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2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编20:函数的最值与导数


2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 20:函数的最值与导 数
一、填空题 1 . (江苏省阜宁中学 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题)若不等式 mx ? ln x ? 1 对
3

?x ? ? 0,1? 恒成立,则实数 m 的取值范围是_______.

e2 【答案】 [ , ??)

3
2 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三上学期期中模拟数学试题) 已知函数

1 f ?x ? ? x 3 ? 3x ? 1 , g ?x ? ? ( ) x ? m ,若对 ? x1 ?[ ?1, 3], ? x2 ?[0, 2] , f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) , 2
则实数 m 的取值范围是______.
【答案】 m ?

5 4

3 . (江苏省无锡市市北高中 2014 届高三上学期期初考试数学试题)函数 f ( x) ? x ln x 在区间

[1, t ? 1](t ? 0) 上的最小值为_________.
【答案】0 二、解答题 4 . (江苏省如皋中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试卷)(本题满分 16 分,第 1 小题 ,第 2

小题 4 分,第 3 小题 8 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 .
3 2

?

?

⑴求函数 f ? x ? 的解析式; ⑵若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? c ,求实数

c 的最小值;
⑶若过点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
【答案】(本题满分 16 分,第 1 小题 ,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分)

解:⑴ f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 3
2

根据题意,得 ?

? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, ?a ? 1 ? 即? 解得 ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ?b ? 0 ? f ? ?1? ? 0, ?
3

所以 f ? x ? ? x ? 3x

1

2 ⑵令 f ? ? x ? ? 0 ,即 3x ? 3 ? 0 .得 x ? ?1 .

x
f ?? x?

?2

? ?2, ?1?

?1

? ?1,1?

1

?1, 2 ?

2

+

?

+

f ? x?

?2

极大 增 值 减

极小 增 值 2

因为 f ? ?1? ? 2 , f ?1? ? ?2 , 所以当 x ? ? ?2, 2 ? 时, f ? x ?max ? 2 , f ? x ?min ? ?2 则对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 4 ,所以 c ? 4 .
所以 c 的最小值为 4 ⑶因为点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 不在曲线 y ? f ? x ? 上,所以可设切点为 ? x0 , y0 ? . 则 y0 ? x0 ? 3x0 .
3 2 因为 f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 3 ,所以切线的斜率为 3x0 ? 3

2

则 3x0 ? 3 =
2 3

3 x0 ? 3 x0 ? m , x0 ? 2
2

即 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 . 因为过点 M ? 2, m ?? m ? 2 ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线, 所以方程 2 x0 ? 6 x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解.
3 2

所以函数 g ? x ? ? 2 x ? 6 x ? 6 ? m 有三个不同的零点.
3 2

则 g ? ? x ? ? 6 x ? 12 x .令 g ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? 2 .
2

x

? ??, 0 ?

0

? 0, 2 ?

2

? 2, ?? ?

2

g?? x?
g ? x?
则?

+ 增 极大值

?
减 极小值

+ 增

? g ? 0? ? 0 ?6 ? m ? 0 ? ,即 ? ,解得 ?6 ? m ? 2 ? ?2 ? m ? 0 ? g ? 2? ? 0 ?

5 . (江苏省启东中学 2014 届高三上学期期中模拟数学试题)某建筑公司要在一块宽大的矩形

地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅 2 隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线 f(x)=1﹣ax (a>0)的一部分,栏栅与 矩形区域的边界交于点 M.N,交曲线于点 P,设 P(t,f(t)). (1)将△OMN(O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S(t); (2)若在 t= 处,S(t)取得最小值,求此时 a 的值及 S(t)的最小值.

【答案】解:(1)∵曲线 f(x)=1﹣ax (a>0)

2

可得 f′(x)=﹣2ax,P(t,f(t)). 直线 MN 的斜率为:k=f′(t)=﹣2at,可得 LMN:y﹣f(t)=k(x﹣t)=﹣2at(x﹣t), 令 y=0,可得 xM=t+
2

,可得 M(t+
2

,0);

令 x=0,可得 yM=1+at ,可得 N(0,1+at ), ∴S(t)=S△OMN= ×(1+at )× (2)t= 时,S(t)取得最小值,
2

=

;

S′(t)=

=

,
2

∴S′( )=0,可得 12a × ﹣4a=0,可得 a= ,

3

此时可得 S(t)的最小值为 S( )=

=

= ;

6 . 江 苏 省 常 州 市 武 进 区 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? 3e ? a ( e ? 2.71828 是自然对数的底数)的最小值为 3 .
x

⑴ 求实数 a 的值; ⑵ 已知 b ? R 且 x ? 0 ,试解关于 x 的不等式 ln f ? x ? ? ln 3 ? x ? (2b ? 1) x ? 3b ;
2 2

⑶ 已 知 m ? Z 且 m ? 1 . 若 存 在 实 数 t ?[?1, ??) , 使 得 对 任 意 的 x ? [1, m] , 都 有 ,试求 m 的最大值. f ( x ? t) ? 3 e x
【答案】解:(1)因为 x ? R ,所以 x ? 0 ,故 f ( x) ? 3e ? a ? 3e ? a ? 3 ? a ,
x 0

因为函数 f ( x) 的最小值为 3 ,所以 a ? 0 (2)由(1)得, f ( x) ? 3e .
x

当 x ? 0 时, ln f ( x) ? ln(3e ) ? ln 3 ? ln e ? ln 3 ? x ? ? x ? ln 3 ,
x x

2 2 故 不 等 式 ln f ( x) ? ln 3 ? x ? (2b ? 1) x ? 3b 可 化 为 : ? x ? x ? (2b ? 1) x ? 3b , 即
2
2

x2 ? 2bx ? 3b2 ? 0 ,
得 ( x ? 3b)( x ? b) ? 0 , 所以,当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? ?3b ;当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? b (3)∵当 t ?[?1, ??) 且 x ? [1, m] 时, x ? t ? 0 , ∴ f ( x ? t ) ? 3ex ? e
x ?t

? ex ? t ? 1 ? ln x ? x .

