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江苏省梁丰高级中学2013届高三数学周日试卷5(20121021)


2012/10/21

梁丰高级中学 2013 届高三数学周日试卷五 顾云良编制 徐燕审核 班级 学号 姓名

一、填空题: 1. 已知全集 U ? ?1, 2 ,3 , 4 ? ,集合 P ? ?1, 2? , Q ? ? 2, 3? ,则C U ( p ? Q ) 等于________. 2. 已知复数 z 满足 (3 ? i ) z

? 1 0 i ( i 为虚数单位),则 z 的模为_______. 3.函数 y ?
log
0 .5

( 3 x ? 2 ) 的定义域是________.

4.已知 510°角的始边在 x 轴的非负半轴上,终边经过点 P ( m , 2) ,则 m =_______. 5.已知 ? 是第二象限角,且 sin ( ? ? ? ) ? ? 6. 已知 tan(
?
4

3 5

, 则 ta n 2? ?

.

? ? ) ? 2 ,则 tan ? ? _______.
x 4
x

7. 已知函数 f ( x ) ? ax ?

8. 如图为一半径是 3m 的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮 每分钟旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水面的距离 y(m)与时间 t(s)满足 函数关系 y ? A sin( ? t ? ? ) ? 2 (? ? 0 , A ? 0 ) ,则 ? ? ________. 9. 要得到 y ? cos 2 x 的图象,只要将 y ? sin( 2 x ?
? ?? ? ?

?1

是偶函数,则常数 a 的值为____.

?
4

) 的图象向右平移最少____个单位长度.
?? ? ? ? ?

10. 若函数 f ( x ) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 ? 0, ? 上单调递增, 在区间 ? , ? 上单调递减, ? =___ . 则 3 3 2 11. 下列几个命题:其中正确的有_ ①关于 x 的不等式 a x ?
2

__.

2 x ? x 在 (0,1) 上恒成立,则 a 的取值范围为 ( ? ? ,1] ;

②函数 y ? log 2 ( ? x ? 1 ) ? 2 的图象可由 y ? log 2 ( ? x ? 1 ) ? 2 的图 象向上平移 4 个单位,向右平移 2 个单位得到; ③若关于 x 方程 x ? 2 x ? 3 ? m 有两解,则 m ? 0 或 m ? 4 ;
2

y

④若函数 f (2 x ? 1) 是偶函数, 则 f ( 2 x ) 的图象关于直线 x ?
3 2

1 2

对称.

O 1 .

2

x

12.已知 f ( x ) ? ax ? bx ? cx ( a ? 0 ) 有极大值 5 ,其导函数 y ? f ' ( x ) 的图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式为________ 13. 函数 f ( x ) ? a sin( x ?
?
)? 3 sin( x ?

) 是偶函数,则 a ? ___ . 6 3 14. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若满足① f ( x ) 在 D 内是单调函数,②存在 [ a , b ] ? D ,

?

使 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域为 [ ? b , ? a ] ,那么 y ? f ( x ) 叫做对称函数, 现有 f ( x ) ? 2 ? x ? k 是对称函数,那么 k 的取值范围是___________. 二、解答题: 15.已知命题 p:指数函数 f(x)=(2a-6)x 在 R 上单调递减, 命题 q:关于 x 的方程 x ? 3 ax ? 2 a ? 1 ? 0 的两个相异实根均大于 3. 若 p、q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.
2 2

1

16.已知函数 f ( x ) ? sin 2 ? x ? 3 cos ? x . sin ? x( ? ? 0 ), 且函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; ? (2)若将函数 y ? f ( x ) 的图像向右平移 个单位长度,再将所得到的图像上各点的横坐
12

标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变),得到函数 y ? g ( x ) 的图像,求函数 y ? g ( x ) 的 单调递减区间。

17.已知函数 f ( x ) ? lg

kx ? 1 x ?1

(k∈R 且 k>0).

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围.

2

18.如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ? A B C D ? 的池底水平铺设污水净化管道
( Rt ? FHE , H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的

接口 H 是 AB 的中点, E , F 分别落在线段 B C , A D 上.已知 A B ? 2 0 米, A D ? 1 0 3 米, 记 ?BHE ? ? . (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (2)若 sin ? ? cos ? ? 2 ,求此时管道的长度 L ; (3)问:当 ? 取何值时,污水净化效果最好? 并求出此时管道的长度.

19.已知:函数 g ( x ) ? ax

2

? 2 ax ? 1 ? b
g (x)

( a ? 0 , b ? 1) ,在区间 [ 2 ,

3 ] 上有最大值 4,

最小值 1,设函数 f ( x ) ?



x (1)求 a 、 b 的值及函数 f ( x ) 的解析式;

(2)若不等式 f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [ ? 1, 1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围;
x x

(3)如果关于 x 的方程 f ( 2 ? 1 ) ? t ? (
x

4 2 ?1
x

? 3 ) ? 0 有三个相异的实数根,求实数

t 的取值范围.

3

20.已知函数 f ( x ) ? ln x ?

