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概率统计教案






2006-2007 学年第二学期

课 课

程 程

名 编

称: 号:

概率论与数理统计
4111105

学院、专业、年级: 信工学院、计算机、二年级 任 课 教 师: 秦茂玲 信息科学与工

程学院

教 师 所 在 单 位:

山东师范大学

《概率论与数理统计》教案

课程简介
《概率论与数理统计》课程是高等学校各理科专业学生的一门重要的基础必修课、学位课和研究生入学 考试课,是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。概率论与数理统计是本科相关 各专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。通 过本课程的学习,要使学生概率论的基本概念,随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,随机变量的数 字特征,大数定律及中心极限定律,样本及抽样分布,参数估计,假设检验。通过各个教学环节逐步培养学 生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,利用概率论和数理统计的知识解决实际问题, 还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。

2

《概率论与数理统计》教案

教学大纲
课程名称:概率统计 课程编号:4111105 课程类别:基础课 学时数:76 学时(理论 76 学时,实验 0 学时) 学分数:4 先修课程:高等数学、线性代数 适用年级:二年级 适用专业:计算机科学与技术

一、内容简介
本课程是信息科学与工程学院计算机专业基础课,内容包括概率论的基本概念,随机变量及其分布,多 维随机变量及其分布,随机变量的数字特征,大数定律及中心极限定律,样本及抽样分布,参数估计,假设 检验。

二、本课程的性质、目的和任务
概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为学习后继课程和进一步 获取数学知识奠定必要的基础。 通过本课程的学习,要使学生概率论的基本概念,随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,随机变 量的数字特征,大数定律及中心极限定律,样本及抽样分布,参数估计,假设检验。 通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,利用概率 论和数理统计的知识解决实际问题,还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决 问题的能力。

三、本课程与其它课程的关系
本课程是信息科学与工程学院计算机科学与技术专业的基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的 学习,事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。课程基础性、理论性强,与相关课程的学习联系密切, 是全国硕士研究生入学考试统考科目,关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学院的整 体教学水平。

四、本课程的基本要求
基本了解概率论与数理统计的基础理论,充分理解概率论与数理统计数学思想。掌握概率论与数理统计 的基本方法、手段、技巧,并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地概率论与数理统计的 思想方法解决应用问题。

五、课程内容与学时分配 (一)概率论的基本概念(12 学时)
基本要求:
3

《概率论与数理统计》教案

1、熟悉了解样本空间、随机试验、随机事件等的概念。 2、熟练掌握事件之间的关系和事件之间的运算。 3、掌握概率的定义,会运用它的性质计算概率。 4、掌握等可能概型,熟悉它的性质。 5、弄懂条件概念的含义,掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。 6、掌握独立性的概念、并记住在这个条件相应的事件的运算法则。 重点:掌握概率的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。 难点:掌握计算有关事件概率的方法。

(二)随机变量及其分布(10 学时)
基本要求: 1、 掌握随机变量、分布函数、分布率、概率密度的定义及性质。 2、 掌握几种重要的随机变量的分布: (0-1)分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布和正态分布。 重点:熟练掌握(0-1)分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布和正态分布的概率密度表达式及其 性质,会利用它进行概率计算。 难点:运用正态分布概率密度公式的计算。

(三)多维随机变量及其分布(10 学时)
基本要求: 1、 理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式。掌握离散型联合 概率分布、边缘分布和条件分布的求法。 2、 理解连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度,会利用二维概率分布求有关事件的概率。 3、 理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。 4、 掌握二维均匀分布,了解二维正态分布的概率密度,理解其中参数的概率意义。 重点:二维变量的概率分布及概率密度。 难点:求概率分布或概率密度时,确定积分的积分区域和积分的上下限。

(四)随机变量的数字特征(8 学时)
基本要求: 1、 熟练掌握计算随机变量的数学期望和方差,了解判断数学期望存在的条件。 2、 掌握数学期望和方差的几个重要性质。 3、 了解协方差及相关系数的概念及其性质,并掌握他们的求解方法。 4、 了解矩和协方差矩阵的概念。 5、 熟悉 n 维正态分布的几条重要性质。 重点:求随机变量的数学期望和方差。 难点:矩、协方差矩阵。 (五)大数定律及中心极限定理(6 学时) 基本要求: 1、 掌握依概率收敛的涵义。 2、 掌握契比雪夫定理的特殊情况。 3、 掌握伯努利大数定理。 4、 了解辛钦定理。 5、 掌握独立同分布的中心极限定理。了解李雅普诺夫定理。 6、 了解棣莫弗-拉普拉斯定理。 重点:1、掌握依概率收敛的涵义。2、掌握伯努利大数定理。3、掌握独立同分布的中心极限定理。 难点:1、理解辛钦定理。运用棣莫弗-拉普拉斯定理。

(六)样本及抽样分布(8 学时)
基本要求:
4

《概率论与数理统计》教案

1、 理解总体、简单随机样本的概念。 2、 理解统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。 3、 了解 ? 分布、 t 分布和 F 分布概念的性质。
2

4、 了解分位数的概念并会查表。 5、 了解正态总体的常用抽样分布。 重点: ? 分布、 t 分布和 F 分布的性质及应用。
2

难点:正态总体样本均值与样本方差的分布。

(七)参数估计(10 学时)
基本要求: 1、 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念。 2、 掌握矩估计法(一阶、二阶)和最大似然估计法。 3、 了解估计量的无偏差、有效性和一致性的概念。 4、 会验证估计量的无偏差性。 5、 了解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。 重点:用矩估计法和最大似然估计法求参数的点估计。 难点: ? 为未知参数,如何评价一个区间估计量( ? 1 , ? 2 )的优劣。
? ?

(八)假设检验(8 学时)
基本要求: 1、 理解假设检验的概念。 2、 掌握正态总体均值的假设检验。 3、 掌握正态总体方差的假设检验。 重点:掌握正态总体均值和方差的假设检验。 难点:理解假设检验的基本思想。

六、教材与参考书
? ? 教材
《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社,2001,12。

参考书
[1]《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

七、本课程的教学方式
本课程的特点是理论性强,思想性强,与相关基础课及专业课联系较多,教学中应注重启发引导学生掌 握重要概念的背景思想,理解重要概念的思想本质,避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到 的问题概念与概率论与数理统计的概念结合起来,使学生体会到学习概率论与数理统计的必要性。注重各教 学环节(理论教学、习题课、作业、辅导参考)的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节,使学生加深对课 堂教学内容的理解,提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习概率论与 数理统计。由于学科特点,本课程教学应突出教师的中心地位,通过教师的努力,充分调动学生的学习兴趣。

5

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第一周 第一章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.2 样本空间、随机事件 1.3 频率与概率 课堂教学 任课教师 及职称

第 1、2 次课

授课章节

教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书

课时安排

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解随机试验、样本空间、随机事件、频率、概率等基本概念。 2.掌握样本空间、随机事件、概率等基本概念。 教学重点,难点: 样本空间、随机事件、概率等基本概念。 教学内容: 第一章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 这里试验的含义十分广泛,它包括各种各样的科学实验,也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的 例子有: E1:抛一枚硬币,观察正面 H(Heads) 、反面 T(Tails)出现的情况。 E2 :将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况。 E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数。 E4:抛一颗骰子,观察出现的点数。E5:记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。 E7:记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。 这些实验具有以下特点: ?可以在相同的条件下重复进行; ?每次实验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验的所有可能结果; ?进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。1.2 样本空间、随机事件 一、基本概念 定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为 S 。样本空间的元素, 即 E 的每个结果,称为样本点。S1 : { H , T } S2 : { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT } S3 : { 0, 1, 2, 3 } S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

6

《概率论与数理统计》教案

E5:记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。 E7:记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。 S5 : {0,1,2,3……} S6 : { t | t ? } 0 S7 : { ( x , y ) | T 0?x , y ?T1 }定义: ?随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件; ?基本事件 : 有一个样本点组成的单点集; ?必然事件 : 样本空间 S 本身; ?不可能事件 : 空集 ?。 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含 的一个样本点在试验中出现.例如:S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT} 表示 “第一次出现的是正面” S6 中事件 B1={t|t<1000} 表示 “灯泡是次品” 事件 B2={t|t ? 1000} 表示 事件
A ? B

“灯泡是合格品” B3={t|t? 1500} 包含关系 20 和事件 30 积

表示 “灯泡是一级品” 事件间的关系与运算 10 二、 事件 40 差事件 50 互不相容 60

对立事件随机事件的运算规律幂等律:交换律:结合律:分配

律:De Morgan 定律:1.3 频率与概率 1) 频率的定义和性质

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《概率论与数理统计》教案

定义 在相同的条件下,进行了 n 次试验, 在这 n 次试验中,事件 A 发生 的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率, 并记成 fn(A) 。它具有下述性质:
1 ? ? 0 ? f n ( A) ? 1 ; f ( S ) ? 1;

2

n

3

?

若 A1 , A 2 , ? , A k 是两两互不相容事件
f n ( A1 ? A 2 ? ? ? A k )

,则

? f n ( A 1) ? f n ( A 2 ) ? ? ? f n ( A k )

2 )
1
0

P ( A1 ? A 2 ? ? ) ? P ( A 1) ? P ( A 2 ) ? ?

频率的稳定性 设 E 是随机试验,S 是它的样本空

0 ? P ( A) ;

3) 概率的定义定义

间,对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数,记为称为事件 A 的概率,要求 集合函数满足下列条件:
2
3
0

P (S ) ? 1 ;
若 A 1 , A 2 , ? 是两两互不相容事件 ,则

0

性质 1
性质 2

P (? ) ? 0 ;
若 A 1 , A 2 , ? , A n 是两两互不相容事件 ,则
P ( A1 ? A 2 ? ? ? A n ) ? P ( A 1) ? P ( A 2 ) ? ? ? P ( A n )

性质

3

A ? B ? P (B ? A) ? P (B ) ? P ( A) P (B ) ? P ( A)

性质

4

P ( A) ? 1 ;

4 )概率的性质与推广

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《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题一:1、2、4

下次课预习要点 1. 古典概型的概念。 2. 条件概率的概念。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

9

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第二周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第一章 概率论的基本概念 1.4 等可能概型 1.5 条件概率 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 3、4 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解古典概型,条件概率、划分等基本概念。 2.掌握古典概型公式,条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式。 教学重点,难点: 条件概率的概念及全概率公式、贝叶斯公式。 教学内容: 1.4 等可能概型

生活中有这样一类试验,它们的共同特点是: ??样本空间的元素只有有限个;??每个基本事件发生的可能性相同比如:足 ? ? 球比赛中扔硬币挑边,围棋比赛中猜先。我们把这类实验称为等可能概型,考 虑到它在概率论早期发展中的重要地位,又把它叫做古典概型。设 S ={e1,

e2, …en }, 由古典概型的等可能性,得 P{e1} = P{e2} = …= P{en}
又由于基本事件两两互不相容;所以
1 ? P { S } ? P { e1 } ? P { e 2 } ? ? P { e n }, 1 P { e i } ? , i ? 1, 2 , ? , n . n

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《概率论与数理统计》教案

若事件 A 包含 k 个基本事件,即 A ={e1, e2, …ek }, 则有 : 例 1 将一枚硬
P ( A) ? k n ? A 包含的基本事件数 S 中基本事件总数 .

币抛掷三次。设:事件 A1 为“恰有一次出现正面” , ? 事件 A2 为“至少有一次出现正面” ,求 P (A1 ), P (A2 )。解:根据 上一节的记号,E2 的样本空间 S2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT}, n = 8,即 S2 中包含有限个元素,且由对称性知每个基本事件发生
k2 = 7 , P ( A 2) = k2 n = 7 8 ,

的可能性相同, 属于古典概型 A1 为 “恰有一次出现正面”A1={HTT, THT, TTH}, , 事件 A2 为“至少有一次出现正面”,A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,

k = 3,

P ( A 1) =

k n

=

3 8

,

TTH }例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、2 只红球。从袋中取球两 次,每次随机的取一只。考虑两种取球方式: ?放回抽样 ?不放回抽样 第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球。 第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球。

分别就上面两种方式求: 1)取到的两只都是白球的概率;2)取到的两只球颜色相同的概率;3)取到 的两只球中至少有一只是白球的概率。

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《概率论与数理统计》教案

解:从袋中取两球,每一种取法就是一个基本事件。设 A=“取到的两只都是 白球” ,B=“取到的两只球颜色相同 ” ,C=“取到的两只球中至少有一只是白 球”。
P ( A) ?
P( A) ? 4 6
2 2

C4

2

C6
? 0 . 444

2

P(B) ?
2

C4 ? C2
2 2

2

P (C ) ? 1 ? P (C ) ? 1 ?

C2
2 2

2 2

P(B ) ?

C6 2 4 ?2

C6

6

2

? 0 . 556

P (C ) ? 1 ? P (C ) ? 1 ?

2 6

? 0 . 889

有放回抽取:无放回抽取:例 3 将 n 只球随机的放入 N (N ? n)个盒子中去,求 每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。例 4 设有 N 件产品,其 中有 D 件次品,今从中任取 n 件,问其中恰有 k(k?D)件次品的概率是多少?例 5 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去,这 15 名新生中有 3 名是优秀 生。问:(1)每个班各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优秀生分配到 同一个班级的概率是多少?某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已知所有 这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有 规定的?
1.5 条件概率
一、 条件概率
P?A? ? 0
P ?B A ? ? P ? AB P?A?

?

条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。 它所考虑的是事件 A 已经发生的 条件下事件 B 发生的概率。设

A、B 是某随机试验中的两个事件,且

则称为

在事件 A 已发生的条件下事件 B 的条件概率, 简称为 B 在 A 之下的条件概率。

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《概率论与数理统计》教案

条件概率的性质: (1)非负性:对任意事件 B,P(B|A)?0(2)规范性:P(S|A) ?0(3)可列可加性: 如果随机事件 B1,B2,B3,…两两互不相容,则 P(B1?B2?B3?…)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+…例 1 已知某家庭有 3 个小孩, 且 至少有一个是女孩,求
P ? AB

? ? P ? A ?P ?B A ?

该家庭至少有一个男孩的概率.由条

件概率的计算公式,我们得 这就是两个事件的乘法公式.例 2 袋中有一个白球与一个黑球,现每次从中 取出一球,若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为 止.求取了 n 次都未取出黑球的概率.例 3 设某光学仪器厂制造的透镜,第 一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率 为 7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为 9/10。求透镜落下三 次而未打破的概率。定义 的一组事件。若满足: (1) 两互不相容; (2)它们的和事件是必然事件。则称 B1,B2,B3,…,Bn 为 样本空间 S 的一个划分。设 S 为试验 E 的样本空间,B1,B2,B3,…,Bn 为 S 的一个划分,A 为 S 的事件,且 P(Bi)>0,则有 P(A) = ?i=1 to nP(Bi)P(A|Bi). 设 S 为试验 E 的样本空间,B1,B2,B3,…,Bn 为 E

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《概率论与数理统计》教案

例 4 某小组有 20 名射手, 其中一、 二、 三、 四级射手分别为 2、 9、 名. 6、 3 又 若选一、 二、 三、 四级射手参加比赛, 则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85、 0.64、0.45、0.32,今随机选一人参加比赛,试求该小组在比赛中射中目标的 概率.2.Bayes 公式 设 S 为试验 E 的样本空间, B1,B2,B3,…, 为 S 的一个划分, 为 S 的事件, Bn A 且 P(A)>0,则有
P (Bi | A) ? P (Bi A) P ( A) ? P( A | Bi )P(Bi ) n ? P( A | B j )P(B j ) j ?1 , i ? 1, 2 , ? , n

例 5 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的, 且无区别的标志。 在仓库中随机的取一只晶体管, (1) 求它是次品的概率。 (2)在仓库中随机的取一只晶体管,若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工 厂的可能性最大?例

6 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时,产品的

合格率为 90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为 30%。每天早上机器开 动时,机器调整良好的概率为 75%。已知某天早上第一件产品是合格品,试 求机器调整得良好的概率是多少?