∴ 原 命 题 等 价 转 化 为 : 存 在 实 数 t ?[ ?1, ? ?), 使 得 不 等 式 t ? 1 ? ln x ? x 对 任 意

x ?[1,m 恒成立 ]
令 h( x) ? 1 ? ln x ? x( x ? 0) .∵ h ( x) ?
'

1 ? 1 ? 0 ,∴函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数. x

又∵ x ? [1, m] ,∴ h( x) min ? h(m) ? 1 ? ln m ? m ∴要使得对 x ? [1, m] , t 值恒存在,只须 1 ? ln m ? m ? ?1

4

∵ h(3) ? ln 3 ? 2 ? ln( ? ) ? ln

1 3 e e

1 1 4 1 ? ?1 , h(4) ? ln 4 ? 3 ? ln( ? 2 ) ? ln ? ?1 e e e e

且函数 h( x ) 在 (0, ??) 为减函数, ∴满足条件的最大整数 m 的值为 3
7 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)如图,某自来水

公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排 l1 ,在路南侧沿直线排 l 2 , 现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l 2 接通.已知 AB = 60m,BC = 60 3 m,公路两侧排 管费用为每米 1 万元,穿过公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元,设 EF 与 AB 所成角 为 ? .矩形区域内的排管费用为 W. (1)求 W 关于 ? 的函数关系式; (2)求 W 的最小值及相应的角 ? .
l1 A E D

公路

公路

B

F

C

l2

【答案】 解:(1)如图,过 E 作 EM

? BC ,垂足为 M,由题意得 ?MEF ? ? (0 ? ? ?

?
3

),

60 , AE ? FC ? 60 3 ? 60 tan? , cos ? 60 sin ? ? 2 所以 W= (60 3 ? 60 tan? ) ? 1 ? ? ? 2 ? 60 3 ? 60 cos? cos? sin ? ? 2 ? (2)设 f (? ) ? , (0 ? ? ? ) cos ? 3 cos ? cos ? ? (? sin ? )(sin ? ? 2) 1 ? 2sin ? 则 f ?(? ) ? . ? cos 2 ? cos 2 ? 1 ? 令 f ?(? ) ? 0 得 1 ? 2sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ,得 ? ? . 2 6
故有 MF ? 60 tan ? , EF ? 列表

?
f ?(? )
f (? )
所以当 ? ?

(0, ) 6
+

?

? 6
0 极 大 值

( ,) 6 3
-

? ?

单调递增

单调递减

?
6

时有 f (? ) max ? ? 3 ,此时有. Wmin ? 120 3

5

答:排管的最小费用为 120 3 万元,相应的角 ? ?

?
6

.

8 . (江苏省泰州市姜堰区 2014 届高三上学期期中考试数学试题)(本题满分 16 分)

已知函数 f ( x) ? x ? ax (a ? R) .
3 2

(Ⅰ)若 f ' (1) ? 3 , (i)求曲线 y ? f (x) 在点 ?1, f (1) ?处的切线方程, (ii)求 f (x) 在区间 [0,2] 上的最大值; (Ⅱ)若当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(i)f '(x) = 3x –2ax,f '(1) = 3–2a = 3,∴a = 0,∴y=x
2 3

f(1)=1,f ' (x) = 3x ,f ' (1) = 3,∴切点(1,1),斜率为 3,y = 3x–2 3 2 (ii)f(x) = x ,f ' (x) = 3x ≥0,∴f(x)在[0,2],∴f(x)最大值=f(2)=8 3 2 2 3 (Ⅱ)x –ax +x≥0 对 x∈[0,2]恒成立,∴ax ≤x +x 当 x = 0 时成立 当 x∈(0,2]时 a≤x+ ∴a≤2
9 . (江苏省泰州市姜堰区 2014 届高三上学期期中考试数学试题)已知 f ( x) ?

2

1 1 ,∵x+ ≥2,在 x=1 处取最小值 x x
1 ? ln x . x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上有极值,求实数 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? 2 x ? k 有实数解,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)当 n ? N * , n ? 2 时,求证: nf (n) ? 2 ?

1 1 1 . ? ? ??? ? 2 3 n ?1

6

2013~2014 学年度第一学期期中考

1 ? x ? (1 ? ln x) ln x 1 ? ln x 【答案】解:(Ⅰ)? f ( x) ? ,∴ f ?( x) ? x ? ?? 2 2 x x x
∴当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ; ∴函数 f ( x) 在区间(0,1)上为增函数;在区间 (1, ??) 为减函数 ∴当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极大值,而函数 f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 有极值. ∴?

? a ?1 ,解得 0 ? a ? 1 ?a ? 1 ? 1
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) 的极大值为 f (1) ? 1 ,令 g ( x) ? x ? 2 x ? k ,所以当 x ? 1 时,函数

g ( x) 取 得 最 小 值 g (1) ? k ? 1 , 又 因 为 方 程 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? k 有 实 数 解 , 那 么

k ?1 ? 1 , 即 k ? 2 ,所以实数 k 的取值范围是: k ? 2
(Ⅲ)? 函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 为减函数,而 1 ? ∴ f (1 ? ) ? f (1) ? 1 ∴ 1 ? ln(1 ? ) ? 1 ? ? ?

