tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

1.3.1函数的单调性与导数ppt


复习:基本初等函数的导数公式
(1).常函数:(C)/ ? 0, (c为常数);

(2).幂函数 : (xn)/ ? nxn?1
(3).三角函数 :

(cos x )? ? ? sin x (1) (sin x )? ? cos x (2)
1 (log a x )? ? . x ln a
<

br />(4).对数函数的导数: 1 (1) (ln x )? ? . ( 2) x (5).指数函数的导数:
x ? (1 ) ( e ) ? e . x
x

x ? ( 2 ) ( a ) ? a ln a ( a ? 0 , a ? 1).

单调性的定义

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是增函数.

对于函数y=f(x)在某个区间上单调递增或单 调递减的性质,叫做f(x)在这个区间上的单 调性,这个区间叫做f(x)的单调区间。

判断函数单调性有哪些方法?

定义法 图象法

2 y ? x 比如:判断函数 的单调性。

如图: 减 函数, 函数在 (??, 0) 上为____ 增 函数。 在 (0, ??) 上为____

y

y ? x2

o

x

思考:那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行,但十分麻烦,尤其是在不知道函数图象

时。例如:2x3-6x2+7,是否有更为简捷的方法
呢?下面我们通过函数的y=x2-4x+3图象来

考察单调性与导数有什么关系

再观察函数y=x2-4x+3的图象: y

0

. . . . . ..
2

总结: 该函数在区 间(-∞,2)上单 减,切线斜率小于0, 即其导数为负; 在区间(2,+∞) 上单增,切线斜率大 于0,即其导数为正. 而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性 发生改变.

x

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系. 3
y
y=x

y

y=

x2

y

y=x

y

y?
O x x O

1 x
x

O

x

O

结论:在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x ) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递增; 如果 f ?( x ) ? 0 ,那么

函数 y ? f ( x ) 在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有f?(x)=0,则f(x)为常数函数

在某个区间(a, b)内,

f '( x ) ? 0

? f ( x)在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递减

注意:应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。

课本思考
思考1:如果在某个区间内恒有 f '( x ) ? 0,那么函数f ( x ) 有什么特性? f ( x )是常数函数。 思考2:结合函数单调性的定义,思考某个区间上函数f ( x) 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示过函数y ? f ( x) 几何意义: ?x x2 ? x1 图象上两点A(x1 , f ( x1 ))、B(x2 , f ( x2 ))的直线斜率。

关系: 当区间(x1 , x2 )的长度很小时,平均变化率可以
近似地反映函数y ? f ( x)在这个区间的单调性。

利用导数的符号来判断函数单调性 :

设函数 y=f(x)在某个区间内可导 (1) 如果 f '(x)>0 ,则 f(x)为增函数; (2) 如果 f '(x)<0 ,则 f(x)为减函数.
若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为常数函 数.

例1、已知导函数 f '( x) 的下列信息:

f '( x) >0; 当1<x<4时, f '( x) <0; 当x>4,或x<1时, f '( x) =0.则函数f(x)图象的大致 当x=4,或x=1时, 形状是( D )。
y y y

y ? f ( x)
o1

y ? f ( x)
o 1 4 x o1

y

y ? f ( x)
4 x o

y ? f ( x)
1
4 x

4

x

正负 导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关

A

B

C

D

1.应用导数求函数的单调区间 基础训练:
(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”) 增 (1) 函数y=x-3在[-3,5]上为__________ 函数。 增 函数, (2) 函数 y = x2-3x 在[2,+∞)上为_____ 减 函数。 在(-∞,1]上为______

利用导数确定函数的单调性的步骤:

(1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求出函数的导数; ( 3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间; 解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递减区间.