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《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题一:6、8、11、18

下次课预习要点 事件的独立性的概念。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

15

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第三周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第一章 概率论的基本概念 1.6 独立性 习题课 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 5、6 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解事件的独立性的概念。 2.掌握事件的独立性的性质。 教学重点,难点: 事件的独立性的概念。 教学内容: 1.6 独立性 一、事件独立性的定义 设 A、B 是两个随机事件,如果 P ? AB ? ? P ? A ? P ? B ? 机事件. 则称 A 与 B 是相互独立的随 事件独立性的性质: 1) 如果事件 A 与 B 相互独立,而且 P(A)>0,则有 P(B|A) = P(B). 2)必然事件

S 与任意随机事件 A 相互独立;不可能事件Φ 与任意随机事件 A
A 与 B、 A 与 B 、 A 与 B

相互独立.3)若随机事

件 A 与 B 相互独立,则

也相互独立.注意:在实际应用中,对于事件的独立性,我们往往不是根据定 义来判断,而是根据实际意义来加以判断的。具体的说,题目一般把独立性作 为条件告诉我们,要求直 事件 A 与 B 满足: 若事件 A 与 B 相互独立,则 AB≠Φ ;
P ? A ?P ? B ? ? 0

接应用定义中的公式进行计算.例 1 设

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《概率论与数理统计》教案

若 AB =Φ ,则事件 A 与 B 不相互独立.此例说明:互不相容与相互 独立不能同时成立。二、三个事件的独立性设 A、B、C 是三个随机事件,如 果
? P ? AB ? ? P ? A ? P ? B ? ? ? P ? BC ? ? P ? B ? P ?C ? ? ? P ? AC ? ? P ? A ? P ?C ? ? P ? ABC ? ? P ? A ? P ? B ? P ?C ? ?

设 A1, A 2, ? , A n 为 n 个随机事件,如果下列

等式成立:

则称 A、B、C 是相互独立 件. 注意 在三个事 的定义中,四个等
?

的随机事 件独立性 式是缺一 个等式的

?1 ? i ? j ? n ? ? P A i A j ? P ? A i ?P A j ? ? A i ?P A j P ? A k ? ?1 ? i ? j ? k ? n ? P Ai A j Ak ? P ? ? ?? ? ? ? P A i1 A i 2 ? A i m ? P A i1 P A i 2 ? P ( A i n ) ? 1 ? i 1 ? i 2 ? ? ? i m ? n ? ?? ? ? P ? A1 A 2 ? A n ? ? P ? A1 ?P ? A 2 ? ? P ? A n ? ?

? ?

?

?

? ? ? ?

?

?

? ? ?

?

不可的.即:前三 成立不能推出第四

个等式的成立;反之,最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立.n 个 事件的相互独立性

则称 A , A , ? , A 这 n 个随机事件相互独立. 1 2 n

例 2 设有电路如图,其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与 否相互独立, 且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。 L 至 R 为通路的概 求 率。 例 3 要验收一批 ( 100 件) 乐器。验收方案如下:自该批乐器中随机 地抽取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的) 如果至少有一件被测 , 试为音色不纯, 则拒绝接受这批乐器。 设一件音色不纯的乐器被测试出来的概 率为 0.95,而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。

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《概率论与数理统计》教案

如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的,问这批乐器被接受的概率是多少? 例 4 袋中装有 4 个外形相同的球,其中三个球分别涂有红、白、黑色,另一 个球涂有红、白、黑三种颜色.现从袋中任意取出一球,令: A={ 取出的球涂有红色 } B={ 取出的球涂有白色 } C={ 取出的球涂有黑色 } 试判断 A,B,C 的独立性。
第一章 小结 1

阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关系及运算。

2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性质。 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。 4 给出了随机事件独立性的概念,会利用事件独立性进行概率计算。

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《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题一:20、21、28

下次课预习要点 1. 随机变量的概念。 2. 离散型随机变量的定义及分布律的概念。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

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《概率论与数理统计》教案

授课时间 第四周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 2.2 离散型随机变量及其分布律 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 7、8 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解随机变量的基本概念。 2.掌握用随机变量表示事件的方法、离散型随机变量的分布律及性质、常见的几种离散分布。 教学重点,难点: 随机变量、分布律等基本概念。 教学内容: 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量 随机变量的概念

设 E 是一个随机试 间上的函数

为一个随机变量,如果对于任意的实数 x,集合都是随机事件.说明随机变量
常用大写的英文字母 X、Y、Z…或希腊字母?、?、等来表示。?

(2)对于随机变量,我们常常关心的是它的取值。我们设立随机变量,是要 用随机变量的取值来描述随机事件.例 1 掷一颗骰子,令 X:出现的点数.则 X 就是一个随机变量.它的取值为 1,2,3,4,5,6.则 的点数不超过 4 这一随机事件;
{X ? 4}

20

?x

? X? ? ? x ? ? e? X : e ?

? S ? e?

? e? X

? X

验,S 是其样本空间.我们称样本空

表示掷出

《概率论与数理统计》教案

{X 取偶数表示掷出的点数为偶数这一随机事件. 2 例

一批产品有 50 件,

其中有 8 件次品,42 件正品.现从中取出 6 件,令 X:取出 6 件产品中的次品数.则 X 就是一个随机变量.它的取值为 0,1, 2, 6. …, 则
{X = 0}

表示取出的产品全是正品这一随机事件;

{X ? 1}



示取出的产品至少有一件次品这一随机事件.例 3 上午 8:00~9:00 在某路口 观察,令 Y: 该时间间隔内通过的汽车数. Y 就是一个随机变量. 则 它的取值为 0, 1, …. 则
{Y<100}

表示通过的汽车数小于 100 辆这一随机事件; 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件.

{50 < Y

? 100}表示通过的汽车数大于

注意 Y 的取值是可列无穷个!
2.2 离散型随机变量及其分布律 一. 离散型随机变量的概念与性质

1.离散型随机变量的定义如果随机变量 X 的取值是有限个或可列无穷

个,则称 X 为离
的分布 取值为
P? X ? xn

x1 , x 2 , ? , x n , ?

散型随机变量. 2.离散型随机变量
律设离散型随机变量 X 的所有可能

??

pn

?n

? 1,

2,

?

?

并设则称上式为离散型随机变量 X 的分布律.

21

《概率论与数理统计》教案

说明 离散型随机变量可完全由其分布律来刻划. 即离散型随机变量可完全由
其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定. 3.离散型随机变量分布律的性质:

对任意的自然数 k 有 pk ? 0;
例 1 从 1~10 这 10 个数字中随机取出 5 个数字,令 X:取出的 5 个数字中的 最大值.试求 X 的分布律. 解: X 的取值为 5,6,7,8,9,10.并且具体写出,即可得 X 的分布律。
P ?X ? k ? ? C k ?1 C 10
5 4

?k

? 5 , 6 , ? , 10

?

例 2 将 1 枚硬币掷 3 次,令 X:出现的正面次数与反面次数之差. 试求 X 的分布律. 例 3 设随机变量 X 的分布律为试求常数 c.
?1? P ?X ? n? ? c ? ? ?4?
n

?n

? 1, 2 , ?

?

例 4 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过.以 X 表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯的 盏数,求 X 的分布律.(信号灯的工作是相互独立的). 二、一些常用的离散型随机变量 1) Bernoulli 分布如果随机变量 X 的分布律为
P ? X ? 0 ? ? 1 ? p , P ? X ? 1? ? p

22

《概率论与数理统计》教案

则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli 分布. 例 5 15 件产品中有 4 件次品,11 件正品.从中取出 1 件.令
4 ? ?1 ? X ? P ,
n
k

值为 0 或者 1,并且

2)二 项 分 布

?C
k ?0

n

k n

p

k

?1 ? p ? n ? k

? ? p ? ?1 ? p ?? ? 1

Cn p

k

k

?1 ? p ? n ? k

? 0

如果随机变量 X 的分布律为

则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布,记作 X~B(n,p).
分布律的验证⑴. 由于 0 ?
P ?X ? k ? ? C n p
k

及 n 为自然数,可知⑵.又由二项式定理,可知所以是分布律. 例 6 一张考卷上有 5 道选择题,每道题列出 4 个可能答案, 其中只有一个答案是正确的.某学生靠猜测至少能 答对 4 道题的概率是多少?

11

? ?0 ? X? P

X:取出

?k

? 0, 1, ? , n

P ?X ? k ? ? C n p
k

23

51

51

的一件产品中的次品数. X 的取 则

? 4 ? .? ,1 ? B ~ X ? 51 ?

:即

?
k

?1 ? p ? n ? k

?k

? 0, 1, ? , n

?

?1 ? p ? n ? k

?k

? 0, 1, ? , n

? p?1以

《概率论与数理统计》教案

3)Poisson 分布如果随机变量 X 的分布律为其中?????为常数,则称随机变
P ?X ? k ? ?

?

k

e

??

?k

? 0, 1, 2, ?

?

k!

量 X 服从参数为λ 的 Poisson 分布.

?
k ?0

?

?

k

e

??

? e

??

k!

?
?
k ?0 k

?

?

k

? e
??

??

e

?

k!

?1

e

? 0

k!

分布律的验证⑴ 由于?????,可知对任意的自然数 k,有⑵ 又由幂级数的 展开式,可知所以是分布律.

Poisson 分布的应用 ?Poisson 分布是概率论中重要的分布之一. ?自然界及工程技术中的许多随机指标都服从 Poisson 分布.
P ?X ? k ? ?

?

k

e

??

?k

? 0, 1, 2, ?

?

k!

?例如,可以证明,电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数,放 射物在某一时间间隔内发 射的粒子数,容器在某一时间间隔内产生的细菌数,某一时间间隔 内来到某服务台要求服务的人数,等等,在一定条件下,都是服从 Poisson 分布的.

24

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题二:3、4、6、12

下次课预习要点 1.分布函数的概念。 2.连续型随机变量的定义、连续型随机变量概率密度的性质。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

25

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第五周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数 2.4 连续型随机变量及其概率密度 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 9、10 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解分布函数的概念。 2.掌握连续型随机变量的定义、连续型随机变量概率密度的性质。 教学重点,难点: 分布函数的概念、连续型随机变量概率密度的定义及性质。 教学内容: 2.3 随机变量的分布函数

1. 概念
定义 设 X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数 F ( x ) ?
P { X ? x}

称为 X 的分布函数.对于任意的实数 x1, x2 (x1< x2) ,有:
P { x1 ? X ? x 2 } ? P { X ? x 2 } ? P { X ? x1 } ? F ( x 2 ) ? F ( x 1 ).

例 1 一个靶子是半径为 2 米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率 与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随机变量 X 的分布函数.

2. 分布函数的性质分别观察离散型、连续型分布函数的图象, 可以 看
出,分布函数 F(x) 具有以下基本性质:

26

《概率论与数理统计》教案

10

F (x) 是一个不减的函数.20
F ( x ? 0 ) ? F ( x ), 即 F ( x ) 是右连续的
F ? x ? ? A ? Barctgx

0 ? F ( x ) ? 1, 且 F ( ?? ) ? lim F ( x ) ? 0 ; F ( ? ) ? lim F ( x ) ? 1 .
x ? ?? x? ?

30

.

例 2 设随机变量 X 的分布函数为
? x ? ??

?? ?

?

试求常数 A、B.
2.4 连续型随机变量及其概率密度 一. 连续型随机变量的概念与性质

定义 如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 存在非负函数 f (x), 使得对于任 意实数 x, F ( x ) ? ? 有
x ??

f ( t ) dt , 则称

X 为连续型随机变量, 其中函数 f (x) 称为 X

的概率密度函数,简称概率密度.由定义知道,概率密度 f(x) 具有以下性质:
(2)
0

?

?

??

f ( x )dx ? 1 .

3

P { x1 ? X ? x 2 } ? F ( x 2 ) ? F ( x1 ) ?

?

x2 x1

f ( x ) dx . ( x 1 ? x 2 )

4

0

若 f ( x ) 在点 x 处连续,则有 F ? ( x ) ? f ( x ).

例 1 设 X 是连续型随机变量,其密度函数为
(1)求常数 c; (2)求 P{X > 1}.

?c 4 x ? 2 x 2 f ?x ? ? ? 0 ?

?

?

0? x ? 2 其它

27

《概率论与数理统计》教案

二.一些常用的连续型随机变量 1.均匀分布若随机变量 X 的密度函数为
? 1 ? f ?x ? ? ? b ? a ? 0 ? a ? x ?b 其它

则称随机变量 X 服从区间[a,b]上的

均匀分布.记作 X ~ U[a , b]. 密度函数的验证 X 服从区间[a,b]上的均匀分布,f(x)是其密度函数,则有:f(x) ?
0. ⑵. ? f ? x ?dx
?? ?? a

?

?
??

f ? x ?dx ?

b

?
a

f ? x ?dx ?

??

?
b

f ? x ?dx

b

?

f(x) ? b ? a dx 由此可知, 确是密度函
a

1

数.

例 2 设公共汽车站从上午 7 时起每隔 15 分钟来一班车,如果某乘客到达此站的 时间是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量. 试求该乘客候车时间不超过 5 分钟 的概率. 2. 指数分布如果随机变量 X 的密度函数为 f ? x ? ? ? ? e
? ?
? ?x

x ? 0 x ? 0

0

其中???为常数,

则称随机变量 X 服从参数为?的指数分布.
密度函数的验证 设 X
⑴.对任意的

~ 参数为 ? 的指数分布,
x ,有 f ? x ? ? 0 ;

f ? x ?是其密度函数,则有:

28

《概率论与数理统计》教案
??

⑵.

?
??

f ? x ?dx ?

0

?
??

f ? x ?dx ?

??

?
0

f ? x ?dx ?

??

??e
0

? ?x

dx ? ? ? e

? ?x

?? 0

=1

由此可知,

? ? e ? ?x f ?x ? ? ? ? 0

x ? 0 x ? 0

确是一密度函数.

例 3 设打一次电话所用的时间 X(单位:分钟)是以??????为参数的指数随 机变量,如果某人刚好在你前面走进公用电话间,求你需等待 10 分钟到 20 分钟的概率。 3.正态分布
如果连续型随机变量 X 的密度函数为
f ?x ? ? 1 2? ?
?

? x ? ? ?2
2?
2

e

?? ?

? x ? ??

?

