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第23届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答


物理时空

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第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准
一、参考解答: 1. 线剪断前,整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力

F1 ? (mA ? mB ? mC ) g
弹簧 S2 的弹力

(1)


F2 ? mC g

(2)

在线刚被剪断的时刻,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故 F1、F2 的大小尚未变化,但 线的拉力消失。设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC ,则有

F1 ? mA g ? mA aA F2 ? mB g ? mBaB
F2 ? mC g ? mCaC
解以上有关各式得

(3) (4) (5)

aA ? aB ?

mB ? mC g mA mB ? mC g mB

方向竖直向上

(6)

方向竖直向下

(7)

aC ? 0

(8)

2. 开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡。 (ⅰ)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初,板向下加速移动, 板与磁铁有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下 的运动。在这过程中,由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小。向下的加速度愈大,磁 铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于 磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着,磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下 的运动,直到停在 A ?B? 处。在这过程中,磁铁对板的正压力增大,最大静摩擦力亦增大,因两磁 铁已碰在一起,磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的,两条磁铁吸在一起的 状态不再改变。 (ⅱ)从板突然竖直向上平移到停下,板和磁铁的运动也经历两个阶段。起初,板和磁铁一起作 加速度方向向上、速度向上的运动,在这过程中,正压力增大,最大静摩擦力亦增大,作用于每个 磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡,磁铁在水平方向不发生运动。接着,磁铁和板一起作加速度 方向向下、速度向上的运动,直到停在 A ??B?? 处。在这过程中,磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦 力亦减小,向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一 数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。 评分标准: (本题 20 分) 1. 10 分。 、 、 、 、 、 、 、 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)式各 1 分,aA、aB 的方向各 1 分。 2. 10 分。 (ⅰ)5 分, (ⅱ)5 分(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这 5 分, 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 1 页(共 11 页)

物理时空 否则不给分) 。 二、参考答案 1. (ⅰ)

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(ⅱ)

图1

图2

(ⅲ)

1 3

2. f1,f4 。 评分标准: (本题 20 分) 1. 12 分。 (ⅰ)4 分, (ⅱ)4 分, (ⅲ)4 分。 2. 8 分。两个空格都填对,才给这 8 分,否则 0 分。 三、参考解答: 1.

(ⅰ)通过对点电荷场强方向的分析,场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点的坐 标为 x0,则有

k
已知

q1 q2 ?k 2 x0 (l ? x0 ) 2

(1)

q2 ? 2q1
由(1)(2)两式解得 、

(2)

x0 ? ( 2 ?1)l

(3)

(ⅱ)先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2 两点电荷在 P 点处产生的场强的 大小分别为

E10 ? k

q1 2 x0

E20 ? k

q2 (l ? x0 )2

且有 E10=E20 二者方向相反。点电荷 q0 在 P 点受到的合力为零,故 P 点是 q0 的平衡位置。在 x 轴上 P 点 右侧 x ? x0 ? ?x 处,q1、q2 产生的场强的大小分别为

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http://www.ephyst.com/ 方向沿 x 轴正方向

? E1 ? k ? E2 ? k

q1 ? E10 ( x0 ? ?x)2 q2 ? E20 (l ? x0 ? ?x)2

方向沿 x 轴负方向

? ? 由于 E2 ? E1 , x ? x0 ? ?x 处合场强沿 x 轴的负方向,即指向 P 点。在 x 轴上 P 点左侧 x ? x0 ? ?x 处 q1、q2 的场强的大小分别为
?? E1 ? k ?? E2 ? k q1 ? E10 ( x0 ? ?x)2 q2 ? E20 (l ? x0 ? ?x)2
方向沿 x 轴正方向

方向沿 x 轴负方向

?? ?? 由于 E2 ? E1 , x ? x0 ? ?x 处合场强的方向沿 x 轴的正方向,即指向 P 点。
由以上的讨论可知,在 x 轴上,在 P 点的两侧,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强的方向 都指向 P 点,带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0>0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置。 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。沿垂直于 x 轴的方向,在 P 点两侧附 近,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点,因而带正电的点电 荷在 P 点附近受到沿垂直 x 轴的的分量的电场力都背离 P 点,所以,当 q0>0 时,P 点是 q0 的 不稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点,所以当 q0<0 时,P 点 是 q0 的稳定平衡位置。 2.

