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高中数学集合总结+题型分类+完美解析


集合
【知识清单】
1.性质:确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系:属于“ ? ”、不属于“ ? ”. 3.集合和集合的关系:子集(包含于“ ? ”)、真子集(真包含于“ ? ”).

?

4.集合子集个数= 2 ;真子集个数= 2 ? 1 .
n

n

5

.交集: A ? B ? ?x | x ? A且x ? B? 并集: A ? B ? ?x | x ? A或x ? B? 补集: CU A ? ?x | x ?U且x ? A? 6.空集是任何非空集合的真子集;是任何集合的子集.

题型一、集合概念
解决此类型题要注意以下两点: ① 要时刻不忘运用集合的性质,用的最多的就是互易性; ② 元素与集合的对应,如数对应数集,点对应点集.

【No.1 定义&性质】
1.下列命题中正确的个数是( ) ① 方程 x ? 2 ? y ? 2 ? 0 的解集为 ?2,?2? ② 集合 y | y ? x ? 1, x ? R 与 ?y | y ? x ? 1, x ? R? 的公共元素所组成的集合是 ?0,1?
2

?

?

③ 集合 ?x | x ? 1 ? 0? 与集合 ?x | x ? a, a ? R? 没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3

分析:①中的式子是方程但不是一个函数,所以我们要求的解集不是 x 的值所构 成的集合,而是 x 和 y 的值的集合,也就是一个点. 答案:A

? x?2 ?x ? 2 ? 0 详解 :在①中方程 x ? 2 ? y ? 2 ? 0 等价于 ? ,即 ? 。因此解集应为 y ? ? 2 y ? 2 ? 0 ? ?

??2,?2??,错误;
在② 中, 由于集合 y | y ? x 2 ? 1, x ? R 的元素是 y , 所以当 x ? R 时,y ? x 2 ? 1 ? ?1 .同理,

?

?

?y | y ? x ?1, x ? R? 中 y ? R ,错误;
在③ 中,集合 ?x | x ? 1 ? 0? 即 x ? 1 ,而 ?x | x ? a, a ? R? ,画出数轴便可知这两个集合可能 有公共的元素,错误.故选 A. 2.下列命题中, (1)如果集合 A 是集合 B 的真子集,则集合 B 中至少有一个元素; (2)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 的元素少于集合 B 的元素; (3)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 的元素不多于集合 B 的元素; (4)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 和 B 不可能相等. 错误的命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

分析:首先大家要理解子集和真子集的概念,如果集合 M 是集合 N 的子集,那 么 M 中的元素个数要小于或等于 N 中元素的个数; 如果集合 M 是集合 N 的真子 集,那么 M 中的元素个数要小于 N 中元素的个数. 答案: C 详解:(1)如果集合 A 是集合 B 的真子集,则集合 B 中至少有一个元素,故(1)正确; (2)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 的元素少于或等于集合的 B 元素,故(2)不
正确; (3)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 的元素不多于集合 B 的元素,故(3)正确; (4)如果集合 A 是集合 B 的子集,则集合 A 和 B 可能相等,故(4)不正确.故选 C . 3.设 P 、 Q 为两个非空实数集,P 中含有 0,2,5 三个元素, Q 中含有 1,2,6 三个元素, 定义集合 P ? Q 中的元素是 a ? b ,其中 a ? P , b ? Q ,则 P ? Q 中元素的个数是( A.9 B.8 C.7 D.6 )

分析:因为 a ? P ,b ? Q ,所以 P ? Q 中的元素 a ? b 是 P 中的元素和 Q 中元素两 两相加而得出的,最后得出的集合还要考虑集合的互易性. 答案:B 详解:当 a ? 0 时, b 依次取 1,2,6,得 a ? b 的值分别为 1,2,6; 当 a ? 2 时, b 依次取 1,2,6,得 a ? b 的值分别 3,4,8; 当 a ? 5 时, b 依次取 1,2,6,得 a ? b 的值分别 6,7,11;

由集合的互异性得 P ? Q 中的元素为 1,2,3,4,6,7,8,11,共 8 个,故选 B.

4.设数集 M 同时满足条件 ①M 中不含元素 ? 1,0,1 ,② 若 a ? M ,则 则下列结论正确的是 ( ) A.集合 M 中至多有 2 个元素; B.集合 M 中至多有 3 个元素; C.集合 M 中有且仅有 4 个元素; D.集合 M 中有无穷多个元素.

1? a ?M . 1? a

1? a ? M .那么我们可以根据条件多求出几个 M 集合的元 分析:已知 a ? M 时, 1? a 素,找出规律并且判断元素之间是否有可能相等,从而判断集合中元素的个数.

