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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 4-3


高考进行时 一轮总复习 · 数学(新课标通用A版 · 理)

第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入

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第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

高考进行时 一轮总复习 · 数学(新课标通用A版 · 理)

第三节

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平面向量的数量积及平面向量的应用

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

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第四章

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课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

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1.平面向量的数量积 若两个 1 □ __________向量a与b,它们的夹角为θ,则数量

2 __________叫做a与b的数量积(或内积),记作□ 3 _________. □ 4 ______. 规定:零向量与任一向量的数量积为□ 5 ________,两个非 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 □ 6 __________________. 零向量a与b平行的充要条件是□
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2.平面向量数量积的几何意义 7 _________ 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 □ 的乘积.

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3.平面向量数量积的重要性质 8 __________________; (1)e· a=a· e=□ 9 __________________; (2)非零向量a,b,a⊥b?□ 10 __________; (3)当a与b同向时,a· b =□ 11 __________,a· 12 ________, 当a与b反向时,a· b= □ a= □ 13 ____________; |a|=□

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14 __________________; (4)cosθ=□ 15 ______|a||b|. (5)|a· b|□

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4.平面向量数量积满足的运算律 16 ____________(交换律); (1)a· b=□ 17 __________(λ为实数); (2)(λa)· b=λ(a· b)=□ 18 __________________. (3)(a+b)· c=□

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5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 19 __________,由 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= □ 此得到: 20 ________,或|a|=□ 21 _________. (1)若a=(x,y),则|a|2=□ → (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=|AB|= 22 ______________. □ 23 ______. (3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?□

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1 非零 答案: □

2 |a||b|cosθ □ 3 a· 4 0 □ b=|a||b|cosθ □

5 a· 6 a· 7 |b|cosθ □ 8 |a|cosθ □ 9 a· □ b=0 □ b=± |a||b| □ b=0 10 |a||b| □ 11 -|a||b| □ 12 a2 □ 13 a· □ a 14 □ a· b |a||b| 15 ≤ □ 16 b· □ a x2+y2

17 a· 18 a· 19 x1x2+y1y2 □ 20 x2+y2 □ 21 □ (λb) □ c+b· c □ 22 □ ?x1-x2?2+?y1-y2?2 23 x1x2+y1y2=0 □

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1 个条件——两个非零向量垂直的充要条件 两个非零向量垂直的充要条件为:a⊥b?a· b=0. 2 个结论——与向量夹角有关的两个结论 (1)若 a· b>0,则 a 与 b 的夹角为锐角或 0° ; (2)若 a· b<0,则 a 与 b 的夹角为钝角或 180° .

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4 个注意点——向量运算中应注意的四个问题 (1)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时, 要注意是三角形的 → → 内角还是外角.如在等边△ABC 中,AB与BC的夹角应为 120° 而不 是 60° . (2)在平面向量数量积的运算中,不能从 a· b=0 推出 a=0 或 b =0 成立.实际上由 a· b=0 可推出以下四种结论:①a=0,b=0; ②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但 a⊥b.

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(3)实数运算满足消去律:若 bc=ca,c≠0,则有 b=a.在向量 数量积的运算中,若 a· b=a· c(a≠0),则不一定得到 b=c. (4)实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满足 乘法结合律,即(a· b)· c 不一定等于 a· (b· c),这是由于(a· b)· c 表示一 个与 c 共线的向量,而 a· (b· c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线.

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1.下列四个命题中真命题的个数为( ①若 a· b=0,则 a⊥b; ②若 a· b=b· c,且 b≠0,则 a=c; ③(a· b)· c=a· (b· c); ④(a· b)2=a2· b2. A.4 个 B.2 个 C.0 个

)

D. 3 个

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解析:a· b=0 时,a⊥b,或 a=0,或 b=0.故①命题错. ∵a· b=b· c,∴b· (a-c)=0. 又∵b≠0,∴a=c,或 b⊥(a-c).故②命题错误. ∵a· b 与 b· c 都是实数,故(a· b)· c 是与 c 共线的向量,a· (b· c)是 与 a 共线的向量, ∴(a· b)· c 不一定与 a· (b· c)相等.故③命题不正确. ∵ (a· b)2 = (|a||b |cosθ)2 = |a |2 |b |2cos2θ≤|a |2· |b |2 = a2· b2. 故④命题不 正确.
答案:C
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→ → 2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· AC=( 3 2 2 3 A.-2 B.- 3 C.3 D.2
解析:在△ABC 中, AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 cos∠BAC= = =4, 2AB· AC 2×3×2 1 3 → → → → ∴AB· AC=|AB||AC|cos∠BAC=3×2×4=2.
答案:D

)

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3.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b 与 a 垂直, 则 λ=( ) B.1 C.-2 D.2

A.-1

解析:λa+b=(λ+4,-3λ-2). ∵λa+b 与 a 垂直,∴(λa+b)· a=10λ+10=0. ∴λ=-1.

