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圆锥曲线与方程选修1-1测试题


【名师一号】 2014-2015 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 单元同步测试(含解析)新人教 A 版选修 1-1
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知抛物线的准线方程为 x=-7,则抛物线的标准方程为( A.x =-28y C.y

=-28x
2 2

)

B.y =28x D.x =28y
2

2

解析 由条件可知 =7,∴p=14,抛物线开口向右,故方程为 y =28x. 2 答案 B 1 2.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( 2 A. + =1 3 4 C. + =1 4 2 )

p

2

x2 y2 x2 y2

B. + =1 4 3 D. + =1 4 3
2 2

x2

y2

x2 y2

c 1 x y 2 2 2 解析 依题意知 c=1,e= = ,∴a=2,b =a -c =3.故椭圆 C 的方程为 + =1. a 2 4 3
答案 D 3.双曲线 x - =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( 1 A.m> 2 C.m>1 B.m≥1 D.m>2
2

y2 m

)

?c?2 1+m=1+m>2,m>1. 2 解析 由 e =? ? = 1 ?a?
答案 C 4. 椭圆 + =1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m, 则 m 取最大值时, P 点坐标是( 25 9 A.(5,0)或(-5,0) C.(0,3)或(0,-3) 解析 |PF1|+|PF2|=2a=10, 5 3 3 5 3 3 B.( , )或( ,- ) 2 2 2 2 5 3 3 5 3 3 D.( , )或(- , ) 2 2 2 2

x2

y2

)

1

|PF1|+|PF2| 2 ∴|PF1|?|PF2|≤( ) =25. 2 当且仅当|PF1|=|PF2|=5 时,取得最大值, 此时 P 点是短轴端点,故选 C. 答案 C 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在抛 物线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为( A. C. - =1 36 108 - =1 108 36
2

x2 y2 a b

) B. - =1 9 27 D. - =1 27 9

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属于容易题.

b ? a ? = 3, 依题意知? c=6, ? ?c =a +b ,
2 2 2

? a =9,b =27,

2

2

所以双曲线的方程为 - =1. 9 27 答案 B 6.在 y=2x 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点 P 的坐 标是( ) B.(1,2) D.(-1,2)
2 2

x2

y2

A.(-2,1) C.(2,1)

解析 如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x 的准线,F 为其焦点,PN⊥l,AN1⊥l,

由抛物线的定义知,|PF|=|PN|,
2

∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|, 当且仅当 A,P,N 三点共线时取等号, ∴P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1, 则可排除 A、C、D 项,故选 B. 答案 B 7. 已知抛物线的顶点为原点, 焦点在 y 轴上, 抛物线上点 M(m, -2)到焦点的距离为 4, 则 m 的值为( A.4 或-4 C.4 解析 由题可知, -(-2)=4,∴p=4. 2 ∴抛物线的方程为 x =-8y. 将(m,-2)代入可得 m =16, ∴m=±4.故选 A. 答案 A 8.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( A. +y =1 2 C. + =1 4 3 解析 ) B. + =1 3 2 D. + =1 5 4
2 2

) B.-2 D.2 或-2

p

x2

2

x2 y2 x2 y2

x2 y2

依题意可设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 A?1, ?,B?1,- ?,又|AB| a a

x2 y2 a b

? ?

b2?

?

? ?

b2?

?

= -?- ?= 1. 答案 C

2 b2 ? b ? 2b2 x2 y2 2 2 2 2 =3,∴2b =3a.又 a -b =c =1,∴a=2,b= 3.故 C 的方程为 + = a ? a? a 4 3

9. 动圆的圆心在抛物线 y =8x 上, 且动圆恒与直线 x+2=0 相切, 则动圆必过点( A.(4,0) C.(0,2) B.(2,0) D.(0,-2)

2

)

解析 直线 x+2=0 是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上,由抛物线的定义知,动 圆必过抛物线的焦点(2,0). 答案 B

x2 y2 10.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离分别为 d1,d2,焦距为 2c,若 a b d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为(
)
3

A.

1 2 3 2

B.

2 2 3 4

C.

D.

解析 由椭圆的定义可知 d1+d2=2a, 又由 d1,2c,d2 成等差数列,

c 1 ∴4c=d1+d2=2a,∴e= = . a 2
答案 A 1 2 11.已知 F 是抛物线 y= x 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段 PF 中点的轨迹方 4 程是( ) 1 2 B.x =2y- 16 D.x =2y-2
2

1 2 A.x =y- 2 C.x =2y-1 1 2 2 解析 由 y= x ? x =4y,焦点 F(0,1), 4 设 PF 中点 Q(x,y)、P(x0,y0), 2x=0+x0, ? ? 则?2y=1+y0, ? ?4y0=x2 0, 答案 C
2

∴x =2y-1.

