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不等式与一元二次不等式(师)


拓扑教育

纳百川,容学问,立德行,善人品

拓 扑 教 育 学 科 教 师 讲 义
副校长/组长签字: 签字日期:

年 级 :高二 课 题

课 时 数 :2

姓名 :李尚真

科目 :数学

教师 : 崔丹丹

r />不等式与一元二次不等式 2014 年 月 日 :00 — :00 a.m

授课日期及时段

1.依据不等式的性质,判断不等式或有关结论是否成立. 2.利用不等式的性质进行大小关系的比较.

教 学 目 的

3.不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用. 4.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系.

重 难 点

1.不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系









【基础知识汇总】
[归纳· 知识整合] 1.比较两个实数大小的法则 设 a,b∈R,则 (1)a>b?a-b>0; (2)a=b?a-b=0; (3)a<b?a-b<0. 2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?b<a a>b,b>c?a>c a>b?a+c>b+c a>b? ??ac>bc c>0 ? a>b? ??ac<bc c<0 ? 注意 ? ? ?

可乘性

c 的符号

专注孩子的未来
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同向可加性 a>b? ??a+c>b+d c>d ? a>b>0? ??ac>bd c>d>0 ?

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?

同向同正可乘性 可乘方性 可开方性

?

a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2) a>b>0? a> b(n∈N,n≥2) n n 同正

[探究] 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致? 提示:不一致.同向不等式相加,对两边字母无条件限制,而同向不等式相乘必须两边字母为正,否则不一 定成立. 1 1 2.(1)a>b? < 成立吗? a b (2)a>b?an>bn(n∈N,且 n>1)对吗? 提示:(1)不成立,当 a,b 同号时成立,异号时不成立. (2)不对,若 n 为奇数,成立,若 n 为偶数,则不一定成立. 3. 不等式取倒数的性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < ; a b 1 1 ②a<0<b? < ; a b a b ③a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a (2)若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m ②假分数的性质: a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m

4.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0

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二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图象

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一元二次方程 ax2+ bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a> 0)的解集 ax2+bx+c<0 (a> 0)的解集

有两相异实根 x1, x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2}

有两相等实根 x1=x2 b =- 2a b {x|x≠- } 2a ? 没有实数根

R

{x|x1<x<x2}

?

[探究] 1.ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立的条件是什么?
? ?a>0, 提示:ax2+bx+c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为? ?Δ<0. ? ? ?a<0, ax2+bx+c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为? ?Δ<0. ?

37. 解分式不等式

f ( x) ? a ?a ? 0?的一般步骤是什么? g( x)

(移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果。 )

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6. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开始

如:? x ? 1?? x ? 1? ? x ? 2? ? 0
2 3

x-a x-a x-a x-a 【探究】 1. 可用(x-a)(x-b)>0 的解集代替 >0 的解集, 你认为如何求不等式 <0, ≥0 及 ≤0 x-b x-b x-b x-b 的解集? x-a 提示: <0?(x-a)(x-b)<0; x-b
? ??x-a??x-b?≥0, x-a ≥0?? x-b ?x-b≠0; ? ? ??x-a??x-b?≤0, x-a ≤0?? x-b ?x-b≠0. ?

【例题讲解】
例 1.(教材习题改编)给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b|?a2>b2;③a>b?a3>b3;④|a|>b?a2>b2.其中 正确的命题是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

解析:选 B 当 c=0 时,①不成立;当|a|=1,b=-2 时,④不成立. 例 2.如果 a∈R,且 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( A.a2>a>-a2>-a C.-a>a2>a>-a2 解析:选 B ∵a2+a<0,∴-1<a<0. 1 不妨令 a=- ,易知选项 B 正确. 2 [例 3] (1)(2012· 湖南高考)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c).其中所有的正确结论的序号是( a b A.① C.②③ B.①② D.①②③ ) B.-a>a2>-a2>a D.a2>-a>a>-a2 )

c d (2)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0, - >0(其中 a,b,c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件, a b 余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

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1 1 1? ? a>b>1? >0? > ? 1 1 ab ? ?a· >b· ? b a??c <c 即c >c ,所以①正确; [自主解答] (1)① ab ab b a a b ? ? ? a> b c<0 ? a ?a?c ? ? ? a>b>1? >1? b ? ? ?b? <1? ?ac<bc,所以②正确; ? ? ? c<0 bc>0 ? a>b>1? c<0
?? ? a>1 ? a-c>b-c? ??loga(a-c)>loga(b-c), ? ?





a>b>1? ??a-c>1?logb(a-c)>loga(a-c),所以 logb(a-c)>loga(b-c).所以③正确. c<0 ? c d c d (2)①由 ab>0,bc-ad>0,即 bc>ad, 得 > ,即 - >0; a b a b c d c d ②由 ab>0, - >0,即 > ,得 bc>ad,即 bc-ad>0; a b a b bc-ad c d ③由 bc-ad>0, - >0,即 >0,得 ab>0;故可组成 3 个正确的命题. a b ab [答案] (1)D (2)D

例 4.解下列不等式: (1)8x-1≤16x2; (2)x2-2ax-3a2<0(a<0).