1 ? 1(n ? N *, n ? 2) , n

1 n

1 n

1 1 ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? n n
1 1 1 ? ? ??? ? 2 3 n ?1

? ln n ? ln 2 ? ln1 ? ln 3 ? ln 2 ? ??? ? ln n ? ln( n ? 1) ? 1 ?
即 1 ? ln n ? 2 ?

1 1 1 ,而 n ? f (n) ? 1 ? ln n , ? ? ??? ? 2 3 n ?1 1 1 1 ∴ nf (n) ? 2 ? ? ? ??? ? 结论成立 ? 2 3 n ?1
10. (江苏省泗阳中学 2014 届高三第一次检测数学试题)设函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)为奇函
3

数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导函数 f′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值;(2)求函数 f(x)的单调区间,并求函数 f(x)在[-1,3]上的最大值和最 小值. 3 3 【答案】解: (1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)即-ax -bx+c=-ax -bx-c,∴c=0, 1 ∵f′(x)=3ax2+b 的最小值为-12,∴b=-12,又直线 x-6y-7=0 的斜率为 , 6 因此,f′(1)=3a+b=-6,∴a=2,b=-12,c=0. (2)单调递增区间是(-∞,- 2)和( 2,+∞) ,单调递减区间是(- 2 , 2). f(x)在[-1,3]上的最大值是 18,最小值是-8 2.
11 . 江 苏 省 阜 宁 中 学 2014 届 高 三 第 一 次 调 研 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 ? a ? 1? a ? 0? . x (1)设 0 ? a ? 1 ,试讨论 f ? x ? 单调性;
7

(2)设 g ? x ? ? x 2 ? 2bx ? 4 ,当 a ? 1 时,若 ?x1 ? ? 0, 2 ? ,存在 x2 ? ?1, 2? ,使 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? ,

4

求实数 b 的取值范围.
【答案】

12 . 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 2014 届 高 三 第 二 次 调 研 数 学 试 题 ) 已 知 函 数 (

2a , a ?R . x (1)若函数 f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值. 2a 1 2a 【答案】(1)∵ f ( x) ? ln x ? ,∴ f ?( x) ? ? 2 . x x x f ( x) ? ln x ?
∵ f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,

1 2a x ? 2 ≥0 在 [2, ??) 上恒成立,即 a ≤ 在 [2, ??) 上恒成立. 2 x x x 令 g ( x) ? ,则 a ≤ ? g ( x) ?min , x ? [2, ??) . 2 x ∵ g ( x) ? 在 [2, ??) 上是增函数,∴ ? g ( x) ?min ? g (2) ? 1 .∴ a ≤1.所以实数 a 的取 2
∴ f ?( x) ? 值范围为 (??,1] . (2)由(1)得 f ?( x) ?

x ? 2a , x ? [1, e] . x2

①若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是增函

8

数. 所以 ? f ? x ? ? ? f (1) ? 2a ? 3 ,解得 a ? ? ? min

3 (舍去). 2

②若 1≤ 2a ≤ e ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a .当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在

(1, 2a) 上是减函数,当 2a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (2a, e) 上是增函数.
所以 ? f ? x ? ? ? f ? 2a ? ? ln(2a ) ? 1 ? 3 ,解得 a ? ? ? min

e2 (舍去). 2

③若 2a ? e ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是减函 数. 所以 ? f ? x ? ? ? f ? e ? ? 1 ? ? ? min

2a ? 3 ,所以 a ? e . e

13. (江苏省启东市 2014 届高三上学期第一次检测数学试题)已知函数

f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的切线为 3

y ? 4 x ? 12 , y ? f ?(x) 为 f (x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
(1)求 f (x) ; (2)设 g ( x) ? x

f ?( x) ,m>0,求函数 g (x) 在[0,m]上的最大值;

(3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对于一切 x ? [0,1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立, 求实数 t 的取值范围.
【答案】(1) f ?( x) ? x ? 2bx ? c ,
2

∵ f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,∴函数 f (x) 的图象关于直线 x=1 对称 b=-1, ∵曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 ,∴切点为(3,0),

∴?

? f (3) ? 0 1 3 2 ,解得 c=1,d=-3,则 f ( x) ? x ? x ? x ? 3 3 ? f ?(3) ? 4

9

y

O

1 1?

2

x

2

x= 1 2

(2)∵ f ?( x) ? x ? 2bx ? 1 ? ( x ? 1) ,
2 2

?x 2 ? x ∴ g ( x ) ? x | x ? 1 |? ? 2 ?x ? x
当 0<m≤

x ?1 x ?1

1 2 时, g ( x) max ? g (m) ? m ? m 2



1 1 1 1? 2 <m≤ 时, g ( x) max ? g ( ) ? , 2 2 2 4
1? 2 2 时, g ( x) max ? g (m) ? m ? m , 2

当 m>

1 ? 2 (0 ? m ? ) ?m ? m 2 ? 综上 1 1? 2 ? 1 g ( x) max ? ? ( ?m? ) 2 2 ? 4 1? 2 ?m 2 ? m (m ? ) ? 2 ?

(3) h( x) ? 2 ln | x ? 1 | , h( x ? 1 ? t ) ? 2 ln | x ? t | , h(2 x ? 2) ? 2 ln | 2 x ? 1 | 当 x ? [0,1] 时,|2x+1|=2x+1,所以不等式等价于 0 ?| x ? t |? 2 x ? 1恒成立, 解得 ? x ? 1 ? t ? 3x ? 1 ,且 x≠t, 由 x ? [0,1] ,得 ? x ? 1 ? [?2,?1] , 3x ? 1 ? [1,4] ,所以 ? 1 ? t ? 1 , 又 x≠t,∵ t ? [0,1] ,∴所求的实数 t 的的取值范围是 ? 1 ? t ? 0
14. (江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期摸底考试数学试题)设函数 f(x)=ax -(a+b)x +bx+c,
3 2

其中 a>0,b,c∈R. 1 (1)若 f ?( ) =0,求函数 f(x)的单调增区间; 3 (2)求证:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} .(注:max{a,b}表示 a,b 中的最大 值)
10

1 3 3 2 故 f(x)= ax -2ax +ax+c.

