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高二上期末数学总复习二【圆锥曲线问题】


高二上期末数学总复习二
【圆锥曲线问题:椭圆、双曲线、抛物线】 题型一:圆锥曲线的基本定义问题【方程问题、离心率问题、渐近线问题、准线问题】
1、已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 A、

x2 y2 ? ?1 3 4
2

B、

x2 y2 ? ?1 4 3<

br />2

1 ,则 C 的方程是( ) 2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C、 D、 4 2 4 3
) D、y =4x
2 2

2、设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( A、y =-8x 3、已知双曲线
2

B、y =8x

C、y =-4x

x2 y2 ? ? 1 ( a > 0 , b > 0) 的一条渐近线方程是 y = 3x 它的一个焦点在抛物线 y2=24x a2 b2

2 2

的准线上,则双曲线的方程为(

x y x y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A、 B、 C、 D、 108 36 36 108 9 27 27 9 x2 ? y 2 ? 1 的顶点到渐进线的距离等于( 4、双曲线 ) 4 5 2 2 5 4 5 A、 B、 C、 D、 4 5 5 5 2 2 x y 2 5 、 已知双曲线 C1: 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C 2 : x = 2py(p > 0) 的焦点到 a b
双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( A、 x ?
2



8 3 16 3 2 2 2 B、 x ? C、 x ? 8 y D、 x ? 16y y y 3 3 2 2 x y 6、从椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b > 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的 a b
交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( A、 )

2 4
2

B、

1 2


C、

2 2

D、

3 2

7、抛物线 y =8x 的准线方程是
2 2

8 、 已知 F 为双曲线 C:
2 2

x y ? ? 1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 9 16


A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为 9、双曲线

x y ? ? 1 的两条渐近线方程为 . 16 9 x2 y2 10 、设 F1,F2 是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点.若在 C 上存在一点 P.使 PF1⊥PF2, a b
且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为 .

题型二:圆锥曲线中的焦点三角形问题【面积问题、夹角问题】
y2 x2 1、已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的焦点分别是 F1(0,-1),F2(0,1),且 3a2=4b2. a b (1)求椭圆的方程;(2)设点 P 在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦值.

2.如图,已知椭圆的方程为 + =1,P 点是椭圆上的一点,且∠F1PF2=60°,求△PF1F2 的面积. 4 3

x2 y2

3.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程;(2)若点 M 在双曲线上,F1、F2 为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6 3,试判别 △MF1F2 的形状.

题型三、直线与圆锥曲线问题【相交弦问题、交点个数问题】
x2 y2 1、已知椭圆 + =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点. 36 9 1 (1)当直线 l 的斜率为 时,求线段 AB 的长度; 2 (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程.

y2 2、已知双曲线 x2- =1,直线 l 过点 P(1,1),当 k 为何值时,直线 l 与双曲线 C:(1)有一个公共点;(2) 2 有两个公共点;(3)无公共点?

x2 y2 3、设双曲线的顶点是椭圆 + =1 的焦点,该双曲线又与直线 15x-3y+6=0 交于 A,B 两点,且 3 4 OA⊥OB(O 为坐标原点). (1)求此双曲线的方程; (2)求|AB|.

题型四:圆锥曲线中的轨迹问题【定义法、相关点法、直接法】
1、已知平面内的一个动点 P 到直线 l : x ? 的轨迹为 C,点 A(1, ) (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若 M 为轨迹 C 上的动点,求线段 MA 中点 N 的轨迹方程;

4 3 2 3 的距离与到定点 F ( 3,0) 的距离之比为 ,设动点 P 3 3

1 2

2、已知动圆 M 经过点 A(-2,0),且与圆 C:(x-2)2+y2=32 内切, (1)求动圆圆心 M 的轨迹 E 的方程; (2)求轨迹 E 上任意一点 M(x,y)到定点 B(1,0)的距离 d 的最小值,并求 d 取得最小值时的点 M 的坐标.

3、过点 M (?2,0) 作直线 l 交双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 于 A、B 两点,已知 OP ? OA ? OB(O 为坐标原点) , 求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

题型五:圆锥曲线中的最值问题
2 2 1、若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是



2 2 2、 (理)在椭圆 x ? 8 y ? 8 上求点 P,使 P 到 L: x ? y ? 4 ? 0 的距离最小;

3、已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a) ,则当 | a |? 4
2

时, | PA | ? | PM | 的最小值是



题型六:圆锥曲线综合问题【向量问题、垂直问题、面积问题、定值问题、斜率问题】
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2.其中 F2 也是抛物线 a 2 b2 5 C2: y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |? . 3
1、在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1: (1)求 C1 的方程; (2)平面上的点 N 满足 MN ? MF 1 ? MF 2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A、B 两点,若 OA · OB =0, 求直线 l 的方程. 2、已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右 4

顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA? OB ? 2 (其中 O 为原点) , 求 k 的取值范围. 3、已知椭圆 C : 面积为

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的 2 a b 3

5 2 . 3 (1)求椭圆 C 的方程;
(2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. ①若线段 AB 中点的横坐标为 ? 率 k 的值;②若点 M ( ?

1 ,求斜 2

7 , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 3

4、已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆 C 的方程;

1 3 , 且点(1, )在该椭圆上. 2 2

C 相交于 A, B 两点,若 ?AOB 的面积为 l (2)过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 与椭圆
O 且与直线 l 相 切的圆的方程.

6 2 ,求圆心在原点 7

5、若椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴的一个端点与左右焦点 F1 、 F2 组成一个正三角形,焦点 到椭圆上的点的最短距离为 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的中点为 M ,求直线 MF1 的斜率 k 的取值范围.

x2 y 2 6 6、已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 2 3 ,离心率 e ? . a b 3
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设椭圆 C 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M 、N ,点 D(0, ?1) ,当 | DM |?| DN | 时,求实数 m 的取值范围.


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