解:(1)原不等式转化为 16x2-8x+1≥0,即(4x-1)2≥0, 故原不等式的解集为 R. (2)原不等式转化为(x+a)(x-3a)<0, ∵a<0,∴3a<-a. ∴原不等式的解集为{x|3a<x<-a}.

【随堂练习巩固】
1.已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( A.a>ab>ab2 C.ab>a>ab2 B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a )

解析:选 D 由-1<b<0,可得 b<b2<1,又 a<0, ∴ab>ab2>a. π? β ? π? 2.设 α∈? ?0,2?,β∈?0,2?,那么 2α-3的取值范围是( 5π 0, ? A.? 6? ? C.(0,π) π 5π - , ? B.? ? 6 6? π - ,π? D.? ? 6 ? )

β π π β π β 解析:选 D ∵0<2α<π,0≤ ≤ ,∴- ≤- ≤0.∴- <2α- <π. 3 6 6 3 6 3 3.如果 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( 专注孩子的未来
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)

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A.ab>ac C.cb2<ab2 B.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0

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解析:选 C 由题意知 c<0,a>0,则 A 一定正确;B 一定正确;D 一定正确;当 b=0 时 C 不正确. 1 1 1 a b 4.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M,N 的大小关系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M>N C.M=N B.M<N D.不能确定 )

1 解析:选 A ∵0<a< ,∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0. b 1-a 1-b 2-2ab ∴M-N= + = >0. 1+a 1+b ?1+a??1+b? 1 5.不等式 ≥-1 的解集为( x-1 A.(-∞,0]∪(1,+∞) C.[0,1)∪(1,+∞) 解析:选 A ) B.[0,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)

?x?x-1?≥0, ? 1 1 x ≥-1? +1≥0? ≥0,∴? ?x≤0 或 x>1. x-1 x-1 x-1 ?x-1≠0, ?

6.已知不等式 2x≤x2 的解集为 P,不等式(x-1)(x+2)<0 的解集为 Q,则集合 P∩Q 等于( A.{x|-2<x≤2} C.{x|0≤x<1} B.{x|-2<x≤0} D.{x|-1<x≤2}

)

解析:选 B P={x|x2-2x≥0}={x|x≤0 或 x≥2},Q={x|-2<x<1},所以 P∩Q={x|-2<x≤0}.

7.不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图象为图中的(

)

1 c 解析:选 B 由根与系数的关系知 =-2+1,- =-2,得 a=-1,c=-2. a a f(-x)=-x2+x+2 的图象开口向下,由-x2+x+2=0 得两根分别为-1 和 2. 8.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售 价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( A.100 台 C.150 台 B.120 台 D.180 台 )

解析:选 C 依题意得 25x≥3 000+20x-0.1x2,整理得 x2+50x-30 000≥0, 解得 x≥150 或 x≤-200. 因为 0<x<240,所以 150≤x<240. 即最低产量是 150 台. 专注孩子的未来
6

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9.设 f(x)=x2+bx-3,且 f(-2)=f(0),则 f(x)≤0 的解集为( A.(-3,1) C.[-3,-1] B.[-3,1] D.(-3,-1] )

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解析:选 B ∵f(-2)=f(0),∴4-2b-3=-3.解得 b=2. ∴f(x)≤0?x2+2x-3≤0?(x+3)(x-1)≤0.∴-3≤x≤1. 10.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则实数 y 的取值范围 是( ) 1 3? A.? ?-2,2? C.(-1,1) 3 1? B.? ?-2,2? D.(0,2)

解析:选 A ∵(x-y)*(x+y)=(x-y)[1-(x+y)]<1 对一切实数 x 恒成立,∴-x2+x+y2-y-1<0 对于 x∈R 1 3 恒成立,故 Δ=12-4×(-1)×(y2-y-1)<0,即 4y2-4y-3<0,解得- <y< . 2 2 11.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即 x(x-2)<0 的解集,解得 0<x<2. 答案:{x|0<x<2} 12.不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 解析:x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4, ∴x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2-3a≤4.解得-1≤a≤4. 答案:[-1,4] x ? ?2,x≥0, 13.已知 f(x)=? 则不等式 f(x)<f(4)的解集为________. 2 ? ?-x +3x,x<0. 解析:f(4)=2,即不等式为 f(x)<2. x 当 x≥0 时,由 <2,得 0≤x<4; 2 当 x<0 时,由-x2+3x<2,得 x<1 或 x>2,因此 x<0. 综上,x<4. 故 f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}.答案:{x|x<4}

【课后巩固练习】
1.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( A.ad>bc C.a-c>b-d B.ac>bd D.a+c>b+d )

解析:选 D 由不等式的性质知,a>b,c>d?a+c>b+d. a b 2.若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b-d; d c (4)a(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4 专注孩子的未来
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解析:选 C ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc.∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0.

