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2014届高三数学一轮总复习单元检测(人教A):第六章 不等式


2014 届高三数学一轮总复习单元检测(人教 A) : 第六章 不等式

时间:120 分钟 分值:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) c a b + 1.已知 a,b,c∈R ,若 < < ,则( a+b b+c c+a A.c<a<b C.a<b<c ) B.b<c<a D.c<b<a

解析:由已知得 c(b+c)<a(a+b),a(c+a)<b(b+c),即(c-a)(a+b+c)<0,(a-b)(a+b +c)<0.又 a+b+c>0,因此有 c-a<0,a-b<0,故 c<a<b,选 A. 答案:A 2.已知不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( A.-4≤a≤4 C.a≥4 或 a≤-4 B.-4<a<4 D.a<-4 或 a>4 )

解析: 不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集, 意味着方程 x2+ax+4=0 的根的判别式大 于零,解不等式 Δ=a2-4×4>0,a<-4 或 a>4. 答案:D t+2 t 3.若不等式 2 ≤a≤ 2 在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范围是( t t +9 1 ? A.? ?6,1? 1 4? C.? ?6,13? a≥ ? ? t+9 t 解析:依题意得? 1 ?1? ? ?a≤ t +2· ? t? 1 2 ? B.? ?13,1? 1 ? D.? ?6,2 2? )

对任意 t∈(0,2]恒成立.于是只要当 t∈(0,2]时,
2

? ? ? 9 a ≥ ? ? ?t+ t ? ? ? 1 ?1? ] ? ?a≤[ t +2· ?t?
max 2

1

9 1 ?1?2,则易知函数 f(t)在(0,2]上是 即可.记 f(t)=t+ ,g(t)= +2· ? t? t t
min

13 1 ?1?2 在(0,2]上是减函数, 减函数, 因此 f(t)在(0,2]上的最小值是 f(2)= , g(t)= +2· g(t)在(0,2] ?t? 2 t 2 上的最小值是 g(2)=1,所以所求的 a 的取值范围是[ ,1],选 B. 13 答案:B 4.函数 y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式 f(x)<f(-x)+2x 的解集为( )

A.{x|-

2 2 <x<0 或 <x≤1} 2 2 2 2 或 <x≤1} 2 2 2 2 或 0<x< } 2 2

B.{x|-1≤x<- C.{x|-1≤x<- D.{x|-

2 2 <x< 且 x≠0} 2 2

解析:从函数图象可以看出:函数 y=f(x)是关于原点对称的函数,∴f(-x)=-f(x); 由不等式 f(x)<f(-x)+2x 得:f(x)-f(-x)<2x?2f(x)<2x?f(x)<x,∴y<x; 即函数图象在直线 y=x 下方的部分,故选 A. 答案:A a b 5.给出下列三个命题:①若 a≥b>-1,则 ≥ ;②若正整数 m 和 n 满足 m<n, 1+a 1+b ax-1 1 n - ,+∞?,则 a 则 m?n-m?≤ ;③已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞,-1)∪? 2 ? ? 2 x+1 =-2.其中假命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

1 1 a b 1 1 解析: ①由 a≥b>-1, a+1≥b+1>0, 得 ≤ , 而 ≥ ?1- ≥1- 1+a 1+b 1+a 1+b 1+a 1+b ? 1 1 ≤ ,所以本命题为真命题;②用基本不等式:2xy≤x2+y2(x,y 为正实数),取 x 1+a 1+b

ax-1 = m,y= n-m,可知本命题为真命题;③ <0?(ax-1)· (x+1)<0,又其解集为(-∞, x+1 1 1 - ,+∞?,可知 a<0,故(ax-1)(x+1)<0??x- ?(x+1)>0,结合原不等式的解集, -1)∪? ? 2 ? ? a?

1 1 有 =- ?a=-2,所以本命题是真命题,故选 A. a 2 答案:A 1 6.若实数 a、b∈(0,1),且满足(1-a)b> ,则 a、b 的大小关系是( 4 A.a<b B.a≤b C.a>b D.a≥b 1 1 1-a+b?2 1 1-a+b 解析:∵a、b∈(0,1),∴1-a>0,又(1-a)b> ,∴ <? 4 4 ? 2 ? ,2< 2 ,b-a>0, 选择 A. 答案:A 7.设 a、b∈R,且 b(a+b+1)<0,b(a+b-1)<0,则( A.a>1 B.a<-1 C.-1<a<1 D.|a|>1 解析:在坐标平面 aOb 中作出不等式组
? ? ?b?a+b+1?<0 ? 即①?a+b+1<0 ?b?a+b-1?<0 ? ?