答案: C
1? a 1 1? 1? a 1 a ? a ?1 ? M , ? M ,则 1 ? a ? ? ? M , 详解:由题意,若 a ? M ,则 1 ? a 1 a ?1 1? a a 1? 1? 1? a a a ?1 1? a ? 1 ? 2a ? a ? M ,若 a ? 1 ? a ,则 a 2 ? ?1 ,无解,同理可证明这四个元素中, 则 a ?1 2 1? a 1? a ?1 任意两个元素不相等,故集合 M 中有且仅有 4 个元素. 1?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

【No2. 表达方式】
5.下列集合表示空集的是( A. ?x ? R | x ? 5 ? 5? B. ?x ? R | x ? 5 ? 5? C. x ? R | x ? 0
2



?

? ?

D. x ? R | x ? x ? 1 ? 0
2

?

分析:本题考查空集的概念,空集是指没有任何元素的集合. 答案:D 详解: x 2 ? x ? 1 ? 0 ,

? ? ? 1 ? 4 ?1?1 ? ?3 ? 0

? 方程无实数解,故选 D.

6.用描述法表示下列集合: (1) ?0,2,4,6,8?; (2) ?3,9,27,81 ,??; (3) ? ,

?1 3 5 7 ? , , ,?? ; ?2 4 6 8 ?

(4)被 5 除余 2 的所有整数的全体构成的集合.

分析:描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的 范围 详解:(1) ?x ? N | 0 ? x ? 10, 且x是偶数?;
(2) ?x | x ? 3n, n ? N ? ?; (3) ? x | x ?

? ?

2n ? 1 ? , n ? N? ? ; 2n ?

(4) ?x | x ? 5n ? 2, n ? Z ? .

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题型二、不含参数



⑴ 中的参数是指方程的非最高次项系数 解决此类型题应注意: ① 区分 ? , ? , ? 的区别;

?

② 会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数; ③A ? B ? A ? A ? B

A? B ? A ? B ? A

A ? B ? ? ? 从A ? ?和B ? ?两方面讨论.

【No.1 判断元素/集合与集合之间的关系】
1.给出下列各种关系

① 0 ? ?0? ; ② 0 ? ?0? ; ③? ? ??? ; ④a ? ?a?; ⑤? ? ?0? ; ⑥?0?? ? ; ⑦? ? ?0?; ⑧? ? ?0?

?

?

其中正确的是( ) A.② ③ ④ ⑧ B.① ② ④ ⑤

C.② ③ ④ ⑥

D.② ③ ④ ⑦

分析:本题需要大家分清 ? , ? , ? 三个符号的意义和区别:? --“属于”,用 ? 于表示元素和集合的关系; ? , ? --“包含于和真包含于”,用于表示集合和

?

集合之间的关系. 答案:A 详解:①错误,应为 0 ? ?0? ;② ③ ④ ⑧ 正确;⑤ ⑥ ⑦ 应为 ? ? ?0? ;

?

2.若 U 为全集,下面三个命题中真命题的个数是( (1)若 A ? B ? ?, 则?CU A? ? ?CU B? ? U (2)若 A ? B ? U , 则?CU A? ? ?CU B? ? ? (3)若 A ? B ? ?,则A ? B ? ? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个



分析:本题应先简化后面的式子,然后再和前面的条件对比. 答案:D 详解:(1) ?CU A? ? ?CU B? ? CU ? A ? B? ? CU ? ? U ;
(2) ?CU A? ? ?CU B? ? CU ? A ? B? ? CUU ? ? ; (3)证明:∵ A ? ? A ? B ? ,即 A ? ? ,而 ? ? A ,∴ A ? ? ; 同理 B ? ? , ∴ A ? B ? ? ; ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

【No.2 子集、真子集】
3.从集合 U ? ?a, b, c, d ?的子集中选出 4 个不同的子集,须同时满足以下两个条件: ①? , U 都要选出; ② 对选出的任意两个子集 A 和 B ,必有 A ? B 或 B ? A . 那么共有 种不同的选法.

分析:由①可以知道选出的子集中一定有 ? 和 U ,我们要求得只剩两个集合。

根据②(以 A ? B 为例)可以从讨论 A 中有 1 个或 2 个元素有几种选法来确定 B 的选法.注意 A 中不可能有 3 种元素,因为这样 B 中会出现 U 和 A 中的元素,与 题意和性质不符. 答案:36 详解:由题意知,集合必有子集 ? 和 U ,只需考虑另外两个集合 如果 A 中含有一个元素,有 4 种选法,相应的, B 集合中有 6 中选法,共 24 种; 如果 A 中含有两个元素,有 6 种选法,相应的, B 集合中有 2 中选法,共 12 种;
即总共有 36 种选择。 4.已知集合 A ? x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,那么满足 B ? A 的集合 B 有( A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个

?

?



