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等比数列性质学案(2)


等比数列的性质学案
温馨寄语:从来香瓜生苦蒂,自古玫瑰伴荆棘。 教学目标:1)掌握等比数列的性质,能灵活利用性质做题。 2)掌握等比中项,能够应用等比中项的定义解决问题。 学习重点:理解并掌握等比数列的有关性质。熟练运用等比数列的性质解决问题。 一、温故知新: 1、 等差中项:1) x , A , y 成等数差列,则 2)等差数列相邻三项的关系 2、等差数列的性质: 1

)单调性: 2) an

(2)等数比列 ?an ? 中, an

? am
p ? q ,则

(3)等数比列 ?an ? 中,若 m ? n ?

特别的:如果 m+n=2p,则 (4)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积,即:

(5)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 整数常数)成 数列。

?kan ? (k ? 0), ?

?1? ? an ? m ? , ?anbn ? , ? ? ? an ? ?an ? ( m 是 ? an ? ? bn ?

? am ?
p ? q ,则

(6)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列(项数 n 3) 是 三、练一练; 1、已知等比数列 an 数列 数列。

3)等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ?

特别的:如果 m+n=2p,则 4)与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,即: 5)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则

3 ? ? 3n ,则公比 q = 8

?an ? bn?,?kan ? b? (k, b 为非零常数)也成

2、已知 ?1 x, ?4 成等比数列,则 x 的值为 ,

6)在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列(项数 n 3) 是 二、新课讲解: 数列。

A.2

B.

5 2

C.2或-2

5 5 D. 或2 2

1、 等比中项:1)若 a , G , b 成等比数列,则 2)等比数列相邻三项的关系 2、等比数列的常用性质: (1)单调性: an

3、在等比数列

?an ? 中,若 an ? 0 且 a3a7 ? 64 ,则 a5 的值为
B.4 C.6 D.8

A.2
4、设数列 ①
3

? a1qn?1 ?

a1 n a q ? cq n 其中 c ? 1 为一个不为零的常数。当 q ? 0 时, q q

?an ? 为等比数列,则下面 4 个数列中一定是等比数列的有


?a ?
n

? pan?( p为非零实数)



?anan?1?



?an ? an?1?

y ? q x 是一个指数函数。 y ? cq x 是一个非零常数与一个指数函数的积。因此,从图像上
看,表示数列

四、典型例题: 1、已知等比数列{a n }中 an>0,a1、a99 是方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a20a50a80 的值为_ ___

?cq ? 的点都在函数 y ? cq 的图像上。因此:
n

x

a1 a1
当q

0 时, 1) 0 ? q ? 1 时,是 时,1) 0 ? q ? 1 时,是 时,是

数列; 数列 ; 数列。

2) q 2) q

?1

时,是 时,是

数列; 数列;

?1

2、在等比数列

?an ? 中,已知 a4a7 ? ?512 , a3 ? a8 ? 124,且公比为整数,求 a10 。
a3 ? a4 的值 a4 ? a5

、在等差数列

?an ? 中, a1, a3 , a4 成等比数列,则公比为
B.b ? ?3, ac ? 9

3、等比数列

?an ? 的各项为正,公比 q 满足 q 2 ? 4 ,则

5、如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么

4、已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 30, a3 ? a4 ? 120 则a5 ? a6 等于 , 5、已知各项不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 2a2 ? a ? 2a12 ? 0 ,数列 ?bn ? 是等比数列,且
2 7

A.a ? 3, ac ? 9

C.b ? 3, ac ? ?9
6、在等比数列

D.b ? ?3, ac ? ?9
a18 ? a10

b7 ? a7 ,则 b3 ? b11 =
五、课堂小结: (1)等比中项 (2)等比数列的 6 个性质 六、作业:

?an ? 中, a5a7 ? 6, a2 ? a10 ? 5,则
B. 2 3
C. 3 2
a

2 3 A. ? 或3 2


2 3 D. 或 3 2


1 1.等比数列 {a n } 中, a 3 ? ,a 9 ? 8 ,则 a5 ? a6 ? a7 的值为( 2
A.64 B. ?8 C.8 D. ?8 2. 各项均为正数的等比数 {an } , a2 ? a4 ? 3, 则 列 中

7、若数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,则数列 {2 n } 是( A.公差为 4 的等差数列 C.公比为 4 的等比数列

B.公比为 2 的等比数列 D.不是等差数列也不是等比数列 )

8、已知等比数列 ?an ? 中, a2008 ? a2014 ? ?1 ,则 a2011 ? ( ____

log1 a1 ? log1 a2 ? log1 a3 ? log1 a4 ? log1 a5的值是_
3 3 3 3 3

A.-1 B.1 C. ?1 D. 以上都不对. 9、在等比数列 {an } 中,an ? 0(n ? N*) ,公比 q ? (0,1) ,且 a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 ,又 a3 与 a5 的等比中项为 2 , bn ? log2 an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n 。

3.等比数列性质探究 类比等差数列的定义和性质,猜想等比数列对应的性质, 性质
? 等差数列 n , m , p , q ? N

?

?

? 等比数列 n , m , p , q ? N

?

?

若m n=p+q +
(1) 角标性质 则有____________________ ( 特 别 : 当 2n=p+q 时 , 有 _________ ______________________________, 称 an是ap和aq的等差中项 )

若m n=p+q +
则有___________________

(特别:当 2n=p+q 时,有__________
________________________________ , 称 an 为____________________) 10、已知数列 ?an ? 满足 lg an ? 3n ? 5 ,试用定义证明 ?an ? 是等比数列。

(2) 通项公式 的推广

an ? am ? ?n ? m? d ,(d 为公差)
即 an =am +?n ? m? d

an ? __________(q 为公比) am
即 an =_______________


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