【答案】解:(1)由 f ?( ) =0,得 a=b

1 2 由 f ?( x) =a(3x -4x+1)=0,得 x1= ,x2=1 3 列表: 1 1 (-∞, ) x 3 3 f ?( x) + 0 f(x) 增 极大值

1 ( ,1) 3 减

1 0 极小值

(1,+∞) + 增

1 由表可得,函数 f(x)的单调增区间是(-∞, )及(1,+∞) 3

(2) f ?( x) =3ax -2(a+b)x+b=3 a( x ?
2

a ? b 2 a 2 ? b2 ? ab . ) ? 3a 3a

a?b a?b ≥1, 或 ≤ 0 时,则 f ?( x) 在 [0,1] 上是单调函数, 3a 3a 所以 f ?(1) ≤ f ?( x) ≤ f ?(0) ,或 f ?(0) ≤ f ?( x) ≤ f ?(1) ,且 f ?(0) + f ?(1) =a>0. 所以| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)}

①当

②当 0< a ? b <1,即-a<b<2a,则 ?
3a

a 2 ? b2 ? ab ≤ f ?( x) ≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 3a

(i) 当-a<b≤ 所以
f ?(1) ?

a 3a 时,则 0<a+b≤ . 2 2

a 2 ? b2 ? ab 2a 2 ? b2 ? 2ab 3a 2 ? (a ? b)2 1 = = ≥ a 2 >0. 3a 3a 3a 4 所以 | f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)}

(ii) 当

a a 2 2 5 <b<2a 时,则 (b ? )(b ? 2a) <0,即 a +b - ab <0. 2 2 2
2 2 2 2

5 ab ? a 2 ? b 2 a 2 ? b2 ? ab a ? b ? ab 4ab ? a ? b 2 所以 b ? = > >0,即 f ?(0) > . 3a 3a 3a 3a

所以 | f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)} . 综上所述:当 0≤x≤1 时,| f ?( x) |≤ max{ f ?(0), f ?(1)}
15. (江苏省无锡市 2014 届高三上学期期中调研考试数学试题)已知图形 OAPBCD 是由不等

?0 ? x ? e 2 ? 2 式组 ?0 ? y ? e ,围成的图形,其中曲线段 APB 的方程为 y ? ln x(1 ? x ? e ) , P 为曲 ? y ? ln x ?
线上的任一点. (1)证明:直线 OC 与曲线段相切; (2)若过 P 点作曲线的切线交图形的边界于 M , N ,求图形被切线所截得的左上部分的 面积的最小值.

11

【答案】

12

16. (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题) 〔本小题满分 16 分)

已知函数 f ( x) ? ax ? lnx(a 为常数).
2

1 时,求 f(x)的单调递减区间; 2 (2)若 a<0,且对任意的.x ? [1,e].,f(x)≥(a-2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
(1)当 a ?
【答案】

13

17. (江苏省泰州中学 2014 届第一学学期高三数学摸底考试)已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x

图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (1)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? (2)当 x ? 1时,不等式 f ? x ? ?
n

? ?

1? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; 3?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围; x ?1
*

(3)求证:

? ln[i ? (i ? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
i ?1

14

ln x ? 1 ? ln x ?? 1 ? ln x f ?? x? ? ? k ? f ? x? ? ? ?? 2 x ? x ? x , x ? 0 ,所以 【答案】解:(1)由题意

f ?? x? ? 0 f ?? x? ? 0 当 0 ? x ? 1 时, ;当 x ? 1 时, .
所以 值.

f ? x?



? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大

1? ? ? m, m ? ? f ? x? 3 ? (其中 m ? 0 )上存在极值, 因为函数 在区间 ?

?0 ? m ? 1 ? ?2 ? 1 ? 2 1? ? m ?1 ? , ?m ? 3 ? 1 所以 ? ,得 3 .即实数 m 的取值范围是 ? 3 ?
f ? x? ?

(2)由

? x ? 1??1 ? ln x ? g x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? t t? ? ? x x x ?1 得 ,令 ,



g? ? x ? ?

x ? ln x x2 h? ? x ? ? 1 ? 1 1? x = x x ,




h ? x ? ? x ? ln x

,则

因为 x ? 1, 所以 所以

h? ? x ? ? 0

,故

h ? x?

+? ?1, ? 上单调递增
,

h ? x ? ?1? ? 1 ? 0 ? h

,从而

g? ? x ? ? 0

g ? x?



+? ?1, ?

上单调递增,

g ? x ? ? g ?1? ? 2
所以实数 t 的取值范围是

? ??, 2 ?

(3)由(2) 知

f ? x? ?

2 x ? 1 恒成立,

1 ? ln x 2 x ?1 2 2 ? ? ln x ? ? 1? ? 1? x x ?1 x ?1 x ?1 x 即



x ? n ? n ? 1? ,

ln[n ? n ? 1?] ? 1 ?


2 n ? n ? 1?

,

所以

ln ?1 ? 2 ? ? 1 ?

2 2 2 ln n ? n ? 1? ? 1 ? ln ? 2 ? 3? ? 1 ? n ? n ? 1? 1? 2 , 2 ? 3 ,, .

