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2016广东高考理数大二轮 专项训练【专题5】(1)空间几何体(含答案)


2016 广东高考理数大二轮 专项训练
第1讲
开图及简单的组合体问题.

空间几何体

考情解读 1.以三视图为载体,考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展

1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系

2.空间几何体

的三视图 (1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的 物体轮廓线的正投影形成的平面图形. (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右 面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.看不到的线画虚线. 3.直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ),z′ 轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: ①S 柱侧=ch(c 为底面周长,h 为高);

1 ②S 锥侧= ch′(c 为底面周长,h′为斜高); 2 1 ③S 台侧= (c+c′)h′(c′,c 分别为上,下底面的周长,h′为斜高); 2 ④S 球表=4πR2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); 1 ②V 锥体= Sh(S 为底面面积,h 为高); 3 1 ③V 台= (S+ SS′+S′)h(不要求记忆); 3 4 ④V 球= πR3. 3

热点一 三视图与直观图 例 1 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

8 A. 3 32 C. 3

B.8 D.16 )

(2)(2013· 四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(

思维启迪 (1)根据三视图确定几何体的直观图;(2)分析几何体的特征,从俯视图突破.

答案 (1)B (2)D 解析 (1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图:

1 则该几何体的体积 V= ×2×2×4=8. 2 (2)由俯视图易知答案为 D. 思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到

的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底 面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、 面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. (1)(2013· 课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别 是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面, 则得到的正视图可以为( )

(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

答案 (1)A (2)D 解析 (1)根据已知条件作出图形:四面体 C1-A1DB,标出各个点的坐标如图(1)所示,可以看 出正视图为正方形,如图(2)所示.故选 A.

(2)如图所示,点 D1 的投影为 C1,点 D 的投影为 C,点 A 的投影为 B,故选 D.

热点二 几何体的表面积与体积 例 2 (1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 2π π C. 3

B.2 2π 2π D. 3

(2)如图, 在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, F 分别在 C1D1 与 C1B1 上, 且 C1E=4, C1F=3,连接 EF,FB,DE,则几何体 EFC1-DBC 的体积为( )

A.66 C.70

B.68 D.72

思维启迪 (1)由三视图确定几何体形状;(2)对几何体进行分割. 答案 (1)D (2)A 1 2 解析 (1)由三视图知,原几何体是两个相同的圆锥的组合,∴V=( ×π×12)×2= π. 3 3 (2)如图,连接 DF,DC1,那么几何体 EFC1-DBC 被分割成三棱锥 D-

1 1 1 1 EFC1 及四棱锥 D-CBFC1,那么几何体 EFC1-DBC 的体积为 V= × ×3×4×6+ × ×(3 3 2 3 2 +6)×6×6=12+54=66. 故所求几何体 EFC1-DBC 的体积为 66. 思维升华 (1)利用三视图求解几何体的表面积、体积,关键是确定几何体的相关数据,掌握

应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”;(2)求不规则几何体的体积,常用“割补”的思 想. 多面体 MN-ABCD 的底面 ABCD 为矩形,其正视图和侧视图如图,其中正视图 为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该多面体的体积是( )

16+ 3 A. 3 16 C. 3 答案 D

8+6 3 B. 3 20 D. 3

解析 过 M,N 分别作两个垂直于底面的截面,将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥, 1 由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形,面积为 S1= ×2×2=2,高为 2,所以体积为 V1 2 1 8 =4,两个四棱锥为全等四棱锥,棱锥的体积为 V1=2× ×2×1×2= ,所以多面体的体积为 3 3 8 20 V= +4= ,选 D. 3 3 热点三 多面体与球 例 3 如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD,将其沿对角 线 BD 折成四面体 ABCD,使平面 ABD⊥平面 BCD,若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上, 则该球的体积为( )

A.

3 2 π B.3π C. π D.2π 2 3 要求出球的体积就要求出球的半径,需要根据已知数据和空间位置关系确定球心

思维启迪

的位置,由于△BCD 是直角三角形,根据直角三角形的性质:斜边的中点到三角形各个顶点 的距离相等,只要再证明这个点到点 A 的距离等于这个点到 B,C,D 的距离即可确定球心, 进而求出球的半径,根据体积公式求解即可.

答案 A 解析 如图,取 BD 的中点 E,BC 的中点 O, 连接 AE,OD,EO,AO. 由题意,知 AB=AD,所以 AE⊥BD. 由于平面 ABD⊥平面 BCD,AE⊥BD, 所以 AE⊥平面 BCD. 因为 AB=AD=CD=1,BD= 2, 所以 AE= 所以 OA= 2 1 ,EO= . 2 2 3 . 2

1 3 在 Rt△BDC 中,OB=OC=OD= BC= , 2 2 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O,半径为 4 3 3 所以该球的体积 V= π( )3= π.故选 A. 3 2 2 思维升华 多面体与球接、切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点) 或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系, 或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知 量的关系,列方程(组)求解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a,PB=b, PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则 4R2=a2+b2+c2 求解. (1)(2014· 湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨, 加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) 3 . 2

A.1 C.3

B.2 D.4

(2)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三 角形,则该几何体的体积是________;若该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的表面积 是________.