分析:本题求的是 A 集合的子集个数 答案: D 详解:根据题意, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 x ? ?1 或 3 ,
则集合 A ? ?? 1,3? ,其中有 2 个元素,
2 则其子集有 2 ? 4 个,

满足 B ? A 的集合 B 有 4 个, 故选 D . 5.若集合 A ? B , A ? C ,且 B ? C ? ?0,2,4? .则满足条件的集合 A 的个数为( A.3 个 B.4 个 C.7 个 D.8 个



分析:集合 A ? B , A ? C ,说明 A 同时是两个集合的子集. 答案: D 详解:根据题意,集合 A ? B , A ? C ,且 B ? C ? ?0,2,4?.即 A 为 ?0,2,4?的子集,
而 ?0,2,4?中有 3 个元素,共有 2 ? 8 个子集;
3

即满足条件的 A 的个数为 8; 故选 D . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

【No.3 集合间的运算】

6.设全集 U ? ??x, y ? | x, y ? R?,集合 M ? ??x, y ? | 那么 ?CU M ? ? ?CU N ? 等于________________.

? ?

y?2 ? ? 1? , N ? ??x, y ? | y ? x ? 4?, x?2 ?

分析:首先要注意本题要求的是点集, M 集合的含义是不含有 ?2,?2? 的直线上的点
集, CU M 表示的就是 ?2,?2? ; CU N 表示 y ? x ? 4 .

答案: ??2,?2 ?? 详解: M : y ? x ? 4?x ? 2? ,

M 代表直线 y ? x ? 4 上,但是
挖掉点 ?2,?2? , CU M 代表直线 y ? x ? 4 外,但是包含点 ?2,?2? ;

N 代表直线 y ? x ? 4 外, CU N 代表直线 y ? x ? 4 上,
∴ ?CU M ? ? ?CU N ? ? ??2,?2??. 7. 已知 M ? x | x ? px ? 6 ? 0 , N ? x | x ? 6 x ? q ? 0 ,则 M ? N ? ?2? , 则 p ? q ?
2 2

?

?

?

?

( A.21

) B.8 C.6 D.7

分析:从 M ? N ? ?2?入手得, 2 既是 M 的元素又是 N 的元素,那么代入便可以 求出 p 和 q 的值. 答案:A 详解:由已知得, 2 ? M ,2 ? N
所以 2 是方程 x ? px ? 6 ? 0 和 x ? 6 x ? q ? 0 的根, 故将 2 代入得,p ? 5 ;q ? 0, q ? 16 .
2 2

所以 p ? q ? 21 .

1,3,5,7,9?, 8. 已知方程 x ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实根 x1 , x 2 . 设 C ? ?x1 , x2 ?, A ? ?
2

B ?? 1,4,7,10? ,若 A ? C ? ?, C ? B ? C ,试求 b , c 的值。

分析:对 A ? C ? ?, C ? B ? C 的含义的理解是本题的关键, C ? B ? C ? C ? B ;

详解:由 C ? B ? C ? C ? B , 那么集合 C 中必定含有 1,4,7,10 中的 2 个。 又因为 A ? C ? ? ,则 A 中的 1,3,5,7,9 都不在 C 中,从而只能是 C ? ?4,10? 因此, b ? ??x1 ? x2 ? ? ?14 , c ? x1 x2 ? 40 .
======================================================================

题型三、集合含参
解决此类型题应注意: ① 遇到子集需从 ? 和不是 ? 两方面讨论,如 A ? B ? A ? ?或B ? ? . ② 会解各种类型的不等式. ③ 如果方程中的最高次项系数含有参数,要记得对参数是否为 0 进行讨论.

【No.1 集合 vs.集合】
1.设 U ? ?2,4,1 ? a?, A ? 2, a ? a ? 2 ,若 CU A ? ?? 1?,则 a 的值为(
2

?

?



A.1

B.2

C.3

D.4

分析:因为 CU A ? ?? 1?,所以 U 中必含元素 ?1 , A 中必不含元素 ?1 . 答案:B 详解:因为 CU A ? ??1?,所以 ? 1 ? 1 ? a ,解得 a ? 2 .
a ? 2 时, a 2 ? a ? 2 ? 4 ,满足 CU A ? ?? 1?. 所以实数 a 的值为 2.

4 ? a 2 ? a ? 2 ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 或 a ? ?1
a ? 2 代入

CS A ? ?? 1?成立

同理 a ? ?1 代入无解,故舍去.综上 a ? 2 2.已知集合 A ? ?x | log2 ?x ? 1? ? 1?,集合 B ? x | x ? ax ? b ? 0, a, b ? R
2

?

?

(1)若 A ? B ,求 a , b 的值; (2)若 b ? 3 ,且 A ? B ? A ,求 a 的取值范围.

分析:(1)中 A ? B 得出 A 和 B 中不等式的解相同,那我们算出集合 A 的解集, 再由韦达定理求出 a , b 即可; (2)由 A ? B ? A 可得 B ? A . 题目中只要看到类似 B ? A 这种子集问题,必

然要先讨论 B 是否为 ? ,因为 ? 是任何集合的子集,所以 ? 也是一种情况必须 要讨论.

