tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高一向量积知识归纳及习题


教师姓名 年级 阶段

陈桂芳 高一 基础()

学生姓名 学科 提高() 数学 强化( )

填写时间 上课时间 课时计划 第( )次课 共( )次课

1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义. 教学目标

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 1.平面向量数量

积的综合应用. 2.灵活运用平面向量数量积的重要性质及其运算律解决问题. 一、知识点
1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹 角是θ ,则数量| a || b |cos?叫 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,即 a ? b = | a || b |cos?, (0 ? ? ? ? ) 并规定 0 与任何向量的数量积为 0

教学 重难点

教 学 过 程

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

王新敞
奎屯

新疆

2.平面向量的数量积的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方 向上投影| b |cos?的乘积. 3.两个向量的数量积的性质 的单位向量
王新敞
奎屯 新疆

? ?

?

?

?

?

设 a 、 b 为两个非零向量, e 是与 b 同向
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

① e ? a = a ? e =| a |cos?;

? ? ?

? ?

?

②a ?b ? a ?b = 0

?

?

? ?

a ? b = | a || b |; a ? b = ?| a || b | , ③当 a 与 b 同向时, 当 a 与 b 反向时,
王新敞
奎屯 新疆

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ? ? 特别地 a ? a = | a |2

? ? a ?b ④cos? = ? ? ; | a || b |
4.平面向量数量积的运算律 ① 交换律: a ? b = b ? a

⑤| a ? b | ≤ | a || b |

? ?

? ?

?

?

? ?

? ? ? ?

② 数乘结合律:( ? a )? b = ? ( a ? b ) = a ?( ? b ) ③ 分配律:( a + b )? c = a ? c + b ? c 5.平面向量数量积的坐标表示

?

?

?

? ?

? ?

? ?

1

①已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 . ②设 a ? ( x, y) ,则 | a |?

?

?

? ?

?

?

x2 ? y2 .
?

③平面内两点间的距离公式 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点 的坐标分别为

? ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 .
④向 量 垂 直 的判 定 两 个非 零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 则

?

?

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 .

? ? a ?b ? ⑤ 两 向 量 夹 角 的 余 弦 cos? = ? | a |?|b|

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

( 0 ? ? ? ? ). 小结 1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义,熟练掌握两个向量数量积的 五个性质及三个运算率. 2. 灵 活 应 用 公 式

? ? a ?b

= | a || b |cos? , a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ,

?

?

? ?

? | a |?

x2 ? y2 .

3. 平面向量数量积的综合应用

二、典型例题
1. 平面向量数量积的运算 例题 1 已知下列命题: ① a ? (?a) ? 0 ; ② (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ; ③ (a b) c ? a (b c) ;

④ (a ? b) c ? a c ? b c 其中正确命题序号是 ②、④ . 点评 : 掌握平面向量数量积的含义 ,平面数量积的运算律不同于实数的 运算律. 例题 2 已知 a ? 2, b ? 5, 若(1)a || b ; (2) a ? b ;(3) a与b 的夹角为

30 0 ,分别求 a b .
解 (1) 当

a || b 时 ,

ab =

a b cos 00 ? 2 ? 5 ?1 ? 10 或

a b = a b cos1800 ? 2 ? 5 ? (?1) ? ?10 .

2

(2)当 a ? b 时, a b = a b cos 90 ? 2 ? 5 ? 0 ? 0 .
0

(3)当 a与b 的夹角为 30 时, a b = a b cos30 ? 2 ? 5 ?
0

0

3 ?5 3. 2

变式训练:已知 a ? (cos 230 ,cos670 ), b ? (cos680 ,cos 220 ) ,求 a b 解 :

a b ? cos 230 cos680 ? cos670 cos 220
2 2

=

cos 230 sin 220 ? sin 230 cos 220 ? sin 450 ?

点评 : 熟练应用平面向量数量积的定义式求值 ,注意两个向量夹角的确定 及分类完整. 2.夹角问题 例题 3 ( ) A. 30
0

若 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b , 且 c ? a , 则向量 a 与向量 b 的夹角为

B. 60

0

C. 120
2

0

D. 150

0

解:依题意 a ? (a ? b) ? 0 ? a ? a b cos ? ? 0 ? cos ? ? ?

1 2

?? ? 1200
学生训练:

故选 C

① 已知 a ? 2, b ? 3, a ? b ?

