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43东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间角和距离B


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043B

空间的角和距离(学案)B 一、知识梳理
1.异面直线 a , b 所成的角: (1)定义:过空间上一点 P(注意取图形中的特殊点)作 a1 // a 、 b1 // b ,则 a1 与 b1 所成的锐角或直角就叫做异面直线 a , b 所成的角范围。 (2)范围: (3)

求法: 平移法: 向量法:两直线所在的向量的夹角,异面直线所成的角与夹角相等或互补。 2.直线与平面所成的角: (1)定义:若直线是平面的斜线,其求法是:找出直线 PA 在平面 ? 内的射影 AO , 则锐角 ?PAO 就是直线 PA 与平面 ? 所成的角。 a // ? 或 a ? ? , 若 则直线 a 与平 面 ? 所成的角为 0 ;若 a ? ? ,则直线 a 与平面 ? 所成的角为 (2)范围: (3)求法: 定义法; 向量法: ①找出射影,求线线角; ②求出平面的法向量 n ,直线的方向向量 a ,设线面角为

? ; 2

?

?

a n

? ? ? ? n?a θ ,则 sin? ?| cos ? n, a ?|?| ? ? |. | n |?| a |

θ

3.二面角: (1) 、定义法:在棱上任取一点,过这点在两个面内分别引棱的垂线,这两条射 线所成的角就是二面角的平面角。 (注意二面角的五个条件) (2) 、三垂线定理及逆定理法(选学内容) :自二面角的一个面上的一点向另一 个面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线,和斜足与垂 足连线所夹的角即为二面角的平面角。 (3) 、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角的两条射线所成 的角就是二面角的平面角。 (4) 、投影法:利用 s 投影面=s 被投影面 cos ? 这个公式对于斜面三角形,任意多边形 都成立,是求二面角的好方法。尤其对无棱问题

1

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(5) 、异面直线距离法: 2 EF =m2+n2+d2-2mn cos ? (6) 、向量法: 设 n1 , n2 分别为平面 ? , ? 的法向量,二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,向 量 n1 , n2 的夹角为 ? ,则有 ? ? ? ? ? (图 1)或 ? ? ? (图 2)

n2

?ω n1

?

n1

α θ l
图1

α θ β l
图2

β
n2

构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面 角.具体情况要根据题中所成二面角的大小来确定,向量求出的二面角是一个重要的 参考值. 4.空间的距离 1 点到平面的距离: 已知点 P 是平面 ? 外的任意一点, 过点 P 作 PA ? ? , 垂足为 A , 则 PA 唯一,则 PA 是点 P 到平面 ? 的距离 即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 结论:连结平面 ? 外一点 P 与 ? 内一点所得的线段中,垂线段 PA 最短 2 异面直线的公垂线:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线. 3.公垂线唯一:任意两条异面直线有且只有一条公垂线 4.两条异面直线的公垂线段:两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分,叫做 两条异面直线的公垂线段; 5.公垂线段最短:两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段 中最短的一条; 6.两条异面直线的距离:两条异面直线的公垂线段的长度 说明: 两条异面直线的距离 AB 即为直线 a 到平面 ? 的距离 即两条异面直线的距
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离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离 7 直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做 这条直线到平面的距离(转化为点面距离) 8.两个平行平面的公垂线、公垂线段: (1)两个平面的公垂线:和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平面的公垂线 (2)两个平面的公垂线段:公垂线夹在平行平面间的的部分,叫做两个平面的公垂 线段 (3)两个平行平面的公垂线段都相等 (4)公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长 9.两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 10.七种距离:点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行 于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、点到平 面的距离是基础,求其它几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用 “体积法”来求 10 用向量法求距离的公式:
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⑴异面直线 a , b 之间的距离:

??? ? ? AB ? n ? ? d ? ? ,其中 n ? a, n ? b, A ? a, B ? b |n|
⑵直线 a 与平面 ? 之间的距离:

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??? ? ? AB ? n ? d ? ? ,其中 A ? a, B ? ? n 是平面 ? 的法向量 |n|
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⑶两平行平面 ? , ? 之间的距离:

??? ? ? AB ? n ? d ? ? ,其中 A ?? , B ? ? n 是平面 ? 的法向量 |n|
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⑷点 A 到平面 ? 的距离:

??? ? ? AB ? n ? d ? ? ,其中 B ? ? , n 是平面 ? 的法向量 |n|

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另法:点 A( x0 , y0 , z0 ), 平面 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 则 d?

| Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D | A2 ? B 2 ? C 2

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⑸点 A 到直线 a 的距离:

??? ? 2 ? ??? 2 ? AB ? a ? ? ? d ? | AB | ? ? ? ? ,其中 B ? a , a 是直线 a 的方向向量 ? |a| ?
⑹两平行直线 a , b 之间的距离:

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??? ? 2 ? ??? 2 ? AB ? a ? ? ? d ? | AB | ? ? ? ? ,其中 A ? a, B ? b , a 是 a 的方向向量 ? |a| ?