2

x y |PF2| 12. 已知 F1, F2 是双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, P 为双曲线左支上一点, 若 a b |PF1|
的最小值为 8a,则该双曲线的离心率的取值范围是( A.(1,3) C.(1,3] 解析 |PF2| = |PF1|
2 2

2

2

2

)

B.(1,2) D.(1,2]

PF1|+2a |PF1|

2

4a =|PF1|+ +4a≥8a, |PF1| 当|PF1|= ,即|PF1|=2a 时取等号. |PF1| 又|PF1|≥c-a,∴2a≥c-a. ∴c≤3a,即 e≤3. ∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3] 答案 C
4

4a

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)

x y 1 13.若双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________. 4 b 2 b 1 解析 由题意知 = ,解得 b=1. 2 2
答案 1 14.若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0),离心率为 标准方程为________. 解析 若焦点在 x 轴上,则 a=4, 由 e=
2

2

2

3 ,则椭圆的 2

3 ,可得 c=2 3, 2
2 2

∴b =a -c =16-12=4, 椭圆方程为 + =1; 16 4 若焦点在 y 轴上,则 b=4, 由 e= 3 c 3 3 2 2 ,可得 = ,∴c = a . 2 a 2 4

x2

y2

1 2 2 2 2 2 又 a -c =b ,∴ a =16,a =64. 4 ∴椭圆方程为 + =1. 16 64 答案 + =1,或 + =1 16 64 16 4

x2

y2

x2

y2

x2

y2

15.设 F1 和 F2 是双曲线 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°, 4 则△F1PF2 的面积为________. ||PF |-|PF ||=4, ? ?① 由题设知? |PF | +|PF | =20, ? ?②
1 2 2 2 1 2 2

x2

2

解析

)

②-① 得|PF1|?|PF2|=2. 1 ∴△F1PF2 的面积 S= |PF1|?|PF2|=1. 2 答案 1

x2 y2 2 2 2 16.过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x +y =a 的两条切线,切点分 a b
5

别为 A,B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为________. 解析 如图,设双曲线一个焦点为 F, 则△AOF 中,|OA|=a,|OF|=c,∠FOA=60°.

∴c=2a,∴e= =2. 答案 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)已知抛物线 y =6x,过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰好被点 P 平分,求这 条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2).
2 2 2

c a

∵P1,P2 在抛物线上,∴y1=6x1,y2=6x2. 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ∵y1+y2=2,∴k=

y1-y2 6 = =3. x1-x2 y1+y2

∴直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0. 由?
?y =6x, ? ? ?y=3x-11,
2

得 y -2y-22=0,

2

∴y1+y2=2,y1?y2=-22. ∴|P1P2|= 1 2 1+ 2 - 9 - 2 230 = . 3

18.(12 分)双曲线与椭圆有共同的焦点 F1(0,-5),F2(0,5),点 P(3,4)是双曲线的渐 近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的标准方程.

y2 x2 解 由共同的焦点 F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆的方程为 2+ 2 =1(a>5),双曲 a a -25
线方程为 2-

y2 x2 =1. b 25-b2
6

16 ∵点 P(3,4)在椭圆上,∴ 2 +

a

9 2 2 =1.解得 a =40 或 a =10(舍去).∴椭圆的标准 a -25
2

方程为 + =1. 40 15 又过点 P(3,4)的双曲线的渐近线方程为 y=

y2

x2

b
25-b

2

x,即 4=

b
25-b
2

?3,∴b =16.

2

∴双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 19.(12 分)已知椭圆方程为 + =1,在椭圆上是否存在点 P(x,y)到定点 A(a,0)(其 9 4 中 0<a<3)的距离的最小值为 1, 若存在, 求出 a 的值及 P 点的坐标; 若不存在, 说明理由. 解 设存在点 P(x,y)满足题设条件,则
2 2 2

