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贵州省遵义市中学联盟2016届高三上学期第一次联考数学理试题


遵义市中学联盟 高三理科数学检测题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项 中,只有一个是符合题目要求的.)
1.设 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则下列结论中正确的是( A.A?B C.A∪B={1,2,3,4,5} 2. 若a ? 0.5 A. b ? a
3





B.A∩B={2} D.A∩( CU B )={1} ) D. c ? b ? a

, b ? 30.5 , c ? log3 0.5,则a, b, c, 的大小关系是(
B. b ? c ? a ) C. a

?c
x ?1

?b?c

3.下列命题中,假命题是( A. ?x ? R,2

?0

B. ?x ? R, sin x ? D. ?x ? R, lg x ? 2 )

2

C. ?x ? R, x 4.函数

2

? x ?1? 0

1 f ( x) ? ? ? log 2 x 的一个零点落在下列哪个区间( x
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

A.(0,1) 5.若函数 ( A. )

y ? f ( x)是函数y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 的 反 函 数 , 且 f (2) ? 1,则f ( x) ?
B.

1 2x

2 x ?2

C. log 1
2

x


D. log 2

x

6.函数

y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是(

7.已知函数 y ?

f ( x)( x ? R)满足f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? ?? 1,1?时,f ( x) ? x ,则
) D.7

y ? f ( x)与y ? log 7 x 的交点的个数为(
A.4 8.若函数 ( ) A. B.5 C.6

f ( x) ? lg(x 2 ? ax ? a ? 1) 在区间[2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是
B.

?? 3,???

?? 3,???

C.

?? 4,???

D.

?? 4,???

2 9.曲线 y ? e x 在点 2, e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

?

?



A.

9 2 e 2

B.

3e 2

C. e

2

D.

1 2 e 2


10.设函数 f ( x), g ( x) 在 [ a, b] 上均可导,且 f ?( x) ? g ?( x) ,则当 a ? x ? b 时,有( A. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

11.在抛物线 y=x2+ax-5(a



0)上取横坐标为 x1=4,x2=2 的两点,经过两点引
2 2

一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则 (A) (-2,-9) (C) (2,-9) (B)(0,-5) (D)(1,6)

12.在集合 ?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 a= (a,b)从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形, 记所有作为平行四边形的个数为 n, 其中面积等于 2 的平行四边形的个数 m, 则
2 15 4 (C) 15

m = n

(A)

1 5 1 (D) 3

(B)

二、填空题: (本大题 5 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 、函数 为

y ? ? m 2 ? m ? 1? x m
.
3 2

2

? 2m ? 3

是幂函数且在 (0, ??) 上单调递减,则实数 m 的值

14. 函数 f(x)=x +3ax +3[(a+2)x+1]有极值,则 a 的取值范围是________. 15.已知函数 f ( x) ? ? 范围为____ ____.

?(a ? 2) x ? 1,x ? 1 ,若 f(x)在 (??, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值 ?log a x ,x ? 1

16.定义在 ?? ?,??? 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ?x ? 1? ? ? f ?x ? ,且在 ?? 1,0? 上是增函数,下面 是关于 f ( x) 的判断: ① f ? x ? 的图像关于点 P(

1 ,0 )对称 2

② f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称; ④ f ?2? ? f ?0? .

③ f ? x ? 在[0,1]上是增函数;

其中正确的判断是____________________(把你认为正确的判断都填上) 三、解答题: (本大题共 8 题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (I)证明: PA ? BD ; (II)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. (19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于 或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产 了 100 件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 指标值分组 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 4 12 42 32 10 频数 (I)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (II)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2,94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) .求 X 的分布列及数学期 望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概 率) . 20.(本小题满分 12 分)

???? ??? ? ???? ??? ? MA?AB ? MB?BA ,M 点的轨迹为曲线 C.

在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A (0, -1) , B 点在直线 y ? ?3 上, M 点满足 MB / /OA ,

????

??? ?

(I)求 C 的方程; (II)P 为 C 上动点, l 为 C 在点 P 处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值 21. (本小题满分 14 分 ) 设函数

f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) (e=2.718 28……是自然对数的底数).

(I)判 f ( x ) 断的单调性; (1I)当 f ( x) ? 0 在(0,+∞)上恒成立时,求 a 的取值范围;

1 x ?1 x (1 ? x ) ? e. (Ⅲ)证明:当 x ?(0,+∞)时, x e

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D,E 分别为 ?ABC 的边 AB,AC 上的点, 且不与 ?ABC 的顶点重合.已知 AE 的长为 m,AC 的 长 为 n , AD , AB 的 长 是 关 于 x 的 方 程

x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根.
(I)证明:C,B,D,E 四点共圆; (II)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6, 求 C,B,D,E 所在圆的半径. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos? ,M 为 C1 上的动 (? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

点,P 点满足 OP ? 2OM ,点 P 的轨迹为曲线 C2 . (I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (I)当 a=1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (II)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为{x| x ? ?1} ,求 a 的值.