1 答案 (1)B (2) 3



解析 (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示.由题意知,当 打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时,该球的半 1 径最大,故其半径 r= ×(6+8-10)=2.因此选 B. 2 (2)由三视图可知, 该几何体是四棱锥 P-ABCD(如图), 其中底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, 1 1 PA⊥底面 ABCD,且 PA=1,∴该四棱锥的体积为 V= ×1×1×1= .又 PC 为其外接球的直 3 3 径,∴2R=PC= 3,则球的表面积为 S=4πR2=3π.

1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴 露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”.多面体的表面积 就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和. 2.在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外),因此体积计算中的关键 一环就是求出这个量.在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截 面. 3.一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的方法,从而转化为规则的几何体,而 补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的方法进行补 形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体,不过几何量不 易求解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几何体的一部分来求 解). 4.长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即 a2+b2+c2=2R; (2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即 3a=2R.

真题感悟 1.(2014· 北京)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, 2).若 S1, S2, S3 分别是三棱锥 D-ABC 在 xOy, yOz, zOx 坐标平面上的正投影图形的面积, 则( A.S1=S2=S3 C.S3=S1 且 S3≠S2 答案 D 解析 如图所示,△ABC 为三棱锥在坐标平面 xOy 上的正投影,所以 1 S1= ×2×2=2. 2 三棱锥在坐标平面 yOz 上的正投影与△DEF(E,F 分别为 OA,BC 的 中点)全等, 1 所以 S2= ×2× 2= 2. 2 三棱锥在坐标平面 xOz 上的正投影与△DGH(G,H 分别为 AB,OC 的中点)全等, 1 所以 S3= ×2× 2= 2. 2 所以 S2=S3 且 S1≠S3.故选 D. 2.(2014· 江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若它们的侧面积 S1 9 V1 相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2 答案 3 2 B.S2=S1 且 S2≠S3 D.S3=S2 且 S3≠S1 )

S1 9 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由 = , S2 4 得 πr2 9 r1 3 1 = ,则 = . πr2 r2 2 2 4

由圆柱的侧面积相等,得 2πr1h1=2πr2h2, h1 2 即 r1h1=r2h2,则 = , h2 3
2 V1 πr1 h1 3 所以 = 2 = . V2 πr2h2 2

押题精练 1.把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连接 AC,得到三棱锥 C-ABD,其正视 图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),则其侧视图的面积为( )

A.

3 2

1 B. 2 D. 2 2

C.1 答案 B

解析 在三棱锥 C-ABD 中, C 在平面 ABD 上的投影为 BD 的中点 O, ∵ 1 1 正方形边长为 2, ∴AO=OC=1, ∴侧视图的面积为 S△AOC= ×1×1= . 2 2 2.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD, △ABD 的面积分别为 2 3 6 , , ,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为( 2 2 2 )

A. 6π B.2 6π C.3 6π D.4 6π 答案 A 解析 如图,以 AB,AC,AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该长方体 的外接球恰为三棱锥的外接球, ∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长. AC= ?AB· AD= 据题意?AC· ?AB· AD= 2, 3, 6,

?AB= 2, 解得?AC=1, ?AD= 3,
6 . 2

∴长方体的体对角线长为 AB2+AC2+AD2= 6, ∴三棱锥外接球的半径为

4 6 ∴三棱锥外接球的体积为 V= π·( )3= 6π. 3 2

(推荐时间:50 分钟) 一、选择题 1.已知正三棱锥 V-ABC 的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图的面积为( )

A.2 C.6 答案 C

B.4 D.8

解析 如图,作出正三棱锥 V-ABC 的直观图,取 BC 边的中点 D,连接 VD, AD,作 VO⊥AD 于 O. 结合题意,可知正视图实际上就是△VAD,于是三棱锥的棱长 VA=4,从俯视图 中可以得到底面边长为 2 3,侧视图是一个等腰三角形,此三角形的底边长为 2 3,高为棱锥的高 VO. 由于 VO= 2 3 42-? ×2 3× ?2=2 3. 3 2

1 于是侧视图的面积为 ×2 3×2 3=6,故选 C. 2 2.右图是棱长为 2 的正方体的表面展开图,则多面体 ABCDE 的体积为( A.2 4 C. 3 答案 D 4 8 解析 多面体 ABCDE 为四棱锥,利用割补法可得其体积 V=4- = ,选 D. 3 3 ) 2 B. 3 8 D. 3

3.如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为 ( )