7 ,求向量 a 与向量 b 的夹角.
.

cos ? ? ②已知 a ? (1, ?2), b ? (4, 2) , a与(a ? b) 夹角为 ? ,
解: ① a ? b ? 7 ? a ? 2a b ? b ? 7
2 2

? cos? a, b? ?

ab a b

?

3 1 ? ,故夹角为 60 0 . 2?3 2 a ( a ? b) a a ?b ? ?3 ? 8 5 . ? 5 5? 5

②依题意得(a ? b) ? (?3, ?4) ? cos ? ?

变式训练:已知 a, b 是两个非零向量,同时满足 a ? b ? a ? b ,求 a与a ? b 的夹角. 法 一 解 : 将 a ? b ? a ?b 两 边 平 方 得
2 2

a b?

1 2 1 2 a ? b , 2 2

? a ? b ? a ? 2a b ? b ? 3 a

3

则 cos ? ?

a ( a ? b) a a?b

?

a ?a b a a ?b

2

?

a ? a
2

2

1 2 a 3 2 , 故 a与a ? b 的夹 ? 2 2 3a

角.为 30 . 法二: 数形结合 点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法. 3.向量模的问题 例 题 4 已 知 向 量 a, b 满 足 a ? 6, b ? 4 , 且 a与b 的 夹 角 为 60 , 求
0

0

a ? b 和 a ? 3b .
解:

a ? 6, b ? 4 ,且 a与b 的夹角为 60 0
2 2

? a b ? 12
;

? a ? b ? a ? 2a b ? b ? 76 ? 2 19 a ? 3b ? a ? 6a b ? 9b ? 108 ? 6 3.
变式训练 :
2 2

①已知向量 a ? (?2, 2), b ? (5, k ) ,若 a ? b 不超过 5,则 k 的取值范围 ( ) B.

A. [?4, 6]

[?6, 4]
0

C. [?6, 2]

D. [?2, 6] )

② 已知 a与b 的夹角为 120 , a ? 3 , a ? b ? 13 ,则 b 等于( A 5 解: ① ② B. 4 C. 3 D. 1

a ? b ? (3, k ? 2) ? (k ? 2)2 ? 9 ? 5 , ? ?6 ? k ? 2
2 2 2 2 2

故选 C

a ? b ? a ? 2a b ? b , ? a ? 2 a b cos1200 ? b ? 13 , 解

得 b ? 4 ,故选 B 点评 : 涉及向量模的问题一般利用 a ? a a ? a , 注意两边平方是常用的 方法. 4.平面向量数量积的综合应用 例题 5 已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ?
2 2

?
2

?? ?

?
2

.

(1) 若 a ? b, 求? ; (2)求 a ? b 的最大值 . 解:(1)若 a ? b ,则

4

sin ? ? cos ? ? 0 , ? tan ? ? ?1, (?

?
2

?? ?

?
2

) ?? ? ?

?
4

.

2 2 (2) a ? b = (sin ? ? 1) ? (1 ? cos ? ) ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? ) =

3 ? 2 2 sin(? ? ) 4
?

?

?
2

?? ?

?
2

,??

?
4

?? ?

?
4

?

3? ? 2 , ? sin(? ? ) ? (? ,1] 4 4 2

?当? ?

?
4

时 , a ? b 的最大值为 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 ? 2 ? 1.

例 题 6 已 知 向 量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 且 a, b 满 足
? ka ? b ? 3 a ? kb , k ? R

(1) 求证 (a ? b) ? (a ? b) ; (2)将 a 与 b 的数量积表示为关于 k 的函数 f ( k ) ; (3)求函数 f ( k ) 的最小值及取得最小值时向量 a 与向量 b 的夹角 ? . 解:(1)

a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? )
2 2

? (a ? b) (a ? b) ? a ? b ?| a |2 ? | b |2 ? 1 ? 1 ? 0 ,故 (a ? b) ? (a ? b)
(2)

ka ? b ? 3 a ? kb ,
2 2 2 2

? ka ? b ? 3 a ? kb , 又? a ? b ? 1? k 2 ? 2ka b ? 1 ? 3 ? 6ka b ? 3k 2 ,
k 2 ?1 ?a b ? , (k ? 0) 4k
(3) f (k ) ?

k 2 ?1 , (k ? 0) . 故 f (k ) ? 4k

k 2 ?1 k 1 k 1 1 ? ? ?2 ? , 此时当 k ? 1, f (k ) 最小值为 4k 4 4k 4 4k 2

1 ? ab 1 . ? cos ? ? ? ,量 a 与向量 b 的夹角 ? ? 2 3 a b 2

5

课后作业:

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 在矩形 ABCD 中, O 是对角线的交点, 若 BC ? 5e1 , DC ? 3e2则OC = ( )

A.

