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数学:第二章《平面解析几何初步》同步练习一(新人教B版必修2)


山东省新人教 B 版 2012 届高三单元测试 5 必修 2 第二章 《平面解析几 何初步》
(本卷共 150 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 2 1.直线 3ax-y-1=0 与直线(a- )x+y+1=0 垂直,则 a 的值是( ) 3 1 1 A.-1 或 B.1 或 3 3

1 1 C.- 或-1 D.- 或 1 3 3 2 1 解析:选 D.由 3a(a- )+(-1)×1=0,得 a=- 或 a=1. 3 3 2.直线 l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图形 大致是图中的( )

解析:选 C.直线 l1:ax-y+b=0,斜率为 a,在 y 轴上的截距为 b, 设 k 1=a,m1=b.直线 l2:bx-y+a=0,斜率为 b,在 y 轴上的截距为 a, 设 k2=b,m2=a. 由 A 知:因为 l1∥l2,k1=k2>0,m1>m2>0,即 a=b>0,b>a>0,矛盾. 由 B 知:k1<0<k2,m1>m2>0,即 a<0<b,b>a>0,矛盾. 由 C 知:k1>k2>0,m2>m1>0,即 a>b>0,可以成立. 由 D 知:k1>k2>0,m2>0>m1,即 a>b >0,a>0>b,矛盾. 2 2 3.已知点 A(-1,1)和圆 C:(x-5) +(y-7) =4,一束光线从 A 经 x 轴反射到圆 C 上的 最短路程是( ) A.6 2-2 B.8 C.4 6 D.10 解 析 : 选 B. 点 A 关 于 x 轴 对 称 点 A′( - 1 , - 1) , A′ 与 圆 心 (5,7) 的 距 离 为 2 2 ? 5+1? +? 7+1? =10.∴所求最短路程为 10-2=8. 2 2 2 2 4.圆 x +y =1 与圆 x +y =4 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 2 2 2 2 解析:选 D.圆 x +y =1 的圆心为(0,0),半径为 1,圆 x +y =4 的圆心为(0,0),半径 为 2,则圆心距 0<2-1=1,所以两圆内含.

5.已知圆 C:(x-a) +(y-2) =4(a>0)及直线 l:x-y+3=0,当直线 l 被圆 C 截得的 弦长为 2 3时,a 的值等于( ) A. 2 B. 2-1 C.2- 2 D. 2+1 |a-2+3| |a+1| 解析:选 B.圆心(a,2)到直线 l:x-y+3=0 的距离 d= = ,依题意 2 2 ?|a+1|?2 ?2 3?2 ? ? +? ? =4,解得 a= 2-1. ? 2 ? ? 2 ? 6.与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( ) A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 解析:选 D.∵所 求直线平行于直线 2x+3y-6=0, ∴设所求直线方程为 2x+3y+c=0, |2-3+c| |2-3-6| 由 = , 2 2 2 2 2 +3 2 +3 ∴c=8,或 c=-6(舍去), ∴所求直线方程为 2x+3y+8=0. 2 2 7.若直线 y-2=k(x-1)与圆 x +y =1 相切,则切线方程为( ) 3 A.y-2= (1-x) 4 3 B.y-2= (x-1) 4 3 C.x=1 或 y-2= (1-x) 4 3 D.x=1 或 y-2= (x-1) 4 解析:选 B.数形结合答案容易 错选 D,但要注意直线的表达式是点斜式,说明直线的斜 率存在,它与直线过点(1,2)要有所区分. 2 2 8.圆 x +y -2x=3 与直线 y=ax+1 的公共点有( ) A.0 个 B.1 个 C.2个 D.随 a 值变化而变化 解析:选 C.直线 y=ax+1 过定点(0,1),而该点一定在圆内部. 2 2 9.过 P(5,4)作圆 C:x +y -2x-2y-3=0 的切线,切点分别为 A、B,四边形 PACB 的 面积是( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解析:选 B.∵圆 C 的圆心为(1,1),半径为 5. 2 2 ∴|PC|= ? 5-1? +? 4-1? =5, ∴|PA|=|PB|= 5 -? 5? =2 5, 1 ∴S= ×2 5× 5×2=10. 2 2 2 10.若直线 mx+2ny-4=0(m、n∈R,n≠m)始终平分圆 x +y -4x-2y-4=0 的周长, 则 mn 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,-1) C.(-∞,1) D.(-∞,-1) 2 2 2 2 解析:选 C.圆 x +y -4x-2y-4=0 可化为(x-2) +(y-1) =9,直线 mx+2ny-4=0 2 始终平分圆周,即直线过圆心(2,1),所以 2m+2n-4=0,即 m+n=2,mn=m(2-m)=-m
2 2