)

)

?b>0

b<0 ? ? 或②?a+b+1>0 表示的平面区域,结合图形观察 ? ?a+b-1<0 ?a+b-1>0

可知,该平面区域内的任意一点(a,b)的横坐标都满足|a|>1,因此选 D. 答案:D b a 8.已知 lga+lgb=0,则 的最小值为( 2+ 1+a 1+b2 A.4 C.2 解析: 依题意, ab = 1 , a>0 , b>0 ,则 1 B. 2 D.1 a2+b2 b a b a = 2+ 2= 2+ 2= 1+a 1+b ab+a ab+b ab?a+b? )

?a+b?2-2 2 2 =(a+b)- ≥2 ab- =2-1=1,当且仅当 a=b=1 时,等号成立.选 a+b a+b 2 ab 择 D. 答案:D 1 1 9.若 1< < ,则下列结论中不正确的是( a b A.logab>logba B.|logab+logba|>2 C.(logba)2<1 D.|logab|+|logba|>|logab+logba| )

1 1 解析: 由 1< < , 得 0<b<a<1, logab>logaa=1=logbb>logba>logb1=0, 因此 logab>logba, a b |logab+logba|=logab+logba>2 logab×logba=2;由 1>logba>0,得(logba)2<1;显然有|logab +logba|=|logab|+|logba|.综上所述,选 D. 答案:D 10.下列四个命题中正确的是( A.若 a,b∈R,则|a|-|b|<|a+b| B.若 a,b∈R,则|a-b|<|a|+|b| C.若实数 a,b 满足|a-b|=|a|+|b|,则 ab≤0 D.若实数 a,b 满足|a|-|b|<|a+b|,则 ab<0 解析:对于 A,当 a=2,b=0 时,|a|-|b|=|a+b|,因此 A 不正确;对于 B,当 a=2, b=0 时,|a-b|=|a|+|b|, 因此 B 不正确;对于 D,当 a=0,b=2 时,满足|a|-|b|<|a+b|, 但 ab=0,因此 D 不正确.综上,选 C. 答案:C 1 1 11. 已知正整数 a、 b 满足 4a+b=30, 则使得 + 取得最小值的有序数对(a, b)是( a b A.(5,10) C.(7,2) B.(6,6) D.(10,5) ) )

1 1 1 1 1? 1 b 4a 3 b 4a + (4a+b)= (4+ + +1)≥ ,当且仅当 = 时取最 解析:依题意得 + = ? a b 30?a b? 30 a b 10 a b
? ?a=5 小值,即 b=2a,再由 4a+b=30,解得? . ?b=10 ?

答案:A
?-1 ? 12.设函数 f(x)=? ?1 ?

?x>0? ?x<0?





?a+b?+?a-b?· f?a-b? (a≠b)的值为( 2

) B.b D.a、b 中较大的数 ?a+b?+?a-b?· f?a-b? = 2

A.a C.a、b 中较小的数

解析: 对 a - b 进行讨论,当 a - b>0 时, f(a - b) =- 1 ,

?a+b?-?a-b? ?a+b?+?a-b?· f?a-b? =b;当 a-b<0 时,f(a-b)=1, 2 2 = ?a+b?+?a-b? =a,所以上式的值为 a、b 中较小的数.选 C. 2

答案:C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 请把正确答案填在题中横线上. ) x-1 13.若不等式 +m<0 的解集为{x|x<3 或 x>4},则 m 的值为________. x+m 解析: x-1 ?m+1?x+m2-1 +m<0? <0?(x+m)[(m+1)· x+m2-1]<0,其解集为{x|x<3 x+m x+m

