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2008全国高中数学联合竞赛试题答案


2008 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分

,解答题中 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 函数 f ( x ) ? A.0
5 ? 4x ? x 2?x
2

在 ( ? ? , 2) 上的最小值是 B.1 C.2
1 ? (4 ? 4 x ? x )
2

( C ) D.3
? 1 2?x ? (2 ? x) ? 2 ?
1 2?x ? (2 ? x)

[解] 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x ) ?
? 2, 当且仅当
1 2?x ? 2?x

2?x

时上式取等号. 而此方程有解 x ? 1 ? ( ? ? , 2) , 因此 f ( x ) 在 ( ? ? , 2)

上的最小值为 2. 2. A ? [ ?2,4) 设 A. [ ? 1, 2 ) ,B ? { x x 2 ? a x ? 4 ? 0} , B ? A , 若 则实数 a 的取值范围为 B. [ ? 1, 2 ] C. [0, 3] D. [0 , 3) ( D )

[解] 因 x 2 ? ax ? 4 ? 0 有两个实根
x1 ? a 2 ? 4? a
2

4

, x2 ?

a 2

?

4?

a

2



4

故 B ? A 等价于 x1 ? ? 2 且 x 2 ? 4 ,即
a 2 ? 4? a
2

? ?2



a 2

?

4?

a

2

? 4



4

4

解之得 0 ? a ? 3 . 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对 方多 2 分或打满 6 局时停止. 设甲在每局中获胜的概率为
2 3

, 乙在每局中获胜的概率为 ,
3

1

且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E ? 为 A.
241 81

( B ) D.
670 243

B.

266 81

C.

274 81

[解法一] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为

2 2 1 2 5 ( ) ?( ) ? 3 3 9



若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对 下轮比赛是否停止没有影响.从而有
P (? ? 2 ) ? 5 9

, ,

4 5 20 P (? ? 4 ) ? ( )( ) ? 9 9 81
4 2 16 P (? ? 6 ) ? ( ) ? 9 81


266 81

故 E? ? 2 ?

5 9

? 4?

20 81

? 6?

16 81

?



[解法二] 依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6. 令 A k 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 A k 表示乙在第 k 局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得
P (? ? 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? 5 9



P (? ? 4) ? P ( A1 A2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 )

2 3 1 1 3 2 20 ? 2[( ) ( ) ? ( ) ( )] ? 3 3 3 3 81



P (? ? 6) ? P ( A1 A2 A3 A4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 )
2 2 1 2 16 ? 4( ) ( ) ? 3 3 81

, .

故 E? ? 2 ?

5 9

? 4?

20 81

? 6?

16 81

?

266 81

4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体 的体积之和为 A. 764 cm 或 586 cm C. 586 cm 或 564 cm
3 3 3

( A ) B. 764 cm
3

3

D. 586 cm3

[解] 设这三个正方体的棱长分别为 a , b , c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 5 6 4 , a 2 ? b 2 ? c 2 ? 94 ,不 妨设 1 ? a ? b ? c ? 10 ,从而 3 c ? a ? b ? c ? 9 4 , c ? 3 1 .故 6 ? c ? 10 . c 只能取 9,
2 2 2 2 2

8,7,6. 若 c ? 9 ,则 a 2 ? b 2 ? 94 ? 9 2 ? 13 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 ( a , b , c ) ? (2, 3, 9) .
0 若 c ? 8 , a 2 ? b 2 ? 94 ? 64 ? 30 ,b ? 5 . 2 b ?3 ,b ? 4 , 则 但 从而 b ? 4 或 5. b ? 5 , 若
2

则 a ? 5 无解,若 b ? 4 ,则 a ? 14 无解.此时无解.
2 2

若 c ? 7 ,则 a 2 ? b 2 ? 94 ? 49 ? 45 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 . 若 c ? 6 ,则 a 2 ? b 2 ? 94 ? 36 ? 58 ,此时 2 b ? a ? b ? 5 8 , b ? 29 .故 b ? 6 ,但
2 2 2 2

b ? c ? 6 ,故 b ? 6 ,此时 a ? 5 8 ? 3 6 ? 2 2 无解.
2

? a ? 2, ? a ? 3, ? ? 综上,共有两组解 ? b ? 3, 或 ? b ? 6, ?c ? 9 ?c ? 7. ? ?

