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充分条件与必要条件与充要条件文重点导学案


§1.2. 1 充分条件 必要条件与充要条件文重点导学案
命题人:邵玉春 2010-10-26

② p : x ? 1 或 x ? 2 , q : x ?1 ?

x ?1

一、重点
会判断所给条件是充分条件、必要条件还是充要条件

③ p : m ? ?1 ,

r />q : x 2 ? x ? m ? 0 无实根

二、难点 判断方法 三、复习回顾
四种命题 四种命题的真假判定 ⑤ p : sin ? ? sin ? , q : ? ? ? ④ p : x2 ? ( y ? 2)2 ? 0 , q : x( y ? 2) ? 0

四、知识导航
(一) 、充分条件、必要条件、充要条件的概念 1.一般地,命题“若 p 则 q ”为真,可记作“ “ ”. ,同时称 q 是 p 的 . , 2.一般地,如果 p ? q , 那么称 p 是 q 的 3. 如果 记作 且 ” “若 p 则 q ”为假,可记作 ;

, 那么称 p 是 q 的充分必要条件, 简称 p 是 q 的 . 同时 q 也是 p 的 .

例 2.已知 p 、 q 都是 r 的必要条件, s 是 r 的充分条件, q 是 s 的充分条件,那么(1) s 是 q 的什么条件?(2) r 是 q 的什么条件?(3) p 是 q 的什么条件? 分析:将已知 r 、 p 、 q 、 s 的关系作一个“ ? ”图. 解: (1)由下图可知,? q ? s, s ? r ? q ,

问题 1:若 p 则 q 为真即 p ? q , p 叫 q 的充分条件;若 q 则 p 为假即 p ? q ,则 p 叫 q 的 则 不必要条件;若 p ? q , q ? p ,则 p 叫 q 的什么条件呢? q 又叫 p 的什么条件呢? 试试请回答:

∴ s 是 q 的充要条件. (2)? r ? q, q ? s ? r , ∴ r 是 q 的充要条件. (3)? q ? s ? r ? p ,∴ p 是 q 的必要不充分条件. ★ 规律技巧:充要条件具有传递性.若 A ? B, B ? C ,则 A ? C .利用这一结论可以研究多个 命题之间的充要关系. 变式训练 2、已知 p 是 q 的充分条件, q 是 r 的必要条件,也是 s 的充分条件, r 是 s 的必要条 件,问: (1) p 是 r 的什么条件?(2) s 是 q 的什么条件?(3) p 、 q 、 r 、 s 中哪几对互为 充要条件?

2)若: p ? q , q ? p ,则 p 叫 q 的 3)若 p ? q , q ? p ,则 p 叫 q 的

条件, q 叫 p 的 条件, q 叫 p 的

条件. 条件.

例题选讲:
例 1.下列各题中, p 是 q 的什么条件。
2 2 ① p :a ? b ? 0 , q :a ?b ? 0

-1-

例 3.求证:一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac ? 0.
2

4. (2008·海南、宁夏)平面向量 a 、 b 共线的充要条件是( ) b 方向相同 b 两向量中至少有一个为零向量 A. a 、 B. a 、 C.存在 ? ? R, b ? ? a D.存在不全为零的实数 ?1 、 ?2 使 ?1a ? ?2b ? 0 )

提示: (参考课本 11 页例 4 证明) 证明:1)必要性; 2)充分性

5.数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ? t ,则 t ? 1 是数列 {an } 为等比数列的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

6. ? ? 2 ”是“函数 y ? sin(? x ? ? ) 的最小正周期为 ? ”的( “ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知集合 A、B,命题: A ? B ? A 是命题: A ? B 的

条件. ,

8.在“ x2 ? ( y ? 2)2 ? 0 是 x( y ? 2) ? 0 的充分不必要条件”这句话中,已知条件是 结论是 .
2

9.求证:关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 有一个根为 ?1 的充要条件是 a ? b ? c ? 0 .

【课堂小结】① ② ③ 【知能提升】
1. (2005·上海春招)若 a 、 b 、 c 是常数,则“ a ? 0 且 b2 ? 4ac ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有

ax2 ? bx ? c ? 0 ”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设 a 、 b 、 c 为非零实数,命题甲: a ? b ? a ? c ,乙: b ? c .则( ) A.甲是乙的充分条件,但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件,但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3. (2008· 天津) 设若 a 、b 是两条直线,? 、? 是两个平面, a ? b 的一个充分条件是 则 ( A. a ? ? , b ∥ ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? ∥ ? B. a ? ? , b ? ? , ? ∥ ? D. a ? ? , b ∥ ? , ? ? ? )

【课后反思】① ② ③ -2-


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