答案:A

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4.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 上的投影为( 13 65 A. 13 B. 5 C. 5 D. 65
a· b 2×?-4?+3×7 13 65 解析:|a|cosθ= = = . 2 2 = 5 |b| 65 ?-4? +7

)

答案:C

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5. 已知|a |=1 , |b |=6, a· (b-a)=2, 则向量 a 与 b 的夹角是( π π π π A. 6 B.4 C. 3 D.2
解析:∵a· (b-a)=a· b-a2=2, ∴a· b=2+a2=3. a· b 3 1 ∴cos〈a,b〉= = = . |a ||b | 1×6 2 π ∴a 与 b 的夹角为3.
答案:C

)

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课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

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考点一

平面向量的数量积的运算

【例 1】 (1)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点, → → 则AE· BD=__________. (2)已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a |= 2,|b |=3,a· b x1+y1 =-6.则 的值为( x2+y2 2 A. 3 2 B.- 3 ) 5 C.6 5 D.-6

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→ → 1→ → → → → → 解析: (1) 因为 AE= AD+ 2 AB, BD =AD-AB,所以 AE· BD =
?→ 1→ ? → → → 2 1 → → 1→ 2 ?AD+ AB?· (AD-AB)=AD - AD· AB- AB =2. 2 ? 2 2 ?

(2)由已知得,向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)反向,3a+2b=0, x1+y1 2 2 即 3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),得 x1=- x2,y1=- y2,故 = 3 3 x2+y2 2 -3.
答案:(1)2 (2)B

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?名师点拨 平面向量数量积的类型及求法 (1) 平面向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式 a· b= |a ||b |cosθ;二是坐标公式 a· b=x1x2+y1y2. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数 量积的运算律或相关公式进行化简.

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→ → 通关特训 1 (1)在 Rt△ABC 中, ∠C=90° , AC=4, 则AB· AC等 于( ) A.-16 C.8 B.-8 D.16

(2)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)· c= 30,则 x 等于( A.6 )

B.5 C.4 D.3

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→ → → → → 解析:(1)AB· AC=(CB-CA)· (-CA) → → →2 =-CB· CA+OA =16. (2)∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3). 又∵(8a-b)· c=30, ∴(6,3)· (3,x)=18+3x=30. ∴x=4.

答案:(1)D (2)C
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考点二

平面向量的夹角与模的问题

【例 2】 (1)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足 |c-a -b|=1,则 |c|的最大值为( A. 2-1 C. 2+1 B. 2 D. 2+2 )

(2)若非零向量 a,b 满足|a |=3|b |= |a+2b |,则 a 与 b 夹角的余 弦值为__________.

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→ → → → → (3)已知向量AB与AC的夹角为 120° , 且|AB|=3, |AC|=2.若 AP= → → → → λAB+AC,且AP⊥BC,则实数 λ 的值为__________. (4)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60° ,E 为 CD 的 → → 中点.若AC· BE=1,则 AB 的长为__________.

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解析:(1)建立如图所示的直角坐标系,由题意知 a⊥b,且 a 与 b 是单位向量,

→ → → ∴可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),OC=c=(x,y). ∴c-a-b=(x-1,y-1). ∵|c-a-b |=1,

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∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点 C(x,y)的轨迹是以 M(1,1)为圆心, 1 为半径的圆. 而|c|= x2+y2,∴ |c|的最大值为|OM |+1,即 |c|max= 2+1. (2)由|a |= |a+2b |, 两边平方, 得 |a |2=|a+2b |2= |a |2 +4|b |2+4a· b, 所以 a· b=-|b |2. 又|a |=3|b |, |b |2 1 a· b 所以 cos〈a,b〉= =- 2 =-3. |a ||b | 3|b |

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→ → → → (3)∵AP⊥BC,∴AP· BC=0. → → → → → → → → → →2 ∴(λAB+AC)· BC=0,即(λAB+ AC)· (AC- AB)=λAB· AC-λ AB → → → +AC2-AC· AB=0. → → → → ∵向量AB与AC的夹角为 120° , |AB|=3, |AC|=2, → → ∴(λ-1)|AB||AC|· cos120° -9λ+4=0, 7 解得 λ=12.