15

将以上 n 个式子相加得:

? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ?1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ? 1? ?
i ?1

n

? 1 ?

1

1

? ?

1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n?2 ? n ?1 ? ,



? ln[i(i? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ?
n * i ?1

18 . 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 ( 如 皋 办 学 ) 2014 届 高 三 第 二 次 调 研 数 学 试 题 ) 已 知 (

a f ( x) ? x ? (a ? 0) , g ( x) ? 2 ln x ? bx ,且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) 相切. x
(1)若对 [1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3] ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数)内 的任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成立; (3)求证:

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

【答案】解:(1)设点 ( x 0 , y 0 ) 为直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) 的切点,则有

2 ln x0 ? bx0 ? 2 x0 ? 2 .

(*)

? g ?( x) ?

2 2 ? b ,? ? b ? 2 . x0 x

(**)

由(*)、(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得

a ? x ? 2 ln x , x

? x ? 1 ,?要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立.
设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 ,
2

1 x

? h??( x) ? 2 ?

2 ,?当 x ? 1 时, h??( x) ? 0 ,则 h?(x) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h(x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1 , a ? 1.
因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

1 , x

16

? f ?( x) ? 1 ? f (3) ?
要 对

1 ? 0 , ? f (x) 在 [e,3] 上 是 增 函 数 , f (x) 在 [e,3] 上 的 最 大 值 为 x2

8 . 3
[e,3]
内 的 任 意

k







x1 , x 2 ,?, xk





f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk )
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

?当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小
值.

? (k ? 1) ?

8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 . 3

(3)证明:当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,

1 1 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ,得 ln (x ? ) . 令 x ? ? ( ? ), 2 x 2k ? 1 2k ? 1 2 2 k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ? , 4k 2 ? 1
即 ln x ?

ln(2n ? 1) ? ? [ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 4i ? 1
2

19. (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测数学(理)试卷)已知某公司生产

品牌服装的年固定成本是 10 万元,每生产千件,须另投入 2.7 万元,设该公司年内共生产 该 品 牌 服 装 x 千 件 并 全 部 销 售 完 , 每 千 件 的 销 售 收 入 为 R(x) 万 元 , 且

? x2 ?10.8 ? (0 ? x ? 10) ? 30 R( x) ? ? (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解 108 1000 ? ? ( x ? 10) ? x 3x 2 ?
析 式 ;(2) 年 产 量 为 多 少 千 件 时 , 该 公 司 在 这 一 品 牌 服 装 的 生 产 中 所 获 利 润 最 大 ? (注:年利润=年销售收入-年总成本)
【答案】解:(1)当 0 ? x ? 10时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ?

x3 ? 10 30

当 x ? 10时,W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

1000 ? 2.7 x 3x

? x3 ? 10 (0 ? x ? 10 ) ?8.1x ? ? 30 ?W ? ? ?98 ? 1000 ? 2.7 x( x ? 10 ) ? 3x ?

17

(2)①当 0 ? x ? 10时,由W ? ? 8.1 ?

x2 ? 0, 得x ? 9 10

又当x ? (9,10 )时,W ? ? 0, 当x ? (0,9)时, W ? ? 0
当 x ? 9时,Wmax ? 8.1 ? 9 ? ②当 x>10 时

1 ? 9 3 ? 10 ? 38.6 30

W ? 98 ?
当且仅当

1000 1000 1000 ? 2.7 x ? 98 ? ( ? 2.7 x) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 3x 3x 3x

1000 100 ? 2.7 x时,即x ? 时,W ? 38 3x 9

由①②知,当 x=9 千件时,W 取最大值 38.6 万元
20 .( 江 苏 省 泗 阳 中 学 2014 届 高 三 第 一 次 检 测 数 学 试 题 ) 已 知 函 数
2 f ( x)? a ? ( a ? 0 ), g ( x) ? x3 ? bx . x 1

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a, b 的 值; (2)当 a ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值.
2

【答案】解: (1)由 ?1 ,c ? 为公共切点可得: f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax , k1 ? 2a ,

g ( x) ? x3 ? bx ,则 g ?( x)=3x 2 ? b , k2 ? 3 ? b ,? 2a ? 3 ? b ①

?a ? 3 又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b ,? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①式可得: ? . ?b ? 3
1 (2)? a 2 ? 4b ,?设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 4 1 a a 则 h?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 ,令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; 6 4 2

? a ? 0 ,? ? ? ? , ?原函数在 ? ?? ,? ? 单调递增,在 ? ? ,? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 上单调递增 2 2 6 6
? ? ? ? a? ? a ? a? ? a ? ? ?

a 2

a 6

a a ①若 ?1≤ ? ,即 a≤2 时,最大值为 h(?1) ? a ? ; 2 4
a a ? a? ②若 ? ? ?1 ? ? ,即 2 ? a ? 6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 2 6 ? 2?

2

18

③若 ?1≥ ?

a ? a? 时,即 a≥6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 6 ? 2?