评分标准: (本题 20 分) 1. 12 分 (ⅰ)2 分 (ⅱ) q0 被限制在沿 x 轴方向运动时, 当 正确论证 q0>0, 点是 q0 的稳定平衡位置, 3 分; P 占 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 3 页(共 11 页)

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正确论证 q0<0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 3 分(未列公式,定性分析正确的同样给分) 。 当 q0 被限制在垂直于 x 轴的方向运动时,正确论证 q0>0 ,P 点是 q0 的不稳定平衡位置, 占 2 分;正确论证 q0<0 ,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 2 分。 2. 8 分。纵坐标标的数值或图线有错的都给 0 分。纵坐标标的数值、图线与参考解答不同,正确 的同样给分。 四、参考解答 开始时竖直细管内空气柱长度为 L,压强为 H(以 cmHg 为单位) ,注入少量水银后,气柱将 因水银柱压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时,管内空气压强 p=(H+x) ,根据波意耳定律, 此时空气柱长度

L? ?

HL H?x L x H?x

(1)

空气柱上表面与管口的距离

d ? L ? L? ? d ?1 H?x

(2)

开始时 x 很小,由于 L>H,故

即水银柱上表面低于管口,可继续注入水银,直至 d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止。何 时水银柱表明与管口相平,可分下面两种情况讨论。 1. 水银柱表明与管口相平时,水银柱未进入水平管 此时水银柱的长度 x ? l ,由波意耳定律有

( H ? x)( L ? x) ? HL
由(3)式可得

(3)

x ? L?H 由此可知,当 l ? L ? H 时,注入的水银柱的长度 x 的最大值

(4)

xmax ? L ? H
2. 水银柱表面与管口相平时,一部分水银进入水平管 此时注入水银柱的长度 x>l ,由波意耳定律有

(5)

( H ? l )( L ? x) ? HL
Ll H ?l Ll l?x? H ?l x?
由(8)式得

(6) (7) (8)

l ? L ? H ,或 L ? H ? l L x ? L?H ? L?H H ?l
即当 l ? L ? H 时,注入水银柱的最大长度 x ? xmax 。

(9) (10)

由上讨论表明,当 l ? L ? H 时,可注入的水银量最大,这时水银柱的长度为 xmax ,即(5) 式。 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 4 页(共 11 页)

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评分标准: (本题 20 分) 正确论证 l ? L ? H 时可注入的水银量最大,占 13 分。求出最大水银量占 7 分。若论证的方 法与参考解答不同,只要正确,同样给分。 五、参考解答: 正、负电子绕它们连线的中点作半径为 库仑力是电子作圆周运动所需的向心力,即

r 的圆周运动,电子的电荷量为 e ,正、负电子间的 2

k

e2 v2 ?m r2 (r / 2)

(1)

正电子、负电子的动能分别为 EK? 和 EK? ,有

EK ? ? E K ? ?

1 2 mv 2

(2)

正、负电子间相互作用的势能

EP ? ?k
电子偶素的总能量

e2 r

(3)

E ? EK? ? EK? ? EP
由(1)(2)(3)(4)各式得 、 、 、

(4)

1 e2 E?? k 2 r
根据量子化条件

(5)

mrv ? n

h 2?

n=1,2,3,……

(6)

(6)式表明,r 与量子数 n 有关。有(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为

rn ?

n2h2 2? 2 ke 2 m

n=1,2,3,……

(7)

代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为

En ? ?

? 2 k 2e4 m
n2 h2

n=1,2,3,……

(8)

n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态。基态的能量为

E1 ? ?

? 2 k 2e4 m
h2

(9)

n=2 是第一激发态,与基态的能量差

?E ?