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1→ → → → → → (4)方法一:由题意可知,AC= AB+AD,BE=- AB+AD. 2 → → 因为AC· BE=1, → → ? 1→ → ? ?- AB+AD?=1, 所以(AB+AD)· ? 2 ? → 1→ → 1→ 2 即AD2+ AB· AD- AB =1. 2 2 → 因为|AD|=1,∠BAD=60° , 1 → 1 所以|AB|= 2,即 AB 的长为2.

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方法二:以 A 为原点,AB 为 x 轴建立如图所示的直角坐标系, 1 过 D 作 DM⊥AB 于点 M.由 AD=1,∠BAD=60° ,可知 AM=2, 3 DM= . 2 设|AB |=m(m>0),则
? 1 ? B(m,0),C?m+ , 2 ? ?1 3? 3? ? ? ? , D , ?2 ?. 2? 2 ? ? ?

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因为 E 是 CD 的中点,所以

?m 1 E? ? 2 +2, ?

3? ? . ? 2?

→ ? → ? 3? 1 3? ?1 1 ? ? 所以BE=? - m, ?,AC=?m+ , ? ?. 2 2 2 2 2 ? ? ? ?
? 1??1 1 ? 3 → → 由AC· BE=1,可得?m+2??2-2m?+4=1, ? ?? ?

1 即 2m -m=0,所以 m=0(舍去)或 . 2
2

1 故 AB 的长为2.
1 7 1 答案:(1)C (2)- (3) (4) 3 12 2
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?名师点拨 平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略 a· b (1)求两向量的夹角.cosθ= ,要注意 θ∈[0,π]. |a |· |b | (2)两向量垂直的应用.两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b? a· b=0?|a-b |=|a+b |. (3)求向量的模.利用数量积求解长度问题的处理方法有: ①a2=a· a=|a |2 或|a |= a· a. ②|a± b |= ?a± b?2= a2± 2a· b+b2. ③若 a=(x,y),则|a |= x2+y2.

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通关特训 2 (1)已知平面向量 a,b,|a |=1, |b |= 3,且|2a+ b|= 7,则向量 a 与 a+b 的夹角为( π A. 2 π C. 6 π B.3 D.π )

(2)已知平面向量 α , β, |α|=1 , β= (2,0),α⊥(α - 2β) ,则 |2α +β|的值为__________.

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解析:(1)∵|2a+b |2=4|a |2+4a· b+ |b |2=7, |a |=1 ,|b |= 3, ∴4+4a· b+3=7,∴a· b=0. ∴a⊥b.如图所示,a 与 a+b 的夹角为∠COA.

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|CA | |b | ∵tan∠COA= = = 3, |OA| |a | π π ∴∠COA= ,即 a 与 a+b 的夹角为 . 3 3 (2)∵β=(2,0),∴|β|=2. 又 α⊥(α-2β), ∴α·(α-2β)=α2-2α·β=1-2α·β=0. 1 ∴α·β=2.

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∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4+4+2=10. ∴|2α+ β|= 10.
答案:(1)B (2) 10

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考点三 【例 3】 <α<π.

平面向量与三角函数的综合

已知向量 a=(cosα , sinα),b =(cosβ ,sinβ),0<β

(1)若|a-b |= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

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解析:(1)证明:由题意得|a-b |2=2, 即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2. 又因为 a2=b2=|a |2=|b |2=1, 所以 2-2a· b=2,即 a· b=0,故 a⊥b. (2) 因 为 a + b = (cosα + cosβ , sinα + sinβ) = (0,1) , 所 以
? ?cosα+cosβ=0, ? ? ?sinα+ sinβ=1.

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由此得,cosα=cos(π-β),由 0<β<π,得 0<π-β<π,又 0 1 <α<π, 故 α=π-β.代入 sinα+ sinβ=1 , 得 sinα =sinβ= , 而 α>β, 2 5π π 所以 α= 6 ,β=6.

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?名师点拨 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量 共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其 他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在 定义域内的有界性,求得值域等.

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通关特训 3 设向量 a=(4cosα, sinα),b=(sinβ ,4cosβ),c= (cosβ,-4sinβ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α+β)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tanαtanβ=16,求证:a∥b.

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解析:(1)由 a 与 b-2c 垂直, 得 a· (b-2c)=a· b-2a· c=0, 即 4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2. (2)b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), |b + c|2 = sin2β + 2sinβcosβ + cos2β + 16cos2 β - 32cosβ sinβ + 16sin2β=17-30sinβcosβ=17-15sin2β,故最大值为 32,所以 |b+c| 的最大值为 4 2. (3) 证 明 : 由 tanαtanβ = 16 , 得 sinα sinβ = 16cosαcosβ , 即 4cosα· 4cosβ- sinα sinβ=0,所以 a∥b.
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