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第3讲-导数的综合应用


第 3 讲
? 夯基释疑

导数的综合应用

考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三

例1 例2 例3

训练1 训练2 训练3

? 课堂小结

夯基释疑

判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)实际问题中函数定义域

要由实际问题的意义和函数解析式 共同确定.( ) (2)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.( ) (3)连续函数在闭区间上必有最值.( ) (4)函数 f(x)=x2-3x+2的极小值也是最小值.( )

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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设 该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建 造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面 的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义 域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池 的体积最大. 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元, 底面的总成本为160πr2元. 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意得200πrh+160πr2=12 000π, 1 π 2 2 所以 h= (300-4r ),从而 V(r)=πr h= (300r-4r3). 5r 5 因 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3,故函数 V(r)的定义域为(0,5 3).
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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设 该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建 造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面 的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π 元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义 域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池 的体积最大.
π π 3 故 V ′( r ) = (300-12r2), (2)因 V(r)= (300r-4r ), 5 5 令V′(r)=0,解得r=5或-5(因r=-5不在定义域内,舍去).

当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.

由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8. 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题

规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因 变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数的最 值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合.用导数求解 实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个 极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.

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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【训练 1】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售 a 量 y(单位: 千克 )与销售价格 x(单位: 元 /千克)满足关系式 y= x- 3 + 10(x- 6)2,其中 3< x< 6, a 为常数,已知销售价格为 5 元/千 克时,每日可售出该商品 11 千克. (1) 求 a 的值; (2) 若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商 场每日销售该商品所获得的利润最大.

a 解 (1)因为x=5时,y=11, 所以 +10=11,a=2. 2 2 (2) 由(1) 知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2. x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 f(x)=(x-3)[ +10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. x-3 从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).
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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【训练 1】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售 a 量 y(单位: 千克 )与销售价格 x(单位: 元/千克)满足关系式 y= x- 3 + 10(x- 6)2,其中 3< x< 6, a 为常数,已知销售价格为 5 元/千 克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商 场每日销售该商品所获得的利润最大.

接上一页 ,f′(x)=30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x ) (3,4) + 单调递增 4 0 极大值42 (4,6) - 单调递减

由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点, 也是最大值点.
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考点突破 考点一 利用导数解决生活中的优化问题
【训练 1】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售 a 量 y(单位: 千克 )与销售价格 x(单位: 元/千克)满足关系式 y= x- 3 + 10(x- 6)2,其中 3< x< 6, a 为常数,已知销售价格为 5 元/千 克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商 场每日销售该商品所获得的利润最大.

所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获 得的利润最大.

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考点突破 考点二 利用导数证明不等式
x 1 b e 【例 2】(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=aexln x+ ,曲线 x y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1)+2. (1)求 a,b;(2)证明:f(x)>1.


函数f(x)的定义域为(0,+∞), a x b x-1 b x-1 x f′(x)=ae ln x+ e - 2e + e . x x x 由题意可得f(1)=2,f′(1)=e. 故a=1,b=2. 2 x-1 x (2)证明 由(1)知,f(x)=e ln x+ e , x 2 -x 从而 f(x)>1 等价于 xln x>xe - . e 设函数g(x)=xln x,则g′(x)=1+ln x. 1? ? 0 , 所以当 x∈? e?时,g′(x)<0; (1)解
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考点突破 考点二 利用导数证明不等式
x 1 b e 【例 2】(2014· 新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)=aexln x+ ,曲线 x y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y=e(x-1)+2. (1)求 a,b;(2)证明:f(x)>1.


2 - 设函数 h(x)=xe - ,则 h′(x)=e x(1-x). e 所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时, h′(x)<0. 故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 1 从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 h(1)=- . e 综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.
-x
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1 ? 当 x∈?e,+∞? ?时,g′(x)>0. 1? 1 ? ? 故 g(x)在?0,e ?上单调递减,在?e,+∞? ?上单调递增, 1? 1 ? 从而 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g?e ?=- . e

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考点突破 考点二 利用导数证明不等式

规律方法 利用导数证明不等式常构造函数φ(x),将不等式转化为φ(x)> 0(或<0)的形式,然后研究φ(x)的单调性、最值,判定φ(x)与 0的关系,从而证明不等式,这是用导数证明不等式的基本思 路.

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考点突破 考点二 利用导数证明不等式
【训练 2】已知函数 f(x)=2ln x-ax+a(a∈R). (1)讨论 f(x)的单调性; f(x2)-f(x1) ? 1 (2)若 f(x)≤0 恒成立,证明:当 0<x1<x2 时, <2?x -1? ?. 1 x2-x1 2-ax (1)解 f′(x)= ,x>0. x 若a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 2? ? 若 a>0,当 x∈?0,a?时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 2 ? 当 x∈?a,+∞? ?时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

(2)证明 由(1)知,若a≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立. 2 ? ? 若 a>2,当 x∈?a,1?时,f(x)单调递减,f(x)>f(1)=0,不合题意,
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考点突破 考点二 利用导数证明不等式
【训练 2】已知函数 f(x)=2ln x-ax+a(a∈R). (1)讨论 f(x)的单调性; f(x2)-f(x1) ? 1 (2)若 f(x)≤0 恒成立,证明:当 0<x1<x2 时, <2?x -1? ?. 1 x2-x1

2? ? 若 0<a<2,当 x∈?1,a?时,f(x)单调递增,

f(x)>f(1)=0,不合题意, 若a=2,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, f(x)≤f(1)=0符合题意. 故a=2,且ln x≤x-1(当且仅当x=1时取“=”). x2 当 0<x1<x2 时,f(x2)-f(x1)=2ln -2(x2-x1) x1 x2 ? 1 ? <2?x -1?-2(x2-x1)=2( -1)(x2-x1), x1 1 f(x2)-f(x1) ? 1 所以 <2?x -1? . ? 1 x2-x1
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考点突破 考点三 利用导数求参数的取值范围
ln x+a 1 【例 3】已知函数 f(x)= (a∈R),g(x)= . x x (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上有公共点, 求实数 a 的取值范围.

