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天津市红桥区2015-2016学年高一上学期期中数学试卷


2015-2016 学年天津市红桥区高一(上)期中数学试卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,3,5,6},则?UA 等于( A.{1,3,5} B.{2,4,6} C.{2,4} D.{1,3,5,6} 2.设集合 A={x|0<x<4},B={x|x<a}若 A?B,则实数

a 的取值范围是( A.{a|a≤0} B.{a|0<a≤4} C.{a|a≥4} D.{a|0<a<4} 3.函数 y=log2(x+1)的图象大致是( ) )

)

A.

B.

C.

D.

4.下列函数中,为奇函数的是( A.y=2x+ B.y=x,x∈(0,1]

) C.y=x3+x D.y=x3+1

5.已知集合 A={1,a,a﹣1},若﹣2∈A,则实数 a 的值为( A.﹣2 B.﹣1 C.﹣1 或﹣2 D.﹣2 或﹣3 2,b=( )0.3,c=log23 则(

)

6.设 a=

)

A.a>b>c B.b>ac

C.c>a>b D.c>b>a

7.已知集合 A={x|y=log2x,y<0}, A. (0,1) B. C. D. (﹣∞,1)

,则 A∪B=(

)

8.函数 f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4

)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 9.函数 f(x)= 的定义域是__________.

10.集合 M={(x,y)|2x﹣y=1},N={(x,y)|3x+y=0},则 M∩N=__________. 11.如果幂函数 f(x)=xn 的图象经过点 ,则 f(4)=__________.

12.设函数 f(x)=

,则 f(f(﹣4) )的值是__________.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.计算: (Ⅰ)log525+lg (Ⅱ) ;



14. (Ⅰ)若集合 A={﹣1,2,4,6},B={x|x=m2﹣1,m∈A},请用列举法表示集合 B; (Ⅱ)已知集合 ,B={a2,a,0},且 A=B,计算 a,b 的值;

(Ⅲ)已知全集 U=R,集合 A={x|log2x≤2},B={x|﹣2≤x≤3}求:A∩?UB. 15.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,满足 f(0)=2,f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,2]时,求函数的最大值和最小值.

16. (14 分)已知函数 f(x)=a+

(a∈R)

(Ⅰ)若函数 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (Ⅱ)用定义法判断函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)若当 x∈[﹣1,5]时,f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年天津市红桥区高一(上)期中数学试卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,3,5,6},则?UA 等于( A.{1,3,5} B.{2,4,6} C.{2,4} D.{1,3,5,6} 【考点】补集及其运算. 【专题】集合思想;综合法;集合. 【分析】根据补集的定义,求出 A 在全集 U 中的补集即可. 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6}, 集合 A={1,3,5,6}, ∴?UA={2,4}. 故选:C. 【点评】本题考查了补集的定义与应用问题,是基础题目. 2.设集合 A={x|0<x<4},B={x|x<a}若 A?B,则实数 a 的取值范围是( A.{a|a≤0} B.{a|0<a≤4} C.{a|a≥4} D.{a|0<a<4} )

)

【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;集合. 【分析】由集合 A={x|0<x<4},B={x|x<a},A?B,由集合包含关系的定义比较两个集合的 端点可直接得出结 【解答】解:∵集合 A={x|0<x<4},B={x|x<a},若 A?B, ∴a≥4 实数 a 的取值范围是[4,+∞) 故选:C. 【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断,得 到参数所满足的不等式,从而得到其取值范围,此类题的求解,可以借助数轴,避免出错. 3.函数 y=log2(x+1)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的图像与性质;函数的图象与图象变化.

【专题】计算题. 【分析】函数 y=log2(x+1)的图象是把函数 y=log2x 的图象向左平移了一个单位得到的,由 此可得结论. 【解答】解:函数 y=log2(x+1)的图象是把函数 y=log2x 的图象向左平移了一个单位得到的, 定义域为(﹣1,+∞) , 过定点(0,0) ,在(﹣1,+∞)上是增函数, 故选 B. 【点评】本题主要考查对数函数的图象与性质,函数图象的变换,属于基础题. 4.下列函数中,为奇函数的是( A.y=2x+ B.y=x,x∈(0,1] ) C.y=x3+x D.y=x3+1