体积为 V1 ? 2 ? 3 ? 9 ? 7 6 4 cm3 或 V 2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 586 cm3.
3 3 3 3 3 3

5. 方程组 ? xyz ? z ? 0, ?

? x ? y ? z ? 0,

的有理数解 ( x , y , z ) 的个数为

( B )

? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?

A. 1 [解] 若 z ? 0 ,则 ?

B. 2
? x ? y ? 0, ? xy ? y ? 0 .

C. 3
? x ? 0, ?y ? 0

D. 4

解得 ?

或?

? x ? ? 1, ? y ? 1.

若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 xy ? ? 1 . 由x ? y ? z ? 0 得z ? ?x ? y .

① ② ③

将②代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x 2 ? y 2 ? xy ? y ? 0 . 由①得 x ? ?
1 y

,代入③化简得 ( y ? 1)( y 3 ? y ? 1) ? 0 .

易知 y 3 ? y ? 1 ? 0 无有理数根,故 y ? 1 ,由①得 x ? ? 1 ,由②得 z ? 0 ,与 z ? 0 矛盾,
? x ? ? 1, ? x ? 0, ? 故该方程组共有两组有理数解 ? y ? 0, 或 ? y ? 1, ? ? z ? 0. ?z ?0 ? ?

6.设 ? A B C 的内角 A , B , C 所对的边 a , b , c 成等比数列,则

sin A co t C ? co s A sin B co t C ? co s B

的取值范围是 ( C )

A. (0, ? ? ) C. (
5 ?1 2 , 5 ?1 2 )

B. (0, D. (

5 ?1 2 5 ?1 2

)

, ?? )

[解] 设 a , b , c 的公比为 q ,则 b ? a q , c ? a q 2 ,而
sin A co t C ? co s A sin B co t C ? co s B ? sin A co s C ? co s A sin C sin B co s C ? co s B sin C
s i n ( C A? s i n ( C B? ? ) )

?

? s ?i n B(

? ? s ?i n A(

)B ? )A

s i n b ? q . s i n a

因此,只需求 q 的取值范围.

因 a , b , c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a , b , c 要构成三角形的三边,必需且 只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组
?a ? aq ? aq , ? q ? q ? 1 ? 0, ? ? 即? 2 ? 2 ?aq ? aq ? a ?q ? q ? 1 ? 0. ? ?
2 2

?1 ? 5 5 ?1 ? q? , ? ? 2 2 解得 ? 5 ?1 5 ?1 ? q ? 或q ? ? . ? ? 2 2

从而

5 ?1 2

? q ?

5 ?1 2

,因此所求的取值范围是 (

5 ?1 2

,

5 ?1 2

)



二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.设 f ( x ) ? ax ? b ,其中 a , b 为实数, f 1 ( x ) ? f ( x ) , f n ? 1 ( x ) ? f ( f n ( x )) , n ? 1, 2, 3, ? ,若
f 7 ( x ) ? 1 2 8 x ? 3 8 1 ,则 a ? b ?

5

.

[解] 由题意知 f n ( x ) ? a n x ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a ? 1) b
? a x?
n

a ?1
n

a ?1

?b ,
a ?1
7

由 f7 ( x) ? 128 x ? 381 得 a 7 ? 128 ,

a ?1

? b ? 3 8 1 ,因此 a ? 2 , b ? 3

,a ? b ? 5 . .

8.设 f ( x ) ? cos 2 x ? 2 a (1 ? cos x ) 的最小值为 ? [解] f ( x ) ? 2 cos 2 x ? 1 ? 2 a ? 2 a cos x
? 2 (co s x ? a 2 ) ?
2

1 2

,则 a ?