或 x>4},所以方程(x+m)[(m+1)x+m2-1]=0 的根为 3、4,代入解得 m=-3. 答案:-3 1 14.设函数 f(x)=x- ,对任意 x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实数 m 的取 x 值范围是________. 1 1 m ?1 解析:由题知,mx- +mx- <0 在[1,+∞)上恒成立,即 2mx<? ?m+m?x在[1,+∞) mx x 1 +m m 上恒成立,显然 m≠0.当 m>0 时,即 >x2 在[1,+∞)上恒成立,由于函数 g(x)=x2 无最 2m 1 1 +m +m m m 大值,此时不存在满足题意的 m;当 m<0 时,即 <x2 在[1,+∞)上恒成立,即 <1, 2m 2m 即 m2>1,解得 m<-1,即 m 的取值范围是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 3 2 ? ?x? 15.设函数 f(x)=x2-1,对任意 x∈? ?2,+∞?,f?m?-4m f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立, 则实数 m 的取值范围是________. x ?2 2 2 2 2 ?3 ? 解析:由题意得:? ?m? -1-4m (x -1)≤(x-1) -1+4(m -1)在?2,+∞?上恒成立, 1 -2x-3 ?3 1 2 2 ?2 ?3 ? ? 即? ?m2-4m -1?x +2x+3≤0 在?2,+∞?上恒成立,即m2-4m -1≤ x2 在?2,+∞? -2x-3 3 3 2 3 1 ,+∞?上是增函数,故当且仅当 2-4m2-1≤g? ? 上恒成立,g(x)= =- 2- 在? 2 2 ? ?2? x x x ? m 即可.解得 m≤- 3 3 3 3 或 m≥ ,即 m 的取值范围是?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2 2 2? ?2 ? ? 3? ? 3 ? ∪ ,+∞ 2? ?2 ?

答案:?-∞,-

?

16 16.已知 a>b>0,则 a2+ 的最小值是________. b?a-b? 解析:∵a>b>0,∴b(a-b)≤? b+a-b?2 a2 ? 2 ? = 4 (当且仅当 a=2b 时取“=”), 64 a2× 2 =16(当且仅当 a=2 2时取“=”), a

16 16 64 ∴a2+ ≥a2+ 2 =a2+ 2 ≥2 a a b?a-b? 4

16 ∴当 a=2 2,b= 2时,a2+ 取得最小值 16. b?a-b? 答案:16 三、 解答题: (本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)当不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3)时,求实数 a、b 的值. 解析:(1)由 f(1)>0 得-3+a(6-a)+b>0?a2-6a+3-b<0, ∴(a-3)2<6+b. 当 b≤-6 时,不等式的解集为?; 当 b>-6 时,不等式的解集为(3- 6+b,3+ 6+b). (2)由 f(x)>0 得 3x2-a(6-a)x-b<0,因 f(x)>0 的解集为(-1,3),即不等式 3x2-a(6-a)x -b<0 的解集为(-1,3),故 x=-1、x=3 是方程 3x2-a(6-a)x-b=0 的两个实根,由根与 系数的关系,得 -a? ?-1+3=a?63 ? b ?-1×3=-3

?a=3± 3 ?? ?b=9.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x|x-a|-2. (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)<|x-2|; 1 (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x2-1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 解析:(1)a=1 时,f(x)<|x-2|,即 x|x-1|-2<|x-2|.(*) 当 x≥2 时,由(*)?x(x-1)-2<x-2?0<x<2. 又 x≥2,∴x∈?; 当 1≤x<2 时,由(*)?x(x-1)-2<2-x?-2<x<2, 又 1≤x<2,∴1≤x<2; 当 x<1 时,由(*)?x(1-x)-2<2-x?x∈R. 又 x<1,∴x<1. 综上所述,知不等式的解集为(-∞,2). 1 1 (2)当 x∈(0,1]时,f(x)< x2-1,即 x|x-a|-2< x2-1 恒成立, 2 2 1 1 3 1 也即 x- <a< x+ 在 x∈(0,1]上恒成立. 2 x 2 x 1 1 而 g(x)= x- 在(0,1]上为增函数, 2 x

1 故 g(x)max=g(1)=- . 2 3 1 h(x)= x+ ≥2 2 x 1 3 3 1 6 ? = 6,当且仅当 x= ,即 x= 时,等号成立.故 a∈? ?-2, 6?. 2 2 x 3

19.(本小题满分 12 分)已知不等式|x-3|≤ (1)若 A≠?,求 a 的取值范围;

x+a (a∈R)的解集为 A,Z 为整数集. 2

(2)是否存在实数 a,使 A∩Z={3,4}?若存在,求出 a 的范围;如果不存在,说明理由. 解析:(1)原不等式等价于不等式组

? ? x+a ?x-3≤ 2 a ? ?x-3≥-x+ 2
x+a ≥0 2

x≥-a ? ?x≤6+a, ?? 6-a ? ?x≥ 3

6-a 为使 A≠?,∴6+a≥-a 且 6+a≥ ?a≥-3. 3 6-a 2?a+3? (2)由(1)a≥-3,∴ -(-a)= ≥0, 3 3 ∴ 6-a ≥-a,为使 A∩Z={3,4}, 3

