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高中数学选修1-2:2.2.1同步练习


高中数学人教 A 版选修 1-2 同步练习

1.下面叙述正确的是( ) A.综合法、分析法都是直接证明的方法 B.综合法是直接证法、分析法是间接证法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的 D.综合法、分析法所用语气都是假定的 答案:A 2.将正整数按下表的规律排列, 1 4 5 16 ?? 2 3 6 15 ?? 9 8 7 14 ?? 10 11 12 1

3 ?? ?? ?? ?? ?? 把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数,记作 aij(i,j∈N*),如第 2 行第 4 列的数是 15,记作 a24=15,则有序数对(a82,a28)是( ) A.(22,45) B.(100,98) C.(51,63) D.(82,28) 解析:选 C.观察发现 a11=1,a22=3,a33=7,a44=13, ∴a55=21,a66=a55+10=31,∴ann=a(n-1)(n-1)+2(n-1), ∴ann=n2-n+1,∴a88=82-8+1=57, 由图形的特点可得 a82=a88-6=51,a28=a88+6=63,故有序数对(a82,a28)是(51,63). 3.已知数列{an}是等比数列,an>0,且 a4a6+2a5a7+a6a8=36,则 a5+a7=________. 2 2 2 2 解析:∵{an}是等比数列,∴a4a6=a5 ,a6a8=a2 7,∴a5+2a5a7+a7=36,即(a5+a7) =36, 又 an>0,∴a5+a7=6. 答案:6 a2+b2 a2+b2 4.将下面用分析法证明 ≥ab 的步骤补充完整:要证 ≥ab,只需证 a2+b2≥2ab, 2 2 也就是证____________,即证______________,由于______________显然成立,因此原不等 式成立. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0 [A 级 基础达标] 1.欲证 2- 3< 6- 7成立,只需证( ) 2 2 A.( 2- 3) <( 6- 7) B.( 2- 6)2<( 3- 7)2 C.( 2+ 7)2<( 3+ 6)2 D.( 2- 3- 6)2<(- 7)2 解析:选 C.根据不等式性质,a>b>0 时,才有 a2>b2, ∴只需证: 2+ 7< 6+ 3, 只需证:( 2+ 7)2<( 3+ 6)2. 2.(2012· 淄博市高二期中考试)若 a<0,则下列不等式成立的是( 1?a a A.2a>? ?2? >0.2 1?a B.0.2a>? ?2? >2a
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)

1?a a C.? ?2? >0.2 >2a 1?a D.2a>0.2a>? ?2? 1?a 解析:选 B.∵a<0,∴2a<0,? ?2? >1, 而当 a<0 时,0.2a>0.5a, 1?a ∴0.2a>? ?2? >2a. 1 3 3.已知 a>0,b>0, + =1,则 a+2b 的最小值为( ) a b A.7+2 6 B.2 3 C.7+2 3 D.14 1 3 3 a ? + ?=7+ +2b≥7+2 3a·2b=7+2 6. 解析:选 A.∵a+2b=(a+2b)· ?a b? b a b a 3a 2b = b a 当且仅当 时取得“=”. 1 3 + =1 a b 6 此时 a= 6+1,b=3+ . 2 4.设 P= 2,Q= 7- 3,R= 6- 2,那么 P、Q、R 的大小顺序是________.(注:从大 到小排列) 解析:要比较 R、Q 的大小,可对 R、Q 作差,即 Q-R= 7- 3-( 6- 2)=( 7+ 2) -( 3+ 6), 又( 7+ 2)2-( 3+ 6)2=2 14 -2 18<0,∴Q<R.又 P-R=2 2- 6= 8- 6>0,∴ P>R>Q. 答案:P>R>Q 5.已知 sinα +sinβ +sinγ =0,cosα +cosβ +cosγ =0,则 cos(α-β)=________. 解析:∵sinα +sinβ +sinγ =0, cosα +cosβ +cosγ =0, ? ?sinα +sinβ =-sinγ ∴? , ?cosα +cosβ =-cosγ ? 两式平方相加得:2+2(sinα sinβ +cosα cosβ )=1, 1 ∴cos(α-β)=- . 2 1 答案:- 2 6.已知 a,b,c 为不全相等的正数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)>16abc. 证明:左边=[b(a+1)+(a+1)]·[b(a+c)+c(a+c)] =(b+1)(a+1)(b+c)(a+c). ∵b+1≥2 b,a+1≥2 a,b+c≥2 bc,a+c≥2 ac, 又∵a,b,c 为不全相等的正数, ∴(b+1)(a+1)(b+c)(a+c)>16abc. [B 级 能力提升] a c 7.设 a、b、c 三数成等比数列,而 x、y 分别为 a、b 和 b、c 的等差中项,则 + 等于( ) x y A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.∵ac=b2,a+b=2x,b+c=2y,