2

2

+2m=-(m-1) +1≤1,当 m=1 时等号成立,此时 n=1,与“m≠n”矛盾,所以 mn<1. 2 11. 已知直线 l: =x+m 与曲线 y= 1-x 有两个公共点, y 则实数 m 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.(-1,1) C.[1, 2) D.(- 2, 2) 2 解析:选 C. 曲线 y= 1-x 表示单位圆的上半部分,画出直线 l 与曲线在同一坐标系中 的图象,可观察出仅当直线 l 在过点(-1,0)与点(0,1)的直线与圆的上切线之间时,直线 l 与曲线有两个交点.

2

当直线 l 过点(-1,0)时,m=1; 当直线 l 为圆的上切线时,m= 2(注:m=- 2,直线 l 为下切线). 2 2 12.过点 P(-2,4)作圆 O:(x-2) +(y-1) =25 的切线 l,直线 m:ax-3y=0 与直线 l 平行,则直线 l 与 m 的距离为( ) A.4 B.2 8 12 C. D. 5 5 解析:选 A.∵点 P 在圆上, 1 1 4 ∴切线 l 的斜率 k=- =- = . kOP 1-4 3 2+2 4 ∴直线 l 的方程为 y-4= (x+2), 3 即 4x-3y+20=0. 又直线 m 与 l 平行, ∴直线 m 的方程为 4x-3y=0. |0-20| 故两平行直线的距离为 d= 2 =4. 2 4 +? -3? 二、填空题(本大题共 4 小题,请把答案填在题中横线上) 13.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是________. 解析:易求得 AB 的中点为(0,0),斜率为-1,从而其垂直平分线为 直线 y=x,根据圆的 几何性质, 这条直线应该过圆心, 将它与直线 x+y-2=0 联立得到圆心 O(1,1), 半径 r=|OA| =2. 2 2 答案:(x-1) +(y-1) =4 2 2 14.过点 P(-2,0)作直线 l 交圆 x +y =1 于 A、B 两点,则|PA|·|PB|=________. 解析:过 P 作圆的切线 PC,切点为 C,在 Rt△POC 中,易求|PC|= 3,由切割线定理, 2 |PA|·|PB|=|PC| =3. 答案:3 2 2 15.若垂直于直线 2x+y=0,且与圆 x +y =5 相切的切线方程为 ax+2y+c=0,则 ac 的值为________.
[来源:Z+xx+k.Com][来源:学§科§网]

解析:已知直线斜率 k1=-2,直线 ax+2y+c=0 的斜率为- .∵两直线垂直,∴(- 2 a |c| 2)·(- )=-1,得 a=-1.圆心到切线的距离为 5,即 = 5,∴c=±5,故 ac=±5. 2 5 答案:±5 2 2 16.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x +y -2x+4y+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围 是__________.

a

解析:将圆 x +y -2x+4y+4=0 化为标准方程, 2 2 得(x-1) +(y+2) =1,圆心为(1,-2),半径为 1.若直线与圆无公共点,即圆心到直 |3×1+4×? -2? +m| |m-5| 线的距离大于半径,即 d= = >1, 2 2 5 3 +4 ∴m<0 或 m>10. 答案:(-∞,0)∪(10,+∞) 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 三角形 ABC 的边 AC, 的高所在直线方程分别为 2x-3y+1=0,+y=0, AB x 顶点 A(1,2), 求 BC 边所在的直线方程. 解:AC 边上的高线 2x-3y+1=0, 3 所以 kAC=- . 2 3 所以 AC 的方程为 y-2=- (x-1), 2 即 3x+2y-7=0, 同理可求直线 AB 的方程为 x-y+1=0. 下面求直线 BC 的方程,
? ?3x+2y-7=0, 由? ? ?x+y=0,

