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宣城中学高二下学期开学考试数学试卷


2014~2015 学年度宣城中学第二学期高二年级开学考试

数学(文科)试题卷
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题: (本大 题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。下列各小题中,所给出的四个答 案中有且仅有一个是正确的) 1.下列说法正确的是(
2


2

/>A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” B.若命题 p : ?x ? R, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,则命题 ?p : ?x ? R, x2 ? 2 x ?1 ? 0 C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 D.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件
2

2.从装有 2 个红球和两个白球的口袋内任取 2 个球, 那么互斥而不对立的两个事件是 ( A.至少有一个白球,都是白球 B.至少有一个白球,至少有一个红球 C.恰有一个白球,恰有一个红球 D.恰有一个白球,都是红球。



3.在区间 ? , 2 ? 上,函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q 与 g ? x ? ? 2 x ? 2 在同一点取得相同的最小 x ?2 ? 值,则 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值是( 2 A.

?1

?

1

?1 ?

? ?



13 4

B.4

C.8

D.

5 4
)条件.

4.已知 p 是 q 的充分条件, s 是 q 的必要不充分条件,则 p 是 s 的( A.充分不必要 5.与双曲线 x ?
2

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要 ( )

y2 ? 1有共同渐进线,且过点(2,2)的双曲线方程为 4
B.

A.

x2 y 2 ? ?1 4 3

x2 y 2 ? ?1 3 12

C.

x2 y 2 ? ?1 5 12

D.

x2 ? y2 ? 1 4

6.先后连掷两次骰子分别得到点数 m, n ,则向量 ?m, n ? 与向量 ?- 1,1? 的夹角 ? ? 90 的概率
0

() A.

1 2

B.

1 3

C.

7 12

D.

5 12


7.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(

A.7 B.9 C.10 D.11 8.观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图,则新生婴儿体重在(2700,3000)的频率为 ( )

A.0.001

B.0.1

C.0.2

D.0.3

9.若点 p 在抛物线 y 2 ? 4 x 上, 则点 p 到点 A ? 2,3? 的距离与点 p 到抛物线焦点的距离之差 ( ) A.有最小值,但无最大值 C.既无最小值,又无最大值 B.有最大值,但无最小值 D.既有最小值,又有最大值

10 若点 p 在曲线 y ? x 3 ? 3 x 2 ? 3 ? 3 x ?

?

?

? 的取值范围是(
A. ? 0,

3 上移动,点 p 处的切线的倾斜角为 ? ,则角 4

) C. ?

? ?? ? ? 2?

B. ?0,

? ? ? ? 2? ? ? ? ? ,? ? 3 ? 2? ? ?

? 2? ? ,? ? ? 3 ?

D. ?0,

? ? ? ? ? 2? ? ??? , ? ? 2? ?2 3 ?

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11.甲、乙、丙、丁四人排成一排,甲、乙两人相邻的概率是__________,两人不相邻的概 率的____________. 12.制作一个容积是 V 的圆柱形饮料罐,当底面半径为__________时,所用材料最少. 13.设动直线 l 垂直于 x 轴, 且与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 4 交于 A, B 两点,p 是 l 上满足 PA PB ? 1 的点,求点 p 的轨迹方程__________. 14. x ? 1 是 x 2 ? 1 的__________条件。

15.某河上有抛物线行拱桥,当水面距拱顶 5m 时,水面宽 8m ,一艘木船宽 4 m ,高 2 m ,

载货后木船露出水面上的部分高为 木船开始不能通航?

3 m .问:水面上涨到距抛物线拱顶__________米时, 4

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题 12 分)随意安排甲、乙、丙三人在三天节日中值班,每人值班 1 天。 (1)这三人的值班顺序共有多少种不同的排列方法? (2)其中甲在乙之前值班的排列方法有多少种? (3)甲在乙之前值班的概率是多少?

17.(本小题 12 分)某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内 每个技工加工的合格零件数, 按十位数字为茎, 个位数字为叶得到的茎叶图如图所示. 已 知甲、乙两组数据的平均数都为 10.

(1)求 m, n 的值; (2)分别求出甲、乙两组数据的方差 S甲 和 S乙 ,并由此分析两组技工的加工水平; (3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检测, 若两人加工的合格零件数之和大于 17, 则称该车间“质量合格”, 求该车间“质量合格” 的概率.
2 2

18.(本小题 12 分)设 p : 实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ? a ? 0? , 实数 x 满足 q: (1)若 a ? 1 ,且 p ∧ q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

x?3 ?0 x?2

19.(本小题 12 分)已知抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上有两个动点 A, B 及一个定点

M ? x0 , y0 ? , F 是抛物线的焦点,且 AF , MF , BF 成等差数列.

?1? 求证:线段 AB 的垂直平分线经过定点 Q ? x0 ? p,0? ; ? 2 ? 若 MF
? 4, OQ ? 6 ?O为原点? ,求此抛物线方程.

20.(本小题13分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 的离心率为 ,以原点为圆心, 2 a b 2

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 M ? 2,0? 的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 p 为椭圆上一点,且满足 (其中 O 为坐标原点) ,求整数 t 的最大值.

21.(本小题 14 分)已知函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? ? 2a ? 1? x ? 2 ln x ? a ? R ? 2

(1)若曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2)求 f ? x ? 的单调区间; (3)设 g ? x ? ? x2 ? 2x ,若对任意 x1 ? ? 0, 2? ,均存在 x2 ? ? 0, 2? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求

a 的取值范围.


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