3 ? 2 k 2e4 m 4 h2

(10)

评分标准: (本题 20 分) 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 5 页(共 11 页)

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(2)式 2 分, (5)式 4 分, (7)式、 (8)式各 5 分, (10)式 4 分。 六、参考解答: P 被释放后,细绳的张力对 D 产生机械力矩,带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动,通过两个 轮子之间无相对运动的接触,A1 带动 A2 作顺时针的加速转动。由于两个轮子的辐条切割磁场线, 所以在 A1 产生由周边沿辐条指向轴的电动势,在 A2 产生由轴沿辐条指向周边的电动势,经电阻 R 构成闭合电路。A1 、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电流,在磁场中辐条受到安培力。不难 看出,安培力产生的电磁力矩是阻力矩,使 A1 、A2 加速转动的势头减缓。A1 、A2 从起始的静 止状态逐渐加速转动,电流随之逐渐增大,电磁阻力矩亦逐渐增大,直至电磁阻力矩与机械力矩相 等,D、A1 和 A2 停止作加速转动,均作匀角速转动,此时 P 匀速下落,设其速度为 v,则 A1 的 角速度

?1 ?

v a0

(1)

A1 带动 A2 转动,A2 的角速度

?2 与 A1 的角速度 ?1 之间的关系为
(2)

?1a1 ? ?2a2
A1 中每根辐条产生的感应电动势均为

E1 ?

1 2 Ba1 ?1 2

(3)

轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式。 同理,A2 中,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联,其数值为

E2 ?

1 2 Ba2? 2 2 R1 4 R2 4

(4)

A1 中,每根辐条的电阻为 R1,轴与轮边之间的电阻是 A1 中四条辐条电阻的并联,其数值为

R A1 ?

(5)

A2 中,每根辐条的电阻为 R2,轴与轮边之间的电阻是 A2 中四条辐条电阻的并联,其数值为

RA 2 ?

(6)

A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路,其中的电流为

I?

E1 ? E1 R ? RA1 ? RA1

(7)

以(1)至(6)式代入(7)式,得

? 1 ? ? ? Ba1 (a1 ? a1 )v ? 2a0 ? I? ?R ? ?R ? R?? 1 ??? 2 ? ? 4? ? 4 ?
R R ? ? mgv ? I 2 ? R ? 1 ? 2 ? 4 4 ? ?
以(8)式代入(9)式得

(8)

当 P 匀速下降时,对整个系统来说,重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和,即 (9)

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 6 页(共 11 页)

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2 mg (4R ? R1 ? R2 )a0 v? 2 B2 a1 (a1 ? a1 )2

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评分标准: (本题 25 分) (1)(2)式各 2 分, 、 、 (3)(4)式各 3 分, 、 、 (5)(6)(7)式各 2 分, (9)式 6 分, (10)式 3 分。 七、参考答案: 1. 如图 1 所示,设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外,带电粒 子 P 带正电,其速率为 v 。P 从小孔射入圆筒中,因受到磁场 的作用力而偏离入射方向,若与筒壁只发生一次碰撞,是不可能 从小孔射出圆筒的。但与筒壁碰撞两次,它就有可能从小孔射出。 造此情形中,P 在筒内的路径由三段等长、等半径的圆弧 HM、 MN、和 NH 组成。现考察其中一段圆弧 MN,如图 2 所示。由 于 P 沿筒的半径方向入射,OM 和 ON 均与轨道相切,两者的 夹角

?? ?
设圆弧的圆半径为 r ,则有

2 3

(1) 图1 (2)

qvB ? m

v2 r

圆弧对轨道圆心 O? 所张的圆心角

??
由几何关系得

?
3

(3)

r ? R cot

?
2

(4)

解(2)(3)(4)式得 、 、

v?

3qBR m

(5)

2. P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为

s ? ?r
经历时间为

(6)

图2

t1 ?

s v

(7)

P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为

t ? 3t1
由以上有关各式得

(8)

t?

