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递推数列求通项公式的习题


高考中通项公式 a n 求法题型分类
前言:数列通项公式的求法一直以来都是高考数列题的难点,现在我总结出来一些高考常考的几个类型 题希望能给大家带来帮助。这些题都很经典希望同学们能够认真体味,发现其中的奥秘! 叠加法:类型 1 an?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用叠加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知

数列 ?a n ? 满足 a1 ?

变式: 在数列 ? an ? 中,若 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________ 变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1(n ? N ). 求数列 ? an ? 的通项公式;
*

提高 1: (除变量)已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2

n ?1

,求 a n

1 1 , a n?1 ? an ? 2 ,求 a n 。 2 n ?n

变式: 已知数列 {a n }中a1 ? 1 , an?1 ? an ? 3 (I)

n

提高 2: (取对数)已知数列{ a n }中, a1 ? 1, a n?1 ?

1 2 的通项公式. ? an (a ? 0) ,求数列 ?an ? a

求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式.

叠乘法:类型 2 a n ?1 ? f (n)a n 解法:把原递推公式转化为

提高 3: (取倒数)已知数列{an}满足: a n ?

a n?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? a n?1 ? 1

a n ?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

例 1:已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

2 n , a n ?1 ? a n ,求 a n 。 3 n ?1

类型 4 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n ? f (an ) ) 解法:这种类型一般利用 a n ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

变式:已知 a1 ? 3 , a n?1 ? 构造法:类型 3

3n ? 1 an (n ? 1) ,求 a n 。 3n ? 2

例:已知数列 ?a n ?前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。

(1)求 an?1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n .

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 为等比数列求解。 例:已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 ,求 a n .

q ,再利用换元法转化 1? p
变式:(2006,全国 I,理 22,) 设数列 ? an ? 的前 n 项的和 Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n?1 ? , n ? 1,2,3 ? ? ? ? ? ? 求首项 a1 与通项 an ; 3 3 3

变式:已知正项数列 ?a n ?, 其前 n 项和 Sn 满足 10 S n ? a n ? 5a n ? 6 且 a1 , a3 , a15 成等比数列, 求数列 ?a n ?
2

2 6、数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 5n ? 2 ,则 an 的前 10 项和 T10 ?

? ?

的通项公式 a n 类型 5 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

A.60

B.50

C.54

D.58

二.填空题
1 . an ,则 an ? 4 1 1 1 1 8、数列 ? an ? 中, a1 ? 2 a 2 ? 3 a3 ? ? ? n a n ? 2n ? 5 ,则 a n ? 2 2 2 2
7、数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? 1 ? 9、数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,其通项公式 an = 10、数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , n ? 2 时, a n ?

例:若数列 ?a n ?满足 a n ?1

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 ?? 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

. .

变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

2S n ,则 a n ? 2S n ? 1

2



an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =





三.解答题
11、数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? an ?1 , (n ? N ? ) , a1 ? 2 ,求 an和Sn .

A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2
12、数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , a n ? a n ?1 ? 2n , ?n ? 1? ,求其通项公式 an .

同步练习
一.选择题 1、数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 3 ,则 ? an ? 是( )

A.等比数列 B.等差数列 C.从第 2 项起是等比数列 D.从第 2 项起是等差数列 2、数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

13、设数列 ? an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列, a1 ? b1 ? 1 , a2 ? a4 ? b3 , b2 b4 ? a3 ,求 ? an ? ,

2an , (n ? N ? ) ,则 a5 ? ( an ? 2



?bn ? 的通项公式.
14、 (2012 年高考 (广东理) ) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1 , n ? N* ,且 a1 、 a2 ? 5 、

2 A. 5

1 B. 3

2 C. 3

1 D. 2

3、已知数列 ?a n ? 中, a1 ? ?3 且 a n ? 2a n ?1 ? 1,则此数列的通项公式为 A. ? 3 ? 2
n ?1

a3 成等差数列.
n

B. ? 2

n

C. 2 ? 5
n
2 2

D. ? 2 ? 1

(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

4、在数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , a n ? 0 , a n ?1 ? a n ? 4 ,则 a n ? A. 4n ? 3 B. 2n ? 1 C. 4 n ? 3 D. 2 n ? 1

5、在等比数列 ? an ? 中,若 a n ? 0 , a1 a9 ? 64 , a 4 ? a6 ? 20 ,则 a n ? A. 2
n ?2

B. 2

8?n

C. 2

n ?2

或2

8?n

D. 2

2? n

或2

n ?2

? 2a1 ? a2 ? 3 ? 1.解析:(Ⅰ)由 ? 2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . ? ? 2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3
(Ⅱ)由 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1 可得 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1( n ? 2 ), 两式相减 , 可得 2an ? an ?1 ? an ? 2n , 即

an?1 ? 3an ? 2n ,即 an ?1 ? 2n ?1 ? 3 ? an ? 2n ? ,所以数列 ?an ? 2 n ? ( n ? 2 )是一个以 a2 ? 4 为首项,3 为公
比的等比数列 . 由 2a1 ? a2 ? 3 可得 , a2 ? 5 , 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n ?2 , 即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ), 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n .

