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安徽省合肥市2015年高三第三次教学质量检测数学理试题


合肥市 2015 年高三第三次教学质量检测 数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟,祝各位考生 考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目 要求的. 1.已知 (a ? i)(1 ? bi) ? 2i (其中 a , b 均为实数, i 为虚数单位),则 | a ? bi | 等于 A.2 B. 2
x
x

C.1
x

D.1 或 2

2.命题“对于任意 x ? R ,都有 e ? 0 ”的否定是 A.对于任意 x ? R ,都有 e ? 0 C.存在 x0 ? R ,使得 e
x0

B.不存在 x ? R ,使得 e ? 0 D.存在 x0 ? R ,都有 e
x0

?0 3.若函数 y ?| x ? 2 | ?2 的定义域为集合 A ? {x ? R | ?2 ? x ? 2} ,值域为集合 B ,则 A. A ? B B. A ? B C. B ? A D. A B ? ? 4.在等差数列 {an } 中,已知 a18 ? 3(4 ? a2 ) ,则该数列的前 11 项和 S11 等于
A.33 B.44 C.55 D.66 5.执行如图所示的程序框图,若将判断框内“ S ? 100 ”改为关于 n 的不等式“ n ? n0 ”且要 求输出的结果不变,则正整数 n0 的取值 A.是 4 B.是 5 6.在极坐标系中,已知点 A(4,1), B(3,1 ? C.是 6 D.不唯一

?0

?
2

) ,则线段 AB 的长度是

A.1

B. 1 ?

?2
4

C.7

D.5

7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是

6 2 2 C. 2
A.

B.1 D.

6 4

8.某校计划组织高一年级四个班开展研学旅行活动 ,初选了 A, B, C , D 四条不同 的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一线路最多只能 有两个班级选择,则不同的选择方案有 A.240 种 B.204 种 C.188 种 D.96 种 9.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 A.

? ? D. 4 6 10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? 1 且 f ( x) ? f '( x) ? 1, f (0) ? 5 ,其中 f '( x) 是 f ( x ) 的导函 数,则不等式 ln[ f ( x) ? 1] ? ln 4 ? x 的解集为 A. (0, ?? ) B. (??,0) (3, ??) C. (??,0) (0, ??) D. (??, 0)
B. C.

? 2

? 3

a b ? ? 2c ,则 ? A 的大小是 sin B sin A

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置上. 11.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系,将该校不小于 35 岁的 80 名教师按年龄

分组 , 分组区间为 [35, 40),[40, 45),[45,50),[50,55),[55,60) , 由此得到频率分布直方图如图,则这 80 名教师中年龄小于 45 岁 的教师有 人 12.设

(3x ? 2)6 ? a0 ? a1 (2x ?1) ? a2 (2x ?1)2 ? ? a6 (2x ?1)6 , 则 a1 ? a3 ? a5 ? a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?0 ? y ? x 13.在平面直角坐标系中 ,不等式组 ? 表示的平面区域 ?x ? y ? 2 为 ?1 ,直线 l : kx ? y ? ( k ? 1) ? 0(k ? 0) 将区域 ?1 分为左右两部分,记直线 l 的右边区域为 ? 2 ,在区 1 域 ?1 内随机投掷一点,其落在区域 ? 2 内的概率 P ? ,则实数 k 的取值为 3 2 14.设点 F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,过抛物线上一点 P ,沿 x 轴正方向作射线 PQ // x 轴,若 ?FPQ 的
平分线 PR 所在直线的斜率为 ?2 ,则点 P 的坐标为

1 ,动点 C 满足 OC ? xOA ? yOB ,给出以下命 2 题: ①若 x ? y ? 1 ,则点 C 的轨迹是直线; ②若 | x | ? | y |? 1 ,则点 C 的轨迹是矩形; x ③若 xy ? 1 ,则点 C 的轨迹是抛物线; ④若 ? 1 ,则点 C 的轨迹是直线; y 2 2 ⑤若 x ? y ? xy ? 1 ,则点 C 的轨迹是圆. 以上命题正确的是 (写出你认为正确的
15.已知向量 OA, OB 满足 | OA | ?| OB | ? 1, OA ? OB ? 所有命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)设 x1 , x2 ? [ ?

?

4

) ? cos(? x ?

5? )(? ? 0) 的最小正周期为 4? . 12

? ?

, ] ,求 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 的最大值. 2 2

17(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 S n ?

n an (n ? N * ) ,(其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a2 ? 2 . 2

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ?

? ?an (n为奇数) ,求数列 {bn } 的前 2 n 项和 T2 n . ? ?a2n (n为偶数)

18(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,过其右焦点 F 且垂直于 x 轴的弦 MN 的长度为 b . a 2 b2

(Ⅰ)求该椭圆的离心率; (Ⅱ)已知点 A 的坐标为 (0, b ) ,椭圆上存在点 P, Q ,使得圆 x2 ? y 2 ? 4 内切于 ?APQ ,求该椭圆的方 程.

19(本小题满分 13 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, BF ? 平面 ABCD, DE // BF . (Ⅰ)求证: AC ? EF ; (Ⅱ)若 BF ? 2, DE ? 1, 在 EF 上取点 G ,使 BG // 平面 ACE ,求直线 AG 与平面 ACE 所成角 ? 的正 弦值.

20(本小题满分 13 分) 某校高三年级研究性学习小组共 6 人,计划同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6 人各自 随机地确定参观顺序,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,所有展厅参观结束后集合返回,设事件 A 为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的 2 个人;事件 B 为:在参观的第二 个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为 2 人. (Ⅰ)求 P ( A) 及 P( B | A) ; (Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为 ? ,则在事件 A 发生的前提下,求 ? 的概 率分布列及数学期望.

21(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 3. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 g ( x) ?

2t ? x ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) 对 x ? 0 恒成立,求整数 t 的最小值. x


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