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2014淮安市高三第一次调研数学答案


淮安市 2013—2014 学年度高三年级第一次调研测试 数学试题参考答案与评分标准
数学Ⅰ部分
一、填空题: 1. {1} 9.
11 36

2. ?x>0 , 2 ? 1>0 x

3. 2

4. 14 11.

5.6

6. 3


7. 13. 2

π 3

8. 3 ? 1 14. (?1, 3)

10. x ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 7 ? 0

π 4

12. ?512

二、解答题: 15.⑴在 ?APC 中,因为 E , F 分别是 PA, AC 的中点,所以 EF ∥ PC ,……………………2 分 又 PC ? 平面 PAC , EF ? 平面 PAC ,所以 EF ∥平面 PBC ;…………………………5 分 ⑵ 因为 AB ? BC ,且点 F 是 AC 的中点,所以 BF ⊥ AC , …………………………7 分

又平面 ABC ⊥平面 PAC ,平面 ABC ∩平面 PAC ? AC , BF ? 平面 ABC , 所以 BF ⊥平面 PAC ,……………………………………………………………………11 分 因为 BF ? 平面 BEF ,所以平面 BEF ⊥平面 PAC .……………………………………14 分 16. (1)由图可得 A ? 3 , ……………………………………………………………………1 分 2? ? 因为 f ( x) 的周期为 8,则 ? 8 ,即 ? ? ; …………………………………………3 分 ? 4 ? ? 因为 f (?1) ? f (3) ? 0 , 所以 f (1) ? 3 ,所以 sin( ? ? ) ? 1 ,又 ? ?[0 , ) ,故 ? ? , ? 4 4 ? ? 综上所述, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 3sin( x ? ) ;……………………………………6 分 4 4 ? ? ? ? (2) g ( x) ? f ( x) ? 3 f ( x ? 2) ? 3sin( x ? ) ? 3 3 sin[ ( x ? 2) ? ] 4 4 4 4 ? ? ? ? 1 ? ? 3 ? ? cos( x ? )] ? 3sin( x ? ) ? 3 3 cos( x ? ) ? 6[ sin( x ? ) ? 2 4 4 2 4 4 4 4 4 4 ? 7? ……………………………………………………………10 分 ? 6sin( x ? ) 4 12 ? 7? ? 3 ? ? 7 ? ? 4? ,1? , 当 x?[?1, 时, x ? 3] ?[ , ] , sin( x ? ) ? ? ? 4 12 ? 2 ? 4 12 3 3 则 g ( x) 的最大值为 6 ;最小值为 ?3 3 . ……………………………………………14 分

数学答案

第 1 页 共 7 页

1 17. (1)当 n ? 1 时, S1 ? (a1 ? 1)(a2 ? 2) ,即 a1 ? ?1 或 a1 ? 2 ,因 a1 ? 0 ,故 a1 ? 2 …2 分 2 1 1 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (an ? 1)(an ? 2) ? ? an ?1 ? 1?? an ?1 ? 2 ? , 2 2
整理得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0 ,……………………………………………………6 分 又因为 an > 0 ,所以 an ? an?1 > 0 ,所以 an ? an ?1 ? 1 ,所以 an ? n ? 1 ; ……………8 分 (2)因为 bn ? (?1)n an an ?1 ,所以 T2n ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? ? b2n?2 ? b2n?1 ? b2n

? ?a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? a5a6 ? ? ? a2n?3a2n?1 ? a2 n?1a2 n ? a2 n a2 n?1 ? 2 ( 2 ? a4 ? ?an2 , ………………………………………………………………11 分 a … )
又 a2 , 4 , , 2n 是首项为 3,公差为 2 的等差数列, a … a

n(3 ? 2n ? 1) ? 2n2 ? 4n , ………………………14 分 2 18. (1)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x , 由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x2 ,又 OC ? BO , 所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ①, …………………………………………2 分 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? , 由余弦定理得, OA2 ? OB2 ? 2OA ? OB ? cos60? ? 100 ②, ……………………………4 分 x 2 ? 100 ①+②得 OA2 ? OB 2 ? ,①-②得 4OA ? OB ? cos60? ? x2 ? 100 , 2 x 2 ? 100 即 OA ? OB ? , …………………………………………………………………6 分 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 因为 OA2 ? OB 2 ≥2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤300 , ≥2? 2 2 x 2 ? 100 2 又 OA ? OB ? >0 ,即 x >100 ,所以 10< x ≤10 3 ; ………………………8 分 2 (2)因为 OC ? BO ,所以 S?OAB ? S?OAC ,
所以 T2 n ? 2 ? a2 ? a4 ? … ? a2 n ? ? 2 ?

