本质,从而形成结论。这就可望形成学生积极参 与教学活动的氛围,奠定学生作为知识探究者的地位。这里的两个环节如下: (1)设疑导入 “问题是数学的心脏”“学起于思,思源于疑” , 。疑能使学生心理上感到困 惑,产生认知冲突,这种冲突是激发学生求知的动力,是探究的“催化剂” 。因 此,在教学过程一开始,就要紧紧围绕数学新知识内容,从实际需要或知识发展 入手,通过特殊化、类比、猜想等提出有针对性的问题,引入新课。 [问题 1]、利用投影展示:如图 1,一条河的两岸平行,河宽 d=1km,A 码头 正对岸的 B 处下游 1 km 有码头 C。已知某船在静水中的速度∣vl∣= 5 km∕h,水 流速度∣v2∣=3 km∕h。问应以怎样的航向航行船才能从 A 直线到达 C?需多少 时间? B C

A

图1

让学生分组讨论,先在练习本上做出与问题对应的示意图,情况如图 2,∣ AF∣=∣v1∣= 5,∣FE∣=∣AD∣=∣v2∣=3,易求得∠AEF= ∠EAD = 45°,还需
81

求 θ 及 v。不知道怎样解这两个问题,因为以前从未解过类似的问题。

图2 [问题 2]这问题的数学实质是什么? 学生讨论得出:在三角形中,已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 和第三边。 [问题 3]如何解决这两个问题? 充分讨论后得出:在任意三角形中,知任意两边与其对角之间的数量关系即 可。 至此,完成了设疑导入,学生从实际问题入手,探索解决问题的方法,提出 了数学的问题,提高了学生学习的主动性,培养了学生学习兴趣。 (2)形成结论 [问题 4]在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系。我们是 否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢?下面我们来探讨。 问题提出片刻后,即引导学生对结论进行合情推理,或观察,或实验,或猜 想,以使学生发现定理,并就条件和结论概括成命题。 [实验 1] 请大家取出经常使用的三角板,量出各边的长,各角的大小,看 a b c = = 它们的边长与角的关系。通过计算得   sin A sin B sin C [实验 2]画一个非直角三角形(三个角都是特殊角) ,重复实验 1,得到一样

82

的结论
a b c = = [猜想]任意的三角形的边角关系式:   sin A sin B sin C

2、构建阶段 构建阶段是对定理的进一步认识。它是使学生完成从感性到理性、从朦胧到 清晰、由表面到深入、由表象到本质的一个过程。探究阶段所形成的结论只是对 现象抽象的可能性结果,尚未经过形式逻辑的严格证明,还缺乏作为真理的力量 而使学生深信不疑。因此,构建阶段实际上就是使学生对所形成的结论在思想上 产生认同和确定,而推理验证和系统理解是两个必经的环节。 (1)推理验证 结论是否成立必须从理论上证明。由于定理的证明方法具有典型性,寻找证 明方法具有规律性,因此,必须启发学生分析证明思路,寻找证明方法,形成数 学思维。 [问题 5]所学过的有哪方面知识能将“边”“角”联系在一起? 、 经学生充分讨论得出:锐角三角函数或向量的数量积 利用锐角三角函数 [问题 6]请同学们想一想,我们以前遇到这种一般问题时,是怎样处理的? 通过讨论形成共识:先从特殊事例入手,寻求答案或发现解法。直角三角形 是三角形的特例,可以先在直角三角形中试探一下。 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,由锐角三角函数的定义易得:

a = c sin A ,
所以有:  

b = c sin, ∵ B

sinC =1

a b c 。 = = sin A sin B sin C

[问题 7]对于锐角三角形、钝角三角形的情形又如何,大家先考虑一下证明

83

思路。 经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值:1、 三角形的面积不变;2、三角形同一边上的高不变;3、三角形外接圆直径不变。 思路清了,放手让学生完成,教师注意点评。
r 利用向量的加法、 数量积。 如图 3, 在△ABC 中, A 作单位向量 j 垂直于 AC , 过

r uuu r 则有 j 与 AB 、 CB 的夹角分别为 90o ? A 、 90o ? C
由等式

B?

