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2014-2015学年山东省淄博市八校高一(下)期末数学试卷


2014-2015 学年山东省淄博市八校高一(下)期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 2 1.已知集合 M={x|x ﹣x=0},N={﹣1,0},则 M∩N=( A. {﹣1,0,1} B. {﹣1,1} C. {0} 2.已知 α 是第四象限的角,若 cosα= ,则 tanα=( A.
2

D. φ

) D. ﹣

B. ﹣

C.

3.己知函数 y=x 的值域是[1,4],则其定义域不可能是( A. [1,2] ∪{1} B. [ ,2]

) D. [﹣2,﹣1)

C. [﹣2,﹣1]

4.若向量 =(1,1) , =(﹣1,1) , =(4,2) ,则 =( A. 3 + B. 3 ﹣ C. ﹣ +3

) D. +3

5.某战士在打靶中,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( A. 两次都不中 B. 至多有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 只有一次中靶



6.在△ ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120° (如图) ,若将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周, 则所形成的旋转体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

7. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8.执行如图所示的程序框图,若 a=1,b=2,则输出的结果是( )

A. 9

B. 11

C. 13

D. 15

9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A. 向右平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D. 向左平移

个单位长度 个长度单位

10.已知点 P 为△ ABC 所在平面上的一点,且 △ ABC 的内部,则 t 的取值范围是( A. B. ) C.

,其中 t 为实数,若点 P 落在

D.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.过两点(﹣1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为



12.统计某校 1000 名学生的数学水平测试成绩,得到样本频率分布直方图如图所示,若满 分为 100 分,规定不低于 60 分为及格,则及格率是 .

13.点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,则 x +y 的最小值是

2

2



14.函数 .

在区间[0,n]上至少取得 2 个最大值,则正整数 n 的最小值是

15.已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣

,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,若在区 .

2

间[﹣1, 3]内, 函数 g (x) =f (x) ﹣log( 有 4 个零点, 则实数 a 的取值范围是 a x+2)

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.某区高一年级的一次数学统考中,随机抽取 M 名同学的成绩,数据的分组统计表如下: 分组 频数频率 (40,50] 2 0.02 (50.60] 4 0.04 (60,70] 11 0.11 (70,80] 38 0.38 (80,90] m n (90,100]11 0.11 合计 M N (1)求出表中 m,n,M,N 的值; (2) 若该区高一学生有 5000 人, 试估计这次统考中该区高一学生的平均分数及分数在区间 (60,90]内的人数. 17.已知函数 f(x)=x ﹣mx+2 的两个零点为 x=1 和 x=n. (1)求 m,n 的值; 2 (2) 若函数 g (x) =x ﹣ax+2 (a∈R) 在 (﹣∞, 1]上单调递减, 解关于 x 的不等式 loga (nx+m ﹣2)<0. 18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC= AA1,D、E 分 别是棱 AA1、CC1 的中点. (1)证明:AE∥平面 BDC1; (2)证明:DC1⊥平面 BDC.
2

19.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案 如下:

甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每 个扇形圆心角均为 15°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(球除颜色外不加区分) ,如果 摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

20.已知函数 f(x)=2

cos(

﹣x)cosx﹣sin x+cos x(x∈R) .

2

2

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos2x0 的值.
2 2 2

21.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1: (x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2: (x﹣4) +(y 2 ﹣5) =4 (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程 (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所 有满足条件的点 P 的坐标.

2014-2015 学年山东省淄博市八校高一(下)期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 2 1.已知集合 M={x|x ﹣x=0},N={﹣1,0},则 M∩N=( A. {﹣1,0,1} B. {﹣1,1} C. {0} 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:根据集合的基本运算进行求解即可. 2 解答: 解:M={x|x ﹣x=0}={0,1},N={﹣1,0}, 则 M∩N={0}, 故选:C 点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

) D. φ

2.已知 α 是第四象限的角,若 cosα= ,则 tanα=( A. B. ﹣ C.

