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2015-2016高中数学 2.1.3两条直线的平行与垂直学案 苏教版必修2


2.1.3

两条直线的平行与垂直

如右图,在平面四边形 ABCD 中,由∠A+∠B=90°+90°=180°可知 AD∥BC.或因为 ∠B=90°,可知 AB⊥BC;可由∠A=90°,得到 AD⊥AB,依据“在平面内垂直于同一条直 线的两条直线互相平行”得到 AD∥BC.在平面几何中, 我们可依据几何图形的性质来证明直 线相交、平行、重

合或垂直.那么,在解析几何中,又如何证明或判断直线的这些关系呢?

1.通过初中的学习我们知道“两直线平行,则两直线的倾斜角相等”,同样,两条直 线平行,如果它们的斜率都存在,则它们的斜率相等.反之也成立,即:已知直线 l1:y=

k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则 l1∥l2?k1=k2,且 b1≠b2.
这个结论成立的前提是两条直线不重合并且斜率都存在. 特别地, 若两不重合直线的斜 率不存在,由于它们的倾斜角都是 90°,所以它们互相平行. 2.当直线 l1,l2 都垂直于 x 轴且不重合时,由于垂直于同一条直线的两条直线平行, 可推得:l1∥l2,因此,两条不重合直线平行的判定的一般结论是:l1 和 l2 的斜率都不存 在或 k1=k2 且 b1≠b2. 3.两直线的斜率都存在时,若两直线垂直,则它们的斜率 k1,k2 的乘积 k1k2=-1, 反之也成立,即:l1⊥l2?k1k2=-1. 4.两条直线 l1,l2,若一条直线的斜率不存在,同时另一条斜率为 0,则两条直线垂 直.这样,两条直线垂直的判定的一般结论就是:一条直线的斜率不存在,同时另一条斜率 为 0 或 k1k2=-1.,

一、两条直线平行与垂直的判定 设两条不重合的直线 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,①两条直线平行的条件为:l1∥l2 ?k1=k2 且 b1≠b2;②两条直线垂直的条件为:l1⊥l2?k1k2=-1;③两条直线 l1 与 l2 重合?k1=k2 且 b1=b2.
1

以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法. 判断 方法仅适用于两条直线都有斜率的直线. 同学们要特别谨记: 同时平行于同一坐标轴的两条 直线互相平行,分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直. 若两条直线的方程是一般式 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则常有以 下判定方法:

A1 B1 C1 ①l1 与 l2 平行?A1B2-A2B1=0 且(B1C2-B2C1)2+(A2C1-A1C2)2≠0 或 = ≠ A2 B2 C2
(A2B2C2≠0); ②l1 与 l2 垂直?A1A2+B1B2=0;

A1 B1 C1 ③l1 与 l2 重合?A1=λ A2,B1=λ B2,C1=λ C2(λ ≠0)或 = = (A2B2C2≠0). A2 B2 C2

基 础 巩 固 知识点一 两条直线平行 1. 已知过点 A(-2, m)和 B(m, 4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行, 则 m 的值为________. 4-m 4-m 解析:kAB= ,∵过 AB 的直线与 2x+y-1=0 平行,∴ =-2,解得 m=-8. m+2 m+2 答案:-8

2.已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k-3)x-2y+5=0 平行,则 k= ________. 解析:∵l1∥l2,∴-2(k-3)-2(4-k)(k-3)=0,解得 k=3 或 5,经检验 k=3 或 5 时,l1∥l2. 答案:3 或 5

3.已知点 A(3,1)、B(0,-1)、C(1,3),则点 D 满足什么条件时,可以使得 AB∥CD. 解析:设 D(a,b),则 kAB= 1-(-1) 2 b-3 = ,kCD= . 3-0 3 a-1
2

∵AB∥CD,∴

b-3 2 = .∴2a-3b+7=0. a-1 3

∴当点 D 在直线 2x-3y+7=0 上时,AB∥CD.

知识点二 两条直线垂直 4.过点 A(-1,0)和 B(1,-1)的直线与过 M(0,k)和 N?- ,0?(k≠0)两点的直线的 ? 2 ? 位置关系是________. -1-0 1 0-k 解析:kAB= =- ,kMN= =2, 1+1 2 k - -0 2 1 ∴kAB·kMN=- ×2=-1,即 AB⊥MN. 2 答案:垂直

? k

?