则称随机变量

X 服从参数为

?? , ? ? 的正态分布.记作
2

X ~ N (? , ?

2

).

正态分布密度

函数的图形性质
⑴.曲线关于直线 x ? ? 对称,这表明:对于任 意的 h ? 0,有 P ?? ? h ? X ? ? ? ? P ?? ? X ? ? ? h ?

⑵.当 x ? ? 时, f ? x ?取到最大值 1 f ?? ? ? 2? ? x 离 ? 越远, f ? x ?的值就越小.这表明, 变量 X 落在该区间中的概率就 越小.
⑶.曲线

对于同样长度的区间,

当区间离

? 越远时,随机

y ? f ? x ? 在 x ? ? ? ? 处有拐点;曲线
f ? x ?的图形沿 ? 所确定.

y ? f ? x ?以 Ox 轴为渐近线.
x 轴平行移动,但不改变 其形状.

⑷.若 ? 固定,而改变 ? 的值,则 因此 y ? f ? x ?图形的位置完全由参数

⑸.若 ? 固定,而改变 f ?? ? ?

? 的值,由于
1

f ? x ?的最大值为

2? ? 可知,当 ? 越小时, y ? f ? x ?图形越陡,因而 当 ? 越大时, y ? f ? x ?的图形越平坦,这表明

X 落在 ? 附近的概率越大;反之 X 的取值越分散.



29

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题二:15、21、22

下次课预习要点 随机变量的分布函数的概念及分布。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

30

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第六周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第二章 随机变量及其分布 2.4 连续型随机变量及其概率密度(续) 2.5 随机变量的函数的分布 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 11、12 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解随机变量的函数的基本概念。 2.掌握随机变量的函数的分布的求法。 教学重点,难点: 随机变量的函数的基本概念。 教学内容:

正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布,这可以由以下情形加以说明: ⑴. 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一, 大量的随机现象都 是服从或近似服从正态分布的.可以证明,如果一个随机指标受到诸多因 素的影响,但其中任何一个因素都不起决定性作用,则该随机指标一定服 从或近似服从正态分布. ⑶. 正态分布有许多良好的性质,这些性质是其它许多分布所不具备的. 正态分布可以作为许多分布的近似分布. 标准正态分布
若 ? ? 0, ? ? 1 ,我们称
标准正态分布的密度函

N ? 0, 1 ?为标准正态分布.
1 2?
? x
2

数为 ? ? x ? ?

e

2

?? ?

? x ? ??

?

31

《概率论与数理统计》教案

一般正态分布的计算 设 X
? F X ( x ) ? P{ X ? x} ? P {

~ N ?, ? x? ?

?

2

? ,则

Y ?

X ? ?

?
)

~ N ( 0, 1 )

X ? ?

?

?

?

} ? ?(

x? ?

?

故对任意的

a ? b, 有

P{a ? X ? b} ? ? (

b-?

?

) ? ?(

a ? ?

?

).

例4

设随机变量 X ~ N ? 2, 9 ? ,试求:⑴. ⑶. P ? X ? 0 ?.

P ?1 ? X ? 5 ?;⑵. P ? X ? 2 ? 6 ?;

上?分位点的定义

设 X ~ N ( 0 , 1 ), 若 z ? 满足条件 P{X ? z ? } ? ? , 0 ? ? ? 1, 则称点 z ? 为标准正态分布的上 ? 分位点。
2.5 随机变量的函数的分布 随机变量的函数

设 X 是一随机变量,Y 是 X 的函数,Y=g(X),则 Y 也是一随机变量,当 X 取 x 值时,Y 取 y=g(x)。现在已知随机变量 X 的分布,要求 Y 的分布。
设 X 是一连续型随机变量, 其密度函数为 f X ? x ?,

再设 Y ? g ? X ? 是 X 的函数 ,我们假定
我们要求的是 Y ? g ? X ?的密度函数

Y 也是连续型随机变量.
f Y ? y ?.

解题思路
⑴.先求 Y ? g ? X ?的分布函数 F Y ? y ? ? P ?Y ? y ? ? P ?g ? X

? ? y? ?

?

f X ( x ) dx

g ( x )? y

⑵.利用 Y ? g ? X ?的分布函数与密度函数 求 Y ? g ? X ?的密度函数 f Y ? y ? ? FY? ? y ?

之间的关系

例 1 设随机变量 X 具有概率密度:

?x ? , fX (X ) ? ?8 ? ? 0,

0 ? x ? 4, 其它 .

32

《概率论与数理统计》教案

试求 Y=2X+8 的概率密度. 例 2 设随机变量 X 具有概率密度 f X ( x ), 随机变量 X 具有概率密度
f X ( x ), ? ? ? x ? ? ,

? ? ? x ? ?, 求 Y

= X 2 的概率密度.定理设

又设函数

g ( x ) 处处可导,且有

g ? ( x ) ? 0 ( 或恒有

g ? ( x ) ? 0 ). 则 Y =g(X )是一
? ? y ? ?,

个连续型随机变量 Y,其概率密度为

? f X [ h ( y )] | h ? ( y ) |, ? fY ( y ) ? ? ? 0, ?


其中
其它 .

?1 h(y)是 g(x)的反函数,即 x ? g ( y ) ? h ( y )

? ? min{ g ( ?? ), g ( ? )}, ? ? max{ g ( ?? ), g ( ? )}.
若 f ( x ) 在有限区间 [ a , b ] 以外等于零,则只须假 ? ( x ) ? 0 ), 此时仍有: ( 或恒有 g 设在 [ a , b ] 上恒有 g ? ( x ) ? 0

这里 ? ? min{ g ( a ), g ( b )}, ? ? max{ g ( a ), g ( b )}.

例3 例

设随机变量

X ~ N (? ,?

2

), 试证明 X 的线性函数

Y ? aX ? b ( a ? 0 ) 也服从正态分布
, 在区间

.

设电压 V ? A sin ? , 其中 A 是一个已知的正常数 , 相角 ? 是一个随机变量 4 ? ? ? , ? ? 上服从均匀分布 , 试求随机变量 V 的概率密度 . ? ? ? 2 2 ?

第二章小结
1 引进了随机变量的概念,要求会用随机变量表示随机事件。 2 给出了分布函数的定义及性质,要会利用分布函数示事件的概率。 3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性质,要会求离散型随机变量的分布率及分 布函数,掌握常用的离散型随机变量分布:两点分布、二项分布、泊松分布。 4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质,要掌握概率密度与分布函数之间关系 及其运算,掌握常用的连续型随机变量分布:均匀分布、指数分布和正态分布。 5 会求随机变量的简单函数的分布。

33

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题二:24、28、33

下次课预习要点 1.二维随机变量的定义。 2.二维随机变量的分布函数的概念。 3.二维离散型随机变量的分布律及性质,二维连续型随机变量的概率密度及性质。 4.二维随机变量的边缘分布。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

34

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第七周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 13、14 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解二维随机变量、二维随机变量的分布函数、二维随机变量的边缘分布等基本概念。 2.掌握二维离散型随机变量的分布律及性质,二维连续型随机变量的概率密度及性质。 教学重点,难点: 二维连续型随机变量的概率密度及性质、二维随机变量的边缘分布等基本概念。 教学内容: 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量

一、二维随机变量的定义 设 E 是一个随机试验,它的样本空间是 S={e},设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ,叫做二维随机向 量,或二维随机变量。说明:
(1)我们应把二维随机变量(X,

Y) 看作一个整体,因为 X 与 Y 之间是有

联系的。在几何上,二维随机变量(X, Y)可看作平面上的随机点。
二维随机变量的例子
(1)考察某地区成年男子的身体状况, X:该地区成年男子的身高; : 令 Y

该地区成年男子的体重;

35

《概率论与数理统计》教案

则(X,Y)就是一个二维随机变量。对一目标进行射击,令: 弹着点与

目标的水平距离;Y:弹着点与目标的垂直距离;则(X,Y)就是一个二
维随机变量。
二、二维随机变量分布函数的定义
设 ? X , Y ? 是一个二维随机变量,
F ? x , y ? ? P ?X ? x , Y ? y ?

则对于任意一对实数

?x,

y ?,

是 ? x , y ?的函数.我们称此函数

为二维随机变量

?X,

Y ?的分布函数

.

二元分布函数的几何意义

表示平面上的随机点(X,Y)落在以(x,y) 为右上顶点的无穷矩形中的概 率。

一个重要的公式 设:

x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 , 则

P ?x1 ? X ? x 2 , y 1 ? X ? y 2 ? ? F ? x 2 , y 2 ? ? F ? x 2 , y 1 ? ? F ? x1 , y 2 ? ? F ? x1 , y 1 ?

分布函

数具有以下的基本性质: (1)F(x , y )是变量 x , y 的不减函数,即 对于任意固定的 y , 当 x1< x2 时, F ( x
1

, y ) ? F ( x 2 , y ); ) ? F ( x , y 2 ); 0 ? F ( x , y ) ? 1, 且对于任

对于任意固定的 x , 当 y1< y2 时, F ( x , y 意固定的 y ,
F ( ?? , y ) ? 0 ;

1

对于任意固定的 x ,

F ( x , ?? ) ? 0 ; F ( ?? , ?? ) ? 0 ; F ( ? , ? ) ? 1;

36

《概率论与数理统计》教案

(3)F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y ) 关 于

F (x , y )=F(x ,y+0), 即 x 右连续 , 关于 y 也 右 连续 .
( 4 )

F ( x 2 , y 2 ) ? F ( x 2 , y 1 ) ? F ( x1 , y 1 ) ? F ( x1 , y 2 ) ? 0 .

说明:

上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质, 即任何二维随机变量 的分布函数都具有这四条性质;更进一步地,我们还可以证明:如果某一二元 函数具有这四条性质, 那么, 它一定是某一二维随机变量的分布函数 (证明略) . 三、n 维随机变量的定义
设 E 是一个随机试验, S 是其样本空间 , X i ? X i ?e ?

? e ? S ? ?i

? 1, 2, ? , n ?

是该样本空

间上的 n 个随机变量.则称
? X 1,
X 2, ? , X
n

? ? ? X 1 ?e ?,

X

2

?e ?,

?, X

n

?e ??

?e?

S

? 为样本空间

S 上的 n 维随机变量.
四、二维离散型随机变量

若二维随机变量(X,Y)的取值是有限个或可列无穷个,则称(X,Y)为 二维离散型随机变量。 (X,Y)为二维离散型随机变量,X 的取值为
x1 , x 2 , ? , x i , ? Y 的取值为 y 1 , y 2 , ? , y j , ? 则称
Pij ? P ? X ? x i , Y ? y

j

? ?i , j ? 1,

2, ? ?

为二维随机变量(X,Y)的(联合)分布律.
二维离散型随机变量联合分布律的性质

性质 1 对任意的(i,j),i,j=1,2,…有 p 性质 2 ?
i, j

ij

? P? X ? xi, Y ? y

j

?? 0

p ij ? 1

37

《概率论与数理统计》教案

例 1 将两个球等可能地放入编号为 1,2,3 的三个盒子中.放入 1 号盒中

的球数;放入 2 号盒中的球数;试求(X,Y)的联合分布律.例
2 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个数中等可能地取值, 另一个随机变量 Y 在 1~X 中
等可能地取一整数值。试求( X,Y )的分布律。 二维离散型随机变量的联合分布函数(X,Y)为二维离散型随机变量,其 (联合)分布律为 P
ij

? P? X ? xi, Y ? y

j

? ?i , j ? 1,

2, ? ? 则(X,Y)

的联合分

布函数为 F ? x , y ? ?

?
xi ? x, y j ? y

p ij

五、二维连续型随机变量 对于二维随机变量(X,Y)分布函数 F(x , y),如果存在非负函数 f (x , y ),使得对 于任意的 x,y 有 F ( x , y ) ? ? ?
?? y x ??

f ( u , v ) dudv , 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量,

函数 f (x , y )称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为 X 和 Y 的联合概率密 度。按定义,概率密度 f (x , y ) 具有以下性质: f (x , y ) ? 0;
2) ? ? ?? ??
? ?

f ( u , v ) dudv ? F ( ? , ? ) ? 1 3) 若 f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 连续,则有

? F ( x, y )
2

?x?y

? f ( x , y ).

4)设 G 是平面上的一个区域,点(X,Y)落在 G 内的概率为:

38

《概率论与数理统计》教案

P {( X , Y ) ? G } ?

??
G

f ( x , y ) dxdy .

例 3 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 f ? x , y ? ? ?
?

? ce

? ?3 x ? 4 y ?

x ? 0, y ? 0 其它



0

数 c; (2)求(X,Y)的联合分布函数; ( 3 ) 求 P ?0 ?
布边缘分布的定义
如果 ? X , Y ? 是一个二维随机变量, 分量 X ? 或者 Y ?也有分布.我们称 ? X , Y ?的边缘分布.

X ? 1 , 0 ? Y ? 2 ?. 3.2 边缘分

则它的分量 X ? 或者 Y ? 是一维随机变量,因此 X ? 或者 Y ?的分布为 X ? 或者 Y ? 关于二维随机变量



已知联合分布函数求边缘分布函数设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(X,Y),
则分量 X 的分布函数为 F X ? x ? ? P ? X
同理,Y 的分布函数为
F Y ? y ? ? P ?Y ? y ? ? P ? X ? ? , Y ? y ? ? F ? ? , y ?

? x ? ? P ? X ? x , Y ? ?? ? ? F ? x , ? ? ?

例 1 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
x ?? ? F ? x , y ? ? A ? B ? arctan ? ? C ? arctan 2 ?? ? y? ? ? ? ? ? x ? ?? , ? ? ? y ? ?? ? 3?

试求(1)常数 A,B,C; (2)X 和 Y 的边缘分布函数。
已知联合分布律求边缘分布律(X,Y)为二维离散型随机变量,其(联合) 分布律为 P
ij

? P? X ? xi, Y ? y

j

? ?i , j ? 1,

2, ? ?

现求分量 X 的分布律,
Pi . ? P ?X ? x i ? ?

? P ?X
j

? xi , Y ? y j ? ?

?
j

p ij

同理分量 Y 的分布律为

39

《概率论与数理统计》教案
P. j ? P Y ? y

?

j

? ? ? P ?X
i

? xi , Y ? y j ? ?

?
i

p ij

例 2 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个数中等可能地取值, 另一个随机变量 Y 在 1~X
中等可能地取一整数值。试求( X,Y )的分布律及 X,Y 的边缘分布律。 已知联合密度函数求边缘密度函数设(X,Y)是连续型的二维随机变量, 函数 f (x , y )为二维随机变量(X,Y)的概率密度,现求随机变量 X 的边缘密度函数:
f X ?x ? 由 F X ? x ? ? P ?X ? x ? ? F ? x , ? ? ? ?
x

?
??

? ?? ? ? ? f ?u , y ?dy ? du ??? ?



f X ?x ? ?

??

? f ? x , y ?dy
y

??

同理,由 F ? y ? ? P ?Y
Y

? y ? ? F ?? ? , y ? ?

?
??

? ?? ? ? ? f ? x , v ?dx ? dv 得 ??? ?

fY ?y ? ?

??

? f ? x , y ?dx

??

