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2010年浙江省高中数学竞赛试卷


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2010 年浙江省高中数学竞赛试卷
说明: 本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道 解答题。 一、选择题(本大

题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后 的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1.化简三角有理式 A. 1

cos4 x ? sin 4 x ? sin 2 x cos2 x 的值为 sin 6 x ? cos6 x ? 2 sin 2 x cos2 x
B. sin x ? cos x C. sin x cos x

( D.1+ sin x cos x (



2.若 p : ( x2 ? x ? 1) x ? 3 ? 0, q : x ? ?2 ,则 A.充分而不必要条件 C.充要条件 3.集合 P={

p 是q 的



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 },则集合

x x ? R, x ? 3 ? x ? 6 ? 3

CR P 为





A. {x x ? 6, 或x ? 3} C. {x x ? ?6, 或x ? 3}

B. {x x ? 6, 或x ? ?3} D. {x x ? ?6, 或x ? ?3}

4.设 a , b 为两个相互垂直的单位向量。已知 OP = a , OQ = b , OR =r a +k b .若△PQR 为 等边三角形,则 k,r 的取值为 A. k ? r ? ( B. k ? )

? ?

??? ? ?

???? ?

??? ?

?

?

?1 ? 3 2 1? 3 2

1? 3 1? 3 ,r ? 2 2 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ,r ? 2 2


C. k ? r ?

D. k ?

5.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是( A.60° B.75° C.90°
1

D.105°

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6.设 ?an ? , ?bn ? 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1,则以下结论正确 的是 A. a2 ? b2 B. a3 ? b3 C. a5 ? b5 D. a6 ? b6 ( ) ( )

7.若 x ? R? , 则(1 ? 2 x)15 的二项式展开式中系数最大的项为 A.第 8 项 C.第 8 项和第 9 项 8.设 f ( x) ? cos B.第 9 项 D.第 11 项

x 1 1 1 , a ? f (log e ), b ? f (log? ), c ? f (log 1 2 ) ,则下述关系式正确的 5 ? e e ?
( )

是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a c?a?b C. D. b ? a ? c 9.下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为





正视图: 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形

侧视图: 半径为 1 的 以及高为 1 的矩形

1 圆 4

俯视图: 半径为 1 的圆

A.

3? 2

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

3? 4

2

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10.设有算法如下:

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如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是 ( ) A.144 B.3 C. 0 D.12 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 满足方程 x ? 2009 ? 2 x ? 2010 ? 12. x ? R, 函数 f ( x) ? 2sin

x ? 2009 ? 2 x ? 2010 ? 2 所有实数解为




x x ? 3cos 的最小正周期为 2 3

13.设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 36 上一动点,A 点坐标为 ? 20,0? 。当 P 在圆上运动时,线段 PA 的 中点 M 的轨迹方程为 . 14.设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D,使得 AD 把△ABC 分成两个等腰三角形,试 求△ABC 的最小内角的取值范围为 . 15.设 z 是虚数, w ? z ?

1 ,且 ?1 ? w ? 2 ,则 z 的实部取值范围为 z

.

2 4 4 16.设 f ( x) ? k ( x ? x ? 1) ? x (1 ? x) 。如果对任何 x ? [0,1] ,都有 f ( x) ? 0 ,则 k 的最

小值为

.

2 17.设 p, q ? R , f ( x) ? x ? p | x | ?q 。当函数 f (x) 的零点多于 1 个时, f (x) 在以其最

小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为

.

3

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三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18.设数列 , , , , , ,?, ,

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1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1

1 2 k ,?, ,? , k k ?1 1

问: (1)这个数列第 2010 项的值是多少; (2)在这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是多少.

19.设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每 个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放 法。

x2 2 20.已知椭圆 2 ? y ? 1(a ? 1) , Rt ?ABC 以 A (0,1)为直角顶点,边 AB、BC 与椭圆 a
交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为

27 ,求 a 的值。 8

4

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四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. D, F 分别为△ABC 的三边 BC, 设 E, CA, 上的点。 ? ? AB 记 证明: S?DEF ? ??? S?ABC 。

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BD CE AF 。 ,? ? ,? ? BC CA AB

22. (1)设 a ? 0 ,平面上的点如其坐标都是整数,则称之为格点。今有曲线 y ? ax3 过格点 (n,m) ,记 1 ? x ? n 对应的曲线段上的格点数为 N。证明:
n m ? k? N ? ? ? ak 3 ? ? ? ? 3 ? ? mn 。 ? ? k ?1 k ?1 ? a ?

(2)进而设 a 是一个正整数,证明:

??