? ? ?

2

a c a c 2a 2c ∴ + = + = + x y a+b b+c a+b b+c 2 2 2a(b+c)+2c(a+b) = (a+b)(b+c) 2ab+4ac+2bc = ab+b2+bc+ac 2ab+4ac+2bc = =2. ab+ac+bc+ac 8.已知△ABC 中,cosA+cosB>0,则必有( A.0<A+B<π

)

π B.0<A+B< 2 π π C. <A+B<π D. ≤A+B<π 2 2 解析:选 A.由 cosA+cosB>0 得 cosA>-cosB, ∴cosA>cos(π -B). ∵0<A<π ,0<B<π ,且 y=cosx 在 x∈(0,π )上单调递减. ∴A<π -B. ∴A+B<π ,即 0<A+B<π . 9.已知 α、β 为实数,给出下列三个论断:①αβ>0;②|α+β|>5;③|α|>2 2,|β |>2 2.以其 中的两个论断为条件,另一个论断为结论,写出你认为正确的命题是__________. 解析:∵αβ >0,|α |>2 2,|β |>2 2. ∴|α +β |2=α 2+β 2+2α β >8+8+2×8=32>25. ∴|α +β |>5. 答案:①③?② (a-b)2 a+b (a-b)2 10.已知 a>b>0,求证: < - ab< . 8a 2 8b 2 2 (a-b) a+b (a-b) 证明:欲证 < - ab< , 8a 2 8b 2 2 (a-b) (a-b) 只需证 <a+b-2 ab< . 4a 4b ∵a>b>0, a-b a-b ∴只需证 < a- b< , 2 a 2 b a+ b a+ b 即证 <1< . 2 a 2 b b a 只需证 1+ <2<1+ . a b b a b a 即证 <1< .只需证 <1< . a b a b b a 而 a>b>0,∴ <1< 成立.∴原不等式成立. a b

11.(创新题)如图所示,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB、BC 的中点,EF ∩BD=G.
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求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1. 证明:法一:要证明平面 B1EF⊥面 BDD1B1,只需证面 B1EF 内有一线垂直于面 BDD1B1, 即 EF⊥面 BDD1B1,要证 EF⊥面 BDD1B1,只需证 EF 垂直平面 BDD1B1 内两条相交直线即 可,即证 EF⊥BD,EF⊥B1G. 而 EF∥AC,AC⊥BD,故 EF⊥BD 成立. 故只需证 EF⊥B1G 即可. 又∵△B1EF 为等腰三角形,EF 中点为 G, ∴B1G⊥EF 成立. ∴EF⊥面 BDD1B1 成立,从而问题得证. 法二:连结 AC(图略). ∵ABCD-A1B1C1D1 为正四棱柱, ∴?ABCD 为正方形,∴AC⊥BD. 又∵E、F 分别为 AB、BC 的中点, ∴EF∥AC,B1E=B1F.∴EF⊥BD. 又∵△B1EF 为等腰三角形且 G 为 EF 的中点, ∴B1G⊥EF. 又 B1G∩BD=G,∴EF⊥平面 BDD1B1. 又 EF?平面 B1EF, ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1.

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