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二、题型探究 [探究一] 线线角 例 1:如图 1,在三棱锥 S—ABC 中, ?SAB ? ?SAC ? ?ACB ? 90? , AC ? 2 ,

BC ? 13 , SB ? 29 ,求异面直线 SC 与 AB 所成角的余弦值。

S

A C

B

图1

图2

[题型二] 线面角 (1) .直接法 : 平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。 通常是解 由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要 的元素,它可以起到联系各线段的作用。

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例 1 ( 如图 1 ) 四面体 ABCS 中, SA,SB,SC 两两垂直, ∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点,求(1)BC 与平面 SAB 所成的角。 (2)SC 与平面 ABC 所成的角。

(2). 利用公式sinθ =h/ι 其中θ 是斜线与平面所成的角, h是 垂线段的长,ι 是斜线段的长,其中求出 垂线段的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点,为此可用三棱锥的体积 自等来求垂线段的长。 例 2 ( 如图 2) 长方体 ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 , AB 与面 AB1C1D 求 所成的角。

(3). 利用公式 cosθ =cosθ 1· cosθ 2 (如图3) 若 OA为平面的一条斜线, O为斜足, OB为OA在面α 内的射影,OC为 面α 内的一条直线,其中θ 为OA与OC所成的 角, 图3θ 1为OA与OB所成的角,即线面角,θ B O cos C 2为OB与OC所成的角,那么 cosθ =cosθ 1· α θ 2 (同学们可自己证明) ,它揭示了斜线和平 面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 (常称为最小 角定理) 例 3(如图 4) 已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60°, ,求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的余弦值。
A

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(4)向量法: ①找出射影,求线线角; ②求出平面的法向量 n ,直线的方向向量 a ,设线

?

?

a n

? ? ? ? n?a 面角为 θ ,则 sin? ?| cos ? n, a ?|?| ? ? |. | n |?| a |
[题型探究三]:二面角: 例 4. (2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 如题(18)图,在五面体 ABCDEF 中, AB ∥

θ

z

F

E

G

x

DC ,?BAD ?

?
2

B

A

, CD ? AD ? 2 , 四边形 ABFE

C

D y

为 平 行 四 边 形 , FA ? 平 面

ABCD ,

FC ? 3, ED ? 7 .求:
二面角 F ? AD ? E 的平面角的正切值.

[题型探究四]:空间距离 例 5:已知四边形 ABCD、EADM 和 MDCF 都是边长为 a 的正方形,点 P、Q 分别是 ED 和 AC 的中点
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???? ??? ? ? 求: (1) PM 与 FQ 所成的角;
(2)P 点到平面 EFB 的距离; (3)异面直线 PM 与 FQ 的距离 解:建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) 、A(a,0,0) 、B(a,a,0) 、C(0,a,0) 、M(0,0,a) 、 E(a,0,a) 、F(0,a,a) ,
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a a a a ,0, ) 、Q( , ,0) 2 2 2 2 ???? ? ??? ? a a a a (1)∴ PM =(- ,0, ) FQ =( ,- ,-a) , , 2 2 2 2
则由中点坐标公式得 P(
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???? ??? ? ? 3 a a a PM · FQ =(- )× +0+ ×(-a)=- a2,
2 2 2
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4

???? ? 且| PM |=

2

??? ? 2 a,| FQ |=

6 a 2

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3 ???? ??? ? ? ? a2 ???? ??? ? ? PM ? FQ 4 ? ? ∴cos〈 PM , FQ 〉= ???? ??? = 2 6 | PM || FQ | 2
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=-

a?

2

a

3 2

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故得两向量所成的角为 150° ? (2)设 n =(x,y,z)是平面 EFB 的法向量,
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即| n |=1, n ⊥平面 EFB,∴ n ⊥ EF , n ⊥ BE 又 EF =(-a,a,0) EB =(0,a,-a) , , 即有 ?

?

?

?

??? ?

?

??? ?
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??? ?

??? ?

??ax ? ay ? 0 ?x? y? z, ? ay ? az ? 0
?

