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2.1 导数概念


2.1

导数概念

教学目的:理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数 的 物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点:导数的概念,导数的几何意义 教学难点:导数定义的理解,不同形式的掌握 教学内容:

导数是微积分学的一个基本概念,它起源于 17 世纪数学先驱们对某些物理 现象的探索与研究

.最终由牛顿和莱布尼兹提出的. 导数运算的代数化也是由 他们完成的. 2.1.1 背景 1.变速直线运动的瞬时速度 设有一物体做变速直线运动,其运动方程为 瞬时速度. 在 时 刻 t ? t 0 处 取 一 小 的 时 间 段 [t 0 , t 0 ? ?t ] , 在 该 时 间 段 内 位 移 为
s ? s(t ) ,考虑在时刻 t ? t 0 的

?s ? s(t 0 ? ?t ) ? s(t 0 ) ,而所用时间长度为 ?t ,故在时间段 [t 0 , t 0 ? ?t ] 内的平均
速度为:
?s s (t 0 ? ?t ) ? s (t 0 ) ? ?t ?t

当 ?t 很小时,平均速度可以作为瞬时速度的近似值 v (t 0 ) ? 似程度越高。令 ?t ? 0 ,平均速度的极限就是瞬时速度:
v(t 0 ) ? lim s(t ? ?t ) ? s(t 0 ) ?s ? lim 0 ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t

?s ,且 ?t 越小,近 ?t

2.切线问题 在进行光学的研究中涉及到曲线的切线,另一个涉及到曲线的切线问题出 现在物体运动的研究中,运动物体在它的轨迹任一点处的运动方向,就是运动 轨迹的切线方向. 设有曲线 C 及 C 上的一点 M? 在点 M 外另取 C 上一点 N? 作割线 MN? 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时? 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置 MT? 直线MT 就称为曲线C有点M处的切线?

设曲线 C 就是函数 y?f(x)的图形? 割线 MN 的斜率为:

在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)? 于是
y ? f (x)
y

tan? ?

y ? y0 f ( x) ? f ( x0 ) ? ? x ? x0 x ? x0

N

其中?为割线 MN 的倾角? 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时? x?x0? 如果当 x? x 0 时? 上式的极限存在? 设为 k ? 即

T
C
M

k ? lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

O

?

?
x0

x

x

图 2-1 存在? 则此极限 k 是割线斜率的极限? 也就是切线的斜率? 这里 k?tan ???其中? 是切线 MT 的倾角? 于是? 通过点 M(x0, f(x0))且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线? 2.1.2 导数的定义 1? 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出? 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归 结为如下的极限?
x ? x0

lim

f ( x) ? f ( x 0 ) ? x ? x0

令?x?x?x0? 则?y?f(x0??x)?f(x0)? f(x)?f(x0)? x?x0 相当于?x ?0? 于是
x ? x0

lim

f ( x) ? f ( x 0 ) x ? x0
f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y 或 lim ? ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x
lim

成为

定义 2.1 设函数 y?f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义? 当自变量 x 在 x0 处 取得增量?x(点 x0??x 仍在该邻域内)时? 相应地函数 y 取得增量 ?y?f(x0??x)?f(x0)? 如果?y 与?x 之比当?x?0 时的极限存在? 则称函数 y?f(x) 在点 x0 处可导? 并称这个极限为函数 y?f(x)在点 x0 处的导数? 记为 y? |x? x0 ? 即
f ?( x0 ) ? lim
?x ? 0

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim ? ?x ? 0 ?x ?x

也可记为 y ? | x ? x0 ?

dy dx

x ? x0



df ( x) dx

x ? x0

?

函数 f(x)在点 x0 处可导有时也说成 f(x)在点 x0 具有导数或导数存在?

在实际中? 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题? 在数学 上就是所谓函数的变化率问题? 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述? 如果极限 lim
?x ? 0

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 不存在? 就说函数 y?f(x)在点 x0 处不可导? ?x
?x ? 0

如果不可导的原因是由于 lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ? ? 也往往说函数 y?f(x) ?x

在点 x0 处的导数为无穷大? 如果函数 y?f(x)在开区间 I 内的每点处都可导? 就称函数 f(x)在开区间 I 内可导? 这时? 对于任一 x ?I? 都对应着 f(x)的一个确定的导数值? 这样就构 成了一个新的函数? 这个函数叫做原来函数 y?f(x)的导函数? 记作 y ? ? f ?(x ) ?
df ( x ) dy ? 或 ? dx dx

导函数的定义式?
f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ?x f ?(x0)与 f ?(x)之间的关系? 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f ?(x)就是导函数 f ?(x)在点 x?x0 处的函数值? f ?( x) ? lim
?x ?0


f ?( x0 ) ? f ?( x)
x ? x0

?

