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绝对值三角不等式(教案)终级公开课


绝对值三角不等式
教学目标: 知识与技能:了解绝对值三角不等式的含义及推导方法,会进行简单的应用。 过程与方法:充分运用观察、类比、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学 思想,并能运用绝对值三角不等式进行推理和证明。 情感、态度与价值观:体验不等式的美感,提高推理能力。能运用所学的知识,正确地解决 实际问题。 教学重点:绝对值三角不等式的含义和运用。 教学难

点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体辅助 教学过程: 一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是证明不等式,另一类是解不等 式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1.请同学们回忆一下绝对值的意义。

?a,如果a ? 0 ? a ? ?0,如果a ? 0 ?? a,如果a ? 0 ?
几何意义: a 表示数轴上,坐标为 a 的点 A 到原点的距离,如下图: 2.任意两个实数 a , b 在数轴上的对应点分别为 A,B,则 a ? b 的几何意义是数轴上 A,B 两点之间的距离,即线段 AB 的长度,如下图:

(思考)两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑 的第 10 km 和第 20 km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天 在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小 ,生活区应该 建于何处? (分析) 如果生活区建于公路路碑的第 x km 处, 两施工队每天往返的路程之和为 s( x) km 那么 s( x) ? 2( x ? 10 ? x ? 20 ) 应当如何求解呢? 结合以上复习回顾及思考,我们一起来研究 a , b , a ? b , a ? b 之间有什么关系呢? 二、讲解新课: 探究: 用恰当的方法在数轴上把 a , b , a ? b 表示出来, 你能发现它们之间的关系 ( a, b 是 实数)

1

① a ? b ? 0 时, 如下图, 易得: | a ? b |

| a| ?|b|.

② a ? b ? 0 时, 如下图, 易得: | a ? b |

| a| ?|b|.

③ a ? b ? 0 时,显然有: | a ? b |

| a | ? | b | . 综上,得

定理 1: 如果 a , b 是实数,则 a ? b ? a ? b ,当且仅当 ab ? 0 时,等号成立。 探究:若把 a , b 换为向量 a , b ,情形又怎样呢?
a?b b
a

为了更好的理解定理 1,我们再用代数推理的角度给予证明: 证明: (1) 当ab ? 0时,

ab ?| ab |, | a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |
注意:定理 1 的推广形式:

(2) 当ab ? 0时, ab ? ? | ab |,
| a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |) 2 ?| a | ? | b |

推广 1: a ? b ? a ? b ? a ? b (注意取等条件) 根据定理 1,有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是, a ? b ? b ? a 。 所以, a ? b ? a ? b 推广 2: a ? b ? a ? b ? a ? b (注意取等条件) 将推广 1 中的 b 换为 ? b 即可。 定理 2:如果 a、b、c 是实数,那么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c , 当且仅当 (a ? b)(b ? c ) ≥ 0 时,等号成立。 证明:根据定理 1 有:

a ? c ? (a ? b) ? (b ? c) ? a ? b ? b ? c
当且仅当 (a ? b)(b ? c ) ≥ 0 时,等号成立。 探究:你能给出定理 2 的几何解释吗?
2

三、典型例题:

例 1 已知 ? ? 0, x ? a ? ? , y ? b ? ? , 求证 2 x ? 3 y ? 2a ? 3b ? 5?

证明: 2 x ? 3 y ? 2a ? 3b ? (2 x ? 2a ) ? (3 y ? 3b) ? 2( x ? a) ? 3( y ? b) ? 2 x ? a ? 3 y ? b ? 2? ? 3? ? 5? 所以 2 x ? 3 y ? 2a ? 3b ? 5?
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑 的第 10 km 和第 20 km 处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和 最小,生活区应该建于何处?

· 10

· x

· 20

解:如果生活区建于公路路碑的第 x km 处,两施工队每天往返的路程之和为 s( x) km 那么 s( x) ? 2( x ? 10 ? x ? 20 ) 因为 x ? 10 ? x ? 20 ? ( x ? 10) ? ( x ? 20) ? 10 当且仅当 ( x ? 10)(x ? 20) ? 0 时取等号, 解不等式 ( x ? 10)(x ? 20) ? 0 ,可得 10 ? x ? 20 所以,当 10 ? x ? 20 时,函数 s( x) ? 2( x ? 10 ? x ? 20 ) 取最小值 20。 于是, 生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时, 都能使两个施工队每天往返的 路程之和最小。 四、课堂练习: 1.(课本 P 19 习题 1.2 第 1 题)求证: ⑴ a ? b ? a ? b ≥2 a ; ⑵ a ? b ? a ? b ≤2 b

2. 若 a, b ? R ,且 a ? 3, b ? 2 则 a ? b 的最大值是 3.求函数 f ?x? ? x ?1 ? x ? 1 的最小值.

,最小值是

.

4.若对任意实数,不等式 x ?1 ? x ? 2 ? a 恒成立,求 a 的取值范围.

3

五、高考连线: ( 2014 ?江 西 ) 对 任 意 x , y ∈ R , |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1| 的 最 小 值 为 ( A. 1 B. 2 C. 3

) D. 4

六、课堂小结: 1.实数 a 的绝对值的意义:

? a ( a ? 0) ? ⑴ a ? ? 0 ( a ? 0) ;(定义) ? ? a (a ? 0) ?

⑵ a 的几何意义;

2.定理: 如果 a , b 是实数,则 a ? b ? a ? b ,当且仅当 ab ? 0 时,等号成立。 推广: a ? b ? a ? b ? a ? b (注意取等条件)

七、课外作业: 1.必做:课本 P 19 第 2,4,5 2.选作:求证

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

.

4


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