综 上 所 述 : 当 a ? ? 0 ,2? 时 , 最 大 值 为 h(1) ? a ?
? a? h? ? ? ?1 . ? 2?

a2 ; 当 a ? ?2 , ? ?? 时 , 最 大 值 为 4

21. (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测数学(理)试卷)已知函数 f(x)=

1 2

x2-mlnx.
1 (1)若函数 f(x)在( ,+∞)上是递增的,求实数 m 的取值范围; 2 (2)当 m=2 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值. 1 【答案】若函数 f(x)在( ,+∞)上是增函数, 2 1 则 f′(x)≥0 在( ,+∞)上恒成立 2

m 1 1 而 f′(x)=x- ,即 m≤x2 在( ,+∞)上恒成立,即 m≤ x 2 4
2 x -2 (2)当 m=2 时,f′(x)=x- = ,
2

x

x

令 f′(x)=0 得 x=± 2, 当 x∈[1, 2)时,f′(x)<0,当 x∈( 2,e)时,f′(x)>0,故 x= 2是函数 f(x)在[1,e]上 1 1 2 e2-4 1 唯 一 的 极 小 值 点 , 故 f(x)min=f( 2 )=1-ln2, 又 f(1)= ,f(e)= e -2= > ,故 2 2 2 2

e2-4 f(x)max=
2
22. (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测数学(理)试卷) 已知函数

f ( x) ? a ln x ? x 2 ( a 为实常数) .
(1)当 a ? ?4 时,求函数 f (x) 在 ?1, e ? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e ? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 值范围.
【答案】 解:(1) f ?( x) ?

1 1 ? ,求实数 a 的取 x1 x 2

2x 2 ? 4 ( x ? 0) ,当 x ? [1, 2 ) 时, f ?( x) ? 0 .当 x ? x
2
2

?

2, e

?

时 , f ?( x) ? 0 , 又 f (e) ? f (1) ? ?4 ? e ? 1 ? 0 , 故 f ( x) max ? f (e) ? e ? 4 , 当

x ? e 时,取等号

19

(2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e? ,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时,
2
2

方程 ? a ?

当 x ? 1, e 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g (x) 递减,当 x ? ( e , e? 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g (x) 递 增.又 g (e) ? e , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g (x) 与直线 y ? ?a 的图像,由图像知:
2

?

x x 根的个数. 设 g ? x ? = , g ?( x) ? ln x ln x

2 x ln x ? x 2 ln 2 x

?

1 x ? x(2 ln x ? 1) ln 2 x

当 2e ? ?a ? e 时,即 ? e ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根;
2 2

当 a ? ?e

2

或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根;

当 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根; (3) 当 a ? 0 时 , f (x) 在 x ?[1, e] 时 是 增 函 数 , 又 函 数 y ?

1 是减函数,不妨设 x

1 ? x1 ? x2 ? e ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ?
即 f ( x2 ) ? 数,

1 1 1 1 ? ? 等价于 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x1 x 2 x1 x 2

1 1 1 ? f ( x1 ) ? ,故原题等价于函数 h?x ? ? f ( x) ? 在 x ?[1, e] 时是减函 x2 x1 x

a 1 1 ? 2 x ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时恒成立. x x x 1 1 ? y ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时是减函数 ? a ? ? 2e 2 x e ? h?( x) ?
(其他解法酌情给分)
23. (江苏省兴化市 2014 届高三第一学期期中调研测试)(本小题满分 16 分,第 1 小题 5 分,

第 2 小题 5 分,第 3 小题 6 分) 设函数 f ?x ? ? x ? ax ? a x ? 1 , g ?x ? ? ax ? 2 x ? 1 ,其中实数 a ? 0 .
3 2 2 2

(1)若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当函数 y ? f ?x ? 与 y ? g ?x ? 的图象只有一个公共点且 g ? x ? 存在最小值时,记 g ? x ? 的最小值为 h?a ? ,求 h?a ? 的值域; (3)若 f ? x ? 与 g ? x ? 在区间 ?a, a ? 2? 内均为增函数,求实数 a 的取值范围.
【答案】解:(1)∵ f ?? x ? ? 3x ? 2ax ? a ? 3? x ?
2 2

? ?

a? ??x ? a ? ,又 a ? 0 3?

20

∴当 x ? ?a 或 x ?

a a 时, f ??x ? ? 0 ;当 ? a ? x ? 时, f ??x ? ? 0 3 3
a? ?a ? ? ,?? ? ,递减区间为 ? ? a, ? . 3? ?3 ? ?
2

∴ f ? x ? 的递增区间为 ?? ?,?a ? 和 ?

(2)由题意知 x ? ax ? a x ? 1 ? ax ? 2 x ? 1
3 2 2

即 x x ? a ? 2 ? 0 恰有一根(含重根)∴ a 2 ? 2 ? 0 ,即 ? 2 ? a ?
2 2

?

?

??

2,

又 a ? 0 ,且 g ? x ? 存在最小值,所以 0 ? a ?

2

2 ? 2? 1? 1 1 ? 又 g ? x ? ? a? x ? ? ? 1 ? ,∴ h?a ? ? 1 ? ,∴ h?a ? 的值域为 ? ? ?,1 ? ?. ? 2 ? a? a a ? ?

(3)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?? ?,?a ? 和 ?

?a ? ?1 ? ,?? ? 内是增函数, g ? x ? 在 ? ,?? ? 内是增函 ?3 ? ?a ?

? ?a ? ? 数,由题意得 ? ?a ? ? ?

a 3 ,解得 a ? 1. 1 a
? ? a? 1? ? ? 和 ?? a,?? ? 内是增函数, g ? x ? 在 ? ? ?, ? 内是增函数, 3? a? ?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ? ?,

? ?a ? 2 ? ? 由题意得 ? ?a ? 2 ? ? ?

a 3 ,解得 a ? ?3 . 1 a

综上可知,实数 a 的取值范围为 ?? ?,?3? ? ?1,?? ? .
24. (江苏省兴化市 2014 届高三第一学期期中调研测试)已知函数 f ?x ? ? x ln x .

(1)若存在 x ? ? , e? ,使不等式 2 f ?x ? ? ? x ? ax ? 3 成立,求实数 a 的取值范围; e
2

?1 ? ? ?