) D. ﹣

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析:由 α 为第四象限角, 以及 cosα 的值, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值, 即可确定出 tanα 的值. 解答: 解:∵α 是第四象限的角,若 cosα= , ∴sinα=﹣ 则 tanα= =﹣ , =﹣ ,

故选:D. 点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 3.己知函数 y=x 的值域是[1,4],则其定义域不可能是( A. [1,2] ∪{1} 考点:函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. B. [ ,2]
2

) D. [﹣2,﹣1)

C. [﹣2,﹣1]

分析:根据函数在选项所给的区间上的单调性求出函数的值域,从而可判断定义域是否可 能. 解答: 解:根据函数 y=x 在[1,2]上单调递增,故函数的值域是[1,4],故选项 A 正确; 根据函数 y=x 在[﹣ ,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,故函数的值域是[0,4],故选 项 B 不正确; 根据函数 y=x 在[﹣2,﹣1]上单调递减,故函数的值域是[1,4],故选项 C 正确; 2 根据函数 y=x 在[﹣2,﹣1)上单调递减,则函数在[﹣2,﹣1)∪{1}上的值域是[1,4], 故选项 D 正确; 故选 B. 点评:本题主要考查了利用单调性求函数的值域, 同时考查了分析问题的能力, 属于基础题.
2 2 2

4.若向量 =(1,1) , =(﹣1,1) , =(4,2) ,则 =( A. 3 + B. 3 ﹣ C. ﹣ +3

) D. +3

考点:平面向量的基本定理及其意义;平面向量的坐标运算. 专题:计算题;待定系数法. 分析:设 =λ +μ ,由 =λ +μ =(4,2) ,用待定系数法求出 λ 和 μ,可得结果. =(λ,λ)+(﹣μ,μ)=(λ﹣μ,λ+μ )=(4,2) ,∴λ﹣μ=4,

解答: 解:设 λ+μ=2,

∴λ=3,μ=﹣1,可得



故选 B. 点评:本题考查两个向量的加减法的法则,两个向量坐标形式的运算. 5.某战士在打靶中,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( A. 两次都不中 B. 至多有一次中靶 C. 两次都中靶 D. 只有一次中靶 )

考点:互斥事件与对立事件. 专题:概率与统计. 分析:直接利用对立事件的概念写出结果即可. 解答: 解:“至少有一次中靶”的对立事件为:一次中靶一次不中靶或两次都中靶. 故选 A. 点评:本题考查对立事件的概念的应用应用,基本知识的考查. 6.在△ ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120° (如图) ,若将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周, 则所形成的旋转体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

考点:组合几何体的面积、体积问题. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积,结合题意计算可得答案. 解答: 解:依题意可知,旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥, 所以 OA= ,OB=1 所以旋转体的体积: 故选:A. =

点评:本题考查圆锥的体积,考查空间想象能力,是基础题. 7. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 考点:系统抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,那么从 20 人抽取 1 人.从而得出从编号 481~720 共 240 人中抽取的人数即可. 解答: 解:使用系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,即从 20 人抽取 1 人. 所以从编号 1~480 的人中,恰好抽取 =12 人. 故:B. 点评:本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于基础题. 8.执行如图所示的程序框图,若 a=1,b=2,则输出的结果是( ) =24 人,接着从编号 481~720 共 240 人中抽取

A. 9

B. 11

C. 13

D. 15

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:由已知中的程序框图可知: 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值, 模 拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 a=1 时,不满足退出循环的条件,故 a=5, 当 a=5 时,不满足退出循环的条件,故 a=9, 当 a=9 时,不满足退出循环的条件,故 a=13, 当 a=13 时,满足退出循环的条件, 故输出的结果为 13, 故选:C 点评:本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的 方法解答.

9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)

A. 向右平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D. 向左平移

个单位长度 个长度单位

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得 f(x)的解 析式,再根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< )的图象可得

A=1, =

=



,求得 ω=2. +φ=π,求得 φ= ,

再根据五点法作图可得 2× 函数 f(x)=sin(2x+ ) .