AC + CB = AB

r uuur uuu r r uuu r j ? ( AC + CB ) = j ? AB 得:

r j

? 图 3? C

A r r r r uuuu r uuuu r uuuu ∴    AC cos 90° + j CB cos(90° ? C ) = j AB cos(90° ? A) j

∴ a sin C = c sin A
即:

a c = sin A sin C
b c = sin B sin C

同理可得:

a b c = = ∴    sin A sin B sin C
通过学生的积极探索,从不同的角度、用各种不同的方法解决问题,学生的 思维活跃,创新意识和创新精神得到培养。 (2)系统理解 通过定理的形成、证明,学生心中引入时的“疑”已烟消云散了,成功感会 油然而生,心理上处于兴奋状态。此时,应趁热打铁,引导学生对定理进行全面 的分析和领会,细致地进行观察,不仅在形式上,而且要在本质上加深对定理的 理解。 同时, 对证明的方法和思维方法进行总结, 对证明过程进行延伸, 多层次、

84

多角度加深对定理的理解,为其应用奠定基础。 总结证明的思路寻找:由特殊入手,特殊到一般,完全归纳。或利用向量的 加法和数量积使之沟通边、角的关系。 3、深化阶段 深化阶段是对定理的掌握和应用。 它是由实践中来又回到实践中去的认识的 一个重要阶段,是学生认知上的再探究,是认识的逐步深入,以及在及时反馈的 条件下修正对定理认识的偏差或误解,使认识完善。可通过分层应用,运用是加 深对知识理解的必要环节,也是能力培养的主渠道。但对知识的理解和能力的培 养都必须遵循循序渐进的原则。为此,在应用上可分层进行,由易到难,拾级而 上,变式展开,形成梯度。如进行下面有梯度的题组练习: 练习 1:在△ABC 中,已知 A=30°,B=75°,a=1. 求 c。 练习 2:在△ABC 中,已知 a=28,b=20,A=40°. 解此三角形。 练习 3:在△ABC 中,已知 a=20,b=28,A=40°. 解此三角形。 练习 4: 如图所示, 在四边形 ABCD 中,AC 平分∠ DAB , 三角形 ADC 的面积为
15 3 , AC = 7, AD = 6 ,求 AB 的长. 2

探究式的教学程序是:教师精心设计问题→学生回忆、讨 论交流→学生批判性反思→教师批判性引导→学生批判性总结→教师批判性评 价→学生个性发展;也可以是教师抛砖引玉,学生发散思维,编制网络,由里往 外,提出问题,解决问题,总结反思拓展提高,在讲练中进步,在反馈中提高, 逐步形成技能培养能力。这样通过教师的分层设问,引导学生主动探索,层层发 现,在发现的过程中学生的创新精神得到充分的培养。 四、 “探究式”教学应注意的问题 1、必须以学生为主体,面向全体同学
85

“问题”必须符合学生的知识水平和心理特点,如果设置的问题过于简单, 学生会觉得没意思,而过难或偏离学生的知识水平,则不利于“发现” ,所设的 问题应在学生的最近发现区内,要使学生有“跳一跳,可达到”的感觉。不能只 是几个尖子生去探究, 应该分层次设计数学课堂教学。不放过任何一种方法, 每一种方法都让不同层次的学生去分析,去讲解,让大家去评判,去反思。简单 的问题让差生讲,难的问题让优等生讲,不歧视任何一个学生,为每一个学生创 设良好的思维空间,最大限度地调动每一个学生的探究积极性。在分析中理解; 在讲解中明白;在评判中掌握;在反思中深化与提高。 2、要充分发挥教师在教学中的主导作用 在“探究式”教学中,教师的主导作用不能忽视或降低,而应不断提高,只 不过它应以间接控制的方式体现出来,如严密的教学设计,敏锐的观察,灵活的 调节,必要的归纳总结和补充等。探究式的教学要求教师有足够的耐心和勇气。 “耐心”表现在教师要善于控制急于“点化”学生的心理; “勇气”表现在教师 要敢于“浪费”时间。在教学内容、教学时间、教学活动中大量使用“布白”艺 术应是一种很好的尝试,通过“布白” ,给学生的发现留有内容上的余地、思维 上的空间,可以使师生有充分暴露自己思维过程的机会,利于发现问题,解决问 题。此外还要注意保护学生的思维火花。要让学生在轻松、愉快的心境下,体验 发现的乐趣。

