tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

导数的概念


高等数学(经管类)多媒体课件

牛顿(Newton)
2016年1月3日星期日 1

莱布尼兹(Leibniz)
目录 上页 下页 返回

第二章

第一节 导数概念
(The Concept of Derivative)

一、引 例 二、导数的定

义 三、导数的几何意义 四、单侧导数 五、可导与连续的关系 五、小结与思考题
2016年1月3日星期日 2
目录 上页 下页 返回

一、变化率问题举例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为

f (t ) ? f (t0 ) v? t ? t0
而在 时刻的瞬时速度为

自由落体运动

s ? gt
1 2

2

v ? lim
t ?t0

f (t ) ? f (t0 )

o

f (t0 )

f (t )

t ? t0
3

t0
目录 上页

t
下页

s
返回

2016年1月3日星期日

2. 曲线的切线斜率
曲线 在 M 点处的切线

y

y ? f ( x)

N
C

M
x0

T

割线 M N 的极限位置 M T (当 时)
切线 MT 的斜率

o

? ?

xx

? lim tan ?
???

f ( x) ? f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan ? ? x ? x0
k ? lim
f ( x) ? f ( x0 )
x ? x0

x ? x0

2016年1月3日星期日

4

目录

上页

下页

返回

瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:

o

f (t0 )
y

f (t )

t0

t

s
N

y ? f ( x)

C

M

T

o ? ? x0

x x

所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
下页 返回

线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限

???

2016年1月3日星期日

5

目录

上页

二、导数的定义(Definition of Derivatives)
1. 函数在一点的导数与导函数.
在点 的某邻域内有定义 , 定义1 设函数 ?y f ( x) ? f ( x0 ) ? y ? f ( x ) ? f ( x ) 0 若 ? lim lim ? x ?0 ? x ? x ? x ? x0 x ? x0 x ? x0 存在, 则称函数 在点 处可导, 并称此极限为 在点 的导数. 记作: dy d f ( x) y ? x ? x0 ; f ?( x0 ) ; ; d x x ? x0 d x x ? x0 ? y ? y 即 x ? x0 ? f ?( x0 ) ? lim ? x ?0 ? x

2016年1月3日星期日

6

目录

上页

下页

返回

?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x ? x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ? ; f ?( x ) ; dx dx
?y 若 lim ? ? , 也称 ? x ?0 ? x



的导数为无穷大 .

注意:
2016年1月3日星期日

f ?( x0 ) ? f ?( x) x ? x0
7

?
目录

d f ( x0 ) dx
上页 下页 返回

由此可见,
运动质点的位置函数

s ? f (t )
f (t0 )

在 t0 时刻的瞬时速度

f (t )

o

t0

t

s

? f ?(t0 )
曲线 C : y ? f ( x) 在 M 点处的切线斜率

y

y ? f ( x)

N

? f ?( x0 )
2016年1月3日星期日 8
目录

C

M
x0
下页

T

o

?
上页

x x
返回

例3

设函数 f ? x ? ? x2 ,求 f ? ? x ? , f ? ? ?1? , f ? ? 2? .



由导数定义有

2 2 f ? x ? ?x ? ? f ? x ? x ? ? x ? x ? ? f ? ? x ? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

?x ? 2 x ? ?x ? ? lim ? 2x ?x ?0 ?x

所以 f ? ? ?1? ? f ? ? x ?

x??1

? ?2

f ? ? 2? ? f ? ? x ?

x ?2

?4

2016年1月3日星期日

9

目录

上页

下页

返回

根据导数的定义,求函数 f ( x) 的导数的一般步骤如下:
(1)写出函数值的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
(2)计算比值
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x

(3)求极限 y? ? f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) . ?x

2016年1月3日星期日

10

目录

上页

下页

返回

三、导数的几何意义(Geometric Interpretation)
曲线 若 若 若 若 在点 曲线过 曲线过 的切线斜率为 上升; 下降;
y
y ? f ( x)

tan ? ? f ?( x0 )

C

M
x0

T

o ? y

x

切线与 x 轴平行, 切线与 x 轴垂直 . 曲线在点

称为驻点; 处的
o
y o
x0

( x0 , y0 )
x0

?
x

切线方程: 法线方程:
2016年1月3日星期日 11
目录

( f ?( x0 ) ? 0 )
上页 下页 返回

例 4 求曲线 y ? x 过 (1, 1)点的切线方程和法线方 程.

