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2008年新知杯上海市初中数学竞赛


2008 年新知杯上海市初中数学竞赛
一、填空题: 1、如图:在正 ? ABC 中,点 D 、 E 分别在边 BC 、 CA 上, 使得 CD ? AE ,AD 与 BE 交于点 P ,BQ ? AD 于点 Q .
QP QB

C Q E P A D



? _____________.

B

2、不等式 x ? 2 x ? 6 ? a 对于一切实数 x 都成立.则实数 a 的最大值为_____________.
2

3、设 a n 表示数 n 的末位数.则 a 1 ? a 2 ? ? ? a 2008 ? _____________.
4

4、在菱形 ABCD 中, ? A ? 60 ? , AB ? 1 ,点 E 在边 AB 上,使得 AE : EB ? 2 : 1 ,
P 为对角线 AC 上的动点.则 PE ? PB 的最小值为_____________.

5、关于 x 的方程

ax

2

x ?1

? 2a ? a

2

? 1 的解为_____________.

A

6、如图:设 P 是边长为 12 的正 ? ABC 内一点,过 P 分别作三 条边 BC 、 CA 、 AB 的垂线,垂足分别为 D 、 E 、 F .已知
PD : PE : PF ? 1 : 2 : 3 . 那 么 , 四 边 形 BDPF

F B

的面积是

P D

E C

_____________.

7、对于正整数 n ,规定 n ! ? 1 ? 2 ? ? ? n .则乘积 1!? 2 !? ? ? 9 ! 的所有约数中,是完全平 方数的共有_____________个. 8、已知 k 为不超过 2008 的正整数,使得关于 x 的方程 x ? x ? k ? 0 有两个整数根.则所
2

有这样的正整数 k 的和为_____________. 9、如图:边长为 1 的正 ? A 1 B 1 C 1 的中心为 O ,将正 ? A 1 B 1 C 1 绕 中心 O 旋转到 ? A 2 B 2 C 2 ,使得 A 2 B 2 ? B 1 C 1 .则两三角形的公共 部分(即六边形 ABCDEF )的面积为_________.
A
B1 A2 A1 A F B E C B2 D C1 C2

10、 如图: 已知 ? BAD ? ? DAC ? 9 ? ,AD ? AE , 且 AB ? AC ? BE .则 ? B ? _____________.
B D C E

二、如图:在矩形 ABCD 内部(不包括边界)有一点 P ,它到 顶点 A 及边 BC 、 CD 的距离都等于 1,求矩形 ABCD 面积的 取值范围.

D

F

C E B

P A

?x ? 2y ? 0 ? 三、已知实数 x 、 y 满足如下条件: ? x ? 2 y ? 0 ,求 x ? y 的最小值. ? ? x ? 2 y ?? x ? 2 y ? ? 4 ?

四、如图:在凹六边形 ABCDEF
ABCDEF

中, ? A 、 ? B 、 ? D 、 ? E 均为直角, p 是凹六边形

内一点, PM 、 PN 分别垂直于 AB 、 DE ,垂足分别为 M 、 N ,图中每条

线段的长度如图所示(单位是米) ,求折线 MPN 的长度(精确到 0.01 米).

五、求满足不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 的最大正整数 n ,其中 ? x ? 表示不超过实 ? 2 ? ? 3 ? ? 11 ? ? 13 ? 数 x 的最大整数.

?n?

?n?

? n ?

? n ?

答案解析: 一、填空题: 1、答案:3-1/2 。 从常识出发:△QPB 必为等腰直角三角形或为一内角 60° 的直角三角形,否则怎么 可能求得出具体的值呢? 一次三角形全等就可以搞定,此类型题我的初一讲义中 有。 2、答案:amax=5。 应该用函数图像来解。 即: |2x-6|≥a-x2 一作图可知:6-2x≥a-x2 有唯一交点,则⊿=0,完毕。 事实上:类似的方程或不等式均可以改为两个函数图像的方法来解决,希望学生好 好体会。 3、答案:6632 这题是周期问题,没有难度,找一下规律就可以知道答案。 4、答案:(71/2)/3。 此题等同于:一三角形两边长分别为 1、1/3,两边所夹的角为 60° ,求第三条边的 长度。 但此题有两次转折: 即考查两点之间直线段最短与如何转换的问题。 连接 PD, 由对称性可知:PD=PB,D、P、E 在一直线时有最小值;下一步的难点是:解三 角形,快一点的言辞是用“余弦定理”,如果不会也没有关系,作高也能求出正确答 案。 5、答案:当 a=0 时无解,当 a≠0 时,x=a+1,x=1+1/ a。 考虑到填空题的特殊性,这一题学生可能不得分。虽说是一道简单的含字母的方程, 但填空题的难度在于:你的答案与标准答案有丝毫的差别——均不得分。 6、答案:11×31/2 本题知识点是:(1)正三角形内一点到三边的距离等于三角形的高,(2)面积比 等于对应边之比的平方。 7、答案:共有 672 个。 分解质因数而已。仅有一个的不考虑,则 n!=230×313×55×73 ,一个乘法原理 即可。 8、答案:48° 。 延长 BA 至 F,则△ADE≌△AFE,AE 平分∠FED,且∠BFE=∠ABE,代换一 下即可。

9、答案:3/4- 31/2/4 看图:阴影矩形为正方形(从正三角形出发)。 10、1×2+2×3+3×4+…+44×45=30360 基本功题:首先是:x2-x-k 的因式分解,其次是求和问题。 二、答案:2<S≤3/2+ 21/2 。 本题是考察基本不等式的运用技巧。我估计我的学生可以得一半分。 看提示图:x+y>1,x2+y 2=1, S=(1+x)(1+y)=1+x+y+xy,以下即用基本不等式进行放大与缩小。 三、答案:4×31/2/3。换元法技巧而已。只要令 x=(a+b)/2,y=(a-b)/2, 利用对称性,设 y>0 即可。 四、答案:15.50。 看图: 纯粹的解三角形的死做题。 只要边 CF,则与 NP 的交点即为中点,并取 AB 中点,慢慢解了。 希学生注意:可以使用计算器,一定要掌握。 五、答案:1715。 高斯函数题,再加上放大与缩小的应用。估计我的学生能得一半分。 ∵ [n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]<n,其中[x]表示不超过实数 x 的最大整数。 ∴[n/2]+[n/3]+[n/11]+[n/13]≤n-1 即 n-1≥(n-1)/2+(n-1)/3+(n-1)/11+(n-)/13



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