1 3( x 2 ? 100) 所以 S?ABC ? 2S?OAB ? 2 ? ? OA ? OB sin 60? ? , …………………………10 分 2 4 1 3( x 2 ? 100) 又 S?ABC ? ? AC ? BD ,设 BD ? f ( x) ,则 f ( x) ? , ? (10 , 3] ,……12 分 x 10 2x 2 3 100 10 因为 f ?( x) ? (1 ? 2 ) 恒大于 0,所以 f ( x) 在 (10 , 3] 上是增函数, 2 x 所以 f ( x) 的最大值为 f (10 3) ? 10 ,即 BD 的最大值为 10.…………………………16 分
数学答案 第 2 页 共 7 页

19. (1)因为有 3 个点在椭圆 C 上,据椭圆的对称性,则点 (3 , , , 1) 一定在椭圆 C 上, 1) (3 ?

9 1 ①,……………………………………………………………………2 分 ? 2 ?1 2 a b 因为 3> 2 2 ,则点 (?2 2 , 不可能为椭圆 C 的左顶点,故一定不在椭圆 C 上, 0)
即 所以点 ( 3 , 3) 在椭圆 C 上,点 (?2 2 , 在直线 l 上, 0) 所以 ………………………4 分

3 3 ? 2 ?1 2 a b

②,联立①②可解得 a 2 ? 12 ,b2 ? 4 ,

x2 y 2 ? ? 1; ……………………………………6 分 12 4 (2)因为直线 l 的方程为 x ? ?2 2 ,动点 P 在直线 l 上,且在椭圆内部, 2 3 2 3 所以设 P(?2 2 , 0 ) , 0 ? (? y y , ), 3 3 当 y0 ? 0 时,设过点 P 作直线交椭圆 C 于 M ( x1 , 1 ) , ( x2 , 2 ) ,显然 x1 ? x2 , y N y
所以 m ? ?2 2 ,且椭圆 C 的方程为

? x12 y12 ? 1, ? ? y ? y2 x 2 ? x2 2 y12 ? y2 2 1 x ? x2 ? 12 4 由? 2 得 1 , ?? ? 1 ? ? 0 ,整理得 1 2 x1 ? x2 3 y1 ? y2 12 4 ? x2 ? y2 ? 1, ? 12 4 ? 因为 PM ? PN ,所以 x1 ? x2 ? ?4 2, y1 ? y2 ? 2 y0 ,
1 ?4 2 2 2 故直线 MN 的斜率为 ? ? ,……………………………………………10 分 ? 3 2 y0 3 y0
因为直线 l ? ? MN ,所以直线 l ? 的方程为 y ? y0 ? ? 整理得 y ? ?

3 y0 2 2

( x ? 2 2) , ……………13 分

3 y0 2 2

(x ?

4 2 4 2 ) ,所以直线 l ? 恒过定点 ( ? , ;…………………15 分 0) 3 3

当 y0 ? 0 时,直线 MN 为 x ? ?2 2 ,直线 l ? 为 x 轴过点 ( ? 综上所述,直线 l ? 恒过定点 ( ?

4 2 , ; 0) 3

4 2 , .……………………………………………16 分 0) 3 a(1 ? x) 20. (1)因为 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (a ? R) ,所以 f ?( x) ? ( x>0) , ……………1 分 x 当 a > 0 时,令 f ?( x)>0 得 0< x <1 ,令 f ?( x)<0 得 x >1, 故函数 f ( x) 的单调增区间为 (0 , ,单调减区间为 (1, ?) ; ……………………4 分 ? 1) (2)因为函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2 , (2)) 处的切线的倾斜角为 45? , f
所以 f ?(2) ? tan 45? ? 1 ,即

a ?1 ? 2 ? 2

? 1 ,所以 a ? ?2 ;………………………………5 分

1 因为 g ( x) ? x 2 ? nx ? mf ?( x) (m , ?R) 在 x ? 1 处有极值,故 g?(1) ? 0 ,所以 n ? ?1 ? 2m , n 2 a ?1 ? x ? 1 2 1 2 所以 g ( x) ? x 2 ? nx ? m ? ? x ? ? ?1 ? m ? x ? m ? (2 ? ) , 2 x 2 x
数学答案 第 3 页 共 7 页

2 3 2 2m x ? ?1 ? m ? x ? 2m ? x ? 1? ? x ? 2mx ? 2m ? ? ? , x2 x2 x2 又因为 g ( x) 仅在 x ? 1 处有极值,所以 x 2 ? 2mx ? 2m≥0 在 (0 , ?) 上恒成立,……8 分 ?