解 过点 (1, 1)的切线斜率 f ( x) ? f (1) x ?1 1 k ? f ?(1) ? lim ? lim ? x ?1 x ?1 x ? 1 x ?1 2 1 法线斜率为 ? ? ?2

k

故过点(1,1)的切线方程为

1 y ? 1 ? ( x ? 1), 即 2 y ? x ? 1 ? 0 . 2

故过点(1,1)的法线方程为

y ? 1 ? ?2( x ? 1), 即y ? 2x ? 3 ? 0
2016年1月3日星期日 12
目录 上页 下页 返回

3. 单侧导数.
定义2 设函数 有定义, 若极限

在点

的某个右 (左) 邻域内

(? x ? 0 ? )

(? x ? 0 ? )

存在, 则称此极限值为

在 在点

处的右 (左) 导数, 记作 可导的充分必要条件 是 内可导, 且
目录 上页 下页 返回

? ( x0 )) f ??( x0 ) ( f ?
注1: 函数


注2: 若函数 在开区间
13

与 f ??(b) 都存在 , 则称
2016年1月3日星期日

在闭区间 [a , b]上可导.

例6 证明函数

在 x = 0 不可导.

?x f (0 ? ?x) ? f (0) 证: ? f ??( x0 ) ? lim? ? lim? ?1 ? x? 0 ? x? 0 ?x ?x ?x f (0 ? ?x) ? f (0) f ??( x0 ) ? lim? ? lim? ? ?1 ? x? 0 ? x? 0 ?x ?x

? f ??( x0 ) ? f ??( x0 )
因此, 函数 在 x = 0 不可导.

一般地,如果函数的图形在某点出现“尖角”,那 么在该点就没有切线,从而函数在该点不可导 .
2016年1月3日星期日 14
目录 上页 下页 返回

五、函数的可导性与连续性的关系
定理 证: 设 存在 , 故 在点 x 处可导, 即

所以函数

在点 x 连续 .

y? x

y
o

注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例:
2016年1月3日星期日

x

在 x = 0 处连续 , 但不可导.
15
目录 上页 下页 返回

例 7 讨论下列函数在 x ? 0 处的可导性和连续性. ?sin x, x ? 0, ? x 2 +1, (1) f ? x ? ? ? x ; (2) f ? x ? ? ? x ? 0. ?e , ? x ? 1,
解 (1) 因为
x ?0 x lim f x ? lim e ?1 ? ? ? ? x ?0

x ? 0,

; x ? 0.

x ?0

lim f ? x ? ? lim sin x ? 0 ? ?
x ?0

所以, f ? x ? 在 x ? 0 不连续,从而 f ? x ? 在 x ? 0 处不可导.

2016年1月3日星期日

16

目录

上页

下页

返回

(2)

因为

x ?0
x ?0

lim f ? x ? ? lim ( x ? 1) ? 1 ? ?
x ?0
x ?0

2 lim f x ? lim ( x ? 1) ? 1 ? ? ? ?



x ?0

lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? f (0) ? ?
x ?0

所以 f ? x ? 在 x ? 0 连续.



f ( x) ? f (0) x ?1 ?1 f ?? ? 0 ? ? lim ? lim ?1 ? ? x ?0 x ?0 x?0 x
f ( x) ? f (0) x2 ? 1 ?1 f ?? ? 0 ? ? lim ? lim ?0 ? ? x ?0 x ?0 x?0 x

f?? ? 0? ? f?? ? 0? ,所以 f ? x ? 在 x ? 0 处不可导.
2016年1月3日星期日 17
目录 上页 下页 返回

内容小结
1. 本节通过两个引例抽象出导数的定义:

y ? x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) ? lim x ? x0 x ? x0

?y ? f ( x) ? f ( x0 ) ? x ? x ? x0

?y ? lim ? x ?0 ? x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim ? x ?0 ?x
f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? lim h ?0 h
2016年1月3日星期日 18
目录 上页 下页 返回

2. 利用导数的定义得出以下导数公式:

(C )? ? 0;
1 (ln x)? ? , x

(cos x)? ? ? sin x ;

(a x )? ? a x ln a ;

(ex )? ? ex .