?2 ?

3

1 2

a ? 2a ? 1,
2

(1) a ? 2 时, f ( x ) 当 cos x ? 1 时取最小值 1 ? 4 a ; (2) a ? ? 2 时, f ( x ) 当 cos x ? ? 1 时取最小值 1; (3) ? 2 ? a ? 2 时, f ( x ) 当 c o s x ?
a 2

时取最小值 ?

1 2 1 2

a ? 2a ? 1 .
2

又 a ? 2 或 a ? ? 2 时, f ( x ) 的最小值不能为 ? 故?
1 2 a ? 2a ? 1 ? ?
2



1 2

,解得 a ? ? 2 ? 3 , a ? ? 2 ? 3 (舍去).

9. 24 个志愿者名额分配给 3 个学校, 将 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配 方法共有 222 种.

[解法一] 用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如
| ? ? ?? | ? ? ? | ?? |

表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额. 若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方 法相当于 2 4 ? 2 ? 2 6 个位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入 “|”,故有 C 2 3 ? 2 5 3 种. 2 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. [解法二] 设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1 , x 2 , x 3 ,则每校至少有一个名额的分法数为 不定方程
x1 ? x 2 ? x 3 ? 24



的正整数解的个数,即方程 x1 ? x 2 ? x 3 ? 2 1 的非负整数解的个数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合:
H 3 ? C 23 ? C 23 ? 2 5 3 .
21 21 2

又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知,满足条件的分配方法共有 253-31=222 种. 10. 设数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足:S n ? a n ?
n ( n ? 1)( n ? 2 )

n ?1 n ( n ? 1)
? an

,n ? 1, 2, ? , 则通项 a n = 1n ?
2

1 n ( n ? 1)



[解] a n ? 1 ? S n ? 1 ? S n ? 即 2 a n ?1 ? =

? a n ?1 ?

n ?1 n ( n ? 1)



n?2?2 ( n ? 1)( n ? 2 )
?2 ( n ? 1)( n ? 2 ) 1

?

1 n ?1

?

1 n ( n ? 1)
1

? an

? an ?

n ( n ? 1)


1

由此得 2 ( a n ? 1 ? 令 bn ? a n ? 有 bn ?1 ?
1 2

( n ? 1)( n ? 2 )

) ? an ?
1 2 1 2
1 2
n

n ( n ? 1)



1 n ( n ? 1)

, b1 ? a 1 ?

?

( a 1 ? 0 ),
1 n ( n ? 1)

bn

,故 b n ?

1 2
n

,所以 a n ?

?



11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足
f ( x ? 2 )? f ( x ) ? 3 , f ( x ? 6) ? f ( x ) ? 63 ? 2 ? 2
x
x

,则 f ( 2008 ) =

2

2008

? 2007



[解法一] 由题设条件知

f ( x ? 2) ? f ( x ) ? ? ( f ( x ? 4) ? f ( x ? 2)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x ? 4)) ? ( f ( x ? 6) ? f ( x )) ? ?3 ? 2
x?2

? 3?2

x?4

? 63 ? 2 ? 3 ? 2
x

x



因此有 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ? 3 ? 2 x ,故
f (2008) ? f (2008) ? f (2006) ? f (2006) ? f (2004) ? ? ? f (2) ? f (0) ? f (0)
? 3 ? (2
? 3? 4
2006

?2

2004

? ? ? 2 ? 1) ? f (0)
2

1 0 0 3 ?1

?1

4 ?1

? f (0 )

? 2

2008

? 2007 .