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a b ac+bd ∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴a(-c)>(-b)(-d).∴ac+bd<0.∴ + = <0.∴(2)正确. d c cd ∵c<d,∴-c>-d.∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),即 a-c>b-d.∴(3)正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c).∴(4)正确. 3.已知集合 A={x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0},则 A∩B=( A.{x|-4<x<1} C.{x|-4<x<1 或 3<x<4} B.{x|-4<x<3} D.{x|1<x<4} )

解析:选 C 由 x2-16<0,得-4<x<4,故 A={x|-4<x<4}. 由 x2-4x+3>0,得 x>3 或 x<1,故 B={x|x>3 或 x<1}.故 A∩B={x|-4<x<1 或 3<x<4}. x-3 4.不等式 ≤0 的解集为( x-1 A.{x|x<1 或 x≥3} C.{x|1<x≤3} ) B.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x<3}

??x-3??x-1?≤0, ? x-3 解析:选 C 由 ≤0,得? 解之得 1<x≤3. x-1 ? ?x-1≠0,

? 1 ? -1<x< ?,则 ab 的值为( 5.设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为?x? 3 ? ? ?

)

A.-6 C.6

B.-5 D.5

1 解析:选 C ∵x=-1, 是方程 ax2+bx+1=0 的两根, 3 b 1 b 2 1 1 ∴- =-1+ 即 = .又-1× = ,∴a=-3,b=-2.∴ab=6. a 3 a 3 3 a 6.不等式 2x2-x-1>0 的解集是( 1 ? A.? ?-2,1? C.(-∞,1)∪(2,+∞) ) B.(1,+∞) 1? D.? ?-∞,-2?∪(1,+∞)

? ? 1 1 x<- 或x>1?. 解析:选 D ∵2x2-x-1>0,∴(2x+1)(x-1)>0,∴x<- 或 x>1.∴解集为?x? 2 2 ? ? ?

2x2+2mx+m 7.如果不等式 2 <1 对一切实数 x 均成立,则实数 m 的取值范围是( 4x +6x+3 A.(1,3) C.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,3) D.(-∞,+∞)

)

3?2 3 2 2 解析:选 A 由于 4x2+6x+3=? ?2x+2? +4>0,所以不等式可化为 2x +2mx+m<4x +6x+3, 即 2x2+(6-2m)x+(3-m)>0. 依题意有(6-2m)2-8(3-m)<0,解得 1<m<3. 专注孩子的未来
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解析:依题意可知,问题等价于 ax2-x+2a≥0 恒成立, 当 a=0 时,-x≥0 不恒成立,故 a=0 不合题意;

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8.若关于 x 的不等式 ax2-x+2a<0 的解集为?,则实数 a 的取值范围是________.

当 a≠0 时,要使 ax2-x+2a≥0 恒成立,即 f(x)=ax2-x+2a 的图象不在 x 轴的下方,
?a>0, ?a>0, ? ? 2 2 2 ∴? 即? 解得 a≥ ,即 a 的取值范围是? ,+∞?. 答案:? ,+∞? 2 4 4 4 ? ? ? ? ? ? Δ ≤ 0 , 1 - 8 a ≤ 0. ? ?

9.(教材习题改编)若关于 x 的一元二次方程 x2-(m+1)x-m=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围 为________. 解析:∵方程 x2-(m+1)x-m=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=(m+1)2+4m>0,即 m2+6m+1>0.∴m<-3-2 2或 m>-3+2 2. 答案:(-∞,-3-2 2)∪(-3+2 2,+∞) 10.不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即 a2>16. ∴a>4 或 a<-4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞) 11.(教材习题改编)已知 a>b>0,c>d>0,则 a 与 d b 的大小关系为________. c a > d b . c 答案: a > d b c

1 1 a b 解析:∵c>d>0,∴ > >0.又∵a>b>0,∴ > >0.∴ d c d c

12.已知 12<x<60,15<y<36,则 x-y 的取值范围是________. 解析:∵15<y<36,∴-36<-y<-15. 又∵12<x<60∴12-36<x-y<60-15,即-24<x-y<45.答案:(-24,45)
? ?-1≤α+β≤1, 13.若 α,β 满足? 试求 α+3β 的取值范围. ?1≤α+2β≤3, ?

解:设 α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
? ? ?x+y=1, ?x=-1, 由? 解得? ?x+2y=3, ?y=2. ? ?

∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,∴两式相加,得 1≤α+3β≤7.

专注孩子的未来
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课后反思:

专注孩子的未来
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