例3
? X , Y ? 服从区域 D 上的 设平面区域 D 是由抛物线 y ? x 及直线 y ? x 所围,随机变量 均匀分布.试求随机变 量 ? X , Y ?的联合密度函数及 X 、 Y 各自的边缘密度函数.
2

例4

设二维随机变量

?X,

Y ? ~ N ? 1, ? 2, ? 1 , ? 2 , r , 试求 X 及 Y 的边缘密度函数.
2 2

?

?

40

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题三:2、4、7

下次课预习要点 1.条件分布的概念。 2.随机变量的独立性的概念。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

41

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第八周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第三章 多维随机变量及其分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 15、16 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解条件分布、随机变量的独立性等基本概念。 2.掌握条件密度函数的求解方法,随机变量的独立性的概念。 教学重点,难点: 条件分布、随机变量的独立性等基本概念。 教学内容: 3.3 条件分布

一 、离散型随机变量的条件分布律设( X ,Y )是二维离散型随机变量,其分布 律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , 分布律分别为: P
?
i.

i , j=1,2,...(X, Y )关于 X 和关于 Y 的边缘
? xi , Y ? y j ? ?

? P ?X ? x i ? ?

? P ?X
j

?
j

p ij

P. j ? P Y ? y

j

? ? ? P ?X
i

? xi , Y ? y j ? ?

?
i

p ij

由条件概率公式自然地引出如

下定义: 定义: X ,Y )是二维离散型随机变量, 设( 对于固定的 j ,若 P{Y= yj }>0, 则称 P { X
? xi | Y ? y j } ? P{ X ? xi , Y ? y j } P {Y ? y j } ? p ij p? j , i ? 1, 2 , ?

为在 Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。条件分布律具有分布律的以下 特性:10 P{ X= xi |Y= yj } ? 0;

42

《概率论与数理统计》教案
0

2

?
i ?1

?

P{ X ? xi | Y ? y j } ?

?
i ?1

?

p ij p? j

?

1 p? j

?
i ?1

?

p ij ?

p? j p? j

? 1.

同样对于固定的 i, 若 P{X= xi}>0, 则称
P {Y ? y j | X ? x i } ? P{ X ? xi , Y ? y j } P{ X ? xi } ? p ij p i? , j ? 1, 2 , ?

为在 X= xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律。例 1 一射手进行射击,击中目 标的概率为 p,射击到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标所进 行的射击次数,以 Y 表示总共进行 的射击次数,试求 X 和 Y 的联合分布 律以及条件分布律。二、条件分布函数设(X,Y)是二维连续型随机变量,由于 P{X= xi}=0, P{Y= yj }=0,不能直接代入条件概率公式,我们利用极限的方法来 引入条件分布函数的概念。定义:给定 y,设对于任意固定的正数 e ,P{y-e?<Y
lim P { X ? x | y ? ? ? Y ? y ? ? }

? y+e}>0,若对于任意实数 x,极限

??0

?

? lim
??0

P{ X ? x, y ? ? ? Y ? y ? ? }
?

存在,则称为在

P{ y ? ? ? Y ? y ? ? }

条件 Y= y 下 X 的条件分布函数,写成 P{X ? x |Y=y},或记为 FX|Y(x|y).则
F X |Y ( x | y ) ?

?

x

f (u , y ) fY ( y )

??

du ,

称为在条件 Y= y 下 X 的条件分布函数,而 f 则称为在条件 Y= y 下 X 的条件密度函数。

X |Y

(x | y) ?

f ( x, y ) fY ( y )

.

43

《概率论与数理统计》教案

三、连续型随机变量的条件密度函数
设 ? X , Y ? 是二维连续型随机变量
??

,其联合密度函数为

f (x,y),又随机变量

X 的边缘密

度函数为: f ? x ? ? ? f ? x , y ?dy 随机变量 Y 的边缘密度函数为:
X ??
??

fY ? y ? ?

? f ? x , y ?dx

??

则当 fY(y)>0 时,可得随机变量 X 在 Y=y 条件下的条件密度函数为
f X |Y ( x | y ) ? f ( x, y ) fY ( y ) .

当 fX(x)>0 时, 可得随机变量 Y 在 X=x 条件下的条
f X ?x ?

件密度函数为

fY

X

?y x? ?

f ?x, y ?

条件密度函数的性质性质⒈对任意的 x 有
? 1例

fX

Y

?x y ? ? 0

??

性质⒉

?
??

fX

Y

? x y ?dx

2 设二维随机变量(X,Y)服从圆域:

x ? y ? 1 上的均匀分布,试求条件密度函数 f X
2 2

Y

? x y ? .3.4

相互独立的随机变量随机

变量的独立性
设 ? X , Y ? 是二维随机变量,其联 合分布函数为 F ? x , y ? ,又随机变量 为 F X ? x ?,随机变量 Y 的分布函数为 F Y ? y ? .如果对于任意的 x , y ,有 F ? x , y ? ? F X ? x ? ? FY ? y ? 则称 X , Y 是相互独立的随机变量 . X 的分布函数

说明:

44

《概率论与数理统计》教案

如果随机变量 X 与 Y 相互独立,则由 F ? x ,
二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数

y ? ? F X ? x ? FY ? y ? 可知
F X ? x ? 与 F Y ? y ? 唯一确定.

F ( x , y ) 可由其边缘分布函数

离散型随机变量的独立性
设 ? X , Y ? 是二维离散型随机变量 ,其联合分布律为
p ij ? P ?X ? x i, Y ? y j ?

? i, j
又随机变量
随机变量

? 1, 2, ?

?
p i? ? P ? X ? x i
p ? j ? P ?Y ? y j

X 的分布律为
Y 的分布律为

?

?


如果对于任意的

i, j 有, p ij ? p i ? p ? j , 则称 X , Y 是相互独立的随机变量

例 1 将两个球等可能地放入编号为 1,2,3 的三个盒子中.放入 1 号盒中

的球数;放入 2 号盒中的球数;试判断 X 与 Y 是否相互独立?
连续型随机变量的独立性
设 ? X , Y ? 是二维连续型随机变量 又随机变量 X 的边缘密度函数为 ,其联合密度函数为 f X ? x ?, 随机变量 f ? x , y ?, f Y ( y ), 如果对于几乎所

Y 的边缘密度函数为

有的 x,y 都有
f ?x, y ? ? f X ?x ? fY ? y ?

则称 X,Y 是相互独立的随机变量。

例2

设 ? X , Y ? 是二维连续型随机变量
? 2 1 ? x ? xy f ?x, y ? ? ? 3 ? 0 ?

,其联合密度函数为

0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 其它

试判断 X 与 Y 是否相互独立?
例 3(正态随机变量的独立性) 设二维随机变量
?X,
Y ? ~ N ? 1, ? 2, ? 1 , ? 2 , r ,
2 2

?

?

试判断 X 与 Y 是否相互独立?

45

《概率论与数理统计》教案

n 维随机变量的独立性
设 ? X 1, X 2 , ? , X n ? 是 n 维随机变量,其联合分 布函数为 F ? x 1, x 2 , ? , x n ? , 又随机变量 X i 的分布函数为 F X i ? x i ?, ?i ? 1, 2, ? , n ? .如果对于任意的 n 维实数组

? x 1,

x 2 , ? , x n ? ,有 F ? x 1, x 2 , ? , x n ? ? F X 1 ? x 1 ? F X 2 ? x 2 ? ? F X n ? x n .

?

则称

X 1, X 2 , ? , X n 是相互独立的随机变量

注意:若 X,Y 独立,f(x),g(y)是连续函数,则 f(X),g(Y)也独立。

46

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题三:8、9、12、14

下次课预习要点 函数的分布的概念。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

47

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第九周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第三章 多维随机变量及其分布 3.5 两个随机变量的函数的分布 习题课 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 17、18 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解两个变量的函数分布的基本概念。 2.掌握常见的两个变量的函数分布的求法。 教学重点,难点: 两个变量的函数分布的基本概念。 教学内容: 3.5 两个随机变量的函数的分布

一.和的分布例 1

设二维离散型随机变量

?X,

Y ?的联合分布律为

P{X=i,Y=j}=(1/i)(1/4),i=1,2,3,4,j?i。 令 Z=X+Y,试求随机变量 Z 的分布律。

连续型随机变量和的分布
设 ? X , Y ? 是二维连续型随机变量 ,其联合密度函数为 f ? x , y ? , Z=X+Y, 令

下面计算随机变量 首先计算随机变量

Z ? X ? Y 的密度函数 Z ? X ? Y 的分布函数

f Z ?z ?. FZ ? z ? .
?? z?x

FZ ? z ? ? P ? Z ? z ? ? P ? X ? Y ? z ? ?

??

f ? x , y ?dxdy ?

?
??

dx

?
??

f ? x , y ?dy

x? y? z

作变换:

y ? u ? x ,则有
?? z z ??

FZ ? z ? ?

? dx ?
?? ??

f ? x , u ? x ?du ?

? du ?
?? ??

f ? x , u ? x ?dx

令 g ?u ? ?

??

?
??

f ? x , u ? x ?dx

48

《概率论与数理统计》教案

即有

FZ ? z ? ?

? g ?u ?du
??
z d ? ? g ?u ?du ? dz ? ? ? ?

z

所以有 f Z ? z ? ? F Z? ? z ? ?
??

? ? ? g ?z ? ? ?



fZ ?z ? ?
??

?
??

f ? x , z ? x ?dx

类似地得,

f Z ?z ? ?

?
??

f ? z ? y , y ?dy

特别地,当随机变量 X 与 Y 相互独立时,有 f ? x , y ? ? f X ? x ? f Y ? y ? ,此时有
fZ ?z ? ?
??

?
??

f X ? x ? f Y ? z ? x ?dx

??



f Z ?z ? ?

?
??

f X ? z ? y ? f Y ? y ? dy

我们称上式为函数

f X ? x ?与 f Y ? y ?的卷积,记作

f X ?x ? * fY ? y ? 。

例 2 设随机变量 试求随机变量 例 3 设随机变量 试求随机变量

X 与 Y 相互独立,都服从区间 Z 的密度函数. X 与 Y 相互独立, Z 的密度函数.

? 0, 1 ? 上的均匀分布,令

Z ? X ? Y,

X ~ N ? 0, 1 ?, Y ~ N ? 0, 1 ?,令 Z ? X ? Y ,

说明:一般地,我们有如下结论随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X ~ N ?? 1, ? 1 ? ,
2

Y ~ N ? 2, ?

?

2 2

? ,令 Z=X+Y,则 Z

~ N ? 1 ? ? 2, ? 1 ? ?
2

?

2 2

?
Z ? g ? X , Y ?的分布函数 F Z ? z ?,

二.其它的分布解题步骤(1) 先求随机变量函数
(2) 再求随机变量函数 例4
? ? max ? X , Y ?,试求随机变量 并判断 ? 与 ? 是否相互独立?
设随机变量 X 与 Y 相互独立,

Z ? g ? X , Y ?的密度函数

f Z ? z ? ? F Z? ? z ? 。

X ~ B ?1, p ?, Y ~ B ?1, p ? ? 0 ? p ? 1 ? ,令 ? ? min ? 与 ? 的联合分布律及 ? 与 ? 各自的边缘分布律,

?X,

Y ?,

49

《概率论与数理统计》教案

第三章 小结 1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。 2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系,了解条件分布。 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。 4 要理解随机变量的独立性。 5 要会求二维随机变量的和及二维随机变量的极值分布和函数的分布。

50

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题三:17、19、21、28

下次课预习要点 数学期望、方差的基本概念。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

51

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第十周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 19、20 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解数学期望、方差等基本概念。 2.掌握数学期望、方差的定义、性质及计算。 教学重点,难点: 数学期望、方差等基本概念。 教学内容: 第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望

1、数学期望定义(1) 离散型
设离散型随机变量 X 的分布律为:
P { X ? x k } ? p k , k ? 1, 2 , ?


?

若级数

?
i ?1

?

xk pk

绝 对 收 敛 , 则 称 级 数? xk pk 的 和 为 随
i ?1 ?

机 变 量 X 的 数 学 期 望 。 记 为 E X , 即 E X =? x k p k 。
k ?1

设连续型随机变量 X 的概率密度为
?

f (x)
?


( x ) dx

若积分

?
??

xf ( x ) dx 绝 对 收 敛 , 则 称 积 分
?

? xf
??

的 值 为 X 的 数 学 期 望 。 记 为 EX=

? xf
??

( x ) dx ,

(2)、连续型数 学 期 望 也 称 为 均 值 。

说明

52

《概率论与数理统计》教案

(1 ) X 的数学期望刻划了
( 2 ) 由于随机变量

X 变化的平均值.
机变量 X 变化的平均值,因此, 只有当级数

X 的数学期望表示的是随 级数

?
n ?1

?

x n p n 绝对收敛时,才能保证

?
n ?1

?

x n p n 的和与其级数

?
n ?1

?

x n p n 的求和顺序无关.

例 1 设随机变量

X 服从 Cauchy 分布 ,其密度函数为
1 ? 1
2

f ?x ? ?

? 1? x

?? ?

? x ? ??

?

试求其数学期望。 例2

按 规 定 , 火 车 站 每 天 8 :0 0 ~ 9 :0 0 , 9 :0 0 ~ 1 0 :0 0 都 恰 有 一 辆 客 车 到 站 ,但 到 站 的 时 刻 是 随 机 的 ,且 两 者 到 站 的 时间相互独立,其规律为: 到 站 时 间 8 :1 0 ,9 :1 0 概率 1 /6 8 :3 0 ,9 :3 0 3 /6 8 :5 0 ,9 :5 0 2 /6

(1 ) 旅 客 8 :0 0 到 站 , 求 他 侯 车 时 间 的 数 学 期 望 。 (2 ) 旅 客 8 :2 0 到 站 , 求 他 侯 车 时 间 的 数 学 期 望 。

2、随机变量函数的数学期望定理 1:设 Y=g(X), g(x) 是连续函数, (1)若 X 的分布率为 P 则 EY= ?
k ?1 ?
k

? P { X ? x k } ,k=1,2,…且 ? Pk g ( x k ) 绝对收敛,
k ?1

?

Pk g ( x k )

?

(2).若 X 的 概 率 密 度 为
?

f (x)

,且

? g ( x ) f ( x ) dx
??

绝 对 收 敛,

则 EY=

? g ( x ) f ( x ) dx
??



定理 2:
53

《概率论与数理统计》教案

若 ( X ,Y ) 是 二 维 随 机 变 量 , g ( x, y ) 是 二 元 连 续 函 数 ,
Z ? g ( x, y )

(1). 若 ( X 且

,Y )

的 分 布 律 为 P { X ? x i , Y ? y j } ? Pij ,

?
i , j ?1

?

g ( x i , y j ) Pij

绝 对 收 敛 ; 则 EZ=

?
i , j ?1

?

g ( x i , y j ) Pij


, 且

(2).
? ?



( X ,Y )

的 概 率 密 度 为

f ( x, y)

? ? g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy 绝 对 收 敛 ,
?? ??

?

?

则 : EZ=
例3

? ? g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy
?? ??