6-a ? ?2< ≤3 3 则有? ?-2≤a<-1. ?4≤6+a<5 ? 故存在实数 a,使 A∩Z={3,4},此时 a∈[-2,-1). 20.(本小题满分 12 分)已知 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞). a2 b2 ?a+b? (1)求证: + ≥ ,指出等号成立的条件; x y x+y 2 9 ? ? 1?? (2)利用(1)的结论求函数 f(x)= + x∈ 0,2??的最小值,指出取最小值时 x 的值. x 1-2x? ?
2 a2 b2 ?a+b? 解析:(1)证明: + - x y x+y 2

= =

a2y?x+y?+b2x?x+y?-xy?a+b?2 xy?x+y? a2y2+b2x2-2abxy ?ay-bx?2 = . xy?x+y? xy?x+y?

?ay-bx?2 ∵a,b,x,y∈(0,+∞),∴ ≥0, xy?x+y?

a2 b2 ?a+b? ∴ + ≥ ,当且仅当(ay-bx)2=0, x y x+y 即 ay=bx 时等号成立. ?2+3?2 22 32 (2)由(1)知 f(x)= + ≥ =25, 2x 1-2x 2x+?1-2x? 当且仅当 2(1-2x)=3· 2x, 1 即 x= 时,f(x)取得最小值 25. 5 21.(本小题满分 12 分)已知 a>b>c,且 f(x)=(a-b)x2+(c-a)x+(b-c). (1)求证:方程 f(x)=0 总有两个正根; (2)求不等式 f(x)≤0 的解集; (3)求使 f(x)>(a-b)(x-1)对于 3b≤2a+c 恒成立的 x 的取值范围. 解析:(1)证明:方程 f(x)=0 即(a-b)x2+(c-a)x+(b-c)=0 即[(a-b)x-(b-c)](x-1) =0 所以方程 f(x)=0 的两根为 x1= b-c 因为 a>b>c,所以 >0. a-b 故方程 f(x)=0 总有两个正根. (2)f(x)≤0,即[(a-b)x-(b-c)](x-1)≤0. 当 当 当 b-c a+c b-c >1,即 b> 时,不等式的解集为{x|1≤x≤ }; 2 a-b a-b b-c a+c b-c <1,即 b< 时,不等式的解集为{x| ≤x≤1}; 2 a-b a-b b-c a+c =1,即 b= 时,不等式的解集为{x|x=1}. 2 a-b b-c ,x =1. a-b 2

2

(3)f(x)>(a-b)(x-1), 即(a-b)x2+(b+c-2a)x+a-c>0, 即[(a-b)x-(a-c)](x-1)>0. a-c 因为 a>b>c,所以 >1. a-b a-c 所以 x> 或 x<1 恒成立. a-b b-c 又 3b≤2a+c,即 2(a-b)≥b-c, ≤2 a-b a-c ?a-b?+?b-c? b-c 所以 = =1+ ≤3. a-b a-b a-b 所以 x>3 或 x<1.

故使 f(x)>(a-b)(x-1)对于 3b≤2a+c 恒成立的 x 的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞). 22.(本小题满分 12 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在区 间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 2x2+?a-10?x+5 (2)解关于 x 的不等式 >1(a<0). f?x? 解析:(1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5), ∴可设 f(x)=Ax(x-5)(A>0), 5 ∴f(x)的对称轴为 x= 且开口向上. 2 ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6A=12. ∴A=2. ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x. ax+5 (2)由已知有 2 >0.∴x(x-5)(ax+5)>0. 2x -10x 5? 又 a<0,∴x(x-5)? ?x+a?<0. 5 5 ①若-1<a<0,则 5<- ,∴x<0 或 5<x<- . a a ②若 a=-1,则 x<0. 5 5 ③若 a<-1,则- <5,∴x<0 或- <x<5. a a 综上知: 5 当-1<a<0 时,原不等式的解集为{x|x<0 或 5<x<- }; a 当 a=-1 时,原不等式的解集为{x|x<0}; 5 当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|x<0 或- <x<5}. a


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