导函数 f ?(x)简称导数? 而 f ?(x0)是 f(x)在 x0 处的导数或导数 f ?(x)在 x0 处的值? 2.1.3.求导数举例 例 1 求函数 f(x)?C(C 为常数)的导数? 解? f ?( x) ? lim 即????(C ) ??0? 例 2? 求 f (x) ? 1 的导数?
x
?x ?0

C ?C f ( x ? ?x) ? f ( x) ? 0? ? ? lim ?x ?0 ?x ?x

1 1 ? f ( x ? ?x) ? f ( x) 解? f ?( x) ? lim ? lim x ? ?x x ?x ?0 ?x?0 ?x ?x ?
? lim ? ?x 1 1 ? ? lim ?? 2 ? ?x ?0 ?x( x ? ?x) x ?x ?0 ( x ? ?x) x x

例 3? 求 f (x) ? x 的导数?

解?

f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? lim ?x ?0 ?x ?x

? lim

?x ?x( x ? ?x ? x )

?x ?0

? lim

1 x ? ?x ? x

?x ?0

?

1 2 x

?

例 4 求 y ? f ( x) ? x n 的导数( n 为自然数)。
解: ?y ? ( x ? ?x) ? x ? nx
n n n ?1

?x ?

?y n(n ? 1) n ? 2 ? nx n ?1 ? x ?x ? ? ? (?x) n ?1 ?x 2 ?y n(n ? 1) n ? 2 lim ? lim [nx n ?1 ? x ?x ? ? ? (?x) n ?1 ] ? nx n ?1 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 2


n(n ? 1) n ? 2 x (?x) 2 ? ? ? (?x) n 2

( x n )? ? nxn?1 。
1

更一般地? 有(x ?)???x ?? ? 其中?为实常数? 此时的证明在复合函数微分 法给出.例 2,例 3 不过是其特例. 例 5 求函数 f(x)?sin x 的导数? 解?

f ?(x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) sin( x ? ?x) ? sin x ? lim ?x ? 0 ?x ?x

1 ?x ?x ? 2 cos( x ? ) sin ?x ?0 ?x 2 2 ?x sin ?x 2 ? cos x ? ?????????????????????? ? lim cos(x ? ) ? ?x ?0 ?x 2 2 即 (sin x)??cos x ? 用类似的方法? 可求得 (cos x )???sin x ? 正弦函数的导数是余弦函数,余正弦函数的导数是负的正弦函数.

??????????????????????? ? lim

例 6 求函数 f(x)??a x(a>0? a ?1) 的导数? 解?

f ?(x) ? lim
? a x lim

?x ?0

a x ? ?x ? a x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x

a ?x ? 1 令 a ?x ? 1 ? t x t a lim ?x ?0 t ?0 log (1 ? t ) ?x a
1 ? a x ln a ? loga e

? ax



(a x )? ? a x ln a

这就是指数函数的求导公式。 特别地有(e x )?e x ? 例 7 求函数 f(x)?log a x (a>0? a ?1) 的导数? 解? f ?( x) ? lim
?x ?0

loga ( x ? ?x) ? loga x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x
1 x ? ?x 1 x ?x log a ( ) ? lim log a (1 ? ) ?x ?0 ?x ?x x x x
x

