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高三数学二轮复习课件三角函数的图象与性质 - 副本


专题二

三角函数、解三角形、平面向量

第一讲

三角函数的图象与性质

一、考纲解读

1、理解三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质, 能画出其图象; 2、理解函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质,能画出y=Asin(ωx+φ 的图像,了解参数A

、ω 、φ 对函数图像变化的影响. 3、了解三角函数是描述周期变化的重要函数模型, 会用三角函数解决一些简单实际问题。

二、考情报告
年份 题型 考点 2012年 2013年 2014年

小题

大题

第 9 题:考查恒等变形、 第4题:考查图象及 余弦函数的 性 质与零 变换 点的计算 第5题:三角恒等变 第 11 题 : 考 查 余 弦 定 形与双曲线性质结 理求角 合 第 17 题:考查二倍 第 17 题:恒 等 变形 、 角公式,解三角函 周期和参数范围 数方程、三角形面 积、正、余弦定理

第6题:与定积 分结合考查 第8题(文): 与双曲线结合考 查
第17题:三角函 数的实际应用问 题

从这几年高考真题的考点可以看出其命题的基本思想: (1)全面考查,重点突出;(2)强化基础,稳中有变

三、考向预测 从湖北近几年命题来看,三角函数与平面向量基本是两小一大 题,小题以中低档试题为主,主要考查三角函数的求值、恒等变形 、图象、性质与向量结合考查,与其他知识结合也出现在湖北卷上 (如:2013年与双曲线结合),试题多来源于教材,是例题、习题 的变形和创新。解答题常以平面向量或三角恒等变换为工具,综合 考查图象、性质。以正、余弦定理为工具,考查解三角形及其应用 。 2015年小题将仍以基础为主,考查三角公式的应用、图象与性 质、解三角形,注意与其他知识的结合,解答题仍将以三角恒等变 换,解三角形和研究三角函数的性质为主。试题的总体难度不大, 属于拿分题目。

四、考点聚焦

考点一:三角函数的图像与解析式
[例 1]

? ? ? (2014· 山东高考)已知向量 a =(m, cos 2x), b =(sin
?? ? b ,且 f(x)= a·
?π y=f(x)的图象过点?12, ? ? 3?和点 ?

2x,n),函数
?2π ? ? ,-2?. 3 ? ?

(1)求 m,n 的值;
(2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y =g(x)的图象.若 y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最 小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间.

[解 ] 因为

(1)由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x.
?π y=f(x)的图象过点?12, ? ? ?2π ? 3?和? ,-2?, ? ?3 ?

π π ? ? 3=msin 6+ncos 6, 所以? ?-2=msin 4π+ncos4π, ? 3 3 1 3 ? ? 3=2m+ 2 n, 即? ?-2=- 3m-1n, ? 2 2 解得 m= 3,n=1.

(2)由(1)知 f(x)= 3sin 2x+cos 由题意知

? π? 2x=2sin?2x+ 6 ?. ? ?

? π? g(x)=f(x+φ)=2sin?2x+2φ+6 ?. ? ?

设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
2 由题意知 x0 +1=1,所以 x0=0,

即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). 将其代入 y=g(x)得
? π? sin?2φ+6 ?=1, ? ?

π 因为 0<φ<π,所以 φ= . 6

因此

? π? g(x)=2sin?2x+2 ?=2cos ? ?

2x.

π 由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z 得 kπ- ≤x≤kπ,k∈Z. 2 所以函数
? ? π y=g(x)的单调递增区间为?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ?

1. (2014· 贵阳监测)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)
? π? ?A>0,ω>0,|φ|< ?的图象如图所示,则 2? ?

f(x)的解析式为 ( )

? π? A.f(x)=sin?2x+ 3 ? ? ? ? π? C.f(x)=sin?2x+ 6 ? ? ?

? π? B.f(x)=sin?2x- 3 ? ? ? ? π? D.f(x)=sin?2x- 6 ? ? ?

1 1 2π 7π π π 解析:由图象可知A=1,且 T= × ω = - = ,解得ω=2, 4 4 12 3 4 ∴f(x)=sin(2x+φ).
?7π ? ? ? 7π 把?12 ,-1?代入,得-1=sin?2×12 +φ?. ? ? ? ?

π ∵|φ|< , 2 7π 3π ∴ +φ= , 6 2 π ∴φ= , 3
? π? ∴f(x)=sin?2x+3 ?. ? ?

答案:A

2.(2014· 湛江三模)已知函数

? π? f(x)=cos?ωx+6 ?(ω>0)的图象上的 ? ?

π 两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为 ,则函数在 2 [0,2π]上的零点个数为________.
解析:由已知得
? π? f(x)=cos?ωx+6 ?的周期为 ? ?

π,

? π? 2π 即 ω =π,得 ω=2,∴f(x)=cos?2x+6 ?. ? ?

π π kπ π 当 f(x)=0 时,2x+ = +kπ(k∈Z),即 x= + (k∈Z), 6 2 2 6 则当 x∈[0,2π]时 f(x)有 4 个零点.