[解法二] 令 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 x ,则
g ( x ? 2) ? g ( x ) ? f ( x ? 2) ? f ( x ) ? 2 g ( x ? 6) ? g ( x ) ? f ( x ? 6) ? f ( x ) ? 2
x?2

? 2 ? 3?2 ? 3?2 ? 0
x x x x x x

, ,

x?6

? 2 ? 63 ? 2 ? 63 ? 2 ? 0

即 g ( x ? 2) ? g ( x ), g ( x ? 6) ? g ( x ) , 故 g ( x ) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x ) , 得 g ( x ) 是周期为 2 的周期函数, 所以 f (2008) ? g (2008) ? 2 2008 ? g (0) ? 2 2008 ? 2 2008 ? 2007 . 12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是
72 3



[解] 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A 1 B1C 1 //平面
ABC

,与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体 P ? A 1 B1C 1 的中心, P O ? 面 A1 B1C 1 ,

垂足 D 为 A 1 B1C 1 的中心. 因V P ? A B C ?
1 1 1

1 3

S ?A B C ? P D
1 1 1

? 4 ? VO ? A B C
1 1

1

? 4?

1 3

? S ?A B C ? O D
1 1 1



故 P D ? 4 O D ? 4 r ,从而 P O ? P D ? O D ? 4 r ? r ? 3 r . 记此时小球与面 P A B 的切点为 P1 ,连接 O P1 ,则
P P1 ? P O ? O P1 ?
2 2

(3 r ) ? r
2

2

? 2 2r



考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 P A B )相 切时的情况, 易知小球在面 P A B 上最靠近边的切点的轨 迹仍为正三角形,记为 P1 E F ,如答 12 图 2.记正四面体 答 12 图 1

的棱长为 a ,过 P1 作 P1 M ? P A 于 M . 因 ? M P P1 ?
P1 E ? P A2 ?

?
6

, 有 P M ? P P1 ? co s M P P1 ? 2 2 r ?
? a 2 6 .r

3 2

?

6r

,故小三角形的边长

P M ?

小球与面 P A B 不能接触到的部分的面积为(如答 12 图 2 中阴影部分)
S ?PAB ? S ?P EF ? 1

3 4

2 2 (a ? (a ? 2 6 r ) ) ? 3 2 ar ? 6 3r

2



又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以
S ?PAB ? S ?P EF ? 2 4 3 ? 6 3 ? 1 8 3
1



答 12 图 2

由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 7 2 3 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x ) ? | sin x | 的图像与直线 y ? kx ( k ? 0 ) 有且仅有三个交点,交点的横坐标 的最大值为 ? ,求证:
co s ? sin ? ? sin 3? ? 1?? 4?
2



[证]
(k ? 0)

f (x)

的图象与直线 y ? kx

的三个交点如答 13 图所
3? 2 ) 内相切,其切点 3? 2

示,且在 ( ? ,

为 A (? , ? sin ? ) , ? ? (? ,

).

答 13 图 …5 分
3 2
sin ?

由于 f ? ( x ) ? ? co s x , x ? (? , ? ) ,所以 ? co s ? ? ? 因此
co s ? sin ? ? sin 3? ? co s ? 2 sin 2 ? co s ?
1 4 sin ? co s ?
co s ? ? sin ?
2 2

?

,即 ? ? tan ? .

…10 分

?

…15 分

?

4 sin ? co s ? 1 ? tan ?
2

?

4 tan ?

?

1?? 4?

2



…20 分

14.解不等式
log 2 ( x
12

? 3x

10

? 5 x ? 3 x ? 1) ? 1 ? log 2 ( x ? 1)
8 6 4



[解法一] 由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 lo g 2 y 在 (0, ? ? ) 上为增函数,故原不等式等价 于
x
12

? 3x ? 3x

10

? 5x ? 3x ? 1 ? 2x ? 2 .
8 6 4

即 分组分解

x

12

10

? 5x ? 3x ? 2x ? 1 ? 0 .
8 6 4

…5 分

x

12

?x

10

?x

8

?2 x

10

? 2x ? 2x
8

6

?4 x ? 4 x ? 4 x
8 6
6 4

4

?x ? x ? x
4

2

?x ? x ?1 ? 0,
2

( x ? 2 x ? 4 x ? x ? 1)( x ? x ? 1) ? 0 ,
8 6 4 2 4 2

…10 分

所以

x ? x ?1 ? 0 ,
4 2

(x ?
2

?1 ? 2

5

)( x ?
2

?1 ? 2

5

)?0.
?1 ? 2

…15 分
5

所以 x 2 ?