设 风 速 V 在 (0,a)上 服 从 均 匀 分 布 , 又 设 飞 机 机 翼 受 到 的 正 压 力 W 是 V 的 函 数 :W 求 EW 。
例4
? kV
2

, (k> 0);

设 在 国 际 市场 上 每年 对 我国 某 种 出口 商 品的 需 求 量 是 随 机 变 量 X( 吨 ) 它 在 [2000,4000 ]上 , 服从均匀分布,又设每售出这种商品一吨,可 为 国 家 挣得 外汇 3 万 元, 但 假如 销 售不 出 而囤 积在仓库,则每吨需浪费保养费 1 万元。 问需要组织多少货源,才能使国家收益最大。

I)

Ec = c , c 是 常 数 , 若 a ? X ? b , 则 a ? EX ? b ,

3、数学期望的性质
II)

Ec X = c EX , c 是 常 数 ,

III)

E(aX+ b Y)= aEX+ b EY

Ⅳ)若 x , y 独立,则 EXY=EXEY 例 5 对 N 个人进行验血,有两种方案: (1)对每人的血液逐个化验,共需 N 次化验;

54

《概率论与数理统计》教案

(2)将采集的每个人的血分成两份,然后取其中的一份,按 k 个人一组混合 后进行化验(设 N 是 k 的倍数) ,若呈阴性反应,则认为 k 个人的血都是阴性 反应,这时 k 个人的血只要化验一次;如果混合血液呈阳性反应,则需对 k 个人的另一份血液逐一进行化验,这时 k 个人的血要化验 k+1 次;假设所有人
的血液呈阳性反应的概率都是 p 且各次化验结果是相互独立的。试说明适当选

取 k 可使第二个方案减少化验次数。4.2

方差 1、定义

设 X 是 随 机 变 量 , 若 E ( X ? EX ) 2 存 在 , 称 其 为 随 机 变 量 X 的 方 差 , 记 作 D X , Var(X ), 即 :
2 D X = Var(X )= E ( X ? EX ) 。

DX

称为标准差。
2

DX ? E ( X ? EX ) ?
2

? (x
i ?1

?

i

? EX ) ? p i ,

离散型。

?

DX ?

? ( x ? EX
??

) f ( x ) dx ,
2

连续型。
? ? EX

方差也可由下面公式求得: DX
证明:
DX ? E ? X ? EX ? E X ? EX ? EX
2

? EX

2

?2

?2 ?? X ? ? EX ?2
? ? EX ? ? EX

?

2

? ? 2 EX

?2 ? ?2

? ? 2 EX ? 2 ? EX

2

? ? EX

?2

? EX

2

? ? EX

?2

55

《概率论与数理统计》教案

2、方差的性质1)

D X ? 0, 若 C 是 常 数 , 则 D C = 0

2) D ( CX ) ? C 2 DX

3) D ( aX ? bY ) ? a 2 DX ? b 2 DY ? 2 abE ( X ? EX )( Y ? EY ) , a, b 是 常 数 。 若 X , Y 独 立 ,
2 2 则 D ( aX ? bY ) ? a DX ? b DY

4) D X = 0 ? P { X = c } = 1, c = EX

设 X , Y ~ U [ 0 ,1 ],且相互独立。求: E | X ? Y |, D | X ? Y |

56

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题四:5、8、9、10

下次课预习要点 协方差、相关系数的概念。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

57

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第十一周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第四章 随机变量的数字特征 4.2 方差(续) 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 21、22 次课

4 节课

教材: 《概率论与数理统计》(第三版),浙江大学 盛骤、谢式千、潘承毅编,高等教育出 版社,2001.12 参考书: 《概率论与数理统计教程》 ,魏宗舒等编,高等教育出版社,1983 年 10 月。

教学目的与要求: 1.理解协方差、相关系数的基本概念。 2.掌握协方差、相关系数的性质。 教学重点,难点: 协方差、相关系数等基本概念。 教学内容: 4.2 方差(续)

3、定理定理: (切比晓夫不等式) 设随机变量 X 有数学期望 EX
P {| X ? ? |? ? } ? ?
2

? ?, /?
2

方差 DX ? ?

2

,对任意 ? >0,不等式
2



P {| X ? ? |? ? } ? 1 ? ?

/?

2

恒成立。 说明:

这 个 不 等式 给 出了 随 机变 量 X 的 分 布 未 知情 况 下 , 事 件 {|
X ? ? |? ? } 的 概 率 的 一 种 估 计 方 法 。

4.3 协方差及相关系数

1、 定义称 COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY 为随机变量 X,Y 的协方差. 而 COV(X,X)=DX. ?
XY

?

COV ( X , Y ) DX . DY

为随机变量 X,Y 的相关系数。

58

《概率论与数理统计》教案

? XY 是 一 个 无 量 纲 的 量 ; 若? XY

= 0,

称 X ,Y 不 相 关 ,此 时 C O V (X ,Y )= 0。

定理:若 X,Y 独立,则 X,Y 不相关。 证明:由数学期望的性质有 又 E(X-EX)=0, 所以 即 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)

E(Y-EY)=0

E(X-EX)(Y-EY)=0。 COV(X,Y)=0 注意:若 E(X-EX)(Y-EY)?0,即 EXY-EXEY?0,

则 X,Y 一定相关,且 X,Y 一定不独立。2、协方差的性质
1) C O V(X,Y)= C O V(Y,X);
2)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y) 3)COV(X+Y,Z)=COV(Y,Z)+ COV(X,Z)

4) 若 X ,Y 不 相 关 , 则 : EX Y = EX EY, D (aX + b Y )= a

2

DX ? b DY
2

3、相关系数的性质
2)

1)

? XY ? 1 .

? XY ? 1 ? 存 在 常 数 a,b 使 P { Y = a+ b X } = 1.

说明
相关系数是表征随机变 量 X 与 Y 之间线性关系紧密程度 的量 .

当 ? X , Y ? 1 时, X 与 Y 之间以概率 当 ? X , Y 越接近于

1存在着线性关系;

0 时, X 与 Y 之间的线性关系越弱;

当 ? X , Y ? 0 时, X 与 Y 之间不存在线性关系

?不相关 ?.

59

《概率论与数理统计》教案


设 X , Y 是二个随机变量,已知 cov DX ? 1, DY ? 4,

?X,

Y ? ? 1,记

? ? X ? 2 Y , ? ? 2 X ? Y , 试求: ? ? , ? .

4.4 矩、协方差矩阵

1、定义若

EX

k

存在,称之为 X 的 k 阶原点矩。

若 E ( X ? EX ) k 存 在 , 称 之 为 X 的 k 阶 中 心 矩 。
若 E ( X ? EX ) k (Y ? EY ) l 存 在 , 称 之 为 X 和 Y 的 k+ l 阶混合中心矩。
所 以 EX 是 一 阶 原 点 矩 , DX 是 二 阶 中 心 矩 , 协 方 差 C o v(X ,Y )是 二 阶 混 合 中 心 矩 。

1) n 维 随 机 变 量 ( X 1 , ? , X n ) 服 从 n 维 正 态 分 布 ? X 1 , ? , X n

2、n 维正态分布的性质

的 任 意 线 性 组 合 l1 X 1 ? ? ? l n X n 服 从 一 维 正 态 分 布 。

2) 若 ( X 1 , ? , X n ) 服 从 n 维 正 态 分 布 , Y1 , ? , Y n 是 X j ( j ? 1, ? , n ) 的 线 性 函 数 , 则 (Y1 , ? , Y n ) 也 服 从 正 态 分 布 。
3) 若 ( X 1 , ? , X n ) 服 从 n 维 正 态 分 布 , X 1 , ? , X n 相 互 独 立 则 ? X 1 ,? , X n 两 两 不 相 关 。
例: (1) 设 X , Y 独立, X ~ N (1, 4 ), Y ~ N ( 2 , 9 ) ,求 2X-Y 的分布。
(2) ( X , Y ) ~ N (1, 2 ; 4 , 9 ; 0 . 5 ) ,求 2X-Y 的分布。

第四章 小结 1 阐述了数学期望、方差的概念及背景,要掌握它们的性质与计算,会求随机变量函数 的数学期望和方差。 2 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。 3 给出了契比雪夫不等式,要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。 4 引进了协方差、相关系数的概念,要掌握它们的性质与计算。 5 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。 6 给出了矩与协方差矩阵。

60

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: 习题四:17、20、23、24、28、32

下次课预习要点 大数定律及中心极限定理的内容。

实施情况及教学效果分析 完成教学内容,学生掌握情况良好。

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

61

《概率论与数理统计》教案

授课时间 第十二周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第五章第一节大数定律 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 23 次课

2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 了解大数定理的客观背景,掌握挈比雪夫定理的特殊定理,伯努利大数定理,辛钦定理

教学重点,难点: 挈比雪夫定理的特殊定理,伯努利大数定理,

教学内容: 在实践中,不仅事件发生的频率具有稳定性,还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 定义 1 设 则称

Y1 , ? , Y n , ? 是随机变量序列, a a 是一个常数;若对任意任意 ? ? 0 ,有: lim P { | Y n ? a |? ? } ? 1
n? ?

Y1 , ? , Y n , ? 依概率收敛于 a

,记为 lim P { | Y n ? a |? ? } ? 1 。
n? ?

定义 2 设 X 1 , ? , X n , ? 是随机变量序列,令 Y n ?

1

? n

n

X

k

,若存在常数序列 a 1 , ? , a n , ? 使对任意 ? ? 0 ,

k ?1



n???

lim P {| Y n ? a n |? ? } ? 1 ,或 lim P {| Y n ? a n |? ? } ? 0 ,则称 { X n } 服从大数定律。
n???

定理 1 若 X n

P ?? ? a

, Yn

P ?? ? b

, g ( x , y ) 在点 ( a , b ) 连续,则: g ( X n , Y n ) ?? ?

P

g (a, b)



定理 2(切比晓夫定理的特殊情况)设随机变量 X 1 , ? , X n , ? 相互独立,且具有相同的数学期望及方差,

EX

k

? ? , DX

k

? ? , k ? 1, 2 , ? ,
2



Yn ?

1

? n

n

X

k















? ? 0



k ?1

有: lim P {| Y n ? ? |? ? } ? lim P {|
n??? n???

1 n

?
k ?1

n

X

k

? ? |? ? } ? 1 或 lim P {|
n???

1 n

?
k ?1

n

X k ? ? |? ? } ? 0

证: E (

1

? n

n

Xk) ?

1

k ?1

? n

n

EX

k

?

1

k ?1

? n

n

? ? ? ,D(

1

k ?1

? n

n

Xk) ?

1 n
2

?
k ?1

n

DX

k

?

1 n
2

n?

2

?

1 n

?

2

。由切比

k ?1

晓夫不等式得: P { |

1 n

?
k ?1

n

X k ? ? |? ? } ? 1 ?

?
n?

2 2

, 当 n ? ? 时, P {|

1 n

?
k ?1

n

X

k

? ? |? ? } ? 1 。

62

《概率论与数理统计》教案 定理 3(贝努里大数定律)设 n A 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 发生的概率,则:对任意的

? ? 0 ,有 lim P {|
n???

nA n

? p |? ? } ? 1 或 lim P {|
n???

nA n

? p |? ? } ? 0
n

证:令 X

k

? 0,在第 k 次试验中 A 不发生 ? ? , k ? 1, 2 , ? , n ,则 n A ? ?1,在第 k 次试验中 A 发生
? p , DX

?
k ?1

X k ,且 X 1 , ? , X n 相互独立

同服从于 (0 ? 1) 分布,故 EX

k

k

? p (1 ? p ), k ? 1, 2 , ? , n , ? 由定理 2 有
nA n

1
n???

lim P {| n

?
i ?1

n

X

i

? p |? ? } ? 1 ,即 lim P {|
n???

? p |? ? } ? 1 。此定理说明了频率的稳定性

定理 4(辛钦大数定律)设 X 1 , ? , X n , ? 相互独立同分布,且具有数学期望 EX

k

? ? , k ? 1, 2 , ? , n , ? ,则:对

任意的 ? ? 0 ,有 lim P {|
n???

1 n

?
i ?1

n

X i ? ? |? ? } ? 1 注:贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。

63

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P154 1,2 题

下次课预习要点 独立同分布的中心极限定理,李亚普诺夫定理,棣莫夫—拉普拉斯定理

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

64

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十二周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 §2.中心极限定理

第 24、25 次课 任课教师 及职称 课时安排 4

课堂教学

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 了解中心极限定理的客观背景,掌握三个中心极限定理及其应用

教学重点,难点: 独立同分布的中心极限定理,李亚普诺夫定理,棣莫夫—拉普拉斯定理及应用

65

《概率论与数理统计》教案

教学内容:
定义: X 1 , ? , X n , ? 是独立的随机变量序列,EX k , DX 设
t
2

k

存在, Z n ? ( 令:

?
k ?1

n

Xk ?

? EX
k ?1

n

k

)/

? DX
k ?1

n

k

, 若对任意 x ? R 1 ,



n???

lim P { Z n ? x } ?

1 2?

x

?e
??

?

2

dt ,则称 { X } 服从中心极限定理。 n

定 理

1 ( 独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理 ) 设 X 1 ,? , X n ,? 是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 , 且

?
EX
k

n

X

k

? n? ? x} ?

? ? , DX

k

??

2

? 0 , ( k ? 1, 2 , ? ) 则 { X n } 服从中心极限定理,即:

n???

lim P {

k ?1

1 2?

x

n?

?e
??

?

t

2

2

dt

定理 2 (李雅普诺夫定理)

设 X 1 , ? , X n , ? 相 互 独 立 , 且 E X k ? ? k , D X k ? ? k ? 0, ( k ? 1, 2, ? ), 设 B n ?
2 2

??
k ?1

n

2 k

,若 存 在 正 数 ?,

使 得 当 n ? ?时 ,

1 Bn
2??

?
k ?1

n

E{| X k ? ? k |

2??

} ? 0 ,则 { X n } 服从中心极限定理,即:

? (X
n???

n

k

? ?k ) ? x} ?

lim P {

k ?1

1 2?

x

? DX
k ?1

n

?e
??

?

t

2

2

dt

k

定理 3(德莫佛-拉普拉斯定理)(De

Moivre--Laplace)设随机变量 ? n ( n ? 1, 2, ? ) 服从参数为 n,p(0<p<1)的二项分布

,即

? n ~ B ( n , p ). 则对于任意 x ,恒有: lim P { n? ?

? n ? np
npq

x

? x} ?

1 2?

?e
??

?

t

2

2

dt

推论:设随机变量 ? n ( n ? 1, 2, ? ) 服从参数为 n,p(0<p<1)的二项分布 , 即

? n ~ B ( n , p ). 当 n 充分大时有:
a ? np npq

P {a ? ? n ? b} ? P {

a ? np npq

?

? n ? np
npq

?

b ? np npq

} ? ?(

b ? np npq

)? ?(

)

说明:这个公式给出了 n 较大时二项分布的概率计算方法。 例 1 某车间有 200 台车床,它们独立地工作着,开工率为 0.6,开工时耗电各为 1 千瓦,问供电所至少要供给这个车间多少电力才 能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。解: 记 某 时 在 工 作 着 的 车 床 数 为 X , 设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有:

则 X ~ B (2 0 0 ,0 .6 ).