? k? a 2 3 ? ? n ? (n ? 1)n (3n ? 1) 。 4 k ?1 ? a ?
an3

(注 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数)

5

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参考答案
1.解答为 A。

分母=( sin 2 x ? cos2 x)(sin 4 x ? cos4 x ? sin2 x cos2 x) ? 2sin 2 x cos2 x
? sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 。
也可以用特殊值法 2.解答为 B。p 成立 ? x ? ?3 ,所以 p 成立,推不出 q 一定成立。 3.解答:D。 画数轴,由绝对值的几何意义可得 ?6 ? x ? ?3 ,

P ? ? x ? 6 ? x ? ?3? , CR P ? {x x ? ?6, 或x ? ?3} 。
4.解答.C.

PQ? QR ?
2 2

P, R
2

即 r ? (k ? 1) ? (r ? 1) ? k ?
2

2,解得r=k=

1? 3 。 2

5.解答: 建立空间直角坐标系,以 A1B1 所在的直线为 x 轴,在平面 A1B1C1 上垂直于 A1B1 C。 的直线为 y 轴, BB 1 所在的直线为 z 轴。则

A1 ( 2, 0, 0), C1 (

2 6 2 6 , , 0), C ( , ,1), 2 2 2 2 2 6 2 6 ,? , ?1), C1B ? (? ,? ,1), CA1 ? C1B ? 0 。 2 2 2 2

B(0, 0,1) , CA1 ? (
6.解答:A。

设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1,得d=-1,q=
3 2 4 得a2 ? 3, b2 ? 2 2; a3 ? 2, b3 ? 4; a5 ? 0, b5 ? ; a6 ? ?1, b6 ? 。 2 4 3 3 3

3

2 2

6

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7.解答:D. Tr ?1 ? C15 2 ,由Tr ? Tr ?1,Tr ? 2 ? Tr ?1 ?
r r

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8.解答: D。函数 f ( x ) ? cos

x ? 为偶函数,在(0, )上, f ( x) ? cos x 为减函数,而 5 2

29 32 ?r? ,r=10,第 11 项最大。 3 3

loge

1

?

? ? loge ? , log?

1 1 1 ?? , log1 2 ? 2 loge ? , e loge ? e ?

0?

loge ? 2loge ? ? 1 ? ? ? ,所以 b ? a ? c 。 5log e ? 5 5 4

9.解答:C.根据题意,该立体图为圆柱和一个 1/4 的球的组合体。 10.解答 B (1)A=144,B=39,C=27: (2)A=39,B=27,C=12: (3)A=27,B=12,C=3: (4)A=12,B=3,C=0。所以 A=3。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 2010 ? x ? 2011 。 解答 变形得 ( x ? 2010 ? 1) ? ( x ? 2010 ? 1) ? 2 ? 0 ?
2 2

x ? 2010 ? 1 ,解得

2010 ? x ? 2011 。
12. 12? . 解答

x x 2 s i n 的周期为 ?4 3 c o s , 的周期为6?,所以函数f x 的周期为 ? 。 2 ( ) 1 2 3
2 2

13. ( x ?10) ? y ? 9 . 解答 设 M 的坐标为 ( x, y),设P点坐标为( x0 , y0 ), 则有

x?

x0 ? 20 y ,y? 0 2 2

? x0 ? 2x ? 20, y0 ? 2 y ,因为 P 点在圆上,所以 (2 x ? 20)2 ? (2 y)2 ? 36 所以 P 点轨
迹为 ( x ?10) ? y ? 9 。
2 2

14.30<x<45 或 22.5<x<30. 解答 如图, (1)AD=AC=BD; (2)DC=AC,AD=BD。

7

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A

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B

D (1)

C

A

C B D (2) 在(1)中,设最小的角为 x,则 2x<90,得 x<45,又 x+180-4x<90,得 x>30,所以 30<x<45; 在(2)中,设最小的角为 x,则 3x<90,得 x<30,又 180-4x<90,得 x>22.5,所以 22.5<x<30 15. ?

1 ? a ? 1. 2 a ? bi b ? 2?b? 2 ?0 2 2 a ?b a ? b2

解答 设 z ? a ? bi ? ?1 ? a ? bi ?

? b ? 0或a 2 ? b2 ? 1
当 b ? 0 ,无解;当 a ? b ? 1 ? ?
2 2

1 ? a ? 1。 2

16.

1 . 192

8

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解答 k ?

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1 3 3 1 3 x 4 (1 ? x) 2 因为x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ? , x ? 时x 2 ? x ? 1最小值为 2 2 4 4 2 4 x ? x ?1
1 1 1 8 1 , x ? 时,x 4 (1 ? x) 4 取最大值( ),所以 k 的最小值为 。 2 2 2 192

分子 x(1 ? x) ? 17.0 或 q.