所以 g ?( x) ? x ? 1 ? m ?

当 m> 0 时,由 ?2m < 0 ,即 ?x0 ? 0 ,使得 x0 2 ? 2mx0 ? 2m < 0 ,所以 m> 0 不成立, 故 m ≤ 0 ,又 m ≤ 0 且 x ? 0 时, x 2 ? 2mx ? 2m≥0 恒成立,所以 m ≤0 ; …………10 分 (3)由 f ?( x) ?

a(1 ? x) ? 1) ( x>0) 得 (0 , 与 (1, ?) 分别为 f ( x) 的两个不同的单调区间, x 因为 f ( x) 在两点处的切线相互垂直,则这两个切点必分别属于两个不同单调区间. 1 不妨设存在的两点分别为 A( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) ,其中 < x1 <1< x2 <3 , ……12 分 B 3 a(1 ? x1 ) a(1 ? x2 ) 由过点 A, B 处的切线相互垂直,得 ? ? ?1 ,…………………………13 分 x1 x2 1 ? x1 x 1 ? x1 x 1 1 即 ? ? 2 ? 2 ,而 ? (0 , ,故 ? 2 ? 2 ? (0 , ,可得 (2a 2 ? 1) x2 >2a 2 , 2) 2) x1 a 1 ? x2 x1 a 1 ? x2

3 2a 2 2a 2 ,又 1< x2 <3 ,所以 2 <3 ,即 a 2 > , 2 2a ? 1 2a ? 1 4 3 3 所以 a 的取值范围为 (?? , ? ) ? ( , ?) . ……………………………………16 分 ? 2 2
由 x2 >0 得 2a 2 ? 1>0 ,则 x2 >

数学Ⅱ部分
21.A.因为等边三角形 ABC 内接于圆 O ,所以∠ BAC ? 60? ,所以∠ BDC ? 120? , 所以∠ DBC +∠ DCB ? 60? , ……………………………2 分 又∠ BFC +∠ DCB ? 60? ,所以∠ DBC =∠ BFC ,……5 分 同理∠ DCB =∠ CEB ,所以 ?CBE ? ?BFC , ……………8 分 所以 B O D F C E A

BF BC ,即 CE ? BF ? BC 2 . ? BC CE

…………………10 分

?1? B.由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? 可得, ?1?

?3 3 ? ?1? ?1? ?c d ? ?1? ? 6 ?1? ,即 c ? d ? 6 ;…………………………………………………………3 分 ? ? ?? ?? ?3? 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? ,可得 ? ?2 ? ?3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ?c d ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ,即 3c ? 2d ? ?2 ,…………………………………………………6 分 ? ? ? ? ? ?
数学答案 第 4 页 共 7 页

?c ? 2 ? 3 3? 联立解得 ? ,即 A ? ? ? , ………………………………………………………8 分 ? 2 4? ?d ? 4

1? ? 2 ? 3 ? 2? A 逆矩阵是 A?1 ? ? ?. ?? 1 1 ? ? 3 2 ? ? ?

…………………………………………………………10 分

C.因为直线 l 的极坐标方程为 2? cos(? ? ) ? 3 6 , 3 所以直线 l 的普通方程为: x ? 3 y ? 3 6 ? 0 , ………………………………………3 分

?

? x ? 3 cos ? ? 因为椭圆 C 的参数方程为 ? ,设椭圆 C 上的点到直线 l 距离为 d . ? y ? sin ? ?

| 3 cos ? ? 3 sin ? ? 3 6 | 则d ? ? 2

π 6 sin(? ? ) ? 3 6 4 , ………………………………6 分 2

π π 所以当 sin(? ? ) ? 1 时, d 最大值为 2 6 ,当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 最小值为 6 .…10 分 4 4 1 1 1 D.因为 ( ? ? )[(a 1 ?a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? (a3 ? a1 )] a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a1

≥ 33

1 ? a1 ? a2

1 a2?

? a3

1 a3 ?

3 3 a1( ? a1

a2 ?