详解 :( 1 )由 log2 ?x ? 1? ? 1 得 0 ? x ? 1 ? 2 ,所以集合 A ? ?x | 1 ? x ? 3? .
由 A ? B 知, x ? ax ? b ? 0 的解集为 ?x | 1 ? x ? 3?,所以方程 x ? ax ? b ? 0 的两根分别
2 2

为 1 和 3. 由韦达定理可知, ?

?a ? 1 ? 3 ,解得 a ? 4 , b ? 3 ,即为所求. ? b ? 1? 3

(3)由 A ? B ? A 知, B ? A . ① 当 B ? ? 时,有 ? ? a ? 12 ? 0 ,解得; ? 2 3 ? a ? 2 3
2

? ? ? a 2 ? 12 ? 0 ? ? f ?1? ? 4 ? a ? 0 a ② 当 B ? ? 时, 设函数 f ?x ? ? x 2 ? ax ? 3 , 其图象的对称轴为 x ? ,? f ?3? ? 12 ? 3a ? 0 2 ? a ? 1? ? 3 2 ?
解得 2 3 ? a ? 4 综上① ② 可知,实数 a 的取值范围是 [?2 3,4]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

【No.2 集合 vs.不等式】
3.设集合 A ? x | x ? a ? 1, x ? R ,B= x | x ? b ? 2, x ? R .若 A ? B ,则实数 a , b 必满 足( )

?

?

?

?

分析:做这种题首先要先会解绝对值不等式,然后再比较端点即可. 答案:D 详解: A ? ?x | ?1 ? a ? x ? 1 ? a?

B ? ?x | x ? 2 ? b或x ? ?2 ? b?
因为 A ? B ,且 A ? ? 则有

1 ? a ? ?2 ? b 或 ? 1 ? a ? 2 ? b 即 b ? a ? 3 或 b ? a ? ?3
即 b ? a ? 3 ,选 D.

4.集合 A ? ?x | ?2 ? x ? 5? , B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ?1?,

(1)若 B ? A ,求实数 m 的取值范围; (2)当 x ? Z 时,求 A 的非空真子集个数; (3)当 x ? R 时,没有元素 x 使 x ? A 与 x ? B 同时成立,求实数 m 的取值范围.

分析:此问题解决要注意:(1) B ? A 中的分类讨论;(2)集合的非空真子集的个 数= 2 n ? 1 ; (3)当 x ? R 时,没有元素 x 使 x ? A 与 x ? B 同时成立能得出 A 与 B 没有 交集,当中还要考虑 B 是否为 ? . 详解:(1)当 m ? 1 ? 2m ? 1 即 m ? 2 时, B ? ? 满足 B ? A .
当 m ? 1 ? 2m ? 1 即 m ? 2 时,要使 B ? A 成立, 需?

?m ? 1 ? 2m ? 1, 可得 2 ? m ? 3 .综上所得实数 m 的取值范围 m ? 3 . ?m ? 1 ? 5

(2)当 x ? Z 时, A ? ?? 2,?1,0,1,2,3,4,5? , 所以, A 的非空真子集个数为 2
8? 2

? 254 .

(3) ∵ x ? R , 且 A ? ?x | ?2 ? x ? 5? , B ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ?1? , 又没有元素 x 使 x ? A 与

x ? B 同时成立 则①若 B ? ? 即 m ? 1 ? 2m ? 1 ,得 m ? 2 时满足条件;
②若 B ? ? ,则要满足条件有: ? 综上有 m ? 2 或 m ? 4 . ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

?m ? 1 ? 2m ? 1, ?m ? 1 ? 2m ? 1, 或? 解之,得 m ? 4 . ?m ? 1 ? 5 ?2m ? 1 ? ?2

【No.3 集合 vs.方程】
2 5.已知集合 P ? x | x ? x ? 6 ? 0 , Q ? ?x | ax ? 1 ? 0?满足 Q ? P ,求 a 所取的一切值.

?

?

?

分析:这类题目给的条件中方程的最高次项系数含有字母 ,一般需分类讨论.要 从 a ? 0 和 a ? 0 两个方面进行解题. 详解:因 P ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0 ? ?2,?3?,
当 a ? 0 时, Q ? ?x | ax ? 1 ? 0? ? ? , Q ? P 成立.

?

?

?

1 1 ? 1? 又当 a ? 0 时, Q ? ?x | ax ? 1 ? 0? ? ?? ? ,要 Q ? P 成立,则有 ? ? 2 或 ? ? ?3 , ?

? a?

a

a

1 1 a ? ? 或a ? . 2 3
综上所述, a ? 0 或 a ? ?

1 1 或a ? . 2 3

6.已知集合 A ? x | ax2 ? 3x ? 4 ? 0, x ? R . (1)若 A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围.

