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2014届高考数学一轮复习 第68讲《离散型随机变量的分布列、期望与方差》热点针对训练 理


第68讲

离散型随机变量的分布列、期望与方差

1.(2013·泰安模拟)若 P(ξ ≤x2)=1-β ,P(ξ ≥x1)=1-α ,其中 x1<x2 ,则 P(x1≤ξ ≤x2)等于( B ) A.(1-α )(1-β ) B.1-(α +β ) C.1-α (1-β ) D.1-β (1-α ) 解析:由分布列性质可有: P(x

1≤ξ ≤x2)=P(ξ ≤x2)+P(ξ ≥x1)-1=(1-β )+(1-α )-1=1-(α +β ), 故选 B. 2.(2013·衡水调研)若 ξ ~B(n,p)且 Eξ =6,Dξ =3,则 P(ξ =1)的值为( B ) A.3×2-2 B.3×2-10 C.2-4 D.2-8 解析:Eξ =np=6, 1 Dξ =np(1-p)=3? p= ,n=12, 2 1 1 12 -10 所以 P( ξ =1)=C12( ) =3×2 ,故选 B. 2 3. (2013·安庆月考)从一 批含有 13 只正品, 只次品的产品中,不放回地任取 3 件, 2 则取得次品数为 1 件的概率是( B ) 32 12 A. B. 35 35 3 2 C. D. 35 35 解析:设随机变量 X 表示取出次品的个数,则 X 服从超几何分布,其中 N=15,M=2, C1C2 12 2 13 n=3,它的可能取值为 0,1,2,所以所求概率为 P(X=1)= 3 = ,故选 B. C15 35 4.(2012·浙江省名校新高考研究联盟第一次联考)甲、 乙两人独立地从六门选修课程 中任选三门进行学习,记两人所选课程相同的门数为 ξ ,则 Eξ 为( B ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 解析:ξ 的可能取值为 0,1,2,3, C3C3 1 C1C2C2 9 6 3 6 5 3 则 P(ξ =0)= 3 3= ,P(ξ =1)= 3 3 = , C6C6 20 C6C6 20 C2C1C1 9 C3 1 6 4 3 6 P(ξ =2)= 3 3 = ,P(ξ =3)= 3 3= , C6C6 20 C6C6 20 1 9 9 1 则 Eξ =0× +1× +2× +3× =1.5,故选 B. 20 20 20 20 5.(2012·沧州七校联考)某街头小摊, 在不下雨的日子一天可赚到 100 元, 在下雨的 日子每天要损失 10 元,若该地区每年下雨的日子约为 130 天,则此小摊每天获利的期望值 是(一年按 365 天计算) 60 .82 元(结果保留 2 位小 数). 235 130 解析:Eξ =100× +(-10)× ≈60.82. 365 365 6.(2012·浙江省慈溪市高三 5 月模拟)已知随机变量 ξ 的分布列如表所示,则 Dξ 11 = . 16 ξ P 0 1 2 1 a 2 1 4

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1 1 1 解析:由题知 a=1- - = , 2 4 4 1 1 1 3 则 Eξ =0× +1× +2× = , 2 4 4 4 1 1 1 11 2 2 2 Dξ = ×(0-Eξ ) + ×(1-Eξ ) + ×(2-Eξ ) = . 2 4 4 16 7.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三 个公司投递了个人简历,假定该 2 毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且三个公司是否 3 1 让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数,若 P(X=0)= ,则随机变 12 5 量 X 的数学期望 EX= . 3 1 1 1 2 解析:因为 P (X=0)= =(1-p) × ,所以 p= . 12 3 2 随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3, 1 因此 P(X=0)= , 12 2 1 2 2 1 2 1 P(X=1)= ×( ) + ×( ) = ; 3 2 3 2 3 2 1 2 1 1 2 5 P(X=2)= ×( ) ×2+ ×( ) = , 3 2 3 2 12 2 1 2 1 P(X=3)= ×( ) = . 3 2 6 1 1 5 1 5 因此 EX=0× +1× +2× +3× = . 12 3 12 6 3 8.(2012·安徽省“江南十校”3 月高三联考)“低碳经济”是促进社会可持续发展 的推进器.某企业现有 100 万元资金可用于投资,如果投资“传统型”经济项目,一年后可 3 1 1 能获利 20%,可能损失 10%,也可能不赔不赚,这三种情况发生的概率分别为 , , ;如果 5 5 5 投资“低碳型”经济项目,一年 后可能获利 30%,也可能损失 20%,这两种情况发生的概率 分别为 a 和 b(其中 a+b=1). (1)如果把 100 万元投资“ 传统型”经济项目,用 ξ 表示投资收益(投资收益=回收资 金-投资资金),求 ξ 的概率分布及均值(数学期望)Eξ ; (2)如果把 100 万元投资“低碳型”经济项目,预测其投资收益均值会不低于投资“传 统型”经济项目的投资收益均值,求 a 的取值范围. 解析:(1)依题意,ξ 的可能取值为 20,0,-10, ξ 的分布列为 ξ 20 0 -10 3 1 1 P 5 5 5 3 1 1 Eξ =20× +0× +(-10)× =10(万元). 5 5 5 (2)设 η 表示 100 万元投资“低碳型”经济项目的收益,则 η 的分布列为 η 30 -20 P a b Eη =30a-20b=50a-20, 3 依题意要求 50a-20≥10,所以 ≤a≤1. 5

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9.(2012·福建卷)受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业生产每辆轿车的利润 与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故 障时间 x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概 率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌 轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的 轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由. 2+3 解析:(1) 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A,则 P(A)= = 50 1 . 10 (2)依题意得,X1 的分布列为 X1 1 2 3 1 3 9 P 25 50 10 X2 的分布列为 X2 1.8 2.9 1 9 P 10 10 (3)由(2)得, 1 3 9 143 EX1=1× +2× +3× = =2.86(万元), 25 50 10 50 1 9 EX2=1.8× +2.9× =2.79(万元), 10 10 因为 EX1>EX2,所以应生产甲品牌轿车.

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