)a2(

?3 a

)a3( =9, ) ……………………5 分 ? a1

当且仅当 a1 ? a2 ? a3 时等号成立,
1 1 1 9 9 又 a1 ? a2 ? a3 ? ,所以 ( ? ? ) ? 2 ? ≥9 , a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a1 2 2

所以

1 1 1 ? ? ≥ 1. a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a1

……………………………………………………10 分 z A1 C1

(此题也可以用柯西不等式来证明) P 22.(1)因为直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直, 又 AB ? AC ,故以 AB, AC , AA1 分别为 x, y, z 轴, B1

M 建立空间直角坐标系 A ? xyz ,因为 AA1 ? AB ? AC ? 1 , B A C N x
第 5 页 共 7 页

M 是 CC1 的中点, N 是 BC 的中点,
数学答案

y

所以 A ? 0,0,0? , B ?1,0,0? , C ? 0,1,0? , A1 ? 0,0,1? ,
1? ?1 1 ? ? B1 ?1,0,1? , C1 ? 0,1,1? , M ? 0,1, ? , N ? , ,0 ? ,………………………………………………2 分 2? ?2 2 ? ? ???? ????? 1 1 ?1 ? ???? 又因为 ? ? ,且满足 A1 P ? ? A1 B1 ,所以 P ? ,0,1 ? , PN ? (0, , ?1) , 2 2 ?2 ?

因为 AA1 ? (0, 0,1) 是平面 ABC 的一个法向量, 所以 PN 与平面 ABC 所成的角的正弦值为,
???? ???? PN ? AA1 ???? ???? 1 2 5 cos ? PN , AA1 ? ? ???? ???? ? ? , 2 5 PN AA1 ?1? ? ? ?1 ?2?

????

所以当 ? ?

1 2 5 时, PN 与平面 ABC 所成的角的正弦值为 .…………………………5 分 5 2

( 2 ) 因 为 平 面 PMN 与 平 面 ABC 所 成 的 二 面 角 为 45? , 平 面 ABC 的 一 个 法 向 量 为

? ???? ?? n ? AA1 ? (0, 0,1) ,设平面 PMN 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) ,
???? ??? ? 1 1 1 因为 MP ? (? , ?1, ) , NP ? (? ? , ? ,1) . 2 2 2

2? ? 1 1 1 ? ? ?? ??? ? ? y? 3 x ?m ? NP ? 0 ?(? ? 2 ) x ? 2 y ? z ? 0 ? ? ? 所以由 ? ?? ???? 得? ,解得 ? . 1 ?m ? MP ? 0 ? ? x ? y ? z ? 0 ? z ? 2(1 ? ? ) x ? ? ? 3 2 ? ?
令 x ? 3 ,得 m ? (3, 2? ? 1, 2(1 ? ? )) ,

………………7 分

??

?? ? m?n ?? ? 2(1 ? ? ) 1 2 ? 于是由 cos ? m, n ? ? ?? ? ? ,解得 ? ? ? . 2 2 2 2 m n 9 ? (2? ? 1) ? 4(1 ? ? )
1 所以当平面 PMN 与平面 ABC 所成二面角为 45? 时 ? 值为 ? .………………………10 分 2

23. (1)证明:当 n ? 1 时, a1 ? sin 2 (21?1? ) ? sin 2 ? , 等式成立; 假设当 n ? k (k ?N? ) 时,等式成立,即 ak ? sin 2 (2k ?1? ) ; 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 4ak (1 ? ak ) ? 4sin 2 (2k ?1? )(1 ? sin 2 (2k ?1? )) ? 4sin 2 (2k ?1? )cos2 (2k ?1? ) ? sin 2 (2k ? ) , 所以当 n ? k ? 1 时,等式也成立. 综上所述, an ? sin 2 (2n ?1? ) 对 ?n ? N? 均成立;…………………………………………4 分 (2)若 t < 0 , an < 0 , 则 证明如下: 当 n ? 1 时, a1 ? t < 0 , 显然成立;
数学答案 第 6 页 共 7 页

假设当 n ? k (k ?N? ) 时,不等式成立,即 ak < 0 ; 则当 n ? k ? 1 时,因为 ak < 0 时,有 1 ? ak > 0 ,所以 ak ?1 ? 4ak (1 ? ak ) < 0 , 所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综上所述,若 a1 ? t < 0 , an < 0 成立;同理可证: a1 ? t >1 时, an < 0 . 则 因此,使 a2013 ? 0 的 t ?[0 , .……………………………………………………………6 分 1]

? 令 t ? sin 2 ? ,? ?[0 , ] ,由(1)可得 an ? sin 2 (2n ?1? ) , ?N? ; n 2 k 由 a2013 ? 0 得 sin 2 (22012 ? ) ? 0 ,即 22012 ? ? k ? , ?Z , 从而 ? ? 2012 ? , ?Z , k k 2 ? 又 ? ?[0 , ] ,则 0 ≤ k ≤ 22011 , 2 1 ? 另易知 t ? sin 2 ? ? (1 ? cos 2? ) 在 ? ?[0 , ] 上是单调递增函数, 2 2 故有 22011 ? 1 个实数 t ,使得 a2013 ? 0 .……………………………………………………10 分

数学答案

第 7 页 共 7 页


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