【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】利用奇函数的定义及其判定方法即可得出. 【解答】解:奇函数必须满足:定义域关于原点对称,且 f(﹣x)=﹣f(x) , 3 只有 y=x +x 满足条件, 故选:C. 【点评】本题考查了函数的奇偶性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 5.已知集合 A={1,a,a﹣1},若﹣2∈A,则实数 a 的值为( A.﹣2 B.﹣1 C.﹣1 或﹣2 D.﹣2 或﹣3 )

【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】分类讨论;分类法;集合. 【分析】根据元素与集合的关系、集合的特点及对 a 分类讨论即可求出 【解答】解:由实数﹣2∈A, ∴①若﹣2=a,则 A={1.﹣2.﹣3},满足集合元素的互异性; ②若﹣2=a﹣1,则 a=﹣1,此时 A={1,﹣1,﹣2},满足集合元素的互异性; 综上可知:a=﹣2 或﹣1.因此正确答案为 C. 故选 C. 【点评】熟练掌握元素与集合的关系、集合的特点及分类讨论的思想方法是解题的关键 2,b=( )0.3,c=log23 则(

6.设 a=

)

A.a>b>c B.b>ac

C.c>a>b D.c>b>a

【考点】对数值大小的比较. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由题意可得 【解答】解:a= 0< 即 0<b<1; < 2< =1, 2<0,0< 1=0, <1,c=log23>1,从而解得.

c=log23>log22=1, 故 c>b>a; 故选:D. 【点评】本题考查了对数函数与指数函数在比较大小时的应用,属于基础题.

7.已知集合 A={x|y=log2x,y<0}, A. (0,1) B. C. D. (﹣∞,1)

,则 A∪B=(

)

【考点】并集及其运算. 【专题】集合思想;数形结合法;集合. 【分析】根据指数函数与对数函数的性质,化简集合 A、B,求出 A∪B 即可. 【解答】解:∵A={x|y=log2x,y<0}={x|0<x<1}=(0,1) , ={y| <y<1}=( ,1) , ∴A∪B=(0,1)∪( ,1)=(0,1) . 故选:A. 【点评】本题考查了集合的运算与应用问题,也考查了函数的性质与应用问题,是基础题目. 8.函数 f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】作图题;函数的性质及应用. 【分析】作函数 y=x2 与 y=﹣ln|x|的图象,由数形结合求解. 【解答】解:由题意,作函数 y=x2 与 y=﹣ln|x|的图象如下,

结合图象知,函数 y=x2 与 y=﹣ln|x|的图象有两个交点, 即函数 f(x)=x2+ln|x|的零点的个数为 2,

故选:B. 【点评】本题考查了函数零点与函数图象的交点的关系与应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 9.函数 f(x)= 的定义域是(﹣∞,2) .

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由分母中根式内部的代数式大于 0,然后求解对数不等式得答案. 【解答】解:由 lg(3﹣x)>0,得 3﹣x>1,即 x<2. ∴函数 f(x)= 的定义域是(﹣∞,2) .

故答案为: (﹣∞,2) . 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查对数不等式的解法,是基础题.

10.集合 M={(x,y)|2x﹣y=1},N={(x,y)|3x+y=0},则 M∩N={( ,﹣ )}. 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】联立 M 与 N 中两方程组成方程组,求出方程组的解即可确定出两集合的交集. 【解答】解:联立 M 与 N 中两方程得: ,

解得:



则 M∩N={( ,﹣ )}. 故答案为:{( ,﹣ )} 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 11.如果幂函数 f(x)=xn 的图象经过点 ,则 f(4)=8. 【考点】函数解析式的求解及常用方法;幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】求出函数的解析式然后求解函数值即可. 【解答】解:幂函数 f(x)=xn 的图象经过点 幂函数的解析式为:f(x)= f(4)= =8. . ,可得 2 =2n,可得 n= ,

故答案为:8.

【点评】本题考查幂函数的解析式的求法,函数值的求法,考查计算能力.

12.设函数 f(x)=

,则 f(f(﹣4) )的值是﹣1.