?

?

分析:A 中元素的个数代表方程 ax2 ? 3x ? 4 ? 0 的根的个数, 不过首先要讨论 a 是 否为 0. 详解:
(1)∵ A 中有两个元素, ∴方程 ax ? 3x ? 4 ? 0 有两个不等的实数根,
2

∴?

? a?0 9 ,即 a ? ? 16 ?? ? 9 ? 16a
9 ,且 a ? 0 . 16

∴a ? ?

(2)当 a ? 0 时, A ? ?? ? ;
2 当 a ? 0 时,若关于 x 的方程 ax ? 3x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根, ? ? 9 ? 16 a ,即

? 4? ? 3?

9 ; 16 若关于 x 的方程无实数根,则 ? ? 9 ? 16 a ? 0 , 9 即a ? ? ; 16 9 故所求的 a 的取值范围是 a ? ? 或a ? 0. 16 a??
2 2 2 7.已知集合 A ? x | 2 x ? 3x ? 1 ? 0 , B ? x | m x ? ?m ? 2?x ? 1 ? 0 ,若 A ? B ? A ,求

?

?

?

?

实数 m 的取值范围.

分析:与第 7 题类似,第 7 题是先讨论 a 是否为 0,而本题的答案中先讨论的是

B 是否为 ? ,在这种类型题中,两种方法兼可.

1? ? 详解: A ? x | 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ? ?? 1,? ? , 2? ?
∵ A ? B ? A ,∴ B ? A , ①当 B ? ? , 若 m ? 0 ,不成立; 若 m ? 0 ,则 ? ? 0 , m ? ? ②当 B ? ?? 1?或 ?? ? , 若 m ? 0, x ? ?

?

?

2 或m ? 2 ; 3

? 1? ? 2?

1 ,成立; 2 2 或m ? 2 , 3

若 m ? 0 ,则 ? ? 0 , m ? ? 经检验, m ? 2 成立; ③当 B ? ?? 1,? ? ,

? ?

1? 2?

? m?2 ? 1? ? ? ?? 1? ? ? ? ? ? 2 ? m ? 2 ? ,无解,不成立. 则? 1 ? 1? ? ? ?? 1?? ? ? ? 2 ? ? 2? ? m
综上: m ? ?

2 或m ? 2或 m ? 0. 3

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题型四、韦恩图像
解决此类型题应注意:会用韦恩图表示集合关系与运算 1.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人, 同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有多少人?

分析:解此类题型最简便的方法就是用韦恩图像法.

解析:
设单独加数学的同学为 x 人,参加数学化学的为 y 人,单独参加化学的为 z 人.

? x ? y ? z ? 26 ? x ? 12 ? ? 依题意 ? y ? 4 ? z ? 13 ,解得 ? y ? 8 ? x ? y ? z ? 21 ? z ?1 ? ?
∴同时参加数学化学的同学有 8 人,

答:同时参加数学和化学小组的有 8 人.

2.设全集 U 是实数集 R ,函数 y ?

1 x2 ? 4

的定义域为 M , N ? ?x | log2 ?x ? 1? ? 1? ,则如

图所示阴影部分所表示的集合是( )

A. ?x | ?2 ? x ? 1? B. ?x | ?2 ? x ? 2? C. ?x | 1 ? x ? 2? D. ?x | x ? 2?

? x2 ? 4 ? 0 分析:本题要注意 y 的定义域: ? 2 ? x2 ? 4 ? 0 ? x ?4 ? 0
答案:C 详 解 : 由 题 意 易 得 M ? ?x | x ? ?2或x ? 2? , N ? ?x | 1 ? x ? 3? , 而 阴 影 部 分 表 示

?CU M ? ? N ? ?x | 1 ? x ? 2?,选 C.
3.设全集 U=R, A ? x | 2

?

x ? x ?2 ?

? 1?, B ? ?x | y ? ln?1 ? x?? ,则右图中阴影部分表示的集合

为 (



A. ?x | x ? 1? B. ?x | 1 ? x ? 2? C. ?x | 0 ? x ? 1? D. ?x | x ? 1?

分析:由图可知所求为 CU B ? A ,还要注意解 A , B 集合时应遵循指对运算的规 则. 答案:B 详解: 2 x ? x ? 2 ? ? 1 ? 20 ,因为 y ? 2 x 是增函数,
所以 x?x ? 2? ? 0 , 故 0 ? x ? 2 , A ? ?0,2? , B ? ?? ?,1? . 阴影部分表示的集合为 CU B ? A ? ?x | 1 ? x ? 2? .

======================================================================

题型五、创新题型
解决此类型题应注意:要充分理解题目中给出的新定义. 1.对于集合 M 、N , 定义:M ? N ? ?x | x ? M且x ? N?,M ? N ? ?M ? N ? ? ?N ? M ? , 设 A ? y | y ? x ? 3x, x ? R , B ? ?x | y ? log2 ?? x ??,则 A ? B = ( )
2

?