故把 f(x)的图象向右平移

个单位长度,可得函数 g(x)=sin2(x﹣

)+

]=sin2x 的

图象, 故选:A. 点评:本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,y=Asin(ωx+φ)的图象 变换规律,属于基础题. 10.已知点 P 为△ ABC 所在平面上的一点,且 △ ABC 的内部,则 t 的取值范围是( A. B. ) C. D.

,其中 t 为实数,若点 P 落在

考点:向量的线性运算性质及几何意义. 专题:计算题. 分析:用向量的加法法则将条件中的向量 , 都用以 A 为起点的向量表示得到

,画出图形,结合点 P 落在△ ABC 的内部从而得到选项. 解答: 解:在 AB 上取一点 D,使得 在 AC 上取一点 E,使得: .则由向量的加法的平行四边形法则得: , 由图可知,若点 P 落在△ ABC 的内部,则 故选 D. . ,

点评:本题考查向量的线性运算性质及几何意义, 向量的基本运算, 定比分点中定比的范围 等等 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.过两点(﹣1,1)和(0,3)的直线在 x 轴上的截距为 ﹣ .

考点:直线的两点式方程. 专题:直线与圆. 分析:利用两点式求出直线的方程即可. 解答: 解:过两点(﹣1,1)和(0,3)的直线方程为 即 y=2x+3, 令 y=0,则 x=﹣ , 即直线在 x 轴上的截距为﹣ , 故答案为:﹣ 点评:本题主要考查直线方程的求解以及截距的计算,比较基础. 12.统计某校 1000 名学生的数学水平测试成绩,得到样本频率分布直方图如图所示,若满 分为 100 分,规定不低于 60 分为及格,则及格率是 80% . ,

考点:频率分布直方图. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据频率分布直方图,求出成绩在 60 分以上的频率即可. 解答: 解:根据频率分布直方图,得; 成绩在 60 分以上的频率为 1﹣(0.005+0.015)×10=0.8, 所以该次考试的及格率为 80%. 故答案为:80%. 点评:本题考查了频率分布直方图的应用问题,是基础题目. 13.点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,则 x +y 的最小值是 8 . 考点:直线与圆的位置关系;两点间距离公式的应用.
2 2

分析:x +y 的最小值,就是直线到原点距离的平方的最小值,求出原点到直线的距离的平 方即可. 解答: 解:原点到直线 x+y﹣4=0 的距离
2 2

2

2



点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,则 x +y 的最小值, 就是求原点到直线的距离的平方,为: 故答案为:8 点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查等价转化的数学思想,是基础题. 在区间[0,n]上至少取得 2 个最大值,则正整数 n 的最小值是

14.函数 8 .

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题. 分析:先根据函数的解析式求得函数的最小正周期, 进而依据题意可推断出在区间上至少有 个周期.进而求得 n≥6× ,求得 n 的最小值. 解答: 解: 周期 T= =6

在区间[0,n]上至少取得 2 个最大值,说明在区间上至少有 个周期. 6× = 所以,n≥ ∴正整数 n 的最小值是 8 故答案为 8 点评:本题主要考查了三角函数的周期性及其求法. 考查了考生对三角函数周期性的理解和 灵活利用. 15.已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣ ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,若在区
2

间[﹣1,3]内,函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是 [5, +∞) . 考点:抽象函数及其应用;函数的零点与方程根的关系. 专题:综合题;函数的性质及应用.