,a?R . x (1)若函数 f ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

2a

(2)若函数 f ( x ) 在 [1, e ] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.

4

数学参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. { 4 } 7. ?
1 2
3

2. 8.

10
2? 15
2

3. ( ,1 ]
3

2

4. ? 2 3 10.
3 2

5. ?

24 7

6.

1 3

9.
? 12 x

7? 8

11. ①②③④
9

12. f ( x ) ? 2 x ? 9 x

13. ? 1

14. [ 2 , )
4

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 15.解:若 p 真,则 y=(2a-6)x 在 R 上单调递减,∴0<2a-6<1, ∴3<a<
7 2

…………2 分

? Δ ? ( ? 3 a) 2 ? 4 (2 a 2 ? 1 )> 0 ? ? ?3a 若 q 真,令 f(x)=x2-3ax+2a2+1,则应满足 ? ? ,…5 分 ?3 2 ? ? f(3 ) ? 9 ? 9 a ? 2 a 2 ? 1 ? 0 ?
? ? a> 2 或 a< ? 2 ? 5 ∴ ?a ? 2 ,故 a> ,…………………………………………7 分 2 ? 5 ? a ? 2或 a ? ? 2

又由题意应有 p 真 q 假或 p 假 q 真.
7 ? ?3 ? a ? 2 ? (i)若 p 真 q 假,则 ? ,a 无解.……………………………10 分 ?a ? 5 ? 2 ?

7 ? ? a ? 3或 a ? 2 5 7 ? (ii)若 p 假 q 真,则 ? ,∴ <a≤3 或 a≥ .……………13 分 5 2 2 ?a ? ? 2 ?

故 a 的取值范围是{a|

5 2

<a≤3 或 a≥

7 2

}.………………………………14 分
3 2

16. 16.⑴由题知 f ( x ) ? sin ? x ?
2

3 co s ? x sin ? x ?

sin 2 ? x ?

1 2

co s 2 ? x ?

1 2

? sin ( 2 ? x ?

?
6

)?

1 2

,又 f ( x ) 的最小正周期为 ? 。所以
?
6 )? 1 2 s2 n , f ( x) ?i( 将

2? 2?

? ? ,所以 ? ? 1 ? )? 1 2 1 2

⑵由⑴知 f ( x ) ? sin ( 2 x ?

x) ?

?
6

的图象向右平移

?
12

个单

位长度得到的图象 C 1 对应的函数解析式为 f 1 ( x ) ? sin ( 2 x ?

?
3

,再将图象 C 1 上各点的

横坐标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变)得到的图象 C 对应的函数解析式为

5

y ? g ( x ) ? sin (

1 2

x?

?
3

)?

1 2

,由 2 k ? ?
11 3

?
2

?

1 2

x?

?
3

? 2k? ?

3 2

? (k ? Z ) ,

得 4k? ?
(4k? ? 5 3

5 3

? ? x ? 4k? ?
11 3

? ,所以函数 g ( x ) 的单调递减区间为

? , 4k? ?

? ) (k ? Z )

17. (本小题满分 14 分) 1 x- k kx-1 1 解:(1)由 >0 及 k>0 得 >0,即(x- )(x-1)>0. k x-1 x-1 1 ①当 0<k<1 时,x<1 或 x> ;……………2 分 k ②当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;……………4 分 1 ③当 k>1 时,x< 或 x>1. ……………6 分 k 1 综上可得当 0<k<1 时,函数的定义域为(-∞,1)∪( ,+∞); k 1 当 k≥1 时,函数的定义域为(-∞, )∪(1,+∞).……………8 分 k 10k-1 1 (2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴ >0,∴k> .……………10 分 10 10-1 kx-1 k-1 又 f(x)=lg =lg(k+ ), x-1 x-1 故对任意的 x1,x2,当 10≤x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2), k-1 k-1 k-1 k-1 即 lg(k+ )<lg(k+ ),∴ < , x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 1 1 ∴(k-1)· ( - )<0, ……………14 分 x1-1 x2-1 1 1 又∵ > , x1-1 x2-1 ∴k-1<0,∴k<1. 1 综上可知 k∈( ,1).…………………………………16 分 10 18. (本小题满分16分)
EH ? 10 cos ?

解:(1)



FH ?

10 sin ?

EF ?

10 sin ? cos ?

………………………………4分
? ?[ ? ?
, 6

由于 B E

? 1 0 ? tan ? ? 1 0 3



AF ?

10 tan ?

? 10 3

3 3

? tan ? ?

3



] 3 ………………………5

6


L ? 10 co s ? ? 10 sin ? ? 10 sin ? ? co s ?



? ?[

? ?
, 6 3

]

.

……………… 6分

(2) sin ? ? cos ? ? 分
L ? 20 ( 2 ? 1)
L ? 10 co s ?

2

时,

sin ? cos ? ??

1 2 ,

…………………………8

;
? 10 sin ? ? 10

…………………………………………10分
sin ? ? co s ?

(3)

=

10(

sin ? ? co s ? ? 1 sin ? ? co s ?