1-(ln x+a) . 解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)= x2 令f′(x)=0,得x=e1-a, 当x∈(0,e1-a)时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈(e1-a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e1-a], 单调递减区间为[e1-a,+∞), 极大值为f(x)极大值=f(e1-a)=ea-1,无极小值.
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考点突破 考点三 利用导数求参数的取值范围
ln x+a 1 【例 3】已知函数 f(x)= (a∈R),g(x)= . x x (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上有公共点, 求实数 a 的取值范围.

ln x+a-1 -ln x+2-a (2)令 F(x)=f(x)-g(x)= ,则 F′(x)= . x x2 令F′(x)=0,得x=e2-a;令F′(x)>0,得x<e2-a; 令F′(x)<0,得x>e2-a, 故函数F(x)在区间(0,e2-a]上是增函数, 在区间[e2-a,+∞)上是减函数. ①当e2-a<e2,即a>0时,函数F(x)在区间(0,e2-a]上是增函数, 在区间[e2-a,e2]上是减函数,F(x)max=F(e2-a)=ea-2.
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考点突破 考点三 利用导数求参数的取值范围
ln x+a 1 【例 3】已知函数 f(x)= (a∈R),g(x)= . x x (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上有公共点, 求实数 a 的取值范围.
a+1 又 >0, e2 由图象,易知当0<x<e1-a时,F(x)<0;当e1-a<x≤e2,F(x)>0, 此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e2]上有1个公 共点. ②当e2-a≥e2,即a≤0时, F(x)在区间(0,e2]上是增函数, a+1 2 F(x)max=F(e )= 2 . e
- F(e1 a)=0,F(e2)=
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考点突破 考点三 利用导数求参数的取值范围
ln x+a 1 【例 3】已知函数 f(x)= (a∈R),g(x)= . x x (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象在区间(0,e2]上有公共点, 求实数 a 的取值范围.
a+1 若 ≥0,即-1≤a≤0 时, e2 函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0,e2]上只有1个公共点; a+1 2 若 F(x)max=F(e )= 2 <0,即 a<-1 时, e 函数 f(x) 的图象与函数 g(x) 的图象在区间(0,e2]上没有公共点. F(x)max=F(e2)=

综上,满足条件的实数 a 的取值范围是[-1,+∞).

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考点突破 考点三 利用导数求参数的取值范围

规律方法 函数零点或函数图象交点问题的求解,一般利用导数研 究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象,根据 零点或图象的交点情况,建立含参数的方程(或不等式) 组求解,实现形与数的和谐统一.

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考点突破 考点三 利用导数求参数的取值范围
【训练3】(2013· 北京卷)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围. 解 由f(x)=x2+xsin x+cos x, 得f′(x)=2x+sin x+x(sin x)′-sin x=x(2+cos x). (1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切, 所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得a=0,b=f(0)=1. (2)设g(x)=f(x)-b=x2+xsin x+cos x-b. 令g′(x)=f′(x)-0=x(2+cos x)=0,得x=0. 当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:
x g′(x) g(x) (-∞,0) - ↘ 0 0 1- b (0,+∞) + ↗
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考点突破 考点三 利用导数求参数的取值范围
【训练3】(2013· 北京卷)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围. 所以函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递减, 在区间(0,+∞)上单调递增, 且g(x)的最小值为g(0)=1-b. ①当1-b≥0时,即b≤1时,g(x)=0至多有一个实根, 曲线y=f(x)与y=b最多有一个交点,不合题意. ②当1-b<0时,即b>1时,有g(0)=1-b<0, g(2b)=4b2+2bsin 2b+cos 2b-b>4b-2b-1-b>0. ∴y=g(x)在(0,2b)内存在零点, 又y=g(x)在R上是偶函数, 且g(x)在(0,+∞)上单调递增,
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考点突破 考点三 利用导数求参数的取值范围
【训练3】(2013· 北京卷)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围. ∴y=g(x)在(0,+∞)上有唯一零点, 在(-∞,0)也有唯一零点. 故当b>1时,y=g(x)在R上有两个零点, 则曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点. 综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点, 那么b的取值范围是(1,+∞).
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课堂小结 思想方法

1.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么 只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与 端点的函数值比较. 2.利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基 本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数的单调性 ,或者函数的最值证明函数h(x)>0,其中一个重要技巧就是 找到函数h(x)在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的 一个突破口.

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课堂小结 思想方法

3.利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型, 体现了导数的工具性作用,将函数、不等式紧密结合起来, 考查了学生综合解决问题的能力. 4.对于研究方程根的个数的相关问题,利用导数这一工具和 数形结合的数学思想就可以很好地解决.这类问题求解的通 法是(1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其 定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)画出函数草图 ;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情 况进而求解.

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课堂小结 易错防范

实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约,不可盲目

地确定函数的定义域;在解题时要注意单位的一致性;把实
际问题转化成数学问题后,要根据数学问题中求得的结果对 实际问题作出解释.

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(见教辅)

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