解答 因为函数 f ( x) ? x2 ? p | x | ?q 为偶函数, 由对称性以及图象知道, f (x) 在以其 最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值 0 或 q。 三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18.解(1)将数列分组: ( ), ( , ), ( ,

1 1

1 2 2 1

1 2 3 1 2 k , ), ?, ( , ,?, ), ? 3 2 1 k k ?1 1 57 。 7
--------- 10 分

因为 1+2+3+…+62=1953;1+2+3+…+63=2016, 所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数,即为

(2)由以上分组可以知道,每个奇数组中出现一个 1,所以第 2010 个 1 出现在第 4019 组, 而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位, 所以第 2010 个值为 1 的项的序号为 (1+2+3+… +4018)+2010=809428。 ------------ 17 分 19.解:设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 x, y, z ,则有 1 ? x, y, z ? 9 ,且

xyz ? (10 ? x)(10 ? y)(10 ? z )
即有

(*1) ----------------- 5 分

xyz ? 500 ? 50( x ? y ? z) ? 5( xy ? yz ? zx) 。

(*2)

于是有 5 xyz 。因此 x, y, z 中必有一个取 5。不妨设 x ? 5 ,代入(*1)式,得到

y ? z ? 10 。

----------------10 分

此时,y 可取 1,2,…,8,9(相应地 z 取 9,8,…,2,1) ,共 9 种放法。同理可得 x ? y ? z 时二种放法重复。因此可得共有 y=5 或者 z=5 时,也各有 9 种放法,但有 9×3-2 = 25 种放法。 ---------------------17 分 20.解: 不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ?

1 x ? 1。 k

9

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? y ? kx ? 1 ?2a 2 k ? 2 2 2 2 2 , 由?x 得: (1 ? a k ) x ? 2a kx ? 0 ? xB ? 2 1 ? a2k 2 ? 2 ? y ?1 ?a
1 ? ? y ? ? k x ?1 2a 2 k ? , 由? 2 得: (a2 ? k 2 ) x2 ? 2a 2 kx ? 0 ? xC ? 2 a ? k2 ? x ? y2 ? 1 ? a2 ?
从而有

AB ? 1 ? k 2

2a 2 k 1 2a 2 k , AC ? 1 ? 2 2 , 1 ? a2k 2 k a ? k2

--------5 分

1 k? 1 k (1 ? k 2 ) 4 k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 2a 。 ? 2a 4 2 2 2 2 1 2 (1 ? a k )(a ? k ) 2 2 4 a (k ? 2 ) ? a ? 1 k 1 令 t ? k ? ? 2 ,有 k
S
?ABC ?

2a 4t ? a 2t 2 ? (a 2 ? 1)2

2a 4 , (a 2 ? 1) 2 2 a t? t

--------- 10 分

(a 2 ? 1) 2 a2 ?1 2 ? 2a(a ? 1), t ? 因为 a t ? 时等号成立。 t a
2

因此当 t=

a2 ?1 a3 , ( S?ABC )max ? 2 , a a ?1

------------- 14 分



a3 27 3 ? 297 ? ? (a ? 3)(8a 2 ? 3a ? 9) ? 0 ? a ? 3, a ? 2 a ?1 8 16
--------- 17 分

a2 ?1 3 ? 297 ? 2 ? a ? 1 ? 2,? a ? (不合题意,舍去), a ? 3. ? a 16
四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 )

10

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21.证明 由

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S?BFD BD ? BF sin B ? ? ? (1 ? ? ). S?ABC BC ? BA sin B

同理

S?DEC S ? ? (1 ? ? ), ?AEF ? ? (1 ? ? ) 。 S?ABC S?ABC

---------- 10 分

所以,

S?DEF S?ABC ? S?BFD ? S?DEC ? S?AEF ? ? 1 ? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) S?ABC S?ABC
----20 分

= (1 ? ? )(1 ? ? )(1 ? ? ) ? ??? ? ??? , 等号成立 ? ? ? 1或? ? 1或? ? 1。 因此 S?DEF ? ??? S?ABC ,等号成立,当且仅当,D 与 C 重合, 或 E 与 A 重合,或 F 与 B 重合。 ----- 25 分

22.证明 (1)考虑区域 0 ? x ? n,0 ? y ? m, 且该区域上的格点为 nm 个。 又该区域由区域 E:

0 ? x ? n,0 ? y ? ax3 , 以及区域 F: 0 ? y ? m,0 ? x ? 3

y 组成。 a

在区域 E 上,直线段 x ? k (k ? N ? ,1 ? k ? n) 上的格点为 [ak 3 ] 个, 所以区域 E 上的 格点数为

?
k ?1

n

[ak 3 ] 。

----------------- 5 分

同理区域 F 上的格点数为
n

?
k ?1
3

m

[3

k ]。 a

-----------------

10 分

由容斥原理, N ?

? ?ak ?
k ?1

m ? k? ? ? ? ? 3 ? ? mn 。 ? k ?1 ? a ?

-------------------------15 分
?

(2)当 a 是一个正整数时,曲线 y ? ax 上的点( k , ak )(k ? N ,1 ? k ? n) 都是格点,
3 3

所以(1)中的 N=n。同时, m ? an 。将以上数据代入(1)得
3

?
k ?1

an3

n a k 4 [ ] ? an ? a? k 3 ? n ? n ? (n ? 1) n 2 (3n ? 1) 。 4 a k ?1 3

----------------- 25 分

11


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