答案:4

考点二:三角函数图像的应用
πx 例 2(2014· 全国卷Ⅱ)设函数 f(x)= 3sin m .若存在 f(x)的极值
2 2 点 x0 满足 x2 0+[f(x0)] <m ,则 m 的取值范围是

(

)

A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

[解析]

(1)由正弦型函数的图象可知:f(x)的极值点x0满足f(x0)

? 1? πx0 π =± 3,则 m = +kπ(k∈Z),从而得x0=?k+2?m(k∈Z).所以不等 2 ? ?

? ? ? 1? 2 2 1? 2 2 2 2 2 ? ? 式x 0 +[f(x0)] <m 即为 k+2 m +3<m ,变形得m ?1- ? k + ? ? ? 2? ? ? ?

2

? ? >3, ? ?

2 ? ? 1 ? ? 2 其中k∈Z.由题意,存在整数k使得不等式m ?1- ? k + ? ? >3成立.当 2? ? ? ? ? ?

? 1? 2 k≠-1且k≠0时,必有 ?k+2? >1,此时不等式显然不能成立,故k= ? ?

3 2 -1或k=0,此时,不等式即为 m >3,解得m<-2或m>2. 4

|cos x| 变式 3.(2014· 东北三校模拟)已知方程 x =k 在(0,+∞)上 有两个不同的解 α,β(α<β),则下列的四个命题正确的是 ( A.sin 2α=2αcos2α C.sin 2β=-2βsin2 β B.cos 2α=2αsin2 α D.cos 2β=-2βsin2 β )

解:依题意 y=|cos x|与 y=kx 的图象在(0,+∞)上有两个不 同的交点, 如图, 设直线 y=kx 与 y=-cos x 的切点 B(β, -cos β), 与 y=cos x 的一个交点为 A(α, cos α), 又 y′ =(-cos x)′=sin x,依题意 y′|x=β=sin β, ∴k=sin β,又-cos β=kβ, ∴cos β=-βsin β, ∴2sin βcos β=-2βsin2β, 即 sin 2β=-2βsin2β.

[答案]

(1)C

(2)C

考点三:三角变换与三角函数的性质
例3(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t( p p 单位:h)的变化近似满足函数关系:( f t)=10- 3 cos t - sin t 12 12 t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要 降温?

3 p 1 p (1) ? f(t)=10-2( cos t + sin t) 2 12 2 12 p p =10 - 2s in( t + ), 又t ? [ 0, 24) . 12 3 p p p 7 p p 所以 ? ( t ) < p,s in( t + ) ? [ 1,1] 3 12 3 3 12 3 f (t) ? [ 8,12] .即最大温差为4℃ p p 1 (2)f (t) > 11即s in( t + ) < - , 12 3 2 7p p p 11p 又t 蝄 [ 0, 24) , 6 < 12 t + 3 < 6 所以t ? 10,18)

(

考点四:三角函数与解三角形 例4:(2013·湖北卷)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是 a,b,c,已知cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A的大小; (2)若△ABC的面积S= 5 3 ,b=5,求sinBsinC的值

解:由cos 2A -3cos ( B + C ) = 1得 2cos A + 3 cos A - 2 = 0 所以 (2 cos A - 1 ) ( cos A + 2) = 0
2

1 解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去). 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc· = bc=5 3,得 bc= 2 2 2 4 20.又由 b=5,知 c=4. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21, 故 a= 21.

b c 5 又由正弦定理得sinBsinC= sinA ? sinA= a a 7

变式:(2014天津高考)已知函数 p 3 2 f ( x) = cos x sin( x + ) - 3 cos x + ,x R 3 4
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求
? π π? f(x)在闭区间?-4,4 ?上的最大值和最小值. ? ?

[解]

(1)由已知,有
?1 ? x· ?2sin ? ? 3 3 ? 2 x+ cos x?- 3cos x+ 4 2 ?

f(x)=cos

1 3 2 3 = sin x· cos x- cos x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π? 1 ? = sin?2x-3 ?. 2 ? ?

所以 f(x)的最小正周期 T= (2)由 则
? π π? x∈?-4,4 ?得 ? ?

2π =π. 2

π ? 5π π? 2x- ∈?- 6 ,6 ?, 3 ? ?

? π? ? 1? sin?2x-3 ?∈?-1,2?, ? ? ? ?

π ? ? 1 1? 1 ? 即函数 f(x)= sin?2x-3 ?∈?-2,4?.所以函数 f(x)在闭区间 2 ? ? ? ?
? π π? 1 1 ?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4?

五、课堂小结: 本节课主要通过高考真题,再现了三角函数在高考中的考法, 以求值和恒等变形为工具,以图像和性质为关键,我们要做到 心中有图,能灵活运用图像和性质,同时注重知识的交汇创新, 提高综合解题能力。

THANKS!
>>谢谢

3 p 1 p (1) ? f(t)=10-2( cos t + sin t) 2 12 2 12 p p =10 - 2s in( t + ), 又t ? [ 0, 24) . 12 3 p p p 7 p p 所以 ? ( t ) < p,s in( t + ) ? [ 1 3 12 3 3 12 3 f (t) ? [ 8,12] .即最大温差为4℃ p p 1 (2)f (t) > 11即s in( t + ) < - , 12 3 2


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