2013 年 1 月 10 日

参考文献: 1、 《普通高中课程标准实验教科书》数学①②③④⑤必修
86

2、布鲁纳.《教育过程》 ,文化教育出版社,1982 年 3、 冯克诚等. 《素质教育模式与评估督导实用全书》 中国民主法制出版社, , 1998 年
? ?

两种教学方式的角力
——论新课改下高中数学课堂教学方式的“和平演变”
化州市实验中学 房振声

内容摘要: 当前我国数学课堂教学存在着两种不同的取向——讲授式教学和探究 式教学。这两种教学方式,在教育理念、教学方法乃至教学效果等方 面,正处于激烈角力的阶段,这是数学教学改革进步的表现。而且在 高中数学课堂教学中培养学生独立思考、积极探索的习惯,发展他们 的创新意识,是素质教育主要任务之一。因此,在新课改理念下高中 数学课堂教学方式应当进行“和平演变” 。

关键词:教学方式 角力 新课改 高中数学 和平演变

国家教育部 2003 年 4 月颁布的普通高中 《数学课程标准》 中明确提出, “丰 富学生的学习方式、改进学生的学习方法,是高中数学课程追求的基本理念”, “学生的数学学习活动,不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受, 独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都应是学习数学的重要 方式” [1]。这就说明了正在进行的新课程改革将促进学习方式的变革作为教学改 革的重中之重,力图以学生学习方式的变革为着眼点,在高中数学课堂教学中培 养学生独立思考、积极探索的习惯,发展他们的创新意识。而教学过程是由师生 共同来完成的,学生的学习方式主要取决于教师的教学方式。所以,笔者认为要
87

改进学生的学习方式,首先要改变老师的教学方式。新课改背景下,数学老师应 该在掌握学习方式的有关理论的基础之上,把握新课程的内涵,努力改变自己的 教学方式,从而更快地推动学生学习方式的变革,帮助学生的学习发生实质性的 变化。 有鉴于此, 本方试图就高中数学课堂教学方式如何 “和平演变” 进行探讨, 以期能为新课程改革和提高数学课堂教学质量贡献一份绵薄之力。 二、高中数学课堂教学方式的现状 当前我国数学课堂教学存在着两种不同的取向——讲授式教学和探究式教 学。讲授式教学模式基本上是灌输——接受,学生学习方式基本是听讲——练习 ——再现教师传授的知识,完全处于一种被动接受的状态,教师注重的是如何把 知识、结论准确的给学生讲清楚,学生只要全神贯注地听,把老师讲的记下来, 考试时准确无误的答在试卷上,就算完成了学习任务。而探究式教学模式却是在 课堂教学中,把学习的主动权交给学生,让学生主动体会数学学习方式的改变, 让学生在数学学习中由“被动”变“主动” ,由简单“学会”到“会学”数学, 这个教学方式中“动手实践,主动探究,合作交流”是处于中心位置的。 三、新课改下高中数学课堂教学方式“和平演变”的原因 1、教学方式的演变是数学教学大纲的要求。新编《全日制普通高级中 学数学教学大纲》对数学教学提出了以下要求: “在数学教学过程中注重培养 学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力,发展学生的创新意 识和应用意识,提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力, 进 一 步 发 展 学 生 的 数 学 实 践 能 力 。 [ 2] 这 就 决 定 了 高 中 数 学 课 堂 教 学 方 式 ” 必须由讲授式教学“和平演变”为探究式教学。 2、教学方式的演变是数学教学改革的需要。在知识激增、信息爆炸的 现今时代,贮存许多知识并不是最重要的,而学会如何寻求和获得知识才更有意 义。因此,转变学习方式显得尤为重要和紧迫。这两种教学方式,在教育理念、 教学方法乃至教学效果等方面,正处于激烈角力的阶段,这是数学教学改革进步 的表现。 3、教学方式的演变也是高考的需要。从考试角度上说,近年新定义 运算、创新性应用题在高考试题中反复出现,重在考查创新能力的趋势

