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第二课时同角三角函数的基本关系式 生


第三章

三角函数、 三角恒等变换及解三角形第 2 课时 同角三角函数的基 本关系式 与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)42~43 页)

考情分析 考点新知 ① 会运用同角三角函数进行简单的三 ① 理解同角三角函数的基本关系式: 角函数式的化简、求值及恒等式证明. sinα ②能运用诱导公式将任意角的三角函数 sin2α+cos2α=1, = tanα. cosα 化为锐角的三角函数,会运用它们进行 简单的三角函数式的化简、求值及恒等 ②理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2k 式证明. π π+α(k∈Z),-α,π±α, 2 ±α].

1. 同角三角函数的基本关系 (1) 平方关系:sin2α +cos2α =1. sinα (2) 商数关系:tanα=cosα. 2. 诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ + α(k∈Z) sinα cosα tanα 二 π +α -sinα -cosα tanα 三 -α -sinα cosα -tanα 四 π -α sinα -cosα -tanα 五 π 2 -α cosα sinα 六 π 2 +α cosa -sinα

函数名不变符号看象限

函数名改变符号看 象限

记忆规律:奇变偶不变,符号看象限.

8 1. (必修 4P16 例 1 改编)α 是第二象限角, tanα =-15, 则 sinα =________. ? 52 ? 2. cos?- 3 π ?=________. ? ? 3. sin2(π +α)-cos(π +α)·cos(-α)+1=________. π ? 5π ? 1 ?= ,且-π <α <- ,则 4. (必修 4P21 例题 4 改编)已知 cos? + α 2 ? 12 ? 3 ?π ? cos? -α?=________. ?12 ? ?π ? sin? +θ?-cos(π -θ) ?2 ? 5. (必修 4P22 习题 9(1)改编)已知 tanθ =2,则 = ?π ? sin? +θ?-sin(π -θ) ?2 ? __________.

题型 1 例1

同角三角函数的基本关系式

1 (必修 4P23 第 18 题改编)已知 α 是三角形的内角,且 sinα +cosα =5. (1) 求 tanα 的值; 1 (2) 将 2 用 tanα 表示出来,并求其值. cos α -sin2α

变式训练 已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ , 且 θ∈(0, 2π ).

sin2θ cosθ (1) 求 + 的值; sinθ -cosθ 1-tanθ (2) 求 m 的值; (3) 求方程的两根及此时 θ 的值.

例2 (

(必修 4P23 第 10(2)题改编)化简: 1+sinα - 1-sinα 1-sinα )· ( 1+sinα 1+cosα - 1-cosα 1-cosα ). 1+cosα

备选变式(教师专享) 已知 sinα·cosα<0,sinα tanα >0,化简: α α 1-sin2 1+cos2 α α cos2· α+sin2· α=________. 1+sin2 1-cos2

题型 2 例3

利用诱导公式进行化简求值 已知 sin(α-3π )=2cos(α-4π ), 求 sin(π -α)+5cos(2π -α) 的 ?3π ? ?-sin(-α) 2sin? - α ? 2 ?

值.

备选变式(教师专享) 1 已知 cos(π +α)=-2,且角 α 在第四象限,计算: (1) sin(2π -α); (2) sin[α+(2n+1)π ]+sin(π +α) (n∈Z). sin(π -α)· cos(α+2nπ )

?5π ? 1 ?= ,那么 cosα =________. 1. (2013· 广东文)已知 sin? + α ? 2 ? 5 2. 已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=π ,则 cos(a2+a8)=________. 1 ?π ? 3. 已知 sinα =3,且 α∈? ,π ?,则 tanα =________. ?2 ? π π 4. 已知 2tanα ·sinα =3,- 2 <α<0,则 cos(α- 6 )=____________.

1 1. 已知 0<x<π ,sinx+cosx=5.(1) 求 sinx-cosx 的值;(2) 求 tanx 的值.

?π ? 2. 已知 3cos2(π+x)+5cos?2-x?=1,求 6sinx+4tan2x-3cos2(π-x)的值. ? ?

1 3. 已知在△ABC 中,sinA+cosA= .(1) 求 sinA· cosA;(2) 判断△ABC 是 5 锐角三角形还是钝角三角形;(3) 求 tanA 的值.

4.

已 知

sin(3 π

cos(π +θ) 1 + θ) = 3 , 求 + cosθ [cos(π -θ)-1]

cos(θ-2π ) 的值. 3π ? ? ?3π ? sin?θ - ?cos(θ-π )-sin? +θ? 2 ? ? ? 2 ?


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