A.15+3 3 C.30+6 3 答案 B 解析

B.9 3 D.18 3

由三视图知几何体是一个底面为 3 的正方形,高为 3 的斜四棱柱,所以 V = Sh =

3×3× 3=9 3. 4.已知正四棱锥的底面边长为 2a,其侧(左)视图如图所示.当正(主)视图的面积最大时,该 正四棱锥的表面积为( )

A.8 C.8 2 答案 B 解析

B.8+8 2 D.4+8 2

由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示,其主视图与左视图相

1 同,设棱锥的高为 h ,则 a2 + h2 = 4. 故其主视图的面积为 S = · 2a· h= 2 a2+h2 ah≤ =2,即当 a=h= 2时,S 最大,此时该正四棱锥的表面积 2 1 S 表=(2a)2+4× ×2a×2 2 =8+8 2,故选 B. 5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的 半圆,该几何体的体积为( )

A.

3 3 3 π B. π C. π D. 3π 3 6 2

答案 A 解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,然后把截面放在平面上,底面相对

接的图形,圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,故圆锥的高为 h= 22-12= 3.易知该几何体 1 1 3 的体积就是整个圆锥的体积,即 V 圆锥= πr2h= π×12× 3= π.故选 A. 3 3 3 6.(2014· 大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则 该球的表面积为( )

81π 27π A. B.16π C.9π D. 4 4 答案 A 解析 如图,设球心为 O,半径为 r, 则 Rt△AOF 中,(4-r)2+( 2)2=r2, 9 解得 r= , 4 9 81 ∴该球的表面积为 4πr2=4π×( )2= π. 4 4 二、填空题 7.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯 形 (如图所示 ),∠ABC= 45° , AB=AD=1 ,DC⊥BC,则这块菜地的面积为 ________. 答案 2+ 2 2

解析 如图,在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 则在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45° ,∴BE= 而四边形 AECD 为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC= 由此可还原原图形如图. 在 原 图 形 中 , A′D′ = 1 , A′B′ = 2 , B′C′ = A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′, 1 ∴这块菜地的面积为 S= (A′D′+B′C′)· A′B′ 2 1 2 2 = ×(1+1+ )×2=2+ . 2 2 2 8.如图,侧棱长为 2 3的正三棱锥 V-ABC 中,∠AVB=∠BVC=∠CVA = 40°, 过 A 作 截 面 △AEF , 则 截 面 △AEF 的 周 长 的 最 小 值 为 ____________. 2 +1,且 2 2 +1. 2 2 . 2

答案 6 解析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 V-ABC 展开在一个平面内,如图. 则 AA′即为截面△AEF 周长的最小值,且∠AVA′=3×40° =120° . 在△VAA′中,由余弦定理可得 AA′=6,故答案为 6. 9.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1, B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为______. 答案 解析 1 6

1 VD1 ? EDF ? VF ? DD1E ? S ?D1DE ?AB 3

1 1 1 = × ×1×1×1= . 3 2 6 10.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 的外接球的表面积等于________. 答案 16π 解析 设矩形的两邻边长度分别为 a,b,则 ab=8,此时 2a+2b≥4 ab=8 2,当且仅当 a =b=2 2时等号成立,此时四边形 ABCD 为正方形,其中心到四个顶点的距离相等,均为 2, 无论怎样折叠,其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上,这个球的表面积是 4π×22=16π. 三、解答题 11.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8、 高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的投影是矩形中心的四棱 锥 E-ABCD. 1 (1)V= ×(8×6)×4=64. 3 (2)四棱锥 E-ABCD 的两个侧面 EAD,EBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高 h1= 8 42+? ?2=4 2; 2 另两个侧面 EAB,ECD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高 h2= 1 1 因此 S=2×( ×6×4 2+ ×8×5)=40+24 2. 2 2 12.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F, 将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30° . 6 42+? ?2=5. 2

(1)求证:EF⊥PB; (2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱锥 P—EFCB 的体积.

(1)证明 ∵EF∥BC 且 BC⊥AB, ∴EF⊥AB,即 EF⊥BE,EF⊥PE.又 BE∩PE=E, ∴EF⊥平面 PBE,又 PB?平面 PBE, ∴EF⊥PB. (2)解 设 BE=x,PE=y,则 x+y=4. 1 ∴S△PEB= BE· PE· sin∠PEB 2 1 1 x+y?2 = xy≤ ? =1. 4 4? 2 ? 当且仅当 x=y=2 时,S△PEB 的面积最大. 此时,BE=PE=2. 由(1)知 EF⊥平面 PBE, ∴平面 PBE⊥平面 EFCB, 在平面 PBE 中,作 PO⊥BE 于 O,则 PO⊥平面 EFCB. 即 PO 为四棱锥 P—EFCB 的高. 1 又 PO=PE· sin 30° =2× =1. 2 1 SEFCB= ×(2+4)×2=6. 2 1 ∴VP—BCFE= ×6×1=2. 3


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