理解训练: 解:

2 y ? 3 x ? 3 x 的单调区间。 求函数

y ' ? 6x ? 3

1 1 令y ' ? 0得x ? , 令y ' ? 0得x ? 注意:单调区间不可以并起来 . 2 2 1 ? y ? 3 x 2 ? 3 x 的单调递增区间为 ( , ?? ) 2 1 单调递减区间为 ( ??, ) 变1:求函数 y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间。 2

y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2) 2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3 2 3 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( ??,0),( , ?? )

解:

2

3

例3、判断下列函数的单调性,并求出 单调区间: (1) f(x)=x3+3x ; 解: f ?( x) =3x2+3=3(x2+1)>0 从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增, 见右图。
o

y

x

f ( x) ? x3 ? 3x

(2) f(x)=x2-2x-3 ; 解: f ?( x) =2x-2=2(x-1) 当 f ?( x) >0,即x>1时,函数单调递增; 当 f ?( x) <0,即x<1时, 函数单调递减; 图象见右图。
o
1

y

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3

x

(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解: f ?( x) =cosx-1<0 从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减, 见右图。
y

o
f ( x) ? sin x ? x

x

(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 解: f ?( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4) 当 f ?( x) >0, 即 x ? ? 1 ? 17 或x ? ? 1 ? 17
2 2

时,

函数单调递增;

(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 当 f ?( x) <0,
y

即 ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 时, ?x? 2 2 函数单调递减; 图象见右图。

o

x

练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 4; ( 3) f ( x ) ? 3 x ? x ;
3

( 2 ) f ( x ) ? e x ? x; ( 4 ) f ( x ) ? x ? x ? x.
3 2

1°什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便?

总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤?

设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数, y ? f '( x ) 的图象如 右图所示,则 y ? f ( x )的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y

y ? f ( x)
1 2 x

y ? f '( x )
2 x

o

o

(A)
y

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

函数f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c , 其中a , b, c为常数,
3 2

当a 2 ? 3b ? 0时,f ( x )在R上( A ) ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数

求参数的取值范围

例1:求参数的范围 若函数f(x)? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

求a的取值范围

1 a? 3

例2:

1 已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1], x 若( f x)在x ?(0,1]上是增函数, 求a的取值范围.

2 解:由已知得 f '(x ) ? 2a ? 3 x 因为函数在(0,1]上单调递增

1 ? f '(x)>0,即a ? - 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 1 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x ? g(x)max ? g(1)=-1

? a ? -1

2 当a ? ?1时,f '(x) ? ?2 ? 3 x 对x ? (0, 1)也有f '(x)〉 0

? a ? -1时,( f x)在(0, 1)上是增函数
所以a的范围是[-1,+?)
在某个区间上,f '(x)>0(或<0) ,f(x)在这个区间上单调递增 (递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而 仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f(x)在这个区间上单调, 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证

练习1 已知函数f (x)= 2ax - x ,x ?(0, 1],a ? 0,
3

若f (x)在(0, 1]上是增函数,求a的取 值范围。

3 [ , ?? ) 2

例3:方程根的问题
1 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

1 f ( x ) ? x - sin x,x ? ( ?? , ?? ) 2 1 f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f(x)在( ? ?, ? ?)上是单调函数, 而当x ? 0时,( f x)=0 1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2

综合训练 1.函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数(B ) p 3p 3p 5p ( A)( , ) ( B )(p , 2p ) (C )( , ) ( D)(2p , 3p ) 2 2 2 2
解 : y? ? ( x cos x ? sin x )? ? ( x cos x )? ? cos x ? x? cos x ? x(cos x )? ? cos x ? ? x sin x ∵ ? x sin x ? 0,? x sin x ? 0 ∵ x ? (p , 2p ), x ? 0,sin x ? 0,?? x sin x ? 0

3 3 3 (? , ) 2.函数y=a(x -x)的减区间为 3 3

则 a 的取值范围为(

A

3 3 (? , ) 3 3 )

(A)a>0 (B)–1<a<1 (C)a>1 (D) 0<a<1

2 3 3. 已 知 函数 f ( x ) ? 4 x ? ax ? x ( x ? R ) 在 区 间 ? ?1,1? 3 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2

解: f ?( x) ? 4 ? 2ax ? 2x2 ,因为 f ? x ) 在区间 ??1,1? 上是增 函数, 所以 f ?( x) ≥ 0 对 x ???1,1? 恒成立, 即 x2 ? ax ? 2 ≤ 0 对 x ???1,1? 恒成立,解之得: ?1 ≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为 ??1,1? .