?m
qB

(9)

评分标准: (本题 25 分) 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 7 页(共 11 页)

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1. 17 分。 、 、 、 (1)(2)(3)(4)式各 3 分, (5)式 5 分。 2. 8 分。 、 、 、 (6)(7)(8)(9)式各 2 分。 八、参考解答: 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后,由于细绳处于松弛状态,故从 C 点开始,小球沿竖直方 向作初速度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动。当小球运动到图 1 中的 M 点时,绳刚被拉直, 匀加速直线运动终止,此时绳与竖直方向的夹角为 ?= 30? 。在这过程中,小球下落的距离

s ? l ? 2l cos? ? l (1 ? 3)
细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式:
2 2 v1 ? v0 ? 2gs

(1)

(2)

在细绳拉紧的瞬间,由于绳的伸长量可以不计,而且绳 是非弹性的, 故小球沿细绳方向的分速度 v1 cos? 变为 零, 而与绳垂直的分速度保持不变, 以后小球将从 M 点 开始以初速度

? v1 ? v1 sin ? ?

1 v1 2

(3)

图1

在竖直平面内作圆周运动,圆周的半径为 2l,圆心位于 A 点,如图 1 所示。由(1)(2)(3)式得 、 、
2 v?1 ?

1 2 1 v0 ? gl (1 ? 3) 4 2

(4)

当小球沿圆周运动到图中的 N 点时,其速度为 v,细绳与水平方向的夹角为 ? ,由能量关系有

1 1 2 mv?1 ? mv 2 ? mg ( 3l ? 2l sin ? ) 2 2
用 FT 表示绳对小球的拉力,有

(5)

FT ? mg sin ? ? m
2 1. v0

v2 2l

(6)

? 2(6 2 ? 3 3 ?1) gl
,绳开始松弛,FT=0,小球的速度 v ? u1 。以此代入(5)(6)两 、 ? ? ?1 时(见图 2)

设在 式得

2 v?1 ? u12 ? 2 g ( 3l ? 2l sin ?1 )

(7)

g sin ?1 ?

2 u1 2l

(8) 由(4)(7)(8)式和题设 v0 的数值可求得 、 、

?1 ? 45?

(9)

第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 8 页(共 11 页)

图2

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u1 ?

2 gl

(10)

即在 ?1=45? 时,绳开始松弛。以 N1 表示此时小球在圆周上的位置,此后,小球将脱离圆轨道从 N1 处以大小为 u1,方向与水平方向成 45? 角的初速度作斜抛运动。 以 N1 点为坐标原点,建立直角坐标系 N1xy,x 轴水平向右,y 轴竖直向上。若以小球从 N1 处 抛出的时刻作为计时起点,小球在时刻 t 的坐标分别为

x ? u1 cos 45?t ?

2 u1t 2

(11)

1 2 1 y ? u1 sin 45?t ? gt 2 ? u1t ? gt 2 2 2 2
由(11)(12)式,注意到(10)式,可得小球的轨道方程: 、

(12)

y ? x?g
AD 面的横坐标为

x2 x2 ? x? 2 u1 2l

(13)

x ? 2l cos 45? ? 2l

(14)

由(13)(14)式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 、 y=0 (15) 由此可见小球将在 D 点上方越过,然后打到 DC 边上,DC 边的纵坐标为

y ? ?(2l sin 45? ? l ) ? ?( 2 ?1)l
把(16)式代入(13)式,解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75 l 撞击点与 D 点的距离为

(16)

(17) (18)

?l ? x ? 2l cos 45? ? 0.35l
2 2. v0

? 2(3 3 ?11) gl
、 ? ? ?2 时,绳松弛,FT=0,小球的速度 v ? u2 ,以此代替(5)(6)式中的 ?1、u1,

设在 得

2 2 v?1 ? u2 ? 2 g ( 3l ? 2l sin ? 2 )
2 u2 2l

(19)

mg sin ? 2 ? m
2 以 v0

(20)

? 2(3 3 ?11) gl
? 2 ? 90?
u2 ? 2gl

代入(4)式,与(19)(20)式联立,可解得 、 (21) (22)

(22)式表示小球到达圆周的最高点处时,绳中张力为 0,随后绳子被拉紧,球速增大,绳中的拉力不 断增加,拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力,小球将绕以 D 点为圆 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 9 页(共 11 页)