?

A. ? ?

? 9 ? ,0 ? 4 ? ?

B. ? ?

? 9 ? ,0 ? ? 4 ?

C. ? ? ?,? ? ? ?0,???

? ?

9? 4?

D. ? ? ?,? ? ? ?0,???

? ?

9? 4?

分析:创新题型一般都是根据题中所给的出的式子算出结果。那么由题意得,

A ? B ? ? A ? B ? ? ?B ? A? , A ? B ? ?x | x ? A且x ? B? , B ? A ? ?x | x ? B且x ? A? .A
集合所求的是 y ? x 2 ? 3x 的值域,B 集合所求的是 y ? log2 ?? x? 的定义域. 答案:C 详解:本题考查集合的运算
9? 3? 9 ? ? 由 y ? x ? 3x ? ? x ? ? ? 得 A ? ? y | y ? ? ? ; 4? 2? 4 ? ?
2 2

由 y ? log2 ?? x ? 得 x ? 0 ,则 B ? ?x | x ? 0? ; 由 M ? N ? ?x | x ? M且x ? N?得 A ? B ? ?x | x ? 0? ? ?0,??? ,

9? ? 9? ? B ? A ? ? x | x ? ? ? ? ? ? ?,? ? , 4? ? 4? ?
由 M ? N ? ?M ? N ? ? ?N ? M ? 得 A ? B ? ?0,??? ? ? ? ?,? ? . 故正确答案为 C. 2. 定 义 集 合 A 与 B 的 运 算 “*” 为 : A ? B ? ?x | x ? A或x ? B, 但x ? A ? B? . 设 X 是 偶 数

? ?

9? 4?

1,2,3,4,5?,则 ? X ? Y ? ? Y =( 集, Y ? ?
A. X B. Y C. X ? Y D. X ? Y



分析: ? X ? Y ? ? Y 整体算上去比较复杂,所以要分开先计算 X ? Y .

答案: A 详解:首先求出 X ? Y ? ?2,4?, X , Y 的并集再去掉交集即得

X ?Y ? ? 1,3,5,6,8,10,??.同理可得 ? X ? Y ?? Y ? ?2,4,6,8,10,?? ? X
3.定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集, 记为 P? A? , 用 n? A? 表示有限 集 A 的元素个数,给出下列命题: ①对于任意集合 A ,都有 A ? P? A? ; ②存在集合 A ,使得 n?P? A?? ? 3 ; ③用 ? 表示空集,若 A ? B ? ? ,则 P? A? ? P?B? ? ? ; ④若 A ? B ,则 P? A? ? P?B ?; ⑤若 n? A? ? n?B ? ? 1 ,则 n?P? A?? ? 2 ? ?P?B ?? 其中正确的命题个数为( ) A.4 B.3 C .2 D.1

分析:已知幂集 P? A? 为子集所组成的集合, n? A? 表示有限集 A 的元素个数,那 么需要根据集合的概念和运算对命题进行分析. 答案:B 详解:
对于命题① , A ? A ,因此 A ? P? A? ,命题① 正确; 对于命题② ,若集合 A 的元素个数为 m ,则集合 A 的子集共 2 个,若 n?P? A?? ? 3 ,则
m

2m ? 3 ,解得 m ? log2 3 ? N ,命题② 错误;
对于命题③ ,若 A ? B ? ? ,由于 ? ? A , ? ? B ,因此 ? ? P? A? , ? ? P?B? ,所以

? ? ?P? A? ? P?B ??,则 P? A? ? P?B? ? ? ,命题③ 错误;
对于命题④ ,若 A ? B ,对集合 A 的任意子集 E ? A ,即对任意 E ? P? A? ,则 E ? B , 则 E ? P?B ? ,因此 P? A? ? P?B ?,命题④ 正确; 对于命题⑤ ,设 n?B ? ? n ,则 n? A? ? n ? 1 ,则集合 A 的子集个数为 2
n ?1

,即

n?P? A?? ? 2n?1 ? 2 ? 2n ,集合 B 的子集个数为 2n ,即 n?P?B?? ? 2n ,因此

正确, n?P? A?? ? 2 ? ?P?B ?? ,命题⑤ 故正确的命题个数为 3 ,选 B. ======================================================================

PS:课后练习
一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) A.数 0 不能构成集合 B.数 0 构成的集合是 0 C.数 0 构成的集合是 ? D.数 0 构成的集合的元素是 0
2 2

2.. a, a, b, b, a , b 构成集合 M ,则 M 中元素的个数最多是( A.6 B.5 ) C.4 D.3



3.下列表示方法正确的是( A. 3 ? y | y ? n ? 1, n ? N
2

?

?