2

2

得顶点 C(7,-7),

? ?x-y+1=0, 由? 得顶点 B(-2,-1). ? ?2x-3y+1=0, 2 2 所以 kBC=- ,直线 BC:y+1=- (x+2), 3 3 即 2x+3y+7=0. 2 2 18.一束光线 l 自 A(-3,3)发出,射到 x 轴上,被 x 轴反射后与圆 C:x +y -4x-4y+7 =0 有公共点. (1)求反射光线通过圆心 C 时,光线 l 所在直线的方程; (2)求在 x 轴上,反射点 M 的横坐标的取值范围. 2 2 解:圆 C 的方程可化为( x-2) +(y-2) =1. (1)圆心 C 关于 x 轴的对称点为 C′(2,-2),过点 A,C′的直线的方程 x+y=0 即为光 线 l 所在直线的方程. (2)A 关于 x 轴的对称点为 A′(-3,-3), 设过点 A′的直线为 y+3=k(x+3). |2k-2+3k-3| 4 3 当该直线与圆 C 相切时,有 =1,解得 k= 或 k= , 2 3 4 1+k

4 3 所以过点 A′的圆 C 的两条切线分别为 y+3= (x+3),y+3= (x+3). 3 4 3 令 y=0,得 x1=- ,x2=1, 4 3 所以在 x 轴上反射点 M 的横坐标的取值范围是[- ,1]. 4 2 2 19.已知圆 x +y -2x-4y+m=0. (1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x+2y-4=0 相交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值; (3) 在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 2 2 解:(1)方程 x +y -2x-4y+m=0,可化为 2 2 (x-1) +(y-2) =5-m, ∵此方程表示圆,

∴5-m>0,即 m<5. 2 2 ? ?x +y -2x-4y+m=0, (2)? ?x+2y-4=0, ? 消去 x 得(4-2y) +y -2×(4-2y)-4y+m=0, 2 化简得 5y -16y+m+8=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则
2 2

?y +y =16, ? 5 ? m+8 ?y y = 5 . ② ?
1 2 1 2



由 OM⊥ON 得 y1y2+x1x2=0 即 y1y2+(4-2y1)(4-2y2)=0, ∴16-8(y1+y2)+5y1y2=0. 将①②两式代入上式得 16 m+8 16-8× +5× =0, 5 5 8 解之得 m= . 5 8 2 (3)由 m= ,代入 5y -16y+m+8=0, 5 12 4 2 化简整理得 25y -80y+48=0,解得 y1= ,y2= . 5 5 4 12 ∴x1=4-2y1=- ,x2=4-2y2= . 5 5 ? 4 12? ?12 4? ∴M?- , ?,N? , ?, ? 5 5 ? ? 5 5? ?4 8? ∴MN 的中点 C 的坐标为? , ?. ?5 5? 又|MN|=

?12+4?2+?4-12?2=8 5, ? 5 5? ?5 5 ? 5 ? ? ? ?

4 5 ∴所求圆的半径为 . 5 ? 4?2 ? 8?2 16 ∴所求圆的方程为?x- ? +?y- ? = . ? 5? ? 5? 5 2 2 20. 已知圆 O:x +y =1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P(a,b)向圆 O 引切线 PQ,切点 为 Q,|PQ|=|PA|成立,如图.

(1)求 a、b 间关系; (2)求|PQ|的最小值; (3)以 P 为圆心作圆,使它与圆 O 有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程. 解:(1)连接 OQ、OP,则△OQP 为直角三角形,
[来源:Zxxk.Com]