P{ X ? r} ?

?C
k ?0

r

k 200

( 0 .6 ) ( 0 .4 )

k

200 ? k

? ?(

r ? 2 0 0 ? 0 .6 2 0 0 ? 0 .6 ? 0 .4

)? ?(

? 2 0 0 ? 0 .6 2 0 0 ? 0 .6 ? 0 .4

)

66

《概率论与数理统计》教案

? ?(

r ? 2 0 0 ? 0 .6 2 0 0 ? 0 .6 ? 0 .4

)? ?(

? 2 0 0 ? 0 .6 2 0 0 ? 0 .6 ? 0 .4

) ,查 表 得

r-1 2 0 48

? 3 .1 所 以

r ? 141.

即供给 141 千瓦电就能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。

用频率估计概率时误差的估计:由上面的定理知 P ?
? ? P ? ?? ? ?

? ? ? ? np ? ? p ???? P? n ???? n ? n ? ? ? ? ?n
n ? ? ? 2? pq ? ? ? ?? ? ? n ? ? ? 1 用这个关系式可解决许多计算问题。 pq ? ?

n pq

?

? n ? np
npq

??

? n ? ? ? ? ? ?? ? pq ? ? ?

? n ? ? ? ? ? ?? ? pq ? ? ?

? ?n ? ? p ? ? ?; 第一类问题是已知 n , p , ? , 求概率 P ? ? n ?
第二类问题是要使

?n
n

与 p ? 的 差 异 不 大 于 定 数 的 概 率 , 不 小 于 预 先 给 定 的 数 ? ,问最少应做多少次试验?这时只
n ? ? ?1? ? pq ? ?

? 需求满足下式的最小的 n, 2 ? ? ? ? ?

先 求 第三类问题是已知 n , p 及 ? , ? , 求 x ? 使 2 ? x ?

? ??1 ? ?

, 有 ?

n pq

? x? , 故

? ? x?

pq n

.

例 2. 现有一批种子,其中良种占 1/6。今任取 6000 粒,问能以 0.99 的概率保证在这 6000 粒种子中良种所占的比例与 1/6 的差不超过 多少?相应的良种粒数在哪个范围内?

解:
P 设 良 种 数 为 X , 则 X ~ B ( n , p ), 其 中 n ? 6 0 0 0, p ? 1 / 6 . 设 不 超 过 的 界 限 为 ? , 则 应 有 :

?

X 6000

1 6

? ?

?

? 0 .9 9

由德莫佛-拉普拉斯定理 P

?

X 6000

1 6

? ?

? ?
? P

X ? 6000 ? 1 / 6 6000 ? 1 / 6 ? 5 / 6

?

6 0 0 0? 6000 ? 1 / 6 ? 5 / 6

?

? 2?

? ? ?

? ? 1 故近 ? 6000 ? 1 / 6 ? 5 / 6 ?
6 0 0 0?

6 0 0 0?

似地有 2 ?

? ? ?

? ? 1 ? 0 .9 9 , 即 ? 6000 ? 1 / 6 ? 5 / 6 ?

6 0 0 0?

?

? ? ?

? ? 0 .9 9 5 , 查 表 得 ? 6000 ? 1 / 6 ? 5 / 6 ?

6 0 0 0?

? 2 .5 8 ,

6000 ? 1 / 6 ? 5 / 6

解得

? ? 0 .0 1 2 4 . 良种粒数 X 的范围为 (1 / 6 ? 0 .0 1 2 4 ) ? 6 0 0 0 ? X ? (1 / 6 ? 0 .0 1 2 4 ) ? 6 0 0 0 ,
925 ? X ? 1075.



67

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P155 4.5.6

下次课预习要点 抽样分布的基本概念

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

68

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十三周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第六章样本与抽样分布第一节随机样本 任课教师 及职称 课时安排

第 26 次课

课堂教学

2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 了解数理统计的任务,方法及基本概念。理解总体,个体,样本,样本容量,样本观测值的概念

教学重点,难点: 总体,个体,样本,样本容量,样本观测值的概念

教学内容
§1 随机样本总体:研究对象的某项数量指标的值的全体。 个体:总体中的每个元素为个体。 例如:某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体,每一个灯泡的寿命是一个个体;某学校男生的身高的全体一个总体,每个 男生的身高是一个个体。定义:设 X 是具有分布函数 F 的随机变量,若 X 1 , ? X n 是具有同一分布函数 F 的相互独立的 随机变量,则称 X 1 , ? X n 为从总体 X 中得到的容量为 n 的简单随机样本,简称为样本,其观察值 x1 , ? x n 称为样本 值。 由定义知:若 X 1 , ? , X n 为 X 的一个样本,则 X 1 , ? , X n 的联合分布函数为: F ( x1 , ? , x n ) ?
*

?
i ?1

n

F ( x i ) 。若设 X

的概率密度为 f,则 X 1 , ? , X n 的联合概率密度为: f ( x1 , ? , x n ) ?
*

?
i ?1

n

f ( xi )

69

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题:

下次课预习要点 统计量的概念,常用统计量,常用分布,常用分布的定理

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

70

《概率论与数理统计》教案

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

授课时间第十四周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第六章第二节抽样分布(一)

第 27 次课 任课教师 及职称 课时安排 2

课堂教学

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 了解抽样分布的概念,统计量的定义,常用统计量

教学重点,难点: 统计量的定义,常用统计量

71

《概率论与数理统计》教案

教学内容:
§2 抽样分布 1.定义:设 X 1 , ? X n 为来自总体 X 的一个样本, g ( X 1 , ? X n ) 是 X 1 , ? X n 的函数,若 g 是连续函 数,且 g 中不含任何未知参数;则称 g ( X 1 , ? X n ) 是一个统计量。设 x1 , ? x n 是相应于 X 1 , ? X n 的样本值,则称

g ( x1 , ? x n ) 是 g ( X 1 , ? X n ) 的观察值。注:统计量是随机变量。
例 1 设 X 1 , ? X n 为来自总体 X ~ N ( ? , ? ) 的一个样本, 其中 ? 未知,?
2

2

已知, 问下列随机变量中那些是统计量:

X m in ( X , X , ? , X );
1 2 n 1

? X
n

X ;
1

?? ? X
n

? ?

(X ;
1

? X )
n

2

(X ;
1

? ? ? X ) ? n?.
n

2.常用的统计量

2

n

?

2

n?

它们的观察值分别为:x ?

1

? n

n

x i ,s ?
2

i ?1

? (x n ?1
i ?1
n k i

1

n

i

? x) ?
2

1 n ?1

[ ? xi
i ?1

n

2

? n x ] ,s ?
2

? (x n ?1
i ?1

1

n

i

? x) ,
2

ak ?

1 n

?
i ?1

n

xi ,

k

k ? 1, 2 ? , b k ?

1 n

? (x
i ?1

? x) ,

k ? 1, 2 ? 。

分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶矩、样本 k 阶中心矩。统计量是样本的函数,它是一个随机变量, 统计量的分布称为抽样分布。 结论:设 X 1 , ? X n 为来自总体 X 的一个样本, E X ? ? , D X ? ? , 则 E X ? ? , D X ?
2

?
n

2

, ES

2

?? .
2

72

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题:

下次课预习要点
? ? 分 布 的构成,性质,图像及分位点的定义,掌握 t ? 分布构成,性质,图像及分位
2

点的定义

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

73

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十四周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第六章第二节抽样分布(二)

第 28 次课 任课教师 及职称 课时安排 2

课堂教学

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 掌握 ? ? 分 布 的构成,性质,图像及分位点的定义,掌握 t ? 分布构成,性质,图像及分位点的定义
2

教学重点,难点:
? ? 分 布 的构成,性质,图像及分位点的定义, t ? 分布构成,性质,图像及分位点的定义
2

教学内容: 3. 常用统计量的分布

(1) ?

2

?分布
2

则 设 ( X 1 , ? X n ) 为 来 自 于 正 态 总 体 N (0,1)的 样 本 , 称 统 计 量 : ?
所 服 从 的 分 布 为 自 由 度 是 n的 ? 分 布 。 记 为
2

? X1 ?? ? X n
2

2

?

2

~ ? (n)
2

? 分布的性质:
2

1 . ? 1 ~ ? ( n1 ), ? 2 ~ ? ( n 2 ), 且 ? 1 , ? 2 独 立 , 则 有 ? 1 ? ? 2 ~ ? ( n1 ? n 2 )
0 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2、 E ?

2

? n,

D?

2

? 2n
X i ~ N (0,1) , E X i ? 1, D X i ? E X i ? ( E X i ) ? 3 ? 1 ? 2,
2 2 4 2 2

证明: E X i ? 0,

D X i ? 1,
n

i ? 1, 2, ? n

所以, E ?

2

? E (? X i ) ?
2 i ?1

?
i ?1

n

E X i ? n. D ?
2

2

? D (? X i ) ?
2 i ?1

n

?
i ?1

n

D X i ? 2 n.
2

74

《概率论与数理统计》教案 对于给定的 ? (0 ? ? ? 1) ,称满足条件的 P { ?
2

? ? ? ( n )} ? ? 的 ? ? ( n ) 为 ? ( n ) 的上分位点。当 n 充分大时
2 2 2

?? (n) ?
2

1 2

( z? ?

2 n ? 1 ) , z ? 是标准正态分布的上分位点。
2

(2) t ? 分布: X ~ N (0,1), Y ~ ? ( n ), X , Y 独立, 、 设 则称随机变量 T ?
2

X Y n

所服从的分布为自由度为 n 的 t ?

分布,记作 T ~ t ( n ). 对于给定的 ? (0 ? ? ? 1) ,称满足条件: P { t ? t ? ( n )} ? ? 点 t ? ( n ) 为 t 分布的上位分点。由 概率密度的对称性知: t1 ? ? ( n ) ? ? t ? ( n ) 。 当 n ? 4 5时 , t ? ( n ) ? z ? .

75

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P174 1,2

下次课预习要点
F ?

分布,正态总体的样本均值与样本方差的分布:

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

76

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十六周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第六章第二节抽样分布(三) 课堂教学

第 31 次课 任课教师 及职称 课时安排 2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求:

掌握 F 分布:

?

分布构成,性质,图像及分为点的定义,掌握正态总体的样本均值与样本方差的

教学重点,难点:
F ?

分布构成,性质,图像及分为点的定义,正态总体的样本均值与样本方差的分布:

教学内容: (3). F ? 分布:若 X ~ ? ( n1 ), Y ~ ? ( n 2 ), X , Y 相互独立,则称随机变量 F ?
2 2

X / n1 Y / n2

所服从的分布为自由

度 n1 , n 2 的 F ? 分布,记作 F ~ F ( n1 , n 2 ). 若 F ~ F ( n1 , n 2 ) ,则 1 / F ~ F ( n 2 , n1 ) 。对于给定的 ? (0 ? ? ? 1) , 称满足条件: P { F ? F? ( n1 , n 2 )} ? ? 点 F? ( n1 , n 2 ) 为 F ? 分布的上分位点。 结论: F1 ? ? ( n1 , n 2 ) ? 1 / F? ( n 2 , n1 )

证明:若 F ~ F ( n1 , n 2 ) , 1 ? ? ? P { F ? F1 ? ? ( n1 , n 2 )} ? P {

1 F

?

1 F1 ? ? ( n1 , n 2 )

} ? 1 ? P{

1 F

?

1 F1 ? ? ( n1 , n 2 )

}

所以 P {

1 F

?

1 F1 ? ? ( n1 , n 2 ) 1

} ? ? 又因为 1 / F ~ F ( n 2 , n1 ), 所以 F? ( n 2 , n1 ) ?

1 F1 ? ? ( n1 , n 2 )



即 F1 ? ? ( n1 , n 2 ) ?

F? ( n 2 , n1 )

。例 F 0 .9 5 (1 2 , 9 ) ?

1 F 0 .0 5 (9 ,1 2 )

?

1 2 .8 0

? 0 .3 5 7 。

77

《概率论与数理统计》教案 (4) 正态总体的样本均值与样本方差的分布:定理 1 设 X 1 , ? , X n 是总体 N ( ? , ? ) 的样本, X , S 分别是样本均值
2 2

与方差,则有: (1). X ~ N ( ? ,

?
n

2

). ( 2 ).

( n ? 1) S

2

?

2

~ ? ( n ? 1) 。 (3). X 与 S 独 立 。
2
2

定理 2:

X ?? S / n

~ t ( n ? 1)

证明:

X ??

? /

~ N (0 ,1),

( n ? 1) S

2

n
~ t ( n ? 1)

?

2

~ ? ( n ? 1). 且它们独立。则由 t-分布的定义:
2

X ? ?

( n ? 1) S
2

2

~ t ( n ? 1)

? /

n

? ( n ? 1)



X ?? S / n

定理 3:设 X 1 , X 2 , ? , X n 与 Y1 , Y 2 , ? Y n 分别具有相同的方差的正态分布 ( ? 1 , ? ), N ( ? 2 , ? ) 的样本,且相互独
2 2
1 2

立,设 X ?

1 n1

?
i ?1

n1

X i ,Y ?

1 n2

?
j ?1

n2

Y j 分别为均值, S 1 ?
2

1 n1 ? 1

?
i ?1

n1

(X i ? X ) ,S2 ?
2 2

1 n2 ? 1

? (Y
j ?1

n2

j

? Y ) 为方
2

差,则有:

( X ? Y ) ? (?1 ? ? 2 ) ( n 1 ? 1) S 1 ? ( n 2 ? 1) S 2
2 2

~ t ( n1 ? n 2 ? 2 ) 。 1 ? 1 n2
( X ? Y ) ? ( ?1 ? ? 2 )

n1 ? n 2 ? 2
证明: X ? Y ~ N ( ? 1 ? ? 2 ,

n1
?

?

2

?

2

) ,所以

n1

n2
2

?

1 / n1 ? 1 / n 2

~ N (0 ,1) ,

( n1 ? 1) S 1

2

?

2

~ ? ( n1 ? 1),
2

( n 2 ? 1) S 2

?
2

2

~ ? ( n 2 ? 1) ,且它们相互独立。
2



( n1 ? 1) S 1

2

?

2

?

( n 2 ? 1) S 2

?

2

~ ? ( n1 ? n 2 ? 2 )。 t-分布的定义得 由
2

( X ? Y ) ? ( ?1 ? ? 2 )

( n1 ? 1) S 1

2

?

1 / n1 ? 1 / n 2

?

2

?

( n 2 ? 1) S 2

2

?