B. 0 ? ( x, y) | x 2 ? y 2 ? 0, x ? N , y ? N C. ? 3 ? x | x ? 9 ? 0, x ? N
2

?

?

?

?

D. 2 ? x | x ? n , n ? N

?

?


4.集合 A ? ?t | t ?

? ?

? p , 其中p ? q ? 5, 且p, q ? N * ? 的所有真子集的个数为( q ?
C.15
2

A.3
2

B.7

D.31

5.已知方程 x ? px ? 15 ? 0 与 x ? 5x ? q ? 0 的解集分别为 A 与 B,且 A ? B ? ?3?,则

p?q ?(
A.14

) B.11
2

C.7

D.2

6.若 ? 1,2,3, a?? 3, a A. ?0,?1?

? ?? ?1,2,3, a?,则 a 的取值集合为(
B. 0,?1,? 2

)

?

?

C. ? 1,? 2

?

?

D. 0,?1,? 2 , 2

?

?

7.设全集 U ? R , A ? x | 2 x ? x?2 ? ? 1 ,B ? ?x | y ? ln?1 ? x ?? ,则图中阴影部分表示的集合为 ( )

?

?

A. ?x | x ? 1? B. ?x | 1 ? x ? 2? C. ?x | 0 ? x ? 1? D. ?x | x ? 1?

8.设全集 U ? R , A ? ?x | x?x ? 2? ? 0?, B ? ?x | y ? ln?1 ? x ? ? 0? ,则图中阴影部分表示 的集合为( )

A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?x | 1 ? x ? 2? C. ?x | x ? 1? D. ?x | x ? 1?

9. 给定集合 A , B ,定义一种新运算: A * B ? ?x | x ? A或x ? B, 但x ? ? A ? B?? , 又已知

A ? ?0,1,2? , B ? ? 1,2,3?,则 A* B 等于(
A. ?0? B. ?3? C. ?0,3?

) D. ?0,1,2,3?

10.设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? ?x | x ? P且x ? Q?,如果 P ? ?x | log2 x ? 1?,

Q ? ?x | x ? 2 ? 1?,那么 P ? Q 等于(
A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?x | 0 ? x ? 1? C. ?x | 1 ? x ? 2? D. ?x | 2 ? x ? 3? 11.定义 A ? B ? ? z | z ? xy ?

)

? ?

? x 1? , 1,2? , C ? ? , x ? A, y ? B? ,设集合 A ? ?0,2? , B ? ? y ?


则集合 ? A ? B ? ? C 的所有元素之和为( A.3 B.9 C.18 D.27

二、填空题
1.下列命题正确的是 . (1)空集没有子集. (2)空集是任何一个集合的真子集. (3)任一集合必有两个或两个以上子集. (4)若 B ? A ,那么凡不属于集合 A 的元素,则必不属于 B . 2.用适当的方法表示下列集合,并指出是有限集还是无限集? ① 由所有非负奇数组成的集合; ② 平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合; ③ 所有周长等于 10 cm 的三角形组成的集合; ④ 方程 x ? x ? 1 ? 0 的实数根组成的集合.
2

3.用列举法表示集合 A ? ?n ? N |

? ?

n?2 ? ? N , n ? 5? 为 n ?1 ?

4.50 名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有 30 名, 参加乙项的学生有 25 名,则仅参加了一项活动的学生人数为________. 5.集合 A ? ?x | 2 x ? 1 ? 0?, B ? x | x ?1 ? 2 ,则 A ? B =

?

?

.

三、解答题
1.已知集合 A ? x ? R | x 2 ? 3x ? 4 ? 0 , B ? x ? R | ?x ? 1? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,要使

?

?

?

?

? ?

A? ? P ? B ,求满足条件的集合 P.
2.设集合 A ? ?x | ?7 ? 2 x ? 1 ? 7?, B ? ?x | m ? 1 ? x ? 3m ? 2?, (1)当 m ? 3 时,求 A ? B 与 A ? ?CR B ? ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围. 3.若关于 x 的不等式 tx ? 6 x ? t ? 0 的解集 ?? ?, a ? ? ?1,???,求 a 的值.
2 2

4.已知不等式:

3? x ? 1的解集为 A . x2 ?1
2

(1)求解集 A ; (2)若 a ? R ,解关于 x 的不等式: ax ? 1 ? ?a ? 1?x ; (3) 求实数 a 的取值范围, 使关于 x 的不等式: ax ? 1 ? ?a ? 1?x 的解集 C 满足 C ? A ? ? .
2

课后练习答案
一、选择题 1.答案:D 提示:数 0 只能构成一个只含有元素 0 的集合,这个集合不是 ? ,因为 ? 中没有任何元素. 2.答案:C 提示:当 a, b, a 2 , b2 不等式 M 中含有的元素个数最多. 3.答案:D 提示:判断元素是否在集合内. 4.答案:C 提示:集合的真子集个数为 2 n ? 1 . 5.答案:A 提示: x ? 3 为两方程的公共根. 6.答案:D 提示:计算出 a 的值后要带回 ? 1,2,3, a?? 3, a 2 ? ? 1,2,3, a?验证. 7.答案:B 提示:因为图中阴影部分表示的集合为 A ? (CU B) . 8.答案:B 提示:图中阴影部分表示的集合为 A ? ?CU B? . 9.答案:C 提示:依题意 x ? A ? B ,但 x ? A ? B ,而 A ? B ? ?0,1,2,3?,
A? B ? ? 1,2?故 A ? B ? ?0,3?.