88

越来越明显,特别是应用题的教学一向是中学数学教学中的热点、难点 问题。 四、新课标下高中数学课堂教学方式“和平演变”的具体做法 (一)教学设计中渗透“和平演变”的意识 俗话说得好:成功总是属于有准备的人。同理,要想在数学课堂中取得好的 教学效果和达成预期目标, 那么在做教学设计时就应注意对教学内容作适当设计。 好的计划相当于成功了一半,有了这个“和平演变”意识,教师在设计教案时自 然就要进行观念转变和角色转换,去构建一种交往互动的师生关系和教学关系。 例如,在学习必修 1《函数模型及其应用》时,可以引导学生通过对比三种 函数图象来理解“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”现象,特别是“指 数爆炸”增长速度之快令人兴奋,学生的注意力很容易集中起来,接着假设:你 是厂长,请解决实际问题,迅速使学生进入角色,学生的学习积极性自然地被调 动起来了(此时分小组动手实践,并让组内成员合作交流)。鼓励学生积极解决 问题,让小组同学互相检查,共同总结解决问题的方法。课后要求学生对自己的 学习进行评价,找出补救措施进行补救。
y 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -2 -1 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 y = l g (x) o y = 10^x y=x

﹙二﹚立足学生生活实际,情境教学促教学方式“和平演变”

89

教学情境是联系数学与现实世界的纽带,是沟通数学与现实生活的桥梁。一个好 的教学情境能激发学生的学习兴趣和探索欲望,它所蕴涵的大量数学信息能给学生提 供广泛的数学活动的机会。 比如学习数学必修 5《数列》时,我们会发现在实际生活和经济活动中,很多问题 都与数列相关。如人们在贷款、储蓄、购房、购物等问题都可以运用所学数列知识进 行分析,从而得以解决。 因此可以创设情境问题如下: 购车中的数学 家庭 经济 状况 家庭每月总收入 3000 元,年收入 3.6 万元。现在存款 4 万元, 但是必须留 2~3 万元以备急用。 1.买低档新车: 预选 方案 一辆新车 6 万元,贷款的话要求首付 30%。 2.买高档新车: 一辆二手车 20 万元,贷款的话要求首付 30%。 购买新车是需要贷款的,请同学们算一算经济帐,哪个是最佳选择?(只按贷款 5 年期,年利率为 7%计算。 )你可以借助互联网查找、或相关机构咨询。以上例子说明, 从学生生活实际出发,联系学生已有知识探究“数列求和” ,让学生亲历了数列求和结 果的形成过程,会对学生有极大的帮助。如果我们用讲授式教学模式,效果相信会大 打折扣的,所以教学方式不是一直在慢慢“和平演变”吗? (三)利用现代信息技术加速教学方式的“和平演变” 现代信息技术是一门综合性很强的技术,运用信息技术获取、加工信息与处理、 解决问题的能力,是现代人生存和发展的基本素质构成之一。主动参与、乐于探究、 交流合作的学习方式也因其个体终身发展中的重要性而成为课程改革的核心[3]。因此, 在学生学习方式转变过程中运用多样化的教学手段显得非常必要。 1.积极开发以计算机为核心的教育技术资源,为实现探究式学习、发现式学习和 小组协作学习提供广阔的空间。 首先,合理利用文本、图形、图像、音频、视频等媒体手段,使学习内容有形有 声有色,这不仅具有较强的直观性,而且能够引导学习者直接认识事物的发展规律和