2

/( n1 ? n 2 ? 2 )

~ t ( n1 ? n 2 ? 2 )

78

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P175 4, 5,6

下次课预习要点 参数估计的目的及意义,矩法估计的原理及应用

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

79

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十六周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第七章参数估计第一节点估计 课堂教学

第 32 次课 任课教师 及职称 课时安排 2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 了解参数估计的目的及意义方法,掌握矩法估计的原理及应用

教学重点,难点: 矩法估计的原理及应用

教学内容:

设 总 体 X 的 分 布 函 数 F ( x ; ? )的 形 式 为 已 知 , ? 是 待 估 参 数 。
X 1 ? X n 是 X 的 一 个 样 本 , x1 ? x n 是 相 应 的 样 本 值 。
§1 点估计 点估计问题:构造一个适当的统计量 ? ( X 1 , ? , X n ) ,用他们的观察值 ?? ( x1 , ? , x n ) 来估计未知参数 1. 矩估计法

其 设 X 为 连 续 型 随 机 变 量 , 概 率 密 度 为 f ( x ; ? 1 , ? , ? k ), X 为 离 散 型 随 机 变 量 , 分 布 列 为 其 P { X ? x } ? P ( x ; ? 1 , ? , ? k ), 其 中 ? 1 , ? , ? k 是 待 估 参 数 , X 1 , ? , X n 为 来 自 X 的 样 本 。
1



EX

l

? ? l , l ? 1, 2, ? , k .存 在 , 则

Al ?

? n

n

Xi. 令

l

Al ? ? l ,

l ? 1, ? , k 这 里 是 包 含 k

i ?1

从 ? ? 个 未 知 参 数 ? 1, , ? k 的 联 立 方 程 组 , 中 解 出 方 程 组 的 解 ??1, , ??k。用 ??1, , ??k 分 别 作 ?
为 ? 1, , ? k 的 估 计 量 , 种 求 估 计 量 的 方 法 称 为 矩 估 计 法。 ? 这

80

《概率论与数理统计》教案 这种估计量称为矩估计量;矩估计量的观察值称为矩估计值。
着火的次数 k nk 0 75 1 90 2 54 3 22 4 6 5 2 6 1

发生 k 次着火天数

? ? 250
1 250 (0 ? 7 5 ? 1 ? 9 0 ? ? ? 6 ? 1) ? 1 .2 2

例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数 X 服从 参数为 ? 的泊松分布,? 未知有以下样本值: 试用矩法估计参数 ? 解: ? 1 ? E X ? ?

A1 ?

1

? n

n

? X i ? X ,令 X ? ? , 则 ? ? x ?

i ?1

所以

X ? ?,

? 估 计 值 ? ? 1 .2 2。

例 2.设总体 X 均值 ? ,方差 ? 均存在,但未知,又设 X 解 :

2

1

,? , X

n

是一个样本;求 ? , ? 的矩估计量。
2
2

?1 ? E X ? ? , ? 2 ? E X
?
??

2

? DX ? (EX ) ? ?
2

??

2


n



? 1 ? A1 ,
? 1

? 2 ? A2 ,
? X)



? ? A1 ,

2

2

? ? ? A 2 , 所 以 ? ? A1 ? X , ?

2

? A 2 ? A1 ?
2

1

? n

Xi ? X
2

2

i ?1

? (X n
i ?1

n

2

i

。特别若

X ~ N ( ? , ? ),
2

? ? , ? 未知,则 ? ? X ,
2

??

2

?

1

? (X n
i ?1

n

i

? X) 。
2

例 3 . 设 总 体 X ~ U [ a , b ], a , b 未 知 ; X 1 , ? , X n 是 一 个 样 本 ;求 : a , b的 矩 估 计 量 。

解 : ?1 ? EX ?

a ?b 2

, ? 2 ? EX

2

? DX ? (EX ) ?

2

(b ? a ) 12

2

?

(a ? b) 4

2



a ?b 2

? A1 ?

1 n

?
i ?1

n

Xi

(b ? a ) 12

2

?

(a ? b) 4

2

? A2 ?

1 n

?
i ?1

n

X i ,即

2

a ? b ? 2 A1 ,

b? a ?

1 2 ( A 2 ? A1 )

2

解 得 :? ? A 2 ? a

3 ( A 2 ? A1 ) ? X ?

2

3 n

?
i ?1

n

2 ? ( X i ? X ) , b ? A1 ?

3 ( A 2 ? A1 ) ? X ?

2

3 n

? (X
i ?1

n

i

? X )

2

81

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P207 1,2

下次课预习要点 极大似然估计

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

82

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十七周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第七章参数估计第一节点估计(二)

第 33 次课 任课教师 及职称 课时安排 2

课堂教学

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 理解极大似然估计原理,掌握极大似然估计的计算及应用

教学重点,难点: 矩法估计的原理及应用

教学内容:

2. 极大似然估计法设总体 X

为离散型,其分布律 P { X ? x } ? p ( x ; ? ), ? ? ? 的形式为已知,? 为待估参
n

数,? 是 ? 的可能取值。 X 1 , ? , X n 来自 X 的样本则 X 1 , ? , X n 的联合分布律为 ? p ( x i ; ? ) , 设 又设 x1 , ? , x n 是
i ?1

X 1 , ? , X n 的观测值;易知样本 X 1 , ? , X n 取值为观测值的 x1 , ? , x n 概率,亦即事件 { X 1 ? x1 , ? , X n ? x n } 发生

的概率为 L (? ) ? L ( x1 , ? , x n ; ? ) ?

?
i ?1

n

p ( x i ; ? ), ? ? ? . 它是 ? 的函数,称 L (? ) 为 ? 的似然函数。

由 极 大 似 然 估 计 法 : 定 x1 , ? , x n ; 挑 选 使 概 率 L ( x1 , ? , x n ; ? ) 达 到 最 大 的 参 数 ??, 为 ? 的 作 固

估 计 值 。 即 取 ?? 使 得 :L ( x1 , ? , x n ; ?? ) ? m ax L ( x1 , ? , x n ; ? )
? ??

(1 .2 ) ??与 x1 , ? , x n 有 关 , 为 记

? 称 其 为 参 数 ? 的 极 大 似 然 估 计 值。 ? ( x1 , ? , x n ); ?? ( X 1 , ? , X n ) 称 为 参 数 ? 的 极 大 似 然 估 计 量。
( 2 ).若 总 体 X 属 连 续 型 , 其 概 率 密 度 f ( x ; ? ), ? ? ? 的 形 式 已 知 , ? 为 待 估 参 数 ;

83

《概率论与数理统计》教案

则 X 1 , ? , X n的 联 合 密 度 : ? f ( x i ; ? ) , 设 x 1 , ? , x n 是 相 应 X 1 , ? , X n的 一 个 样 本 值 , 则 随 机 点
i ?1

n

( X 1 , ? , X n ) 落 在 ( x1 , ? , x n )的 邻 域 ( 边 长 分 别 为 d x1 , ? , d x n的 n 维 立 方 体 ) 内 的 概 率 近 似 为 :

?
i ?1

n

f ( x i ; ? )d x i (1 .3) 我 们 取 ? 的 估 计 值 ??, 使 概 率 (1 .3) 取 到 最 大 值 。但 ? d x i 不 随 ? 而 变 ,
i

故 只 需 考 虑 :L (? ) ? L ( x1 , ? , x n ; ? ) ?

?
i ?1

n

f ( x i ; ? ), (1 .4 ) 的 最 大 值 , 里 L (? ) 称 为 样 本 的 这

似 然 函 数。

故 称 ?? ( X 1 , ? , X n ) 为 ? 的 极 大 似 然 估 计 量。一 般 , p ( x ; ? ), f ( x ; ? ) 关 于 ? 可 微 , ?

d L (? ) 可由下式求得: 因 ? 0 . 又 因 L (? ) 与 ln L (? ) 在 同 一 ? 处 取 到 极 值 , 此 ? 的 极 大 似 然 估 计 d?

?也可从下述方程解得:

d

d?

即 ln L (? ) ? 0 . 若 母 体 的 分 布 中 包 含 多 个 参 数 , 可 令

?L ?? i

? 0,

i ? 1, ? , k .或

? ln L ?? i

? 0 , i ? 1, ? , k . 解 k 个 方 程 组 求 得 ? 1 , ? , ? k 的 极 大 似 然 估 计 值 。

例 4 . 设 X ~ B (1, p ); X 1 , ? , X n 是 来 自 X 的 一 个 样 本

试求参数 p 的极大似然估计量。
x 1? x

解 : 设 x1 , ? , x n 是 一 个 样 本 值 。 X 的 分 布 律 为 : { X ? x } ? p (1 ? p ) P
n

,

x ? 0,1;

故似然函数为 L ( p ) ? ?
i ?1

p (1 ? p )
xi

1? xi

? p

? xi
i ?1

n

n?

(1 ? p )

? xi
i ?1

n

,



ln L ( p ) ? ( ? x i ) ln p
i ?1

n

? (n ?

?
i ?1

n

x i ) ln (1 ? p ) 令

d dp

?
ln L ( p ) ?
i ?1

n

xi ?

n?

?
i ?1

n

xi ? 0 . 解 得 p的 极 大 似 然 估 计 值

p
1 n

1? p
n

? p ?

1 n

?
i ?1

n

? x i ? x p的 极 大 似 然 估 计 量 为 p ?

?
i ?1

Xi ? X

-------它与矩估计量是相同的。

84

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P208 4,5

下次课预习要点 估计量的无偏性,有效性,相合性

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

85

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十七周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第七章第二节评选估计量的标准 课堂教学

第 34 次课 任课教师 及职称 课时安排 2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 掌握估计量的无偏性,有效性,相合性的定义,会判断计算无偏估计量,会判断估计量的有效性

教学重点,难点: 计算无偏估计量,会判断估计量的有效性

教学内容:

§2 估计量的标准
1 . 无 偏 性 : 若 ?? ? ?? ( X 1 , ? , X n )的 数 学 期 望 存 在 , E ?? ? ? . 则 称 ??是 ? 的 无 偏 估 计 量 。 且 2 . 有 效 性 : 若 ??1 ? ??1 ( X 1 , ? , X n ), ??2 ? ??2 ( X 1 , ? , X n ) 都 是 ? 的 无 偏 估 计 量 ; 若 D ( ??1 ) ? D ( ??2 ). 则 称 ??1 较 ??2 有 效 。

当 ? 3 . 一 致 性 : 若 ?? ? ??1 ( X 1 , ? , X n ) 为 参 数 ? 的 估 计 量 若 对 于 任 意 ? ? ? , n ? ? ? 时

?? ? ? ? . 则 称 ??是 ? 的 一 致 估 计 。 ?
p

86

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P209 9,10,11

下次课预习要点 了解区间估计的原理及意义,理解置信度,置信区间的概念,掌握均值的区间估计的计算方法

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

87

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十七周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第七章第三节区间估计 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 34 次课

2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 了解区间估计的原理及意义,理解置信度,置信区间的概念,掌握均值的区间估计的计算方法。

教学重点,难点: 均值的区间估计的计算方法

教学内容:

§3 区间估计 区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围,并保证真参数以指定的较大概率属 于这个范围。
对 定 义 : 设 总 体 X 含 一 待 估 参 数 ? ; 于 样 本 x1 , ? , x n , 找 出 统 计 量 ? i ? ? i ( x1 , ? , x n )( i ? 1, 2 ),

? 1 ? ? 2 , 使 得 :P {? 1 ? ? ? ? 2 } ? 1 ? ? ,

(0 ? ? ? 1) 称 区 间 [? 1, ? 2 ]为 ? 的 置 信 区 间, ? ? 为 该 区 间 1

的 置 信 度。 间 [? 1, ? 2 ]是 一 个 随 机 区 间 ; ? ? 给 出 该 区 间 含 真 值 ? 的 可 靠 程 度 。 表 示 该 区 区 1 ?
间 不 包 含 真 值 ?的 可 能 性 。 例 如 : 若 ? ? 5 % , 即 置 信 度 为1 ? ? ? 9 5 % . 这 时 重 复 抽 样 1 0 0 次 , 在 得 到 的 1 0 0个 区 间 中 则 包 含 ? 真 值 的 有 9 5 个 左 右 , 不 包 含 ? 真 值 的 有 5 个 左 右 。 通常采用 〔

95%的置信度,有时也取

99%或 90%) 2. 均值的区间估计

88

《概率论与数理统计》教案

设 x1 , ? , x n 为 总 体 X ~ N ( ? , ? )的 一 个 样 本 。在 置 信 度 1 ? ? 下 , 来 确 定 ? 的 置 信 区 间 [? 1, ? 2 ]。
2

(1). 已知方差,估计均值
设已知方差?
2

? ? 0, 且 知 道 x ?
2

1

? n

n

xi是 ? 的 一 个 点 估 计 , 又 知 道 u ?

x ??

i ?1

?0/

~ N (0 ,1)。

n

对 于 给 定 的 置 信 度 1 ? ? , 正 态 分 布 表 , 找 出 临 界 值 ?1, ? 2, 使 得 : P { ?1 ? u ? ? 2 } ? 1 ? ? . 查 通 由 此 可 找 出 无 穷 多 组 ?1, ? 2; 常 我 们 取 对 称 区 间 [ ? , ? ? ], 使 : { |u | ? ? } ? 1 - ? P

。即:

P { -? ?

x -?

?0

? ? } ? 1 - ? 由 正 态 分 布 表 的 构 造 , 由 P { | t |? ? } ? 1 ? ? , 可 知 : 正 态 分 布 表 查 n
(x - ? ) n

? ( ? ) ? 1 ? ? / 2, 找 出 ? , 得 :- ? ?

?0

? ?

推得,随机区间:

[x - ?

?0
n

,x ? ?

?0
n

]

它 以1 ? ? 的 概 率 包 含 ? 。

例 6. 已知幼儿身高服从正态分布, 现从 5~6 岁的幼儿中随机地抽查了 9 人, 其高度分别为: 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm 假 设 标 准 差 ? 0
的置信区间。

? 7, 置 信 度 为 9 5 % ; 求 总 体 均 值 ? 试

解 : 已 知 ? 0 ? 7 , n ? 9, ? ? 0 .0 5 . 由 样 本 值 算 得 :x ?

1 9

(1 1 5 ? 1 2 0 ? ? ? 1 1 0 ) ? 1 1 5 .

? 查 正 态 分 布 表 得 临 界 值 ? ? 1 .9 6, 由 此 得 置 信 区 间 : 1 1 5 ? 1 .9 6 ? 7 / ?

9 , 1 1 5 ? 1 .9 6 ? 7 /

9? ?

? ?1 1 0 .4 3 , 1 1 9 .5 7 ?

89

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P210 14,15,16

下次课预习要点 方差未知的情况下,均值的区间估计;方差的区间估计

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

90

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十八周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第七章第三节区间估计(2) 课堂教学

第 35 次课 任课教师 及职称 课时安排 2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 掌握方差未知的情况下,均值的区间估计计算;方差的区间估计计算

教学重点,难点: 均值的区间估计计算;方差的区间估计计算

教学内容:

(2). 未知方差,估计均值
由于未知方差? ,这时可用样本方差: ? S
2

2

? (x n ?1
i ?1

1

n

i

? x ) ,而 选 取 样 本 函 数 :
2

t ?

x ?? S / n

得 则随机变量 t 服从 n-1 个自由度的 t 分布。 对 于 给 定 的 1 ? ? , 查 t 分 布 表 , 临 界 值 ?1 与 ? 2,
使 得 :P { ? 1 ? t ? ? 2 } ? 1 ? ? , 们 仍 然 取 成 对 称 区 间 [ ? ? , ? ], 使 得 : P { | t |? ? } ? 1 ? ? , 我



P{? ? ?

x ?? S / n

? ? } ? 1 ? ? , t 分 布 表 的 构 造 , 比 较 P { | t | ? ? } ? ? 与 P { | t |? ? } ? 1 ? ? , 由

可 知 : t 分 布 表 t ( n ? 1, ? ), 找 出 ? . 其中,n 查
x -? S / n

是样本容量,n-1 是表中自由度;由此得:
,x ? ? S n ] 它 以1 ? ? 的 概 率 包 含 ? 。

-? ?