(2)设 0 ? a ? b ,证明: f ?a ? ? f ?b ? ? 2 f ?

?a?b? ? ? 0. ? 2 ?

【答案】解:(1)由 2 f ?x ? ? ? x ? ax ? 3 变形为 a ?
2

2 f ?x ? ? x 2 ? 3 3 ? 2 ln x ? x ? . x x

21

令 g ? x ? ? 2 ln x ? x ?

3 2 3 ?x ? 1??x ? 3? ,则 g ??x ? ? ? 1 ? 2 ? x x x x2
?1 ? ?e ?

故当 x ? ? ,1? 时, g ??x ? ? 0 , g ? x ? 在 ? ,1? 上单调递减; 当 x ? ?1, e ? 时, g ??x ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, e ?上单调递增, 所以 g ? x ? 的最大值只能在 x ? 又 g ? ? ? 3e ?

?1 ? ?e ?

1 或 x ? e 处取得 e

?1? ?e?

1 1 ?1? ? 2 , g ?e ? ? e ? 2 ? ,所以 g ? ? ? g ?e ? e e ?e?

所以 g ? x ?max ? 3e ?

1 1 ? 2 ,从而 a ? 3e ? ? 2 . e e

(2)∵ f ?x ? ? x ln x ,∴ f ??x ? ? ln x ? 1 设 F ? x ? ? f ?a ? ? f ? x ? ? 2 f ?

?a? x? ? ,则 ? 2 ?

a?x ?a? x? F ??x ? ? f ??x ? ? f ?? ? ? ln x ? ln 2 ? 2 ?
当 0 ? x ? a 时, F ??x ? ? 0 , F ? x ? 在 ?0, a ? 上为减函数; 当 a ? x 时, F ??x ? ? 0 , F ? x ? 在 ?a,??? 上为增函数. 从而当 x ? a 时, F ?x ?min ? F ?a ? ? 0 , 因为 b ? a ,所以 f ?a ? ? f ?b ? ? 2 f ?

?a?b? ? ? 0. ? 2 ?

25. (江苏省无锡市洛社高级中学 2014 届高三 10 月月考数学试题)已知函数

1 2 x ? 2a ln x ? (a ? 2) x, a ? R . 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; f ( x) ?
(Ⅲ)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,有 成立,若存在求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ,恒 x2 ? x1

22

26 . 江 苏 省 常 州 市 武 进 区 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? ? x3 ? ax 2 ? 4 ( a ?R ).

23

⑴ 若函数 y ? f (x) 的图象在点 P 1, f ?1? 处的切线的倾斜角为 上的最小值; ⑵ 若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.
2 【答案】解:(1) f ?( x) ? ?3x ? 2ax.

?

?

? ,求 f ( x) 在 ? ?1,1? 4

根据题意, f ?(1) ? tan

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. 4

3 2 2 此时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3x ? 4 x .

令 f '( x) ? 0,得x1 ? 0, x2 ?

4 . 3
(?1,0)


x
f ?? x?
f ? x?

?1

0 0
?4

(0,1)
+ ↗

1
1

?7
?1

?3

∴当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0 ? ? ?4 (2)? f ?( x) ? ?3x( x ?

2a ). 3

①若 a ≤ 0,当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0.
2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 3 3 2a 2a 从而 f (x) 在(0, 上单调递增,在( ,+ ?) 上单调递减. ) 3 3
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

?当x ? (0,??)时, f ( x) max

2a 8a 3 4a 3 4a 3 ? f( )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0,即a3 ? 27.? a ? 3. 27

综上, a 的取值范围是 (3, ??)
27. (江苏省徐州市 2014 届高三上学期期中考试数学试题)已知函数 f ( x) ? a ln x ? x .
2

24

(1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,若 y ? g ( x) 在区让 (0,3) 上不单调,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 2 时,函数 h( x) ? f ( x)? mx的图象与 x 轴交于两点 A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,且

1 2

0 ? x1 ? x2 , 又 y ? h?( x) 是 y ? h( x) 的 导 函 数 . 若 正 常 数 ? , ? 满 足 条 件

? ? ? ? 1, ? ? ? .证明 h?(? x1 ? ? x2 ) ? 0 .
【答案】解:(1) ? f ' ( x) ?

2 2 ? 2x 2 ? 2x ? , x x

函数 y ? f (x) 在[

1 ,1]是增函数,在[1,2]是减函数, 2

所以 f ( x) max ? f (1) ? 2 ln 1 ? 12 ? ?1 (2)因为 g ( x) ? a ln x ? x 2 ? ax ,所以 g ?( x) ?

a ? 2x ? a , x

因为 g (x) 在区间 (0,3) 上不单调,所以 g ?( x) ? 0 在(0,3)上有实数解,且无重根, 由 g ?( x) ? 0 ,有 a ?

1 9 2x 2 = 2( x ? 1 ? ) ? 4 ? (0, ) ,( x ? (0,3) ) x ?1 x ?1 2

又当 a ? ?8 时, g ?( x) ? 0 有重根 x ? ?2 ,

9 综上 a ? (0, ) 2 2 (3)∵ h ' ( x) ? ? 2 x ? m ,又 f ( x) ? mx ? 0 有两个实根 x1 , x 2 , x
? 2 ln x1 ? x12 ? mx1 ? 0 2 2 ∴? ,两式相减,得 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ) , 2 2 ln x 2 ? x 2 ? mx2 ? 0 ?
∴m?

2(ln x1 ? ln x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) , x1 ? x 2 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? 2(?x1 ? ?x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

于是 h ' (?x1 ? ?x2 ) ?

?