90

本质属性。 其次,计算机网络特性有利于实现协作式学习。基于网络的协作探究学习,主要 是通过课程中的内容设计探究性主题任务,学习者组合成小组,分别进行组内协作和 小组间互动,从事研究性活动,达到学习的目的。 2.充分利用多媒体技术,调动学习者多种感官学习,实现学习的生活化。 多媒体技术可以调动学习者多种感官学习,有利于知识的获取和保持。多媒体技 术既能看得见,又能听得见,还能用手操作。通过多种感官的刺激所获取的信息量, 比单一地听老师讲课强得多,学习者在现代教育技术营造的教育环境中学习,各种感 官被充分调动起来,思维活跃,更能积极地参与到教学过程中。 3.现代教育技术的信息资源为实现自我控制的学习、自主学习和个性化的学习提 供了便利,使学习更具有开放性。 (四)让质疑数学问题刺激教学方式的“和平演变” 孔子日: “疑是思之始,学之端。;美国教育家布鲁巴克也指出: ” “最精湛的教学 艺术,遵循的最高准则是让学生自己提出问题。 ”因此鼓励学生质疑、培养学生发现问 题、提出问题、进而解决问题,是培养学生学会学习的重要途径。 “学贵有疑” ,培养学生质疑提问的意识,首先应给学生营造一个宽松、民主、和 谐的学习气氛;其次根据具体的内容,诱导学生通过观察、类比、猜想,提出概括性、 置疑性、探究性或猜想性的问题,并鼓励学生去大胆地解决。另一方面,教师要善待 学生提出的每个问题,能提出问题说明学生认真思考了问题。课堂教学中教师应鼓励 学生大胆发言,对于那些容易混淆的概念,没有把握的结论、疑问,积极引导学生讨 论,真理是愈辩愈明,疑点愈理愈清。 (五)教学方式“和平演变”的催化剂——反思 所谓反思,就是从一个新的角度,多层次、多角度地对问题及解决问题的思维过 程进行全面的考察、分析和思考。 《新课标》指出: “人们在学习数学和运用数学解决 问题时,不断地经历直观感知,……反思与建构等思维过程,这些过程是数学思维能 力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。 [1]同 ” 时提出,评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程,并改进学习方法” 。荷 兰著名数学家弗赖登塔尔曾指出, “反思是数学思维活动的核心和动力”“通过反思才 , 能使现实世界数学化。 ”通过反思,可以深化对问题的理解,优化思维过程,揭示问题

91

本质,探索一般规律;通过反思,可以沟通知识间的相互联系,从而促进知识的同化 和迁移,产生新的发现。因此,反思是一种积极的思维活动,在教学中引导学生学会 积极的反思,对于培养学生学会学习是非常重要的。 没有反思的听课是被动的、肤浅的;没有反思的解题是机械的、重复的,反思课 堂学习,建立学习档案,是养成良好反思习惯的途径[4]。笔者觉得博客是一个不错的交 流工具,在博客上教师可以跟学生讨论课堂上教师示范解题的过程中学生自己想到但 未与教师交流的问题;作业中对某些习题不同解法的探讨;学习情感、体验的感受等, 也可以在博客上以数学周记(随记) 、数学小论文的形式记录下来,让师生之间互相了 解、互相交流。同时,还应指导学生建立学习档案,学习档案内容可丰富多样,如自 己设定的学习目标,好的习题解法或学习方法,容易解错的习题,学习失败的教训等。 在数学学习中,只有不断地反思,才会不断进步。 总之,培养学生学会学习、促进学生学习方式的转变,不仅涉及具体的学习方法, 还应包括其学习是否具有自主性、探究性、合作性等基本特征。学生学习方式的变革 离不开教师教学方式的变革,既然新课程改革的一个主要目标是让学生的学习方式发 生根本性转变,期望学生在基础教育阶段构建一种自主的、探究的、合作的、终身的学 习模式,这就要求教师要进行观念转变和角色转换,在数学教学中有意识地去促进两种 教学方式的“和平演变” 。

【参考文献】 七、 八、 九、 十、 国家教育部. 普通高中数学课程标准(实验)人民教育出版社.2003 国家教育部. 全日制普通高级中学数学教学大纲 2004 郑金洲主编.基于新课程的课堂教学改革. 福建教育出版社, 2003 潘慧春. 教师教育观念的转变与教学方式的变革. 2003