不连续, 一定不可导. 3. 判断可导性 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等.

4. 导数的几何意义: 切线的斜率; 5. 函数的可导性与连续性的关系: 可导必连续, 但连续不一定可导。
2016年1月3日星期日 19
目录 上页 下页 返回

课后练习
习 题 2-1 1;4;5;6;

思考与练习
1. 函数 区别: 联系: 在某点 处的导数 与导函数

有什么区别与联系 ?

f ?( x) 是函数 , f ?( x0 ) 是数值;
f ?( x)
x ? x0

? f ?( x0 )

注意:

f ?( x0 )? ? [ f ( x0 ) ]?
20
目录 上页 下页 返回

2016年1月3日星期日

2. 设

存在 , 则 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) . lim ? ________ h ?0 h 则

3. 已知 4. 设

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) . 存在, 求极限 lim h ?0 2h
h ?0

解: 原式 ? lim ?

(x x00)? h f ( x0 ) ? ff ((x f)(? x0f ? h0)) ? 22 (? hh)

1 1 ? f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) 2 2
2016年1月3日星期日 21
目录 上页 下页 返回

5. 设 都存在 , 并求出

, 问 a 取何值时,



解: 显然该函数在 x = 0 连续 .

sin x ? 0 ? (0) ? lim ? f? ?1 x?0 x? 0 ax ? 0 ? (0) ? lim ? ?a f? x? 0 x ? 0 在 故 a ?1 时 此时

都存在,

2016年1月3日星期日

22

目录

上页

下页

返回

6. 设 解: 因为

存在, 且



1 f (1 ? (? x )) ? f (1) ? lim 2 x ?0 (? x )

所以

2016年1月3日星期日

23

目录

上页

下页

返回

7. 设
在 证:因为 又 所以 即 在



处连续, 且

存在, 证明:

处可导.
则有 存在,

处连续, 故



处可导.

2016年1月3日星期日

24

目录

上页

下页

返回


推荐相关:

导数的概念教案及说明

导数的概念教案及说明_高三数学_数学_高中教育_教育专区。通过导数概念的形成过程,让学生掌握从具体到抽象,特殊到一般的思维方法;领悟极限思想和函数思想;提高类比归纳...


高中数学导数的定义

高中数学导数的定义,公式及应用总结 高中数学导数的定义 公式及应用总结字体大小:大中小晓晓 发表于 2011-11-01 01:03 评论 0 条 阅读 906 次 导数的定义: ...


导数的概念教案

【教学课题】 §2.1 : 第一课时) 导数的概念(第一课时) 【教学目的】 教学目的 :能使学生深刻理解在一点处导数的概念,能准确表达其定义;明确其实际背 教学...


导数的概念教案(李海霞)

(导数的概念)名称授课授课安排时数授课授课 2 第十一周时 间授课 启发、讲授方 法教学目的教具 多媒体教室、课件 1、了解导数的概念,掌握利用定义求导数的方法。...


选修2-2教案1.1.2导数的概念

§1.1.2 导数的概念 教学目标: 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的...


精品 导数的概念及运算

导数的概念及运算 一、重点难点分析: 重点难点分析: 1.导数的定义、意义与性质: (1)函数的导数:对于函数 f(x),当自变量 x 在 x0 处有增量Δx,则函数 y...


导数的概念试题含答案

(舍去,不符合题意) ,即切点的横坐标为 3 故选 A. 点评: 考查导数的几何意义,属于基础题,对于一个给定的函数来说,要考虑它的定义域.比如,该题的定义域 ...


高三一轮复习 导数的概念及其运算

高三一轮复习 导数的概念及其运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习 导数的概念及其运算导数的概念及其运算教学目标: (1)知识与技能目标:①理解导数...


导数的定义及可导条件教案

导数的定义及可导条件教案_数学_高中教育_教育专区。分类讲解导数一、导数的相关概念 1、导数的定义: f / ( x0 ) ? lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com