说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递 增,则 f ?( x) ≥ 0 ;若函数单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 ”来求 解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

课外训练: 1.设 f ( x) 、 g ( x) 在 ? a, b? 上可导,且 f ?( x) ? g ?( x) , 则当 a ? x ? b 时,有( ( A) f ( x) ? g ( x) (C ) f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a)

C

) ( B) f ( x ) ? g ( x ) ( D) f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

C ∵ f ?( x) ? g ?( x) ,∴ f ?( x) ? g ?( x) ? 0 , ∴ ( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) ? 0 ∴ f ( x) ? g ( x) 在 ? a, b? 上单调递增, ∴ f ( x) ? g ( x ) ? f ( a ) ? g ( a ) , ∴ f ( x) ? g ( a ) ? g ( x ) ? f ( a )

2.当x>0时,证明不等式:1+2x<e2x.
分析:假设令f(x)=e2x-1-2x.∵f(0)=e0-1-0=0, 如果能够证明f(x)在(0,+∞)上是增函数,那么 f(x)>0,则不等式就可以证明. 证明:令f(x)=e2x-1-2x. ∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1) ∵x>0,∴e2x>e0=1,∴2(e2x-1)>0, 即f′(x)>0 ∴f(x)=e2x-1-2x在(0,+∞)上是增函数. ∵f(0)=e0-1-0=0. ∴当x>0时,f(x)>f(0)=0,即e2x-1-2x>0. ∴1+2x<e2x 点评:所以以后要证明不等式时,可以利用函数 的单调性进行证明,把特殊点找出来使函数的值 为0.

3.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范 围,并求其单调区间。
2 ? 解 : f ? x ) ? 3ax ? 1,

? f ? x ) 只有一个单调区间 ,与题意不符 .
1 ? 1 ?? 1 ? ? ? 2 若a<0,则f ? ? x ) ? 3a ? x ? x? , ? ? 3a ? x ? ?? ? ?3a ? ?3a ?? ?3a ? ? ?

若 a ? 0, 则 f ? ? x ) 在 (-? , ?? )恒正 ,

1 1 ? a ? 0时, f ? x ) 有三个单调区间,(-?,],[ , ??) -3a -3a 1 ? ? 1 为它的减区间,? ? , 为它的增区间. ? ? -3a -3a ?

练习: 已知 x ? 1 ,求证: x ? ln( x ? 1)

提示:运用导数判断单调性,

根据函数的单调性比较函数值大小

在某个区间(a, b)内, f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递减


推荐相关:

3.2-导数与函数的单调性,最值

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...1.3函数的单调性与导数课... 18页 免费 1.3.1函数的单调性与导数... ...


导数与函数的单调性

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...知识回顾 1、利用导数判断函数的单调性 在某区间内...(1 + ∞) 上单调递减. 1) 上单调递减, , 上...


函数的单调性与导数

函数的单调性与导数”这节课是高中数学选修 2—2 第一章 1.3“导数在研...在哪个区间 幻灯片 内是减函数? 【学生】画出图像,用两种方法判断单调性 【...


函数的单调性与导数

实用PPT模板 如何化解七大面试提问方... Power Point的使用技巧相关文档推荐 暂无...§ 1.3.1 函数的单调性与导数【学习目标】 1.会从几何直观探索并了解函数的...


导数单调性

www.xinghuo100.com 星火教育辅导教案 学生 姓名 授课 教师 教学 课题 性别 上课 时间 1.3 导数在研究函数中的应用 1.了解可导函数的单调性与其导数的...


1.3.1函数的单调性与导数教学设计

联合体教学设计 河北任丘一中数学组:张海昌 教学课题 选修 2-2 第一章 1.3.1 函数的单调性与导数一、知识与技能: 1.理解利用导数判断函数单调性的原理,掌握...


1.3.1函数的单调性和导数

1.3.1函数的单调性和导数_数学_高中教育_教育专区。1. 3.1 函数的单调性和导数课前预习学案 一、预习目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2....


选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修...


高二数学(人教A版)《3.3.1函数的单调性与导数》导学案

高二数学(人教A版)《3.3.1函数的单调性与导数》导学案_数学_高中教育_教育专区。§3.3.1 函数的单调性与导数 [学习目标]: 1. 会熟练求导,求函数单调区间...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com