“数学阅读”使数学不再难学
-----结合 2011 年广东普通高考理科数学解答题谈谈
化州市第九中学赵理稳
[ 摘要 ] :大部分学生上高中以后,反映数学学得很困难,不得要领,慢慢害怕数学。为 了解决这个问题,本文提出了“提高学生的数学阅读能力”的方法,可以使学生不再害怕数 学,使数学不再难学。本文通过阐述培养学生阅读能力的重要性,如何提高学生数学阅读能

92

力的方法:课堂教学里用“这句话,你想到了什么?”的教学语言载体,培养学生在阅读中 如何去获取信息,如何去思考。还通过举实例:结合 2011 年广东普通高考理科数学的解答 题,在“立几、解几、数列”这三道学生害怕而且耗时的解答题中,应该怎么阅读,如何通 过阅读轻松的解决这三道大题。实践教学中,确实使大部分学生通过提高数学阅读能力,学 习数学变得非常轻松,成绩进步很快。

[ 关键词 ] :数学阅读、阅读方法、高考解答题。

大部分学生上高中以后,普遍反映感觉数学很抽象、很难学,不得要领,慢 慢的就害怕数学,慢慢的失去了学习数学的兴趣。为了解决这个问题,我提出我 的课堂教学方法: “提高数学阅读能力教学法” 这是一种运用课堂教学引导语 , 言: “由这句话, 你想到了什么…” 为载体, 培养学生在阅读中如何去获取信息, 如何去思考的一种学习方法。我在多年的教学实践中,一直坚持以提高学生的数 学阅读能力为手段,对于各种层次的学生,通过提高阅读能力贯穿,层次低的学 生学习数学的兴趣大增,成绩提高很快,层次高的学生轻轻松松的成绩就稳定在 高分或满分,特别是这几年带的高三学生,层次很低,但在复习课中慢慢提高了 数学阅读能力,终于找到了方法,数学兴趣大大提高,数学成绩进步很快,在这 些教学实践的检验中,使我更坚信提高数学阅读能力是开启数学宝库的金钥匙。 一、培养学生数学阅读能力的重要性 数学是一种语言,不过,这种语言是“慎重的、有意的而且经常是精心设计 的” 。美国著名心理学家龙菲尔德说: “数学不过是语言所能达到的最高境界。 ” 苏联数学教育家斯托利亚尔则认为: “数学教学也就是数学语言的教学。 ”而语言 的学习是离不开阅读的,数学阅读过程同一般阅读过程一样,也是一个完整的心 理活动过程,包含语言符号(文字、数学符号、术语、公式、图表、图形等)的感 知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素。 同时,它还是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。教学实 践表明,数学语言发展水平低的学生,课堂上对数学语言信息的敏感性差,思维 转换慢,从而造成知识接受质差量少,理解问题时常发生困难和错误。因此,重
93