)

设 sin ? ? cos ? ? t 由于
L ?
? ?[ ? ?
, 6 3 ]

sin ? ? co s ? ?

t ?1
2


t ? sin ? ? co s ? ?

2
2 sin (? ?

………………………………12分
?
4 )?[ 3 ?1 2 , 2]

,所以
3 ?1 2

…………14分
?
6 ,? ?

20 t ?1



[

,

2]

t ?

3 ?1 2

? ?

?
3 时

内单调递减,于是当



L 的最大值 2 0 ( 3 ? 1) 米.

………………………………………………15分

答:当

? ?

?
6 或

? ?

?
3 时所铺设的管道最短,为 2 0 ( 3 ? 1) 米.

……………16分

19. (本小题满分 16 分) 解:(1) g ( x ) ? ax
2

? 2 ax ? 1 ? b ,由题意得:

1?

?a ? 0 ?a ? 1 ? 得? ? g (2) ? 1 ? b ? 1 ?b ? 0 ? g (3) ? 3 a ? b ? 1 ? 4 ?



2?

?a ? 0 ?a ? ?1 ? 得? ? g (2) ? 1 ? b ? 4 ?b ? 3 ? 1 ? g (3) ? 3 a ? b ? 1 ? 1 ?

(舍) ? a ? 1 ,b ? 0
g ( x) ? x ? 2 x ? 1 , f ( x) ? x ?
2 x x

1 x

? 2 …………4 分
1 2
x

x (2)不等式 f ( 2 ) ? k ? 2 ? 0 ,即 2 ?

? 2 ? k ?2 ,
x

? k ? (

1
x

) ? 2?(
2

1 2
x

)?1
2 2 min

设t ?

2 1 2
x

?[
x

1 2

,

2 ] ,? k ? ( t ? 1) ,? ( t ? 1)
4 2 ?1
x x

? 0 ,? k ? 0 …………10 分

(3) f ( 2 ? 1 ) ? t ? (

? 3 ) ? 0 ,即 2 ? 1 ?
7

1 2 ?1
x

?

4t 2 ?1
x

? 3t ? 2 ? 0 .

令 u ? 2 ? 1 ? 0 ,则 u ? ( 3 t ? 2 ) u ? ( 4 t ? 1) ? 0 (? )
x

2

记方程 (? ) 的根为 u 1 、 u 2 ,当 0 ? u 1 ? 1 ? u 2 时,原方程有三个相异实根, 记 ? ( u ) ? u ? ( 3 t ? 2 ) u ? ( 4 t ? 1) ,由题可知,
2

? ?? ( 0 ) ? 4 t ? 1 ? 0 ?? ( 0 ) ? 4 t ? 1 ? 0 ? 或 ?? (1) ? t ? 0 .…………14 分 ? ?? (1) ? t ? 0 ? 3t ? 2 ?0 ? ?1 2 ?
? ?

1 4

? t ? 0 时满足题设.…………16 分

20. (本小题满分 16 分) 解:(1)∵ f ( x ) ? ln x ?
2a x

,∴ f ? ( x ) ?

1 x

?

2a x
2

.………………………………1 分

∵ f ( x ) 在 [ 2, ? ? ) 上是增函数, ∴ f ?( x ) ? 分 令 g (x) ? ∵ g (x) ?
x 2 x
2

1 x

?

2a x
2

≥0 在 [2, ? ? ) 上恒成立, a ≤ 即

x 2

在 [ 2, ? ? ) 上恒成立. ………………… 4

,则 a ≤ ? g ( x ) ? m in , x ? [2, ? ? ) . 在 [ 2, ? ? ) 上是增函数,∴ ? g ( x ) ? m in ? g (2 ) ? 1 . ………………………………7

∴a ? 1. 所以实数 a 的取值范围为 ( ?? ,1] . 分 (2)由(1)得 f ? ( x ) ?
x ? 2a x
2

, x ? [1, e ] .

①若 2 a ? 1 ,则 x ? 2 a ? 0 ,即 f ?( x ) ? 0 在 [1, e ] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e ] 上是增函数. 所以 ? f ? x ? ? ? ? m in ? f (1) ? 2 a ? 3 ,解得 a ?
3 2

(舍去). ………………………………10 分

②若 1 ≤ 2 a ≤ e ,令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? 2 a .当 1 ? x ? 2 a 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在
(1, 2 a ) 上是减函数,当 2 a ? x ? e 时, f ?( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (2 a , e ) 上是增函数.
2

所以 ? f ? x ? ? ? ? m in ? f ? 2 a ? ? ln ( 2 a ) ? 1 ? 3 ,解得 a ? 分
8

e

(舍去).………………………13

2

③若 2 a ? e , x ? 2 a ? 0 , f ?( x ) ? 0 在 [1, e ] 上恒成立, 则 即 此时 f ( x ) 在 [1, e ] 上是减函数. 所以 ? f ? x ? ? ? ? m in ? f ? e ? ? 1 ? 综上所述, a ? e .
2a e ? 3 ,所以 a ? e .

………………………………16 分

9


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