? ?

10.答案: B 提示: P ? ?x | 0 ? x ? 2?, Q ? ?x | 1 ? x ? 3?.由 P ? Q 定义可知 P ? Q ? ?x | 0 ? x ? 1?.

11.答案:C 提示: A ? B ? ?0,4,5? , ? A ? B ? ? C ? ?0,8,10?,故 ? A ? B ? ? C 的所有元素和为 18.

二、填空题 1.答案:(4) 提示:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集. 答案:① x | x ? 2n ?1, n ? N ? ,是无限集.
②??x, y ? | x ? 0, y ? 0? ,是无限集. ③ x | x是周长等于 10cm的三角形 ,是无限集 ④ 方程 x ? x ? 1 ? 0 没有实数根,即其组成的集合 ? ,是有限集.
2

?

?

?

?

2.答案: ?2? 提示:
n?2 3 ? 1? ,分别令 n ? 0,1,2,3,4,5 代入即得结果. n ?1 n ?1

3.答案: 45

提示:

? 1 ? 4.答案: ? ? ,3 ? ? 2 ?

提示:先化简,再取交集

三、解答题 1.答案:由 A ? x ? R | x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? ? ,

?

?

B ? x ? R | ?x ? 1? x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ? ??1,1,?4?,
由 A ? P ? B 知集合 P 非空,且其元素全属于 B,即有满足条件的集合 P 为

?

?

? ?

?

?1? 或 ??1?或 ?? 4? 或 ?? 1,1?或 ?? 1,?4?或 ?1,?4?或 {?1,1,?4} .
提示:要解决该题,必须确定满足条件的集合 P 的元素,而做到这点,必须明确 A、B,充分把握
子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.

2.答案:(1)当 m ? 3 时, B ? ?2,7? , CR B ? ?? ?,2? ? ?7,??? ,
∴ A ? B ? ?2,4?,

A ? ?CR B? ? ?? ?,4?? ?7,???.
(2)∵A ? B ? B ? B ? A , 当 B ? ? 时, m ?

1 ; 2

当 B ? ? 时,即 m ? 综上 m ? 2 .

? m ? 1 ? ?3 1 1 时, ? ? ? m? 2. 2 ?3m ? 2 ? 4 2

提示: B ? A ,要对 B 进行分类讨论 3.答案:∵ tx 2 ? 6 x ? t 2 ? 0 的解集是 ?? ?, a ? ? ?1,???
∴t ? 0

x ? 1 代入得 t ? 6 ? t 2 ? 0
解得: t ? ?3 或 t ? 2 (舍去)

a ?1 ? t ? ?3 ? a ? ?3

提示:因为不等式的解集为 ?? ?, a ? ? ?1,???,所以 t ? 0 . 4.答案:
(1)去分母化简得 x ? x ? 2 ? 0 ,
2

∴ ? 2 ? x ? 1 ,∴ A ? ?? 2,1? (2) ax ? 1 ? ?a ? 1?x 等价于 ax ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 ,即 ?ax ?1??x ?1? ? 0
2 2 2 1)当 a ? 0 时, ax ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 等价于 a? x ?

? ?

1? 1? ? ??x ? 1? ? 0 ,即 ? x ? ??x ? 1? ? 1 , a? a? ?

所以:①当 a ? 1 时,

1 1 ? x ? 1 ; ②当 a ? 1 时, x ? ? ; ③当 0 ? a ? 1 时,1 ? x ? ; a a

2)当 a ? 0 时, x ? 1 3)当 a ? 0 时, x ? 1 或 x ? (3)若 C ? A ? ? ,则: ①当 a ? 1 时, C ? ? ?

1 a

? 1 ? ,1? ,不可能成立; ? a ?
1 ,成立; a
1 1 1? ? ? ?1,??? ,须有 ? ?2 ,则 ? ? a ? 0 . a 2 a?

②当 a ? 1 时, x ? ? ,成立; ③当 0 ? a ? 1 时, 1 ? x ?

2)当 a ? 0 时, x ? 1 ,成立; 3)当 a ? 0 时, C ? ? ? ?,

? ?

综上: a ? ??

? 1 ? ,1 . ? 2 ? ?


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