分析:根据 f(x+1)=﹣

,可得 f(x)是周期为 2 的周期函数. 再由 f(x)是偶函
2

数,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,可得函数在[﹣1,3]上的解析式.根据题意可得函数 y=f (x)的图象与 y=loga(x+2 有 4 个交点,即可得实数 a 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣ 故 f(x)是周期为 2 的周期函数. 再由 f(x)是偶函数,当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x ,可得当 x∈[0,1]时,f(x)=x , 2 2 故当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x ,当 x∈[1,3]时,f(x)=(x﹣2) . 由于函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,故函数 y=f(x)的图象与 y=loga(x+2) 有 4 个交点, 所以可得 1≥loga(3+2) , ∴实数 a 的取值范围是[5,+∞) . 故答案为:[5,+∞) . 点评:本题主要考查函数的周期性的应用, 函数的零点与方程的根的关系, 体现了转化的数 学思想,属于基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.某区高一年级的一次数学统考中,随机抽取 M 名同学的成绩,数据的分组统计表如下: 分组 频数频率 (40,50] 2 0.02 (50.60] 4 0.04 (60,70] 11 0.11 (70,80] 38 0.38 (80,90] m n (90,100]11 0.11 合计 M N (1)求出表中 m,n,M,N 的值; (2) 若该区高一学生有 5000 人, 试估计这次统考中该区高一学生的平均分数及分数在区间 (60,90]内的人数. 考点:频率分布表;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率、频数与样本容量的关系,计算 M、m、n 与 N 的值; (2)计算平均数与分数在区间(60,90]内的人数即可. 解答: 解: (1)因为 =0.02, 所以 M=100, 从而 m=100﹣(2+4+11+38+11)=34, ∴n= =0.34, 频率和 N=1; (2)平均分约为 45×0.02+55×0.04+65×0.11+75×0.38+85×0.34+95×0.11=78.1
2 2

,故有 f(x+2)=f(x) ,

∴该地区高一同学分数在区间(60,90]内的人数为 5000×(0.11+0.38+0.34)=4150(人) . 点评:本题考查了频率分布表的应用问题,也考查了平均数的计算问题,是基础题目. 17.已知函数 f(x)=x ﹣mx+2 的两个零点为 x=1 和 x=n. (1)求 m,n 的值; (2) 若函数 g (x) =x ﹣ax+2 (a∈R) 在 (﹣∞, 1]上单调递减, 解关于 x 的不等式 loga (nx+m ﹣2)<0. 考点:二次函数的性质;函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)由题意即知 x=1,x=n 是方程 x ﹣mx+2=0 的两个解,利用韦达定理即可求出 m=3,n=2; (2)由二次函数的单调性即可判断出 a>2,从而函数 y=logax 为增函数,从而由原不等式 可得到 0<2x+1<1,解该不等式即得原不等式的解. 2 解答: 解: (1)根据题意,x=1 和 x=n 是方程 x ﹣mx+2=0 的两个解; 由根和系数的关系可知 ∴m=3,n=2; (2)函数 g(x)的对称轴为 x= ; ∵g(x)在(﹣∞,1]上单调递减; ∴ ∴a≥2; ∴由 loga(2x+1)<0 得 0<2x+1<1; ∴ ; . ; ;
2 2 2

∴不等式的解集为

点评:考查函数零点的概念,弄清函数零点和对应方程解的关系,韦达定理,以及二次函数 的单调性及单调区间,对数函数的单调性.

18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC= AA1,D、E 分 别是棱 AA1、CC1 的中点. (1)证明:AE∥平面 BDC1; (2)证明:DC1⊥平面 BDC.

考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 分析: (1)欲证明 AE∥平面 BDC1,只需推知 AE∥DC1 即可; (2)欲证明 DC1⊥平面 BDC,只需证得 DC1 与平面 BDC 内的两条相交线垂直即可. 解答: 证明: (1)因为 D、E 分别是棱 AA1、CC1 的中点,AC= AA1, 所以 AD∥C1E,且 AD=C1E, 所以四边形 DAEC1 是平行四边形, 所以 AE∥DC1. 因为 DC1?平面 BDC1, 所以 AE∥平面 BDC1; (2)由题意知,BC⊥CC1,BC⊥AC. 所以 BC⊥面 ACC1A1. 又 DC1?面 ACC1A1, 所以 DC1⊥BC. 在矩形 ACC1A1 中,因为 AC= AA1,D 是棱 AA1 的中点, 所以 DC1⊥DC. 因为 DC1⊥BC,DC1⊥DC,且 BC∩DC=C, 所以 DC1⊥平面 BDC.