?1 ? 2

5

,即 x ? ?

?1 ? 2

5

或x ?
5 ?1 2



故原不等式解集为 ( ? ? , ?

5 ?1 2

)?(

, ?? )



…20 分

[解法二] 由 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) ? log 2 (2 x 4 ? 2) ,且 lo g 2 y 在 (0, ? ? ) 上为增函数,故原不等式等价 于
x
12

? 3x

10

? 5x ? 3x ? 1 ? 2x ? 2 .
8 6 4

…5 分


2 x
2

?

1 x
6

? x ? 3 x ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) ? 2 ( x ? 1) ,
6 4 2 2 2 3 2

(

1 x
2

) ? 2(
3

1 x
2

) ? ( x ? 1) ? 2 ( x ? 1) ,
2 3 2

…10 分

令 g ( t ) ? t 3 ? 2 t ,则不等式为
g( 1 x
2

) ? g ( x ? 1) ,
2

显然 g ( t ) ? t 3 ? 2 t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于

1 x
2

? x ?1,
2

…15 分
5 ?1 2

即 ( x 2 ) 2 ? x 2 ? 1 ? 0 ,解得 x 2 ?

5 ?1 2

( x2 ? ?
5 ?1 2

舍去),

故原不等式解集为 ( ? ? , ?

5 ?1 2

)?(

, ?? )



…20 分

15.如题 15 图, P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 B , C 在 y 轴上,圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 内切于
? P B C ,求 ? P B C 面积的最小值.

[解] 设 P ( x 0 , y 0 ), B (0, b ), C (0, c ) ,不妨设 b ? c . 直线 P B 的方程: y ? b ?
y0 ? b x0 x,

化简得 ( y 0 ? b ) x ? x 0 y ? x 0 b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 P B 的距离为 1,
y0 ? b ? x0b ( y0 ? b ) ? x0
2 2

?1



…5 分

故 ( y 0 ? b ) 2 ? x 02 ? ( y 0 ? b ) 2 ? 2 x 0 b ( y 0 ? b ) ? x 02 b 2 , 易知 x 0 ? 2 ,上式化简得 ( x 0 ? 2 ) b 2 ? 2 y 0 b ? x 0 ? 0 , 同理有 ( x 0 ? 2 ) c 2 ? 2 y 0 c ? x 0 ? 0 . 所以 b ? c ?
?2 y0 x0 ? 2
2

题 15 图

…10 分

,bc ?
2

? x0 x0 ? 2
2

,则

(b ? c ) ?

4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0 ( x0 ? 2 )
2



因 P ( x 0 , y 0 ) 是抛物线上的点,有 y 02 ? 2 x 0 ,则
(b ? c ) ?
2

4 x0

2 2

( x0 ? 2 )

,b ? c ?

2 x0 x0 ? 2


4 x0 ? 2

…15 分

所以 S ? P B C ?

1 2

(b ? c ) ? x0 ?

x0 x0 ? 2

? x0 ? ( x0 ? 2 ) ?

?4

? 2

4 ? 4 ?. 8

当 ( x 0 ? 2 ) 2 ? 4 时,上式取等号,此时 x 0 ? 4, y 0 ? ? 2 2 . 因此 S ? P B C 的最小值为 8. …20 分


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2008年全国高中数学联赛试题及答案

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2008年全国高中数学联合竞赛试题及解析

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2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(江西省)

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2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(湖南省)

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2008年全国高中数学联赛试题及答案[1]

更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》 2008全国高中数学联赛受中国数学会委托,2008全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会...

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