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ? (2? ? 1)( x2 ? x1 ) ?x1 ? ?x2 x1 ? x2

? ? ? ? ,? 2? ? 1,?(2? ? 1)( x2 ? x1 ) ? 0 .
要证: h ' (?x1 ? ?x2 ) ? 0 ,只需证:

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ?0 ?x1 ? ?x2 x1 ? x2
25

只需证:

x1 ? x 2 x ? ln 1 ? 0 .(*) ?x1 ? ?x 2 x2



x1 1? t 1? t ? ln t ? 0 ,只证 u (t ) ? ln t ? ? 0 即可 ? t ? (0,1) ,∴(*)化为 ?t ? ? x2 ?t ? ?
2

?2 ? (t ? 1)(t ? 2 ) 1 ? (?t ? ? ) ? (1 ? t )? 1 1 (?t ? ? ) 2 ? t ? u ' (t ) ? ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 t t (?t ? ? ) (?t ? ? ) t (?t ? ? ) t (?t ? ? )
?

?2 ? 1,0 ? t ? 1,? t ? 1 ? 0,? u ' (t ) ? 0,? u (t ) 在 (0,1)上 单 调 递 增 , 2 ?
x ? x2 x 1? t ? 0 ,即 1 ? ln 1 ? 0 .∴ h ' (?x1 ? ?x2 ) ? 0 ?t ? ? ?t ? ? x2

u (t ) ? u (1) ? 0,? ln t ?

28 . 江 苏 省 灌 云 县 陡 沟 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 过 关 检 测 数 学 试 题 ) 已 知 函数 (

f ( x) ? x 3 ? 3 x
(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 在区间[-3,2] 上的最值.
【答案】

29. (江苏省南莫中学 2014 届高三 10 月自主检测数学试题)已知函数 f ( x) ? x ln x .

(I)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (II)若 f ( x) ? ? x ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
2

(III)过点 A(?e ,0) 作函数 y ? f ( x) 图像的切线,求切线方程.
【答案】(Ⅰ)? f '( x) ? ln x ? 1? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1

?2

?2分

1 1 ? 0 ? x ? ?函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e

?4分

26

(Ⅱ)? f ( x) ? ? x ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ?
2

6 x
?7分

设 g ( x) ? ln x ? x ?

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 则 g '( x) ? ? x2 x2 x

当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;

? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ?实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ; ? 10 分
(Ⅲ)设切点 T ( x0 , y0 ) 则 k AT ? f '( x0 ) ?

x0 ln x0 ? ln x0 ? 1 即 e2 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 1 x0 ? 2 e
? 13 分

设 h( x) ? e x ? ln x ? 1 ,当 x ? 0 时 h '( x) ? 0 ? h( x ) 是单调递增函数
2

? h( x) ? 0 最多只有一个根,又 h(

1 1 1 1 ) ? e2 ? 2 ? ln 2 ? 1 ? 0 ? x0 ? 2 2 e e e e 1 ? 15 分 由 f '( x0 ) ? ?1 得切线方程是 x ? y ? 2 ? 0 . e
f ( x) ? a sin x ? x ? b (a,b 均为正常数).
(1)求证:函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在 x ? ? 处有极值, 3 ①对于一切 x ? ?0,π ? ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立,求 b 的取值范围; ? 2? ? ? ②若函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 3 3
【 答 案 】

30 . 江 苏 省 泰 兴 市 第 三 高 级 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 调 研 测 试 数 学 理 试 题 ) 已知函 数 (

?

?

(1)



明:? f (0) ? b ? 0 , f (a ? b) ? a sin(a ? b) ? a ? b ? b ? a[sin(a ? b) ? 1] ? 0

? f (0) f (a ? b) ? 0
所以,函数 f ( x) 在 ? 0, a ? b ? 内至少有一个零点 (2) f ?( x) ? a cos x ? 1 由已知得: f ?( ) ? 0 所以 a=2,

?

3

所以 f(x)=2sinx﹣x+b ①不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立可化为:sinx﹣cosx﹣x>﹣b 记函数 g(x)=sinx﹣cosx﹣x, x ? [0,

?
2

]
27

? ? ? ? 3? 2 ? g ?( x) ? cos x ? sin x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1, x ? [0, ]x ? ? [ , ], ? sin( x ? ) ? 1 4 2 4 4 4 2 4
1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 ,所以 g ?( x) ? 0 在 [0, ] 恒成立 2 4
函数 g ( x) 在 [0,

?

?

?

2

] 上是增函数,最小值为 g(0)=﹣1

所以 b>1, 所以 b 的取值范围是(1,+∞) ②由 (

m ? 1 2m ? 1 m ?1 2m ? 1 ?, ? ) 得: ?? ? ,所以 m>0 3 3 3 3

令 f′(x)=2cosx﹣1>0,可得 2k? ?

,k ?Z 3 3 m ? 1 2m ? 1 ∵函数 f(x)在区间( ?, ? )上是单调增函数, 3 3 m ?1 ? 2m ? 1 ? ∴ ? ? 2k? ? 且 ? ? 2k? ? 3 3 3 3
∴6k≤m≤3k+1 ∵m>0,∴3k+1>0,6k≤3k+1 ∴k=0 ∴0<m≤1

?

? x ? 2 k? ?

?

31. (江苏省盐城市 2014 届高三上学期期中考试数学试题)若函数 f ( x) ? x(ln x ? a ) ( a 为实

常数). (1)当 a ? 0 时,求函数 f (x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)设 g ( x) ?| f ( x) | . ①求函数 g ( x) 的单调区间; ②若函数 h( x) ?
【答案】

1 2 的定义域为 [1, e ] ,求函数 h( x) 的最小值 m(a ) . g ( x)

28

29


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