点评:本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理,是一道中档题.解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养. 19.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案 如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每 个扇形圆心角均为 15°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(球除颜色外不加区分) ,如果 摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

考点:几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析:分别计算两种方案中奖的概率.先记出事件,得到试验发生包含的所有事件,和符合 条件的事件,由等可能事件的概率公式得到. 2 解答: 解:如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积 π?R , 阴影部分的面积为 ,

则在甲商场中奖的概率为:



如果顾客去乙商场,记 3 个白球为 a1,a2,a3,3 个红球为 b1,b2,b3, 记(x,y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a1,b3) (a2,a3) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a2,b3) , (a3,b1) , (a3,b2) , (a3,b3) , (b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3) ,共 15 种, 摸到的是 2 个红球有(b1,b2) , (b1,b3) , (b2,b3) ,共 3 种, 则在乙商场中奖的概率为:P2= ,

又 P1<P2,则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大. 点评:本题考查等可能事件的概率计算以及几何概率的求法, 关键是正确列举事件的全部情 况.此题用到的知识点还有:概率=相应的面积与总面积之比. 20.已知函数 f(x)=2 cos( ﹣x)cosx﹣sin x+cos x(x∈R) .
2 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos2x0 的值.

考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ 由周期公式可求函数最小正周期 π.由 2kπ﹣ 间. (2)由 x0∈[ , ],可得 2x0+ )﹣ ∈[ , ],从而可求 cos(2x0+ ) ,由 ≤2x+ ≤2kπ+ ) ,

,k∈Z 可解得单调递增区

cos2x0=cos[(2x0+

]根据两角差的余弦函数公式即可得解. cos( ﹣x)cosx﹣sin x+cos x
2 2

解答: 解: (1)∵f(x)=2

=

sinxcosx+cos2x ) =π.由 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 可解得单调递增

=2sin(2x+

∴函数 f(x)的最小正周期 T= 区间为:[kπ﹣ (2)∵x0∈[ ∴2x0+ ∈[ , , ,kπ+ ], ],

],k∈Z.

∵f(x0)=2sin(2x0+ ∴2x0+ ∈[

)= ,可解得:sin(2x0+ )=﹣ )cos

)= , =﹣ , +sin(2x0+ )sin =(﹣ )

,π],cos(2x0+ )﹣ .

∴cos2x0=cos[(2x0+ × + =

]=cos(2x0+

点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数的图象和性质, 两角差的余弦 函数公式的应用,属于基本知识的考查. 21.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1: (x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2: (x﹣4) +(y 2 ﹣5) =4 (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程 (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所 有满足条件的点 P 的坐标. 考点:直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程. 专题:综合题. 分析: (1)因为直线 l 过点 A(4,0) ,故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距, 即圆心到直线的距离,得到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l 的方程. (2)与(1)相同,我们可以设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程, 由于两直线斜率为 1, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于 直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l1 与 l2 的方程. 解答: 解: (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4) (1 分) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2 ∴d= =1(12 分)
2 2 2

d=

从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0(5 分) (2)设点 P(a,b)满足条件, 由题意分析可得直线 l1、l2 的斜率均存在且不为 0, 不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a) ,k≠0 则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a) (6 分) ∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等, 及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等 即 = (8 分)

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或 (10 分)

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ ,



经检验点 P1 和 P2 满足题目条件(12 分) 点评:在解决与圆相关的弦长问题时, 我们有三种方法: 一是直接求出直线与圆的交点坐标, 再利用两点间的距离公式得出;二是不求交点坐标,用一元二次方程根与系数的关系得出, 即设直线的斜率为 k,直线与圆联立消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程再利用弦长公 式求解, 三是利用圆中半弦长、 弦心距及半径构成的直角三角形来求. 对于圆中的弦长问题, 一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.


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