. (2013 年高考大纲卷(文) )等差数列 ? an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 ,

(I)求 ? an ? 的通项公式; (II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

【答案】(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an ? a1 ? (n ? 1)d

因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? 1 ,所以 ? . 解得, a1 ? 1, d ? . 2 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d ) ?a19 ? 2a9

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .
(Ⅱ) 设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

n ?1 所以 {an } 的通项公式为 an ? . 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n (Ⅱ) bn ? , 所以 Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? . ? ? ? )? nan n(n ? 1) n n ? 1 1 2 2 3 n n ?1 n ?1
1. ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 文 ) ) 已 知 S n 是 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , S 4 , S 2 , S 3 成 等 差 数 列 , 且

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1
? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * .

a2 ? a3 ? a4 ? ?18 .

1? qn ? a1 ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n , 使得 Sn ? 2013 ? 若存在 ,求出符合条件的所有 n 的集合 ;若不存在,说明理 由.
【答案】(Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q ,则 a1 ? 0 , q ? 0 . 由题意得

2. ( 2013 年 高 考 广 东 卷 ( 文 ) ) 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前
2 4Sn ? an n? 1 n, ? N ? 且 , a2 , a5 , a14 构成等比数列. ?1 ? 4

n 项 和 为 Sn , 满 足

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

? S 2 ? S 4 ? S3 ? S 2 , ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ?18, ? a ? 3, 解得 ? 1 ? q ? ?2.

? ? a q ? a1q ? a1q , ? 即 ? 1 2 ? ? a1q (1 ? q ? q ) ? ?18,
2 3 2

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 3(?2)n ?1 .
3 ? [1 ? (?2)n ] ? 1 ? (?2)n . 1 ? (?2)

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 Sn ?

【答案】(1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ?
2

4a1 ? 5

若存在 n ,使得 Sn ? 2013 ,则 1 ? (?2)n ? 2013 ,即 (?2)n ? ?2012. 当 n 为偶数时, (?2)n ? 0 , 上式不成立; 当 n 为奇数时, (?2)n ? ?2n ? ?2012 ,即 2n ? 2012 ,则 n ? 11 . 综上,存在符合条件的正整数 n ,且所有这样的 n 的集合为 {n n ? 2k ? 1, k ? N, k ? 5} .
(2013 年高考湖南(文) )设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

?当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 , ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,? a5
2

? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ? N ?

由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1
2

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和 .
【答案】解: (Ⅰ)

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时, 2a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1.
2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 .
(3)

当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? ? 2

3. (2013 年高考安徽(文) )设数列 ?an ? 满足 a1

? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N * ,函数
满足 f '( ) ? 0

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ( 2 an ?
【答案】解:由 a1

?

2

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ) 2an

?2

a2 ? a4 ? 8

5. (2013 年高考江西卷(文) )正项数列{an}满足 an ? (2n ? 1)an ? 2n ? 0 .
2

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x ? x) f( ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? sin x - an ? 2 ? cos x
f '( ) ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? 0 2
而 a1 ? 2

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ( n ? 1) an
2

?

所以, 2an ?1 ? an ? an ? 2 ??an ? 是等差数列.

(1)由a n ? (2n ? 1)a n ? 2n ? 0得(a n -2n)(an +1)=0 【答案】解:
由于{an}是正项数列,则 a n ? 2n . (2)由(1)知 a n ? 2n ,故 bn ?

a3 ? 4

d ? 1 ? an ? 2 ? (n -1 ) ?1 ? n ? 1

(2) bn ? ( 2 an ?

1 1 1 ) ?( 2 n ? 1 ? n ?1 ) ?( 2 n ?1 ) ? n an 2 2 2 1 1 ( 1- n ) ( 2 2 ? n ?1 )n 2 2 Sn ? ? 1 2 1 1 1=( n n ? 3) ? 1- n ? n 2 ? 3n ? 1- n 2 2 2

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 1)an (n ? 1)(2n) 2 n (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2
6. (2013年高考课标Ⅰ卷(文) )已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3

4. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知等差数列 ? an ? 的公 差不为零,a1=25,且 a1,a11,a1 3 成等比数列.

? 0 , S5 ? ?5 .

(Ⅰ)求 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a3n ?2 .
【答案】

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1

【答案】(1)设{a n }的公差为 d,则 S n = na1 ?

n(n ? 1) d. 2

?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. ? 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5,
故 ?an ?的通项公式为an =2-n.
(2)由(I)知

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n ?1a2 n ?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

从而数列 ?

?

? 1 1 1 1 1 1 1 1 n . ? )? ?的前n项和为 ( - + - +? + 2 -1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2 n ? a2 n ?1a2 n ?1 ?


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