1 1 1 1 (5e1 ? 3e2 ) B. (5e1 ? 3e2 ) C. (3e2 ? 5e1 ) D. (5e2 ? 3e1 ) 2 2 2 2
① AB ? BC ② | AB |?| BC | ④ | AC |2 ? | BD |2 ? 4 | AB | C.3 个
2

2.对于菱形 ABCD,给出下列各式:

③ | AB ? CD |?| AD ? BC | 其中正确的个数为( A.1 个 3.在 ) B.2 个

( D. 4个



ABCD 中,设 AB ? a, AD ? b, AC ? c, BD ? d ,则下列等式中

不正确的是( ) A. a ? b ? c B. a ? b ? d C. b ? a ? d D. c ? a ? b ( )

4.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是( ) A. | a | ? | b |?| a ? b | C. | a | ? | b |?| a ? b | B. | a ? b |?| a ? b | D. | a | ? | b |?| a ? b |

5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0) , (3,0) , (1,-5) , 则第四个点的坐标为( ) A. (1,5)或(5,-5) B. (1,5)或(-3,-5) C. (5,-5)或(-3,-5) D. (1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 6.与向量 d ? (12,5) 平行的单位向量为( ) A.( ( D.(?







12 12 5 12 5 12 5 ,5) B.(? ,? ) C.( , ) 或 (? ,? ) 13 13 13 13 13 13 13

12 5 ,? ) 13 13

7 . 若 | a ? b |? ( )

41 ? 20 3 , | a |? 4, | b |? 5 , 则 a与b 的 数 量 积 为

A.10 3

B.-10 3

C.10 2

D.10

8. 若将向量 a ? (2,1) 围绕原点按逆时针旋转 ( ) B. (

? 得到向量 b ,则 b 的坐标为 4
3 2 2 , ) D. ( 3 2 , ? 2 ) 2 2 2 2
( )

A. (? 2 ,? 3 2 ) 2 2

2 3 2 , ) 2 2

C. (?

9.设 k∈R,下列向量中,与向量 Q ? (1,?1) 一定不平行的向量是
6

A. b ? (k , k ) C. d ? (k 2 ? 1, k 2 ? 1)

B. c ? (?k ,?k ) D. e ? (k 2 ? 1, k 2 ? 1)

10 . 已 知 | a |? 10, | b |? 12 , 且 (3a )( b) ? ?36 , 则 a与b 的 夹 角 为 ( ) A.60° B.120° 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

1 5

C.135°

D.150°

11 . 非 零 向 量 a, b满足 | a |?| b |?| a ? b | , 则 a, b 的 夹 角 为 .

12.在四边形 ABCD 中,若 AB ? a, AD ? b, 且 | a ? b |?| a ? b | ,则四边形 ABCD 的形状是 13 . 已 知 a ? (3,2) , b ? (2,?1) , 若 = .

? a ? b与a ? ?b 平 行 , 则 λ
2 ? ,则 a在e 方向上的 3

14.已知 e 为单位向量, | a | =4, a与e 的夹角为 投影为 . 三、解答题(每题 14 分,共 84 分)

15.已知非零向量 a, b 满足 | a ? b |?| a ? b | ,求证: a ? b

16.已知在△ABC 中, AB ? (2,3) , AC ? (1, k ), 且△ABC 中∠C 为直角, 求 k 的值.

17





e1 , e2











线









AB ? 2e1 ? k e2 , CB ? e1 ? 3e2 , CD ? 2e1 ? e2 ,若 A、B、D 三点共线,
求 k 的值.

18.已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60 , c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? k b ,
o

7

当当实数 k 为何值时,⑴ c ∥ d

⑵c ? d

19.如图,ABCD 为正方形,P 是对角线 DB 上一点,PECF 为矩形, 求证:①PA=EF; ②PA⊥EF.

20.如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点, 2 2 2 2 2 求证:PA +PB +PC +PD =8r .

必修 4 第二章《平面向量》单元测试参考答案
8

一.选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 B 9 C 10 B

二、填空题:
11. 120°; 12. 矩形 13、

?1

14.

?2


三、解答题: 15 .
2 2



? a ?b ? a ?b ? a ?b ? a ?b ? a ?b ? a ?b

?

? ?
2

?