y2

x2

x2 y2

|AP| =(x-a) +y . 又∵ + =1,∴y =4(1- ). 9 4 9 ∴|AP| =(x-a) +4(1- ) 9 5 9 2 4 2 = (x- a) +4- a . 9 5 5 9 ∵|x|≤3,当| a|≤3,又 0<a<3 5 5 4 2 2 即 0<a≤ 时,|AP| 的最小值为 4- a . 3 5 4 2 15 ? 5? 依题意,得 4- a =1,∴a=± ??0, ?, 3? 5 2 ? 9 5 当 a>3,即 <a<3. 5 3 此时 x=3,|AP| 取最小值(3-a) . 依题意,得(3-a) =1,∴a=2. 此时 P 点的坐标是(3,0). 故当 a=2 时,存在这样的点 P 满足条件,P 点坐标为(3,0). 20.(12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),直线 l 为圆 O:x +y =b 的一条切线,记 椭圆 C 的离心率为 e. π (1)若直线 l 的倾斜角为 ,且恰好经过椭圆 C 的右顶点,求 e 的大小; 3 (2)在(1)的条件下,设椭圆 C 的上顶点为 A,左焦点为 F,过点 A 与 AF 垂直的直线交 x 轴的正半轴于 B 点,且过 A,B,F 三点的圆恰好与直线 l:x+ 3y+3=0 相切,求椭圆 C
7
2 2 2 2 2

x2 y2

2

x2

x2

x2 y2 a b

2

2

2

的方程. 解 (1)如图,设直线 l 与圆 O 相切于 E 点,椭圆 C 的右顶点为 D,

则由题意易知,△OED 为直角三角形, π 且|OE|=b,|OD|=a,∠ODE= , 3 ∴|ED|= |OD| -|OE| =c(c 为椭圆 C 的半焦距).
2 2

c π 1 ∴椭圆 C 的离心率 e= =cos = . a 3 2 c 1 (2)由(1)知, = , a 2
∴可设 a=2m(m>0),则 c=m,b= 3m, ∴椭圆 C 的方程为 2+ 2=1. 4m 3m ∴A(0, 3m),∴|AF|=2m. 直线 AF 的斜率 kAF= 3,∴∠AFB=60°. |AF| 在 Rt△AFB 中,|FB|= =4m, cos∠AFB ∴B(3m,0),设斜边 FB 的中点为 Q,则 Q(m,0), ∵△AFB 为直角三角形, ∴过 A,B,F 三点的圆的圆心为斜边 FB 的中点 Q,且半径为 2m, ∵圆 Q 与直线 l:x+ 3y+3=0 相切, ∴ |m+3| =2m. 1+3

x2

y2

∵m 是大于 0 的常数,∴m=1. 故所求的椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3

x2 y2

8

21. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= 且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 a b

2 , 3

(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交 于不同的两点 A、 B, 且△OAB 的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积; 若不存在,请说明理由. 解 (1)由 e=
2 2 2 2

2

2

2 c 3 2 2 = ,得 a = c . 3 a 2
2

又 a -b =c ,∴a =3b . 故椭圆的方程为 x +3y =3b . 又椭圆上的点 P(x,y)到点 Q(0,2)的距离
2 2 2

d=
2

x-

2



y-
2

2

= 3b -3y + y-

2

2

2

= 3b +6-

y+

∴当 y=-1 时,有 3b +6=3,解得 b=1. ∴椭圆的方程为 +y =1. 3 1 1 (2)S△AOB= |OA|?|OB|sin∠AOB= sin∠AOB, 2 2 1 当∠AOB=90°,S△AOB 取最大值 , 2 此时点 O 到直线 l 距离 d=
2 2

2

x2

2

1

m +n

2

2



2 , 2

∴m +n =2.又∵ +n =1, 3 3 2 1 2 解得:m = ,n = . 2 2 ∴点 M 的坐标为? 或?- 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 , ?或?- , ?或? ,- ? 2? ? 2 2? ?2 2? ?2

m2

2

? ?

6 2? ,- ?. 2 2 ?

1 故存在点 M,使△AOB 的面积为 . 2 22.(12 分)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2,0),离心率是 直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程;
9

6 , 3

(2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (3)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值. 解 (1)∵ =

c a

6 ,且 c= 2, 3
2 2

∴a= 3,b= a -c =1. ∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 3 (2)由题意知 P(0,t)(-1<t<1),

x2

2

y=t, ? ? 2 由?x 2 +y =1, ? ?3
∴圆 P 的半径为 ∴ -t
2

得 x=±

-t

2



-t

2

. 3 . 2

=|t|,解得 t=± 3 ). 2

∴点 P 的坐标是(0,±

(3)由(2)知,圆 P 的方程为

x2+(y-t)2=3(1-t2).
∵点 Q(x,y)在圆 P 上, ∴y=t± -t
2

-x ≤t+

2

-t

2

.

设 t=cosθ ,θ ∈(0,π ), 则 t+ -t
2

π =cosθ + 3sinθ =2sin(θ + ), 6

π 1 当 θ = ,即 t= ,且 x=0,y 取最大值 2. 3 2

10


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