5.已知点 A(2,2)、B(1,-2),若点 P 在坐标轴上,且∠APB 为直角,则这样的点 P 有________个. 解析:若点 P 在 y 轴上,则点 P 只有一个;若点 P 在 x 轴上,则点 P 有两个.故满足条 件的点 p 共有 3 个. 答案:3

6.已知直线 l1 经过点 A(-2,0)和点 B(1,3a),直线 l2 经过点 M(0,-1)和点 N(a, -2a),若 l1⊥l2,试确定实数 a 的值. 解析:(1)当直线 l1、l2 的斜率都存在,即 a≠0 时,直线 l1、l2 的斜率分别是 k1=a,

k2=

1-2a .

a

1-2a ∵l1⊥l2,∴a· =-1.

a

∴a=1. (2)当 a=0 时,k1=0,k2 不存在,此时 l1⊥l2. 综合(1)(2)知,若 l1⊥l2,则实数 a 的值为 1 或 0.

知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用 7.已知点 A(-4,2)、B(6,-4)、C(12,6)、D(2,12),下面四个结论中正确的是 ________(填序号). ①AB∥CD; ②AB⊥AD; ③AB⊥BD; ④AC⊥BD.
3

3 5 3 1 解析: 由题意得 kAB=- , kAD= , kCD=- , kAC= , kBD=-4, ∴kAB=kCD, kAB· kAD 5 3 5 4 =-1,kAC·kBD=-1. ∴AB∥CD,AB⊥AD,AC⊥BD,①②④正确. 又 kAB·kBD≠-1,∴③错误. 答案:①②④

8.若已知直线 l1 上的点满足 ax+2y+6=0,直线 l2 上的点满足 x+(a-1)y+a2-1 =0(a≠0),当 a 为何值时:(1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.

a 1 解析:k1=- ,k2=- . 2 a-1 a 1 (1)l1∥l2 时,k1=k2,即- =- , 2 a-1
解得 a=2 或 a=-1. 当 a=2 时,l1 的方程为 2x+2y+6=0,即 x+y+3=0,l2 的方程为 x+y+3=0,则

l1 与 l2 重合.
∴a=-1. 1 ? 2 ? a?? (2)l1⊥l2 时,由 k1k2=-1,得?- ??- ?=-1,解得 a=3. ? 2?? a-1? 2 综上可知,a=-1 时,l1∥l2;a= 时,l1⊥l2. 3

能 力 升 级 综合点一 平行与垂直的简单应用 9.在直角坐标平面内有两个点 A(4,2)、B(1,-2),在 x 轴上有点 C,使∠ACB=90°, 则点 C 的坐标是________. 解析:设 C(x0,0),由 AC⊥BC,得 答案:(0,0)或(5,0) 0-2

x0-4 x0-1

·

0+2

=-1,∴x0=0 或 x0=5.

10.若点 A(1,2)在直线 l 上的射影为 B(-1,4),则直线 l 的方程是________. 4-2 解析:∵AB⊥l,kAB= =-1,∴kl=1.又 l 过点 B,∴l:y-4=x+1,即直线 -1-1

l 的方程为 x-y+5=0.
4

综合点二 平行与垂直的综合应用 11.已知两点 A(2,0)、B(3,4),直线 l 过点 B,且交 y 轴于点 C(0,y),O 是坐标原 点,且 O,A,B,C 四点共圆,那么 y 的值是________. 解析:由题意知,AB⊥BC, ∴kAB·kBC=-1, 即 4-0 4-y 19 · =-1,解得 y= . 3-2 3-0 4

19 答案: 4

? 7? 12.过点 A?0, ?与 B(7,0)的直线 l1 与过点(2,1),(3,k+1)的直线 l2 和两坐标轴 ? 3?
围成的四边形内接于一个过原点的圆,则实数 k 为________. 解析:若 l1 和 l2 与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆,则 l1⊥l2,而 kl1 7 3 1 k+1-1 = =- ,kl2= =k.而 kl1·kl2=-1,得 k=3. -7 3 3-2 答案:3

综合点三 平行直线系或垂直直线系问题 13.已知直线 l1:x+y-1=0,现将直线 l1 向上平移到直线 l2 的位置,若 l1,l2 和 两坐标轴围成的梯形的面积是 4,求 l2 的方程. 解析:∵l1∥l2,∴设 l2 的方程为 x+y-m=0. 设 l1 与 x 轴,y 轴分别交于点 A、D,l2 与 x 轴,y 轴分别交于点 B、C,易得:A(1, 0)、D(0,1)、B(m,0),C(0,m). 又 l2 在 l1 的上方, ∴m>0.S 梯形=SRt△OBC-SRt△OAD, 1 1 ∴4= m·m- ×1×1. 2 2 ∴m2=9,m=3. 故 l2 的方程是 x+y-3=0.

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