? ?

推得,随机区间:

[x - ?

S n

91

《概率论与数理统计》教案

例 7. 用仪器测量温度, 重复测量 7 次, 测得温度分别为:115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 设温度 X
~ N ( ? , ? ), 在 置 信 度 为 9 5 % 时 ,
2

试求温度的真值所在范围。

解 : 设 ? 是 温 度 的 真 值 , X 是 测 量 值 。 知 n ? 7 , ? ? 0 .0 5 . 由 样 本 值 算 得 :x ? 1 1 2 .8, 已
? 查 t (6, 0 .0 5) 得 临 界 值 ? ? 2 .4 4 7。 由 此 得 置 信 区 间 : 1 1 2 .8 ? 2 .4 4 7 ? ? 1 .2 9 7

S

2

? 1 .2 9 .

,

1 1 2 .8 ? 2 .4 4 7

1 .2 9 ? ? 7 ?

? ?1 1 1 .7 5,

1 1 3 .8 5 ?

3. 方差的区间估计
设 x1 , ? , x n 为 总 体 X ~ N ( ? , ? )的 一 个 样 本 。我 们 知 道 S
2

2

?

1 n ?1

? (x
i ?1

n

i

? x) 是? 的一个点估计
2 2

并且知道样本函数:? ?

( n ? 1) S

2

?

2

服 从 n ? 1个 自 由 度 的 ? 分 布 。对 于 给 定 的 1 ? ? , ? 查
2

2

分布表,

我 得 临 界 值 ?1与 ? 2, 使 得 :P { ?1 ? ? ? ? 2 } ? 1 ? ? , 于 ? 分 布 无 对 称 性 , 们 采 用 使 概 率 对 称 的 由
2

P P 区 间 : {? ? ? 1 } ? P {? ? ? 2 } ? ? / 2, { ? 1 ?

( n ? 1) S

2

?

2

? ? 2 } ? 1 ? ? , 知 : ? ( n ? 1, ? / 2 ) 分 布 表 , 可 查
2

找 出 ? 2 , .而 查 ? ( n ? 1, ? / 2 ) 分 布 表 , 找 出 ?1。 其中,n
2

是样本容量,n-1 是表中自由度;由此得: 这就是说,随机区间: ?
? ( n ? 1) S 2 ( n ? 1) S 2 ? , ? ?2 ?1 ? ?

- ?1 ?

( n ? 1) S

2

?

2

? ?2 推 得 :

( n ? 1) S

2

?2

??

2

?

( n ? 1) S

2

?1

? 2 以1 ? ? 的 概 率 包 含 ? , 而 随 机 区 间 ? ?

n ?1

?2

S,

n ?1 ? S ? 以1 ? ? 的 概 率 包 含 ? . ?1 ?

例 8. 设某机床加工的零件长度 X 12.15, 12.12, 12.01, 12.08,

~ N ( ? , ? ), 今抽查
2

16 个零件,测得长度(单位:mm)如下: 12.01, 12.06, 12.13,
2

12.09,

12.16,

12.03,

12.07,

12.11,

12.08, 12.01, 12.03, 12.06,

在置信度为 95%时,试求总体方差 ? 的置信区间
2

解 : 已 知 n ? 1 6, ? ? 0 .0 5 . 由 样 本 值 算 得 :S

? 0 .0 0 2 4 4 . 查 ? (1 5, 0 .9 7 5) 得 ?1 ? 6 .2 6; 查 ? (1 5, 0 .0 2 5)
2
2

? 1 5 ? 0 .0 0 2 4 4 得 ? 2 ? 2 7 .5 . 由 此 得 置 信 区 间 : , ? 2 7 .5 ?

1 5 ? 0 .0 0 2 4 4 ? ? 0 .0 0 1 3, 0 .0 0 5 8 ? ? ? 6 .2 6 ?

92

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P211 18 19

下次课预习要点 假设检验的基本思想及原理,假设检验的基本概念

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

93

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十八周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第八章第一节假设检验 课堂教学

第 36 次课 任课教师 及职称 课时安排 3

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 理解假设检验的基本原理,理解假设检验的基本概念及解题的基本思路

教学重点,难点: 假设检验的基本原理及基本概念

教学内容:

§1.假设检验 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况,为了推断总体的某 些特性,提出某些关于总体的假设。同时我们还要对作出的假设做出接受还是拒绝的决定。 假设检验是做出这一决策的过程。 例 车间用一台包装机包装葡萄糖。包装糖重为一个随机变量,当机器正常工作时
X ? N (0.5, 0.0 1 5 )
2

,某日开工后抽取 9 袋重量如下:0.497,0.506,0.518,0.524,0.498, 问机器是否正常?

0.511,0.520,0.515,0.512

分析:用 ? , ? 2 表示当天的糖重的均值和方差,因为方差稳定可以假定 ? =0.015,假 如机器工作正常则应该有 我们给出一个合理的法则,利用已知样本作出决策是 ? =0.5。如果工作不正常则有
? ? 0

。因此我们提出两个假设: H 0 : ?

? ? 0 ? 0 .5

和H1 : ?

? ?0

。我们依据样本提供的数据

我们作出选择接受 H 0 或者拒绝 H 0 (接受 H 1 ) 。在作出选择时我们可能犯两类错误:第一类 错误 H 0 为真拒绝 H 0 ,我们称为弃真;第二类错误为
94

H 1 为真接受 H

0

,成为取伪。

《概率论与数理统计》教案

对于给定较小的数 ? ( 0 ? ?

,犯第一类错误的概率记为 P? ? H { 拒 绝 H 0 } 。对于第一 ?1)
0 0

类错误我们无法避免但可以使所犯错误的概率 P? ? H

{拒 绝 H 0 } ? ?


H1

对于以上问题 ? 称为显著水平, 在显著水平 ? 下假设检验:H 0 为原假设或零假设; 为备则假设。选取统计量 Z
? X ? ?0

?
n

,称 Z 为检验统计量。

当检验统计量取某个区域 C 中的值时拒绝原假设 H 0 ,称 C 为拒绝域。拒绝域的边界点 称为临界点。 该检验法主要对第一类错误加以控制而不考虑第二类错误, 所以我们称为显著性假设检 验。 1、双边假设检验 假设:原假设: H 0 : ? 拒绝域:
z ? x ? ?0

? ? 0 ,备则假设: H 1 : ? ? ? 0

?

? z?
2

,其中 z ? 为标准正态分布
2

?
2

的上分为点。

2、 右边检验 假设:原假设: H 0 : ? 拒绝域: z
? x ? ?0

? ?0

,备则假设: H 1 : ?

? ?0

?

? z?

3、左边检验 假设:原假设: H 0 : ? 拒绝域: z
? x ? ?0

? ?0

,备则假设: H 1 : ?

? ?0

?

? ? z?

例 2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布 N ( ? , ?
? ? 2 cm / s

2

)

,?

? 4 0 cm / s



。 现在采用新方法生产产品, 从中抽取 25 只, 测得燃烧率平均值 x

? 4 1 .2 5 cm / s ,

假定方差不变。问采用新方法后燃烧率是否显著提高,显著水平 ? =0.05。 解:采用右边检验,给定假设 H 0 : ?
z ? x ? ?0 ? z 0 .0 5 ? 1 .6 4 5 ,而现在 z ?

? ? 0 ? 40
4 1 .2 5 ? 4 0 2 25

,H1 : ?

? ?0

其拒绝域为: ,z 值落在拒绝域内,因此

?

? 3 .1 2 5 ? 1 .6 4 5

拒绝 H 0 ,认为有了显著提高。

95

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P262 1,

下次课预习要点 正态总体中,方差已知和未知的情况下均值的假设检验,均值差的假设检验。

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

96

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十九周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第八章第二节正态总体均值的假设检验 课堂教学 任课教师 及职称 课时安排

第 37 次课

2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 掌握正态总体中,方差已知和未知的情况下均值的假设检验,均值差的假设检验。

教学重点,难点: 方差已知和未知的情况下均值的假设检验,均值差的假设检验。

教学内容: §2 正态总体均值的假设检验

(一) 单个正态总体 N ( ? , ? ) 均值 ? 的检验
2

1、 ? 2 已知,关于 ? 的检验(Z 检验)上节已经给出。 2、 ? 2 未知,关于 ? 的检验 设总体 X
? N (? ,? )
2

,其中 ? , ? 2 未知,我们来求检验问题 的拒绝域。因为 ? 2 未知,我们采用 S 2 来代

原假设: H 0 : ?

? ? 0 ,备则假设: H 1 : ? ? ? 0
x ? ?0 S / n

替 ? 2 ,选取检验统计量 t
x ? ?0 S / n

?

,则 t 服从 t(n-1)分布。拒绝域为

t ?

? t ? / 2 ( n ? 1)

这种方法为 t 检验。

97

《概率论与数理统计》教案

(二) 两个正态总体均值差的检验(t 检验)

我们用 t 检验法检验具有相同方差的正态总体均值差的假设。 X 1 , X 2 , ? , X n 是来自正 设 态总体 N ( ? 1 , ?
2

) ,Y1 , Y 2 , ? Y n

是来自正态总体 N ( ? 2 , ?
? ? , H 1 : ?1 ? ? 2 ? ?
2 ,其中 S w

2

) ,且设两样本独立,其中 ? 1 , ? 2 , ?



知。作如下假设: H 0 : ? 1 ? ? 2 引入统计量 t
? (X ?Y ) ?? Sw 1 n1 ? 1 n2

( ? 为常数) ,给定显著水平 ? 。
2 2

?

( n1 ? 1) S 1 ? ( n 2 ? 1) S 2 n1 ? n 2 ? 2

,Sw

?

Sw

2



当 H 0 为真时,t 服从 t ( n1 ? n 2

? 2)

,则拒绝域为

t ?

(X ?Y ) ?? Sw 1 n1 ? 1 n2

? t ? ( n1 ? n 2 ? 2 )
2

常用的情况为 ? 例1

?0

,另外可给出单边检验情况。
2

某种元件的寿命 X 服从正态分布 N ( ? , ?

) ,其中 ? , ?

2

未知抽取 16 只元件检测

结果如下:159,280,101,212,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260, 485,170 问是 H 0 : ?
? ? 0 ? 2 2 5, H 1 : ? ? ? 0 否有理由认为元件的平均寿命大于

225?

解:按题意需检验
H 0 : ? ? ? 0 ? 2 2 5, H 1 : ? ? ? 0 。取 ? ? 0 .0 5 。可知拒绝域为
x ? ?0 S / n

t ?

? t ? ( n ? 1)

带入下列值 n=16, t 0 .0 5 (1 5) ? 1 .7 5 3 , x
t ? x ? ?0 S / n ? 0 .6 6 8 5 ? 1 .7 5 3 1

? 2 4 1 .5

,s=98.7259,即有

t 没有落在拒绝域中,故接受 H 0 ,即认为元件的平均寿命不大于 225。

98

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P263 2,3

下次课预习要点 单个正态总体方差的假设检验和两个正态总体的假设检验

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

99

《概率论与数理统计》教案

授课时间第十九周 授课章节 教学方法 与手段 使用教材和 主要参考书 第八章第三节正态总体方差的假设检验 课堂教学

第 38 次课 任课教师 及职称 课时安排 2

教材: 《概率论数理统计》(第三版)浙江大学 盛 骤等编,高等教育出版社 参考书: 《概率论与数理统计》 ,华东师范大学,魏宗书等编,高等教育出版社

教学目的与要求: 掌握单个正态总体方差的假设检验和两个正态总体的假设检验

教学重点,难点: 单个正态总体方差的假设检验和两个正态总体的假设检验

教学内容: §3 正态总体方差的假设检验

(一)单个总体的情况

1、设总体 X

? N (? ,? )
2

, ? , ? 2 均未知,设 X 1 , X 2 , ? , X n 是来自 X 的样本。要求检验假
2

设(显著性水平为 ? ) H 0 : ? : 取统计量: ? 2
? ( n ? 1) s
2

? ? 0 , H1 :?
2

2

??0

2

, ? 02 为已知常数。

?0
?

2

,则 ? 2 服从 ? 2 ( n ? 1) 分布。
2

其拒绝域为: ? 2

( n ? 1) s

?0

2

? ?

2 1?

?
2

( n ? 1)

或? 2

?

( n ? 1) s

2

?0
??0
2

2

? ? ? ( n ? 1) 该方法称为 ?
2 2

2

检验。

2、单边检验问题右检验: H 0 : ?

2

? ? 0 , H1 :?
2

2

拒绝域: ?

2

?

( n ? 1) s

2

?0

2

? ? ? ( n ? 1)
2

100

《概率论与数理统计》教案

3、单边检验问题左检验: H 0 : ? 拒绝域: ? 2
(三) 两个总体的情况

2

? ? 0 , H1 :?
2

2

??0

2

?

( n ? 1) s

2

?0

2

? ? 1 ? ? ( n ? 1)
2

设 X 1 , X 2 , ? , X n 是来自正态总体 N ( ? 1 , ? 12 ) , Y1 , Y 2 , ? Y n 是来自正态总体 N ( ? 2 , ? 2 2 ) , 且 设 两 样 本 独 立 , 其 中 ? 1 , ? 2 , ? 12 , ? 22 未 知 给 定 显 著 水 平 ? 。 作 如 下 假 设 : 。
H 0 :?1 ? ? 2 , H1 :?1 ? ? 2
2 2 2 2

。取统计量 F

?

S1 / ? 1
2 2

2 2

S1 / ?

,则 F 服从 F ( n1 ? 1, n 2
s1
2 2

? 1)

2

又 P?

2 1

??

2 2

? S 12 ? ? S 2 / ? 12 ? ? k ? ? P 2 2 ? 12 ? k? ?? ? 2 2 ? 1 ?? 2 ? S2 ? ? S2 /? 2 ?

,所以取拒绝域为 F

?

s2

? F? ( n 1 ? 1, n 2 ? 1)

上述检验法为 F 检验法。 例2 试对§2 例 2 中的数据检验假设(取 ? =0.01) 解:此处 n1
s1
2 2

? n 2 ? 1 0 ,?

=0.01,拒绝域为 或
s1
2 2

s2

? F 0 .0 0 5 (1 0 ? 1,1 0 ? 1) ? 6 .4 5

s2

? F1 ? 0 .0 0 5 (1 0 ? 1,1 0 ? 1) ?

1 F 0 .0 0 5 (1 0 ? 1,1 0 ? 1)

? 0 .1 5 3

现在

s1

2 2

?

3 .3 2 5 2 .2 2 5

? 1 .4 9

s2

即有 0.153<

s1

2 2

s2

<6.45,故接受 H 0

101

《概率论与数理统计》教案

复习思考题、作业题: P263 4,5

下次课预习要点

实施情况及教学效果分析 达到教学目的,教学效果良好

学院审核意见

学院负责人签字 年 月 日

102


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