又|PQ|=|PA|, 2 2 2 所以|OP| =|OQ| +|PQ| 2 =1+|PA| , 2 2 2 2 所以 a +b =1+(a-2) +(b-1) , 故 2a+b-3=0. (2)由(1) 知,P 在直线 l:2x+y-3=0 上, 所以|PQ|min=|PA|min,为 A 到直线 l 的距离, |2×2+1-3| 2 5 所以|PQ|min= = . 2 2 5 2 +1 (或由|PQ| =|OP| -1= a + b -1= a +9-12a +4a -1=5a -12a +8=5(a-1.2) + 2 5 0.8,得|PQ|min= .) 5 (3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点,半径最小时为与圆 O 相切的情形,而这些半径的最 小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径, 圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l′与 l 的交点 3 3 5 P0,所以 r= 2 2-1= -1, 5 2 +1 又 l′:x-2y=0, 6 3 联立 l:2x+y-3=0 得 P0( , ). 5 5 6 2 3 2 3 5 2 所以所求圆的方程为(x- ) +(y- ) =( -1) . 5 5 5 21.有一圆与直线 l:4x-3y+6=0 相切于点 A(3,6),且经过点 B(5,2),求此圆的方程. 2 2 解:法一:由题意可设所求的方程为(x-3) +(y-6) +λ (4x-3y+6)=0,又因为此圆 2 2 过点(5,2),将坐标(5,2)代入圆的方程求得 λ =-1,所以所求圆的方程为 x +y -10x-9y +39=0. 2 2 2 法二:设圆的方程为(x-a) +(y-b) =r , 则圆心为 C(a,b),由|CA|=|CB|,CA⊥l,得
[来源:Z.xx.k.Com]

2

2

2

2

2

2

2

2

?? 3-a? +? 6-b? ?? 5-a? +? 2-b? ?b-6 4 ?a-3×3=-1, ?
2

2

2 2

=r , =r ,
2

2

?b=9, ? 解得 ? 2 ?r =25. ? 4
a=5,
2

所以所求圆的方程为(x -

9 2 25 2 5) +(y- ) = . 2 4 2 2 法三:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,由 CA⊥l,A(3,6),B(5,2)在圆上,得

?5 +2 +5D+2E+F=0, ? E ?-2-6 4 ?-D-3×3=-1, ? 2
3 +6 +3D+6E+F=0,
2 2 2 2

2

2

?D=-10, ? 解得?E=-9, ?F=39. ?

所以所求圆的方程为 x +y -10x-9y+39=0.

[来源:Z_xx_k.Com]

3 法四:设圆心为 C,则 CA⊥l,又设 AC 与圆的另一交点为 P,则 CA 的方程为 y-6=- (x 4 -3), 即 3x+4y-33=0. 6-2 又因为 kAB= =-2, 3-5 1 所以 kBP= ,所以直线 BP 的方程为 x-2y-1=0. 2
? ? ?3x+4y-33=0, ?x=7, 解方程组? 得? 所以 P(7,3). ? ? ?x-2y-1=0, ?y=3. 9 5 所以圆心为 AP 的中点(5, ),半径为|AC|= . 2 2 9 2 25 2 所以所求圆的方程为(x-5) +(y- ) = . 2 4 2 2 2 22.如图在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y-1) =4 和圆 C2:(x-4) + 2 (y-5) =4. (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别 与圆 C1 和 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被 C2 截得的弦长相等.试求所有满足 条件的点 P 的坐标.

解 :(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在.设直线 l 的方程为 y= k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,因为圆 C1 被直线 l 截得的弦长为 2 3,所以 d= 2 -?
2

3?

2

=1.

|1-k? -3-4? | 由点到直线的距离公式得 d= , 2 1+k 7 从而 k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=- , 24 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0.

(2)设点 P(a,b)满足条件,不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0,则直线 l2 的 1 方程为 y-b=- (x-a).因为圆 C1 和 C2 的半径相等,且圆 C1 被直线 l1 截得的弦长与圆 C2 被

k

直线 l2 截得的弦长相等, 所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等, 即 1 |5+ ? 4-a? -b| k |1-k? -3-a? -b| = , 2 1 1+k 1+ 2

k

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k +ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5,因为 k 的取值 有无穷多个,所以 ? ? ?a+b-2=0, ?a-b+8=0, ? 或? ?b-a+3=0, ?a+b-5=0, ? ?

?a=5, ? 2 解得? 1 ?b=-2, ?

?a=-3, ? 2 或? 13 ?b= 2 . ?

1? ?5 ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1? ,- ?或点 P2?- , ?. 2? ?2 ? 2 2? 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.


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