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高中数学必修5教学设计1.1.1正弦定理教案1


1.1.1 正弦定理
一、教学目标: 1、能力要求: ①掌握正弦定理,能初步运用正弦定理解一些斜三角形; ②能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。 2、过程与方法: ①使学生在已有知识的基础上, 通过对任意三角形边角关系的探究, 发现并掌握三角形中的 边长与角度之间的数量关系——正弦定理。 ②在探究学习中认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题, 帮助学生 提高运用有关知识解决实际问题的能力。 二、教学重点、难点: 重点: 理解和掌握正弦定理的证明方法。 难点: 理解和掌握正弦定理的证明方法;三角形解的个数的探究。 三、预习问题处理: 1、在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知的边和 角求出未知的边和角。那么斜三角形怎么办?确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条 件?

2、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的

的比相等,即

。 ,已知

3、一般地,把三角形的三个角 A, B, C 和它们所对的边 a, b, c 叫做三角形的

三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。 4、用正弦定理可解决下列那种问题 ① 已知三角形三边;②已知三角形两边与其中一边的对角;③已知三角形两边与第三边的 对角;④已知三角形三个内角;⑤已知三角形两角与任一边;⑥已知三角形一个内角与 它所对边之外的两边。 5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的?

四、新课讲解: 在 Rt ?ABC 中,设 C ? 90 ,则
?

sin A ?

a b a b c , sin B ? , sin C ? 1 ,即: c ? ,c ? ,c ? , c c sin A sin B sin C a b c ? ? 。 sin A sin B sin C

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问题一:对于一般的三角形,上述关系式是否依然成立呢? 设 ?ABC 为锐角三角形,其中 C 为最大角。

AD AD , sin C ? , c b b c a c ? ? 所以 c sin B ? b sin C ,即 .同理可得 , sin B sin C sin A sin C a b c ? ? 所以 。 sin A sin B sin C
如图(1)过点 A 作 AD ? BC 于 D ,此时有 sin B ?

设 ?ABC 为钝角三角形,其中 C 为最大角。 如图(2)过点过点 A 作 AD ? BC ,交 BC 的延长线于 D ,此时也有 sin B ? 且 sin C ? sin 180 ? C ?
?

AD , c

?

?

AD a b c ? ? .同样可得 。 b sin A sin B sin C

综上可知,结论成立。

问题二:三角形的面积如何表示? 先作出三边上的高 AD, BE, CF ,则 AD ? c sin B, BE ? a sin C, CF ? b sin A 。 所以 S ?ABC ?

1 1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ,每项同除以 abc 即得: 2 2 2 2 a b c ? ? sin A sin B sin C

五、例题讲解:
? ? 例 1、已知:在 ?ABC 中, ?A ? 45 , ?C ? 30 , c ? 10 ,解此三角形。

解:由 ?A ? 45 , ?C ? 30 可得 ?B ? 105
? ?

?



a b c ? ? ,可依次计算出 a ? 10 2 , b ? 5 6 ? 5 2 。 sin A sin B sin C

? 例 2、已知:在 ?ABC 中, ?A ? 45 , AB ? 6 , BC ? 2 ,解此三角形。

解:由

AB BC AC AB sin A ? ? ? sin C ? ? sin C sin A sin B BC
?

6?

2 2 ? 3 2 2

∴当 ?C ? 60 时, ∴当 ?C ? 120 时,
?

?B ? 75? ?B ? 15?

∴ AC ?

BC sin B ? 3 ?1 sin A BC sin B ? 3 ?1 ∴ AC ? sin A
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六、知识拓展: 1、正弦定理中对应的边与其角的正弦值之比为常数。 以半径为 R 作一圆,然后作一圆内接 ?ABC ,过点 A 作圆的直径 AD,
? 可得 ?ACD ? 90 ,且 ?B ? ?D ,故在 Rt ?ACD 中有

A

b ? 2R , sin D
B

C O



b a c ? 2 R ,同理可得 ? ? 2R sin B sin A sin C

由此,正弦定理可拓展为:

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
2、三角形面积的另外表示方法。

D A

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2 b 如右图, ?B ? ?D ,所以 sin B ? sin D ? 2R 1 1 b abc ? 所以 S ?ABC ? ac sin B ? ac ? 2 2 2R 4R
① S ?ABC ? 即三角形面积公式为:

O B C D

1 1 1 abc ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? (R 为三角形外接圆半径) 2 2 2 4R ②如右图,圆 O 为三角形 ABC 的内切圆,圆 O 半径为 r 。 S ?ABC ?
A

S ?ABC ? S ?ACO ? S ?ABO ? S ?BCO 1 1 1 AC ? r ? AB ? r ? BC ? r 2 2 2 1 ? ?a ? b ? c ?r 2 ?
E F O

B

D

C

七、小结: 1、正弦定理的证明; 2、利用正弦定理解斜三角形的方法,及利用正弦定理可解决问题类型。

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