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黑龙江省哈尔滨三中2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理


哈三中 2015—2016 学年度上学期高二第一学段考试 数学(理) 试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、抛物线 y ? 2 x2 的焦点坐标为( A. ? ) C. ? 0, ? ) C.4 2
2 2

?1 ? ,0? ?2 ?
<

br />B. ?1,0?

? ?

1? 8?

D. ? 0, ?

? ?

1? 4?

2、双曲线 A.2 2

x2 y 2 ? ? 1 的实轴长是( 4 8
B.4
2

D.8 ) D.相离

2 3、圆 ? x ? 2 ? ? y ? 4 与圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 9 的位置关系是(

A.内切

B.相交

C.外切

y 2 x2 ? 1 ( a ? 0 )的一个焦点与抛物线 x2 ? 8 y 的焦点重合,则此双曲线的 4、若双曲线 2 ? a 3
离心率为( A. 3 ) B. 2 C. 3 D. 4

5、 设经过点 ? ? 2,1? 的等轴双曲线的焦点为 F1 、F2 , 此双曲线上一点 ? 满足 ?F 1 ? ?F 2, 则 ??F 1F 2 的面积为( A. 2 ) B. 3 C.2 ) D. 4 6 D.3

6、直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长为( A.1 7、已知 F1 ,F2 是椭圆 B. 2 C. 4

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 ? ,? 两点.在 ??F1? 16 9
) C. 4 D. 3 B. 5

中,若有两边之和是 10 ,则第三边的长度为( A. 6
2

8、若点 ? 是抛物线 x ? 4 y 上一动点,则点 ? 到直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 和 x 轴的距离之和的最小 值是( A. 3 9、已知集合 ? ? 的取值范围是( A.? ?1,3? ) B. 5 C.2 D. 5 ? 1

?? x, y ? y ?


1 ? x 2 ,集合 ? ? ?? x, y ? y ? 2 x ? a? ,且 ? ? ? ? ? ,则 a

?

B.? ??, ?1? ?

?

3, ??

?

C.? ?2, 5 ?

?

?

D.? ??, ?2 ? ?

?

5, ??

?

-1-

10、已知直线 y ? kx ? 1 和双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的右支交于不同两点,则 k 的取值范围是( A. 1, 2



?

?

B. ? 2, ?1 ? 1, 2

?

? ?

?

C. ? 2, 2

?

?

D. ? 2, ?1 ? ? ?1,1? ? 1, 2

?

?

?

?

11、若点 ? 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 ? 为椭圆上的任意一点,则 4 3

??? ? ??? ?? ? F? 的最大值为(
A. 4 12、椭圆

) B. 5 C. 6 D. 7

? x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )上存在一点 ? 满足 ???F ? ,F 为椭圆的左焦点,? 为 2 2 a b
) C.? ,1?

椭圆的右顶点,则椭圆的离心率的范围是( A.? 0, ?

? ?

1? 2?

B.? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

?1 ? ?2 ?

D.?

? 2 ? ? 2 ,1? ? ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13、若经过点 4, 3 的双曲线的渐近线方程为 y ?

?

?

3 x ,则双曲线的标准方程为 2




14、圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 上的点到直线 y ? x ? 1 的最小距离是

15、已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 60 ? 0 ,动圆 ? 和圆 C1 外切,和圆

C2 内切,则动圆圆心 ? 的轨迹方程为
???? ??? ? F? ? 2 F? ,则 k 的值为



16、设直线 y ? k ? x ? 1? 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 ? 、 ? 两点,抛物线的焦点为 F ,若 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (I)求圆 C 的方程;

17、(本小题满分 10 分)已知圆 C 过点 ? ?1, 4 ? , ? ? 3, 2? ,且圆心在直线 x ? y ? 3 ? 0 上. (II)若点 ? ? x, y ? 在圆 C 上,求 x ? y 的最大值.

18、(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为 1 . (I)求椭圆 C 的方程; (II)若斜率为

x2 y 2 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,过椭圆一 2 a b 2

1 5 的直线与椭圆 C 交于 ? , ? 两点,且 ?? ? ,求该直线的方程. 2 2

-2-

19、(本小题满分 12 分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点 F ? 2,0 ? ,且 F 到双曲线的一 条渐近线的距离为 1 . (I)求双曲线 C 的方程; 原点),求 k 的取值范围.

(II)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 ? , ? ,且 ????? ? 2 ( ? 为

???? ??? ?