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心,l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准: (本题 25 分) (3)式 2 分, 、 (5)(6)式各 1 分, 、 (9)(10)式各 3 分,得出小球不可能打在 AD 边上,给 3 分, 得出小球能打在 DC 边上, 2 分, 給 正确求出小球打在 DC 边上的位置, 2 分。 給 求出 (21) 、 (22)式各占 3 分,得出小球能打在 C 点,再給 2 分。 如果学生直接从抛物线方程和 y ? ?(2l sin 45? ? l ) ? ?( 2 ?1)l 求出 x=1.75 l,同样给分。 不必证明不能撞击在 AD 边上。 九、参考解答: 1. 这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球引力作用下,将沿椭圆轨道运动,如果导弹能打 到 N 点,则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面(此平面是 C 点所在的子午面)内,因此导弹的发射速度(初速度 v )必须也在此平面内,地心 O 是椭圆的一 个焦点。根据对称性,注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等,故所考察椭圆的长轴是 过 O 点垂直 CN 的的直线,即图上的直线 AB,椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质量为 m 的 物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时,物体和地球构成的系统的能量 E(无穷远作 为引力势能的零点)与椭圆半长轴 a 的关系为

E??

GMm 2a

(1)

要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短。根 据椭圆的几何性质可知,椭圆的两焦点到椭圆上任一点 的距离之和为 2a,现 C 点到一个焦点 O 的距离是定 值,等于地球的半径是 R,只要位于长轴上的另一焦点 到 C 的距离最小,该椭圆的半长轴就最小。显然,当另 一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时,C 到该焦点 的距离必最小。由几何关系可知

2a ? R ?

2 R 2

(2)

设发射时导弹的速度为 v,则有

E?

1 2 Mm mv ? G 2 R

(3)

解(1)(2)(3)式得 、 、

v?


2GM ( 2 ? 1) R

(4)

G

Mm ? mg R2

(5)

比较(4)(5)两式得 、

v ? 2 Rg ( 2 ? 1)

(6)

代入有关数据得 v=7.2 km/s (7) 速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切,根据解析几何知识,从椭圆上一点的切线的垂直线,平分两焦 点到该点连线的夹角 ∠OCP,从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 10 页(共 11 页)

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? ? 90? ? ? 45? ? 67.5?
2. 由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为

1 2

vC ?

2? R T

(9)

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600 s=86400 s,故

vC ? 0.46 km/s

(10)

C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面) 。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速 度 vC,为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足 (7) 、 (8)两式的要求,导弹相当于地面 C ( 点)的发射速度应有一大小等于 vC,方向与 vC 相反的分速度,以使导弹在此方向相当于地心的速 度为零,导弹的速度的大小为
2 v? ? v 2 ? vC

(11)

代入有关数据得 v?=7.4 km/s (12) 它在赤道面内的分速度与 vC 相反,它在子午面内的分速度满足(7)(8)两式。 、 3. 质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律,故对于近地 点和远地点有下列关系式

1 2 GMm 1 2 GMm mv1 ? ? mv2 ? 2 r1 2 r2
1 1 r1v1 ? r2v2 2 2

(13)

(14)

式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离。将(14) 式中的 v1 代入(13)式,经整理得
2 1 2 ? r 2 ? GMm mv2 ? 2 ? 1? ? (r2 ? r1 ) ? r1 ? 2 r1r2 ? ?

(15)

注意到 r1+r2=2a 得 (16)

1 2 GMm r1 mv2 ? 2 2a r2


(17)

1 2 GMm E ? mv2 ? 2 r2
有(16)(17)(18)式得 、 、

(18)

E??

GMm 2a

(19)

评分标准: (本题 25 分) 1. 14 分。 (2)式 6 分, (3)式 2 分, 、 (6)(7)式共 4 分, (8)式 2 分。 2. 6 分。 (11)式 4 分, (12)式 2 分。 3. 5 分。 (13)(14)式各 1 分, 、 (19)式 3 分。 第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准 第 11 页(共 11 页)


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