????????????????????????? ? lim

?x ?0

1 ?x 1 1 ? ? lim loga (1 ? ) ?x ? loga e ? x ?x?0 x x x ln a



(loga x)? ? 1 ?? x ln a

这就是对数函数的求导公式。 特殊地
(ln x)? ? 1 ? x

2.1.4 单侧导数? f ( x ? ?x) ? f ( x) 极限 lim 存在的充分必要条件是 ?x ?0 ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) f ( x ? ?x) ? f ( x) lim? 及 lim? ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x 都存在且相等?? f ( x ? ?x) ? f ( x) f(x)在 x0 处的左导数? f ?? ( x0 ) ? lim? ? ?x ?0 ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) f(x)在 x0 处的右导数? f ?? ( x0 ) ? lim? ? ?x ?0 ?x 导数与左右导数的关系? 函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是左导数 f ??(x0) 和右导数 f ??(x0) 都存在且相等? 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导? 且右导数 f ??(a) 和左导数 f ??(b) 都存在? 就说 f(x)有闭区间[a, b]上可导? 讨论函数 f(x)??x|在 x?0 处的可导性。? f (0 ? ?x) ? f (0) | ?x | ? lim ? ?1 ? 解? f ?? (0) ? lim? ? ?x ?0 h ?0 ?x ?x f (0 ? ?x) ? f (0) | ?x | f ?? (0) ? lim? ? lim ? 1 ?? ? ?x ?0 h ?0 ?x ?x 例8
因为 f ??(0)? f ??(0)? 所以函数 f(x)?|x|在 x?0 处不可导?

图 2-2

2.1.5 导数的几何意义

函数 y?f(x)在点 x0 处的导数 f ?(x0)在几何上 表示曲线 y?f(x)在点 M(x0, f(x0))处的切线的斜率? 即 f ?(x 0)?tan ? ? 其中?是切线的倾角? 如果 y?f(x)在点 x0 处的导数为无穷大? 这时曲线 y?f(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 x?x0 为极 限位置? 即曲线 y?f(x)在点 M(x0, f(x0))处具有垂直于 x 轴的切线 x?x0? ? 图 2-3 由直线的点斜式方程? 可知曲线 y?f(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为

y?y0?f ?(x0)(x?x0)?
过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 y?f(x)在点 M 处的法线如果

f ?(x0)?0? 法线的斜率为 ?

1 ? 从而法线方程为 f ?( x 0 )

y ? y0 ? ?

1 ( x ? x0 ) ? f ?( x0 )

例 9? 求等边双曲线 y ? 切线方程和法线方程? 解? y ? ? ?

1 1 在点 ( , 2) 处的切线的斜率? 并写出在该点处的 2 x

1 ? 所求切线及法线的斜率分别为 x2
1 1 1 ) x ? 1 ? ?4 ? k2 ? ? ? ? 2 x k1 4 2

k1 ? (?

1 所求切线方程为 y ? 2 ? ?4( x ? ) ? 即 4x?y?4?0? 2

所求法线方程为 y ? 2 ? 例 10 解

1 1 ( x ? ) ? 即 2x?8y?15?0? 4 2

求曲线 y ? x x 的通过点(0? ?4)的切线方程?

设切点的横坐标为 x0? 则切线的斜率为

f ?( x0 ) ? ( x 2 )? ?

3

3 1 x2 2

?
x ? x0

3 2

x0 ?

于是所求切线的方程可设为

y ? x0 x0 ?

3 2

x0 ( x ? x0 ) ?

根据题目要求? 点(0? ?4)在切线上? 因此
? 4 ? x0 x0 ? 3 2 x0 (0 ? x0 ) ?

解之得 x0?4? 于是所求切线的方程为 3 y?4 4 ? 4 ( x ? 4) ? 即 3x?y?4?0? 2 2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 定理 2.1 如果函数 y?f(x)在点 x 处可导,则函数 y?f(x)在点 x 处连续。 ?y ? f ?( x) 存在? 则 证明:设函数 y?f(x)在点 x 处可导? 即 lim ?x ? 0 ? x ?y ?y lim ?y ? lim ? ?x ? lim ? lim ?x ? f ?( x ) ? 0 ? 0 ? ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ?0 这就是说? 函数 y?f(x)在点 x 处是连续的? 另一方面? 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导? 例 11. 函数 f ( x) ? 3 x 在区间(??, ??)内连续? 但在点 x?0 处不可导? 这 是因为函数在点 x?0 处导数为无穷大
lim f (0 ? ?x) ? f (0) ?x
3

?x ?0

?x ? 0 ? lim ? ?? ? ?x ?0 ?x

x

图 2-4 例 8,例 11 说明函数在一点连续是函数在该点可导的必要条件,而不是充 分条件。 小结:本节讲述了导数的定义,导数的几何意义,可导与连续之间的关系, 作业:习题 2.1


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