20、 (本小题满分 12 分) 已知 ???? 的三个顶点都在抛物线 C : x2 ? 4 y 上,F 为抛物线 C 的 焦点. (I)若 ?F ? 3 ,求点 ? 的坐标; (II)若点 ? ? 2,1? ,且 ?? ? ?? ,求证:直线 ?? 过定点.

21、(本小题满分 12 分)已知焦点为 ? 0,1? , ? 0, ?1? 的椭圆 C 与直线 l : y ? ? x ? 1 交于 ? ,

? 两点, ? 为 ?? 的中点,直线 ?? 的斜率为 2 .焦点在 y 轴上的椭圆 ? 过定点 ?1, 4 ? ,且 与椭圆 C 有相同的离心率.过椭圆 C 上一点作直线 y ? kx ? m( m ? 0 )交椭圆 ? 于 ? , ?
两点. (I)求椭圆 C 和椭圆 ? 的标准方程; (II)求 ???? 面积的最大值.

22、(本小题满分 12 分)若过点 ? ?1,0? 作直线交抛物线 C : y 2 ? x 于 ? , ? 两点,且满足 参考公式:过抛物线 y ? 2 px 上任一点 ? x0 , y0 ? 作抛物线的切线,则切线方程为
2

???? ? ???? ? ?? ? ? ?? ,过 ? , ? 两点分别作抛物线 C 的切线 l1 , l2 , l1 , l2 的交点为 ? .

yy0 ? p ? x ? x0 ? .
(I)求证:点 ? 在一条定直线上; (II)若 ? ? ? 4,9? ,求直线 ?? 在 y 轴上截距的取值范围.

2015-2016 高二考试数学(理科)答案 一、选择题 1-5 CBBBD 6-10 CADDA 11-12 CC
-3-

二、填空题 13.

x2 y2 ? ?1 12 9

14. 2 2 ? 1 15.

x2 y2 ? ?1 25 21

16. ?

2 2 3

三、解答题

?(a ? 1) 2 ? (b ? 3) 2 ? r 2 ? 2 2 2 17.(1)设圆心坐标为 (a,b),则 ?(a ? 3) ? (b ? 2) ? r ?a ? b ? 3 ? 0 ?
解得: a ? 1, b ? 2, r ? 2 ,故圆的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 (2)令 z=x+y,即 y ?? x? z ,当这条直线与圆相切时,它在 y 轴上的截距最大或最小, 可求得最大值为: 3 ? 2 2 18. (1)设焦点为(c,0),因为过椭圆一焦点且与椭圆长轴垂直的弦长为1,

1 ? 2 ?c 4 ? 2 ? 2 ?1 a b ? ?c 3 所以, ? ? ,解得: a ? 2, b ? 1 a 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
故椭圆方程为: x 2

4

? y2 ? 1

(2) x ? 2 y ? 7 ? 0 , x ? 2 y ? 7 ? 0 19. (1)双曲线的一条渐近线方程为: bx ? ay ? 0 ,则

-4-

? ?c ? 2 ? ? 2 2 2 ?c ? a ? b ,解得: a ? 3, b ? 1 ? 2b ? ?1 ? b2 ? a2 ?
故双曲线的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 3

(2) (?

15 3 3 15 ,? ) ? ( , ) 3 3 3 3

20.(1)抛物线为焦点为(0,1),准线为y=-1,因为|PF|=3,所以,点P到准线的距 离为3, 因此点P的纵坐标为2,纵坐标为 ?2 2 , 所以,P点坐标为 (?2 2 ,2) (2) (?2,5) 21. (1) 依题意,可设椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1, a 2 b2

将直线 y ? ? x ? 1 代入椭圆方程,得:, (a2 ? b2 ) x2 ? 2b2 x2 ? b2 ? a2b2 =0



x1 ? x2 y1 ? y2 x1 ? x2 b2 a2 , , ? 2 ? 1? ? 2 2 a ? b2 2 2 a ? b2

所以,M(

b2 a2 , ) a 2 ? b2 a 2 ? b2
2 2

直线 OM 的斜率为 2,可得: a ? 2b



c ?1 a 2 ? b2 ? c

解得 b=1, a ? 2

2 ,所以,椭圆方程是 C :

y2 ? x2 ? 1; 2

y2 x2 E: ? ?1 18 9
(2)4 22.(1) x ? ?1
-5-

(2) [ ?

2 3 3 2 ,? ] ? [ , ] 3 8 8 3

-6-


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