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圆锥曲线的相关公式


圆锥曲线的相关公式

注:平面内到定点 F(1,1)和到定直线 l:x+2y=3 距离相等的点的轨迹是?过定点 F 垂直直线 l 的一条直线

y

当 A 为短轴端点时,角最大,面积也最大,为 bc,椭圆中焦点三角形的 周长为 2(a+c) 计算 a,b,c 相关值时,要对应标准方程,所以记得化为标准方程的形 式 附录:定理 1(椭圆中点弦的斜率公式):
1

A M F1
O

F2

B

x

x2 y 2 b2 设 M ( x0 , y0 ) 为椭圆 2 ? 2 ? 1 弦 AB ( AB 不平行 y 轴)的中点,则有: k AB ? kOM ? ? 2 a b a

证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 k AB

? x12 y12 ? ?1 ? y1 ? y2 ? a 2 b2 ,? 2 ? 2 x1 ? x2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2

两式相减得:

2 2 x12 ? x2 y12 ? y2 ? ?0整 a2 b2

理得:

2 y12 ? y2 b2 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) b2 ,即 ,因为 M ( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点,所以 ? ? ? ? 2 x12 ? x2 a2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) a2

kOM ?

b2 y0 2 x0 y1 ? y2 ,所以 k AB ? kOM ? ? 2 ? ? a x0 2 y0 x1 ? x2

定理 2(双曲线中点弦的斜率公式): 设 M ( x0 , y0 ) 为双曲线
x2 y 2 b2 ? ? 1 k ? k ? 弦 ( 不平行 轴)的中点,则有 y AB AB AB OM a 2 b2 a2

证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 k AB

? x12 y12 ? ?1 ? y1 ? y2 ? a 2 b2 ,? 2 ? 2 x1 ? x2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2

两式相减得:

2 2 x12 ? x2 y12 ? y2 ? ? 0整 a2 b2

理得:

2 y12 ? y2 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) b2 b2 ,即 ? ? ,因为 M ( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点,所以 2 x12 ? x2 a2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) a 2

kOM

b2 y0 2 x0 y1 ? y2 k ? k ? ,所以 AB OM ? ? ? a2 x0 2 y0 x1 ? x2
2

定理 3(抛物线中点弦斜率公式) 在抛物线 y ? 2mx(m ? 0) 中,若直线 l 与抛物线相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直 线 l 的斜率为 k MN ,则 k MN ? y0 ? m .(斜率存在并有两个交点)
2 ? ? y1 ? 2m x1 ,?? (1) 证明:设 M、N 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,则有 ? 2 ? ? y 2 ? 2m x2 .?? (2)

(1) ? (2) ,得 y1 ? y2 ? 2m( x1 ? x2 ).

2

2

?

y 2 ? y1 ? ( y 2 ? y1 ) ? 2m. x2 ? x1 y 2 ? y1 , y 2 ? y1 ? 2 y0 . x2 ? x1
2

又? k MN ?

? k MN ? y0 ? m .
注意:能用这个公式的条件:(1)直线与抛物线有两个不同的交点;(2)直线的斜率存在. 同理可证,在抛物线 x 2 ? 2my(m ? 0) 中,若直线 l 与抛物线相交于 M、N 两点,点 P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中点, 弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ,则

1 k MN

? x0 ? m .

注意:能用这个公式的条件:(1)直线与抛物线有两个不同的交点;(2)直线的斜率存在,且不等于零.

3


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