2

? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? ab ? 0

2

2

2

2

又 ? a, b为非零向量
16.解:

?a ? b

? BC ? AC ? AB ? (1, k ) ? (2,3) ? (?1, k ? 3)

? ?C为RT? ? AC ? BC ? AC ? BC ? 0 ? (1, k ) ? (?1, k ? 3) ? 0

? ?1 ? k 2 ? 3k ? 0 ? k ?
17.

3 ? 13 2

? BD ? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ? e1 ? 3e2 ? e1 ? 4e2

?

?

若 A,B,D 三点共线,则

AB与BD共线,

? 设 AB ? ? BD


2e1 ? k e2 ? ? e1 ? 4? e2

由于 1

e 与e2不共线 可得:

2e1 ? ? e1 k e2 ? ?4? e2



? ? 2, k ? ?8
? 9 5
⑵若 c ? d 得 k

18.⑴若 c ∥ d 得 k

??

29 14

19.解以 D 为原点 DC 为 x 轴正方向建立直角坐标系 则 A(0,1), C:(1,0) B:(1,1)

设DP ? r , 则P (
? PA ? (?
9

2 2 r, r) 2 2

2 2 r ,1 ? r) 2 2

? E点为(1,
?| PA |? (?

2 2 r ), F : ( r ,0) ? EF ? ( 2 r ? 1,? 2 r ) 2 2 2 2
2 2 2 2 r ) ? (1 ? r) 2 2
2 2 2 2 r ) ? (? r) 2 2

?| EF |? (1 ?


PA ? EF
? BD ? PD ? PB, AC ? PC ? PA

而PA? EF ? 0 ? PA ? EF
20.证:

?| BD |2 ? ( PD ? PB) 2 ?| PD |2 ?2 PB PD ? | PB |2 | AC |2 ? ( PC ? PA) 2 ?| PC |2 ?2 PC PA? | PA |2
BD, AC为直径, 故 PD ? PB, PA ? PC ? PD ? PB ? PA ? PC ? 0

?| BD |2 ? | AC |2 ?| PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2


4r 2 ? 4r 2 ? PA2 ? PB2 ? PC 2 ? PD2 ? 8r 2

10


推荐相关:

高一向量积知识归纳及习题

高一向量积知识归纳及习题_数学_高中教育_教育专区。教师姓名 年级 阶段 陈桂芳 高一 基础() 学生姓名 学科 提高() 数学 强化( ) 填写时间 上课时间 课时计划 ...


山东省春季高考平面向量部分知识点梳理及历年真题分析

向量部分知识点梳理及历年真题分析_数学_高中教育_...2.向量积(内积)的物理意义(了解即可) :力的做功...? ??=0 2014 年春考真题第 4 题 4.直线 2x-...


高中数学必修4平面向量测试试卷典型例题(含详细答案)

平面向量总结题型,实用性强高中数学平面向量组卷 一....=2 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,...诱导公式和向量平行的条件等知识,属于基础题. 5....


高中数学必修4第二章平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习

高中数学必修4第二章平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第二章 平面向量的概念、 线...


5.3 平面向量的数量积练习题

5.3 平面向量的数量积练习题_数学_高中教育_教育...→→→ 15. 已知平面上三点 A, , 满足|AB|=3...新 知识向旧知识的转化、 复杂问题向简单问题的转化...


向量与坐标知识点总结

向量与坐标知识点总结_数学_高中教育_教育专区。解析...1.8 两向量的向量积 定义:两个向量 a 和 b 的...(acb) 例题 正方形 ABCD,EFGA,CHIK 首尾相连,L...


高考分析 填空题

高考分析 填空题_高中教育_教育专区。一、大纲分析 ...其中 C 为必考知识点,A 级知识点往往分布在填空题...向量 数列 10C,15B 13C,20C 12 21 向量数量积...


高一期末数学压轴题(包含全国各重点中学模拟题和全国各地期末试卷)4

高一期末数学压轴题(包含全国各重点中学模拟题和全国...则称向量" a×b "为"向量积" ,其长度 a×b ...(3)过 B 作 BD ⊥ AC 交于点 D ,求点 D ...


高中数学有关平面向量的公式的知识点总结

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结定比分点 定比分点公式(向量 P1P=λ...4、向量的向量积 定义:两个向量 a 和 b 的向量积(外积、叉积)是一个向量...


高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修2平面向量知识点总结,主要从理论上介绍向量的概念,向量加,向量减,实数与向量的运算;向量的坐...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com