【考点】函数的值. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】直接利用分段函数的解析式,由里及外逐步求解即可. 【解答】解:函数 f(x)= 1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.计算: (Ⅰ)log525+lg (Ⅱ) 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)利用对数的运算法则求解即可. (Ⅱ)利用有理指数幂的运算法则求解即可. 【解答】 (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) = . ; ,则 f(f(﹣4) )=f(﹣4+6)=f(2)= =﹣



(Ⅱ)

=

=0. 【点评】本题考查导数的运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用,考查计算能力. 14. (Ⅰ)若集合 A={﹣1,2,4,6},B={x|x=m2﹣1,m∈A},请用列举法表示集合 B; (Ⅱ)已知集合 ,B={a2,a,0},且 A=B,计算 a,b 的值;

(Ⅲ)已知全集 U=R,集合 A={x|log2x≤2},B={x|﹣2≤x≤3}求:A∩?UB. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;综合法;集合.

【分析】 (Ⅰ)根据集合元素的特征,列举出即可. (Ⅱ)根据集合相等的性质,进行分类讨论即可. (Ⅲ)先根据对数函数的性质求出 A,再求 CUB,交集的运算求出 A 与 CUB 的交集. 【解答】解: (Ⅰ)若集合 A={﹣1,2,4,6},B={x|x=m2﹣1,m∈A}, 则 B={0,3,15,35}, (Ⅱ)已知集合 则①当 ,B={a2,a,0},且 A=B

时,b=0,此时 A={1,a,0},B={a2,a,0}a2=1,得:a=±1,a=1(舍去)

故 a=﹣1,b=0, ②当 b+1=0 时,b=﹣1,此时 ,B={a2,a,0} ,得:a=﹣1

故 a=﹣1,b=﹣1 所以 a=﹣1,b=﹣1 或 b=0, (Ⅲ)已知集合 A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4}, 集合 B={x|﹣2≤x≤3},全集 U=R,故?UB={x|x<﹣2,或 x>3}, 所以 A∩?UB={x|3<x≤2}. 【点评】本题考查了集合的元素的特征,集合相等,集合的交,补运算,属于基础题. 15.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ,满足 f(0)=2,f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,2]时,求函数的最大值和最小值. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义;抽象函数及其应用. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)利用已知条件列出方程组,即可求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)利用二次函数的对称轴,看看方向即可求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)利用函数的对称轴与 x∈[﹣1,2],直接求解函数的最大值和最小值. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f(0)=2,得 c=2,又 f(x+1)﹣f(x)=2x﹣1 得 2ax+a+b=2x﹣1,故 ,解得:a=1,b=﹣2,

所以 f(x)=x2﹣2x+2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣ (Ⅱ)f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,图象对称轴为 x=1,且开口向上 所以,f(x)单调递增区间为(1,+∞) ,单调递减区间为(﹣∞,1) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅲ)f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,对称轴为 x=1∈[﹣1,2], 故 fmin(x)=f(1)=1,又 f(﹣1)=5,f(2)=2, 所以 fmax(x)=f(﹣1)=5.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查二次函数的最值,函数的解析式以及单调性的判断,考查计算能力.

16. (14 分)已知函数 f(x)=a+

(a∈R)

(Ⅰ)若函数 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (Ⅱ)用定义法判断函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)若当 x∈[﹣1,5]时,f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ)由函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,得 f(0)=a+1=0,得 a=﹣1,验证当 a= ﹣1 时,f(x)为奇函数,则 a 值可求; (Ⅱ)任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞) ,且 x1<x2,由 f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 可得 f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,5]时,由 f(x)为减函数求出函数的最大值,再由 f(x)≤0 恒成立,得 ,从而求得 .

【解答】解: (Ⅰ)若函数 f(x)为奇函数, ∵x∈R,∴f(0)=a+1=0,得 a=﹣1, 验证当 a=﹣1 时,f(x)=﹣1+ ∴a=﹣1; (Ⅱ)∵ ,任取 x1,x2∈(﹣∞,+∞) ,且 x1<x2, = , = 为奇函数,

则 由 x1<x2 得:x1+1<x2+1, ∴ , .

故 f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) , ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,5]时, ∵f(x)为减函数,∴ 若 f(x)≤0 恒成立,则满足 得 . , ,

【点评】本题考查函数的性质,考查了恒成立问题,训练了利用函数的单调性求函数最值, 是中档题.


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