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点的

参考答案
一、选择题:1-5:DABBD
2

6-10: DCADB

11.在抛物线 y ? x ? ax ? 5(a ? 0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x2 ? 2 的两点,过这两点引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 ? 5 y 2 ? 36 相切,则抛物线顶点的坐标为 (A) (?2, ?9) (B) (0, ?5) (C) (2, ?9) (D) (1, ?6) 答案:A 解 析 : 令 抛 物 线 上 横 坐 标 为 x1 ? ?4 、 x2 ? 2 的 点 为 A(?4,11 ? 4a) 、 B(2, 2a ? 1) , 则 k AB ? a ? 2 ,由 y? ? 2 x ? a ? a ? 2 ,故切点为 (?1, ?4 ? a) ,切线方程为 (a ? 2) x ? y ? 6 ? 0 , 6 6 ? 该直线又和圆相切,则 d ? ,解得 a ? 4 或 a ? 0 (舍去) ,则抛物线为 2 5 (a ? 2) ? 1
y ? x2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 2)2 ? 9 ,定点坐标为 (?2, ?9) ,选 A. 12.在集合 {1, 2,3, 4,5} 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? (a, b) ,从 所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平 m 行四边形的个数为 n,其中面积等于 2 的平行四边形的个数为 m,则 ? n 2 4 1 1 (A) (B) ( C) (D) 15 15 5 3 答案:B 解析:∵以原点为起点的向量 ? ? (a, b) 有 (2,1) 、 (2,3) 、 (2,5) 、 (4,1) 、
2 (4,3) 、 (4,5) 共 6 个,可作平行四边形的个数 n ? C6 ? 15 个,结合图形 进行计算,其中由 (2,1) (4,1) 、 (2,1) (4,3) 、 (2,3) (4,5) 确定的平行四边

形面积为 2,共有 3 个,则

m 3 1 ? ? ,选 B. n 15 5

二、填空题: 13. 2 三、解答题:
? a1 = 1, an+1 = 3an +1.n ∈ N * . 1 1 1 17.解: (Ⅰ)∴ a n+1 + = 3an +1+ = 3( an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。 2 2 2

14.

a>2 或 a<-1

15. (2,3]

16.①②④

1 3n 3n - 1 1 2 由(1)知,an + = ,∴ an = , = n . 2 2 2 an 3 - 1
(Ⅱ)

1 1 2 1 = 1, 当n >1时, = n < n-1 . a1 an 3 - 1 3 1 n 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 ∴ + + +?+ <1+ 1 + 2 +?+ n-1 = 3 = ( 1- n ) < . 1 a1 a2 a3 an 3 3 3 2 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, + + +?+ < ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 2 1-

18.

解:

(Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直 角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? .
uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)
uu u r 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 {n?PB ? 0, uuu r n? AB ? 0,

?

?

?

?



?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3)
r 设平面 PBC 的法向量为 m,则 {m? uuu BC ? 0, uu u r m? PB ? 0,

可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ?
2 7 7

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

19. 解: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为

22 ? 8 =0.3 ,所以用 A 配 100

方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 ( Ⅱ ) 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 , 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间 ,054,0.42,因此 ?90,94? , ?94,102? , ?102,110? 的频率分别为 0.04, P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方 100

X

-2 0.04

2 0.54

4 0.42

P

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 20. 解:(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y) , MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r

uuu r

1 2 x -2. 4 1 2 1 ' 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0. 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ?4

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4

2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

21.

22. 解: (I)连接 DE,根据题意在△ ADE 和△ ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即

AD AE ? .又∠DAE=∠CAB,从而△ ADE∽△ACB AC AB

因此∠ADE=∠ACB,所以 C,B,D,E 四点共圆. (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=900,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 23. 解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(

1 (12-2)=5. 2

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2 cos ?, ? ? ?2 ? ? ? 即 ? y ? 2 ? 2 sin ? ?2 ? ? ?

s ? ?x ? 4 c o ? ? ? 从而 C 2 的参数方程为 ?? ?y ? 4 ? 4s i n

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
?
3 3

, . 所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .

24. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 .由此可得 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} . (Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组

x ? 3 或 x ? ?1 .

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ? ?x ? a ? a 或? 即 x? ? a ? x ? 3 x ? 0 ? 4 ?
a 2

?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ?

?,

由题设可得 ?

a = ?1 ,故 a ? 2 2


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