视数学阅读,丰富数学语言系统,提高数学语言水平,有着重要而现实的教育意 义,其独特作用甚至是其他教学方式所不可替代的。 数学阅读不只包括对数学教材的阅读, 还包括对与数学有关的科普知识及课 外材料的阅读,提高数学阅读能力,可以读一些数学史、数学科普、数学教辅等 方面的书籍杂志。 二、提高数学阅读能力的方法 如何提高数学阅读能力呢? 我在教学过程中,为了提高数学阅读能力,用 一句话为载体, 就是: “由这句话, 你想到了什么…?” 是我教学中的惯常用语, 。 就是这样简单的一句话, 无论是新知识还是归纳总结, 她充当了丰富的载体作用, 也是提高阅读能力的刺激手段。 “这句话”包含意义:它可以是一句中文话,可 以是语言符号(文字、 数学符号、 术语、 公式、 图表、 图形等), “你想到了什么…” 包含意义:你想到了哪几个知识点?1、想什么?想与之相关的知识点,这要靠 平时,我们老师上新知识课时,早已帮忙发现或归纳了的;2、向哪里想?向常 规思维想, 想常见思维方法的, 后面会结合 2011 年高考题说说; 要想很多吗? 3、 不会的,常规的往往少超出三个知识点,以前那些特殊的偏怪的少了;4、怎么 才能想得全?靠平时通过阅读的语句载体把它归纳了的, 考试时也是阅读同样的 语句信息,只是再现,也就容易想到和想全。实践中,往往我们的同学就是没想 到那个题意要用到的知识点, 考完试后告诉他, 才恍然大悟: 我就怎么没想到呢。 当然也有的同学根本不知该想什么,这都是平时没有通过阅读语句归纳的原因, 这有老师的责任。 “这句话, 你想到了什么…” 也就是读懂每一句话, 举例说明, 例如: “函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极大值 3”———这句话,你想到了什么?(1) 想到了导数 f ' (1) = 0 ; (2)f (1) = 3 ? ; 就这两点, 我们的同学往往想少其中一点, 都不行。又例如:2011 年高考理数立几: PA=PD= 2 ”这一句话,你想到了什 “ 么, 对于少归纳的学生, 或者说, 阅读能力不够的, 只是想到:PA= 2,PD= 2 , 还有就是 ∠PAD=∠PDA (理由:等边对等角)……最终当然是浪费大量时间, 也只是在徘徊,是无从下牙,其实很简单,有少少阅读能力的学生,都知道结合 常见的思维方法, 这句话, 其实最重要的还包括要想到: 等腰三角形的三线合一, 立刻取底边 A

推荐相关:

2015江苏高三数学二轮冲刺小练习14份,有答案

2015江苏高三数学二轮冲刺小练习14份,有答案_数学_高中教育_教育专区。宿豫中学 2014 届高三数学三轮复习资料 1.等差数列 ?an ?中,已知 a2 ? 7 , a6 ? 9 ...


四年级数学简便计算题(共14份试题)

四年级数学简便计算题(共14份试题)_四年级数学_数学_小学教育_教育专区。人教版、数学四年级、简便计算每页大约33题左右,包含了几乎所有应该出现的题型。有利于学生...


四年级数学简便计算题(共14份试题)

四年级数学简便计算题(共14份试题)_学科竞赛_小学教育_教育专区。四年级简便预算简便计算练习题 1 刘国际姓名 158+262+138 375+219+381+225 得分 5001-247-102...


四年级数学简便计算题各种类型+易错题型(共14份试题)

四年级数学简便计算题各种类型+易错题型(共14份试题)_学科竞赛_小学教育_教育专区。各种类型+易错题型 简便计算练习题 1 姓名 158+262+138 375+219+381+225 ...


2014年高考文科数学真题解析分类汇编:14份(纯word可编辑)

2014年高考文科数学真题解析分类汇编:14份(纯word可编辑)_高考_高中教育_教育...8 8? ? 9. 、[2014· 广东卷] 若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3...


【14份数学】江苏省13市县2016届高三上学期期末考试分类汇编

14份数学】江苏省13市县2016届高三上学期期末考试分类汇编_数学_高中教育_教育专区。江苏省 13 市县 2016 届高三上学期期末考试数学试题分类汇 编 不等式(必修...


新人教版小学数学二年级下册单元期末诊断性检测题全册(14份)

新人教版小学数学二年级下册单元期末诊断性检测题全册(14份)_数学_小学教育_教育专区。新人教版小学数学二年级下册单元诊断性检测题 全册 第一单元班级 一、直接...


最新人教版八年级上册第14章《整式的乘法与因式分解》全章学案(共14份)

最新人教版八年级上册第14章《整式的乘法与因式分解》全章学案(共14份)_初二...1 m n 赣州一中 2013—2014 学年度第一学期初二数学导学案 文字叙述:幂的...


人教版六年级数学上册期末考试卷(14份)

老师把 3000 元存入银行,定期 2 年,年利率按 2.25%计算,到期可得本 金和...8、3.5= 14 ( ) )千克,榨 1 千 =( )÷6= ( 8 ) =( )∶( ) (...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com