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数学提高训练题(1)


数学提高训练题(1)
1.已知 ? 、 ? 均为锐角,且满足 sin2 ? ? cos ?? ? ? ? . 则 ? 与 ? 的关系是( ) .

? A?? ? ?
2.已知 f ? x ? ? 是( ) .
2

? B ?? ? ?

?C ?? ? ?

? D

?? ? ? ?

?
2

a ? ? a x ? a ? x ? ? a ? 0且a ? 1? 是 R 上的增函数.则实数 a 的取值范围 a ?2

? A?? 0 , ?1

? ? B ?? 0 , ? 1 ?

?? , 2

?

?C ? ?

2, ??

?

?? ? D ?? 0 , ? 1 ?

?? , 2

?

3. 已知长方形的四个顶点 A? 0,0? 、B ? 2,0? 、C ? 2,1? 、D ? 0,1? . 一质点从 AB 的中点 P 0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向射到 BC 上的点 P 后, 依次反射到 CD 、DA 、AB 上的点 P 、 1 2 .设 P 的坐标为 ? x4 , 0? . 若 1 ? x4 ? 2, 则 tan ? 的取值范 P 、 P4 (入射角等于反射角) 3 4 围是( ) .

? A? ? ?

1 ? ,1? ?3 ?

? B? ? ?

1 2? , ? ?3 3?

?C ? ? ?

2 1? , ? ?5 2?

? D? ? ?

2 2? , ? ?5 3?

4.无穷数列 ?an ? 满足 an?1 ? 3an ? 4 ? n ? N? ? , 且 ?an ? 是有界数列.则该数列的通项 an = . 5.设数列 ?an ? 是以 a 为首项, t ? t ? 1? 为公比的等比数列,令 bn ? 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,

cn ? 2 ? b1 ? b2 ? ?? bn , n ? N? . 使得 ?cn ? 成等比数列的实数对 ? a, t ? 是
6.在 ? ABC 中,求证: sin A ? 30 ? sin B ? 30 ? sin C ? 30



?

?

?

?

?

?

?

?

? ? 3. 2

7.对于函数 f ? x ? , 若存在 x0 ? R, 使 f ? x0 ? ? x0 成立,则称点 ? x0 , x0 ? 为函数 f ? x ? 的不 动点(1)若函数 f ? x ? ? ax ? bx ? b ? a ? 0? 有不动点 ?1,1? 和 ? ?3,3? ,求 a 、 b 的
2

的值; (2)若对于任意实数 b ,函数 f ? x ? ? ax ? bx ? b 总有2个相异的不动点,求实
2

数 a 的取值范围. (3)若定义在实数集 R 上的奇函数 g ? x ? 存在(有限的) n 个不动点,求证 n 必为奇数. 8. 已知 a 、b 都是不等于零的常数,变量 ? 满足不等式组 ? 的最大值.

?a sin ? ? b cos ? ? 0, 试求 sin ? ? a cos ? ? b sin ? ? 0.

数学提高训练题(1)解答
1.解:?? , ? 都是锐角,?sin 2 ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ?

sin ? ? sin ? ? ? ? ? .

选 ?C ?.

2.解:设 x1 ? x2 ,? f ? x ? 在 R 上是增函数,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0. ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

a a ? ? a x1 ? a x2 ? a ? x2 ? a ? x1 ? . 当 0 ? a ? 1 时, a x1 ? a x2 , a? x1 ? a? x2 , 此时 2 ? 0, 则 a ?2 a ?2 a 0 ? a ? 1 符合条件.当 a ? 1 时, a x1 ? a x2 , a? x2 ? a? x1 , 从而 2 ? 0, a ? 2. a ?2
2

? a ? ? 0,1? ?

?

2, ?? . 故选 ? B ? .

?

3.解:如图,设 P ? 2, a ?? a ? 0? , ?P PB ? ? ,则 2 2 1

tan ? ?

BP2 ? a .由 ?P PC ? ?P P A ? ? ,得 tan ?P2 PC 2 3 4 5 3 PB 1

?

CP2 1 ? a PD PD 1 ? ? a,? CP3 ? ? 1. 进而,tan ?P4 P3 D ? 4 ? 4 ? a ? P D ? 3a ?1. 4 CP3 CP3 a P3 D 2 ? CP3
2 ? 3a 2 1 .?1 ? AP5 ? 2,? ? a ? . 故选 ? C ? . a 5 2

同理可得 AP ? 5

4.解:?an?1 ? 2 ? 3? an ? 2? .?得等比数列 ?an ? 2? ,?an ? 2.

a at n a ? a ? 5.解:? t ? 1, bn ? 1 ? ? ,? cn ? 2 ? ?1 ? ?t ? t 2 ? ? ? t n ? ? 2 ? ?n ? 1? t 1? t ? 1? t ? 1? t
a ? ? ?1 ? ?n? ? 1? t ? a ? t ? t n ?1 ?

?1 ? t ?

2

at ? ?0 2 ?2 ? ? ?1 ? t ? . ??cn ? 是等比数列,? ? ? a ? 1, t ? 2. ? 1 ? t ? a ? 0. ? 1? t ?
?

C 6. 不妨设三内角 A, B, C 中, 最小, 0 ? C ? 60 . 故 sin 则

120? ? C ? 0. 于是 sin ? A ? 30? ? 2

A ? B ? 60? A? B ? sin ? B ? 30 ? ? sin ? C ? 30 ? ? 2sin cos ? sin ? C ? 30? ? 2 2
? ?

? 2sin

1 120? ? C A? B 120? ? C A? B ? sin ? C ? 30? ? ? sin 30? ? ? 2sin cos cos 2 2 2 2 2

?2sin

? 120? ? C 60? ? C 1 C C ? 60? C? 1 ? cos ? 2 ? sin ? sin ? ? ? 4sin 30? cos 2 2 2 2 2 2? 2 ?

1 1 3 ? 4? ? ? . 2 2 2
7. (1)由不动点定义,有 f ? x ? ? x ? 0, 即 ax2 ? ? b ?1? x ? b ? 0. 将 x ? 1, x ? ?3 代入, 得 a ? 1, b ? 3.

?? ? ? b ? 1? ? 4ab ? 0. (2) 由题意, 方程 ax2 ? ?b ?1? x ? b ? 0 总有两个相异实根,
2

即对任意实数 b , b2 ? ? 4a ? 2? b ? 1 ? 0 恒成立.??? ? ? 4a ? 2 ? ? 4 ? 0,? 0 ? a ? 1.
2

(3)?? 0,0? 点是奇函数 g ? x ? 在 R 上的不动点,若 g ? x ? 有异于点 ? 0, 0? 的不动点

? x0 , y0 ? , 则 g ? x0 ? ? x0 . 又 g ? ?x0 ? ? ?g ? x0 ? ? ?x0 , 则 ? ?x0 , ?x0 ? 也是 g ? x ? 在 R 上的一
? 个不动点. g ? x ? 的有限个不动点除原点外, 故 都成对出现, 2k k ? N 个. 有 因此,g ? x ?

?

?

在 R 上共有 n ? 2k ? 1 个不动点.? n 为奇数.

?bx ? ay ? 0, ? 8.解:令 x ? cos ? , y ? sin ? . 则 ? ax ? by ? 0, ? x 2 ? y 2 ? 1. ?
(1) a ? 0, b ? 0时, ymax ? (2) a ? 0, b ? 0时, ymax ? 1. (3) a ? 0, b ? 0时, ymax ? ?

a a ? b2
2

.

b a 2 ? b2 a a ? b2
2

.

(4) a ? 0, b ? 0时, ymax ?

.


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