取 x ? 1 ,则 n ? (1,1,1) ∵ PE =(

??? ?

??? ? ? PE ? n 3 ∴ 设所求距离为 d,则 d ? a ? = 3 |n| ? (3)设 m =(x1,y1,z1)是两异面直线的公垂线的方向向量, ???? ? ??? ? a a a a 则由 PM =(- ,0, ) FQ =( ,- ,-a) , ,得
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a a ,0, ) 2 2

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2

2

2

2

a a ? ? ? 2 x1 ? 2 z1 ? 0 ? ? x1 ? z1 ? ? y1 ? a a ? x ? y ? az ? 0 1 ?2 1 2 1 ?
取 y1 =-1,则 m ? (1, ?1,1) 而 MF =(0,a,0) 设所求距离为 m,
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?

????

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???? ? MF ? m 3 则m ? = a ? 3 |m|

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三、方法提升: 1.转化思想: ① 线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行,线 ? 线 ? 线 ? 面 ? 面 ? 面 ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平 行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后 再证 3.二面角的平面角的主要作法:①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法 四、反思感悟:

五、课时作业: 一、填空题 0 0 1.如图,直线 a、b 相交与点 O 且 a、b 成 60 ,过点 O 与 a、b 都成 60 角的直线有 ( C ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2.江苏?理) ( 正三棱锥 P-ABC 高为 2, 侧棱与底面所成角为 45 , 则点 A 到侧面 PBC 的距离是( B ) A. 4 5 B. 6 5 C.6 则异面直线 A1 B与AD1 所成角的余弦值为( D )
1 A. 5
2 B. 5
3 C. 5
?

D. 4 6

3. (全国Ⅰ?理)如图,正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ,
4 D. 5

4 .ABCD 是边长为 2 的正方形,以 BD 为棱把它折成直二面角 A—BD—C,E 是 CD 的中点,则异面直线 AE、BC 的距离为

3 D1 2 解析:易证 CE 是异面直线 AE 与 BC 的公垂线段,其长为所求 易证 CE=1 ∴选
A
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B

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3

C

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D

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答案:D

8

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5.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则点 A1 到平面 MBD 的距离是

6 3 3 a B a C a 3 6 4 解析:A 到面 MBD 的距离由等积变形可得
A
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D

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6 a 6

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VA—MBD=VB—AMD 易求 d=
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6 a 6

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答案:D 6.已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面所成的二面角 等于

? . 3
? 6

7. (四川?理)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长 为 1,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是 . 8.在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1, E、F 分别为 BC 与 A1D1 的中点, (1) 求直线 A1C 与 DE 所成的角; (2) 求直线 AD 与平面 B1EDF 所成的角; (3) 求面 B1EDF 与 面 ABCD 所成的角。

9.如图,在 Rt?AOB中,∠OAB = 6 ,斜边 AB=4.Rt?AOC可以通过 Rt?AOB以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B-AO-C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上. (I)求证:平面 COD⊥平面 AOB; (II)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (III)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值. A

π

D

O C

E

B

9

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10.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点。 (Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的大小;

【 变 式 】 在 梯 形 ABCD 中 , AB=BC=1 , AD=2 ,

?CBA ? ?BAD ? 90? ,沿对角线 AC 将折起,使点 B 在平
面 ACD 内的射影 O 恰在 AC 上。 (1)求证:AB ? 平面 BCD (2)求异面直线 BC 与 AD 所成的角。

11.在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥面 ABCD,PA=AB=a,E 为 BC 中点. (1)求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小; (2)求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小

12. 如 图 , 四 面 体 ABCD 中 ,

O 、 E 分 别 是 BD 、 BC 的 中 点 ,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2. (I)求证: AO ? 平面 BCD;
(II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小;

10

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043B

(III)求点 E 到平面 ACD 的距离。

【变式】已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1,M 是底面 BC 边上的中 点,N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN=2C1N. (Ⅰ)求二面角 B1-AM-N 的平面角的余弦值; (Ⅱ)求点 B1 到平面 AMN 的距离。

13.如图,所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其 中 AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1. (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1F 的距离.

14. 【文】 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8, 对角线 B1C ? 10 , 是 AC 的中点。 D (1)求点 B1 到直线 AC 的距离. (2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离.

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东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 043B

15.如图,在四棱锥 P—ABC 右,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 , BC=1,PA=2, E 为 PD 的中点 (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离
王新敞
奎屯 新疆

16. (2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中 点,AF=AB=BC=FE=

